Решение заданий варианта 6401

Вариант 6401
Система оценивания экзаменационной работы по математике
За правильный ответ на задания 1-20 ставится 1 балл.
Ответы к заданиям части 1
Номер задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Правильный ответ
0,8
1
4
-2,5
231
18
1,5
3
70
20
1512
3,5
23; 32
2
9
3600
2,5
34; 43
0,75
42,25
Решения и критерии оценивания заданий части 2
Модуль «Алгебра»
21
Сократите дробь
12𝑛
22𝑛−3 ∙3𝑛−1
.
Решение.
12𝑛
22𝑛−3 ∙3𝑛−1
22𝑛 ∙3𝑛
= 22𝑛−3 ∙3𝑛−1 = 22𝑛−3 ∙3𝑛−1 = 22𝑛−(2𝑛−3) ∙ 3𝑛−(𝑛−1) =
= 23 ∙ 3 = 24.
Ответ: 24.
(4∙3)𝑛
Вариант 6401
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
1
Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного
характера или описка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены
верно
0
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
2
Максимальный балл
22
Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по
течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись
обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от
лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а
собственная скорость лодки 8 км/ч?
Решение.
Пусть искомое расстояние равно 𝑥 км. Скорость лодки при движении по
течению равна 10 км/ч, при движении против течения равна 6 км/ч. Время,
за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и
𝑥
𝑥
обратно, равно ( + ) часа. Из условия задачи следует, что это время
10
6
равно 2 часам. Составим уравнение: (
𝑥
𝑥
+ ) = 2.
10
6
Решив уравнение, получим 𝑥 = 7,5.
Ответ: 7,5 км.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
3
Правильно составлено уравнение, получен верный ответ
2
Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена
вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
3
Максимальный балл
23
Постройте график функции
𝑦=
(𝑥−2)(𝑥2 −5𝑥+4)
𝑥−4
и определите, при
каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую
точку.
Решение. Разложим числитель дроби на множители:
Вариант 6401
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 5𝑥 + 4)= (𝑥 − 2)(𝑥 − 4)(𝑥 − 1)
При 𝑥 ≠ 4 функция принимает вид:
𝑦 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)=𝑥 2 − 3𝑥 + 2,
её график  парабола, из которой выколота точка (4; 6).
Прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с графиком ровно одну
общую точку либо тогда, когда проходит через
вершину параболы, либо тогда, когда
пересекает параболу в двух точках, одна из
которых  выколотая.
Вершина
параболы
(1,5; −0,25).
имеет
координаты
Поэтому 𝑚 = −0,25 или 𝑚 = 6.
Ответ: 𝑚 = −0,25, 𝑚 = 6.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
4
График построен правильно, верно указаны все значения m, при
которых прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с графиком ровно одну общую точку
3
График построен правильно, указаны не все верные значения m
0
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
4
Максимальный балл
Модуль «Геометрия»
24
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты:
AC = 8, BC = 15. Найдите медиану CM этого треугольника.
Решение.
CM=
1
2
AB =
1
2
√𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐶 2 =
1
= 2 √64 + 225= 8,5.
Ответ: 8,5.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Получен верный обоснованный ответ
Вариант 6401
1
0
2
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка,
возможно приведшая к неверному ответу
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
Максимальный балл
25
В параллелограмме ABCD точка E  середина стороны CD. Известно, что
EA = EB. Докажите, что данный параллелограмм  прямоугольник.
Доказательство. Треугольники BEC и AED
равны по трём сторонам.
Значит, углы BCE и ADE равны. Так как их
сумма равна 180, то углы равны 90. Такой
параллелограммпрямоугольник.
Баллы
3
2
0
3
Критерии оценки выполнения задания
Доказательство верное, все шаги обоснованы
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
Максимальный балл
26
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность
радиуса 6 с центром вне этого треугольника касается продолжения
боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение.
Пусть O2  центр данной окружности,
а O1  центр окружности, вписанной
в треугольник ABC.
Вариант 6401
Точка касания K окружностей делит AC пополам.
Лучи AO2 и AO1  биссектрисы смежных углов, значит, угол O2AO1
прямой. Из прямоугольного треугольника O2AO1 получаем: AK2=
КO1KO2.
Следовательно,
𝐴𝐾2
O1 K = 𝑂
2𝐾
Ответ: 4
1
6
=
25
6
1
= 46.
.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
4
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен
верный ответ
3
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но
пропущены
существенные
объяснения
или
допущена
вычислительная ошибка
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
4
Максимальный балл