Ответы 7 вариант

Комментарии к заданиям и критерии их оценивания
7 вариант
Часть 1
Каждое верно выполненное задание части 1 оценивается в 1 балл.
1
-2
2
3
Модуль «Алгебра»
3 4
5
6
4
-7
134 111
7
1,5
8
1
Модуль «Геометрия»
9
10
11 12 13
66 110
7
13 13
14
2
Модуль «Реальная математика»
15 16
17 18
19
20
50 120
2
134 0,8 260
Часть 2
Модуль «Алгебра»
21. Решите систему уравнений
y 5 x y
 

2 6
3

x
y

2
x
1
 
1

5
3
3
.
Решение. Домножив первое уравнение системы на 6, второе на 15, получаем
3 у  5  2 х  2 у

5 х  3 у  6 х  20
2 х  у  5 , домножив первое уравнение системы на (-3) и

11х  3 у  20
сложив со вторым, находим  x  1 .
Ответ:(1;-3).
y


3

Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
1
0
Задание решено верно.
Допущена вычислительная ошибка или описка, возможно, приведшая к неверному ответу.
Случаи, не соответствующие указанным критериям.
22. На тренировке по картингу один карт проходил круг на 10 секунд
медленнее другого и через минуту отстал от него ровно на круг. За
сколько секунд каждый карт проходил круг?
Решение. Пусть х(сек) – время прохождения круга первым картом,
х>0(*). Тогда х+10 (сек)– время прохождения вторым картом; 60 часть круга, пройденная первым картом за 60 секунд;
x
60 -часть круга,
x  10
пройденная вторым картом за 60 секунд. Известно, что через минуту
один отстал от другого на круг, тогда 60  60  1 .Решив это уравнение
x
x  10
при условии (*), получаем х=20, тогда время второго карта 30сек.
Ответ: 20 сек и 30 сек
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
3
Задание решено верно.
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка
или описка, возможно, приведшая к неверному ответу.
Случаи, не соответствующие указанным критериям (не найдено
время другого карта и т.д.).
2
0
x2
. Найдите все значения а, при
x  3x  2
которых график данной функции не имеет с прямой y  a общих точек.
Решение. В силу тождества x2  3x  2  ( x  1)( x  2) , при всех значениях
23. Постройте график функции y 
2
переменной, отличных от числа 2, y  1 . Тем самым, график функции
x 1
представляет собой гиперболу с выколотой точкой (2;1).
y
1
0 1 2
1
x
Из графика видно, что прямая y  a не имеет с графиком функции общих
точек при a  0 и a  1 .
Ответ: см. рис.; a  0 и a  1 .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
4
График построен верно, получен верный ответ.
График построен верно, ответ на вопрос не получен, получен неверно или не полностью.
Случаи, не соответствующие указанным критериям.
3
0
24. Углы В и А в треугольнике АВС равны 37° и 23°. Найдите сторону АВ,
если радиус окружности, описанной около треугольника АВС равен, 12√3.
Решение:
Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит,
С  180  37  23  120 . По следствию
из теоремы синусов:
АВ
 2 R , где R – радиус
sin C
окружности, описанной около треугольника АВС
3
Ответ: 36.
AB  2  12 3 
; AB  36.
2
Баллы
2
1
0
2
А
О
В
С
Критерии оценки выполнения задания
Получен верный обоснованный ответ.
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка,
возможно приведшая к неверному ответу.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Максимальный балл
25. Точки М, N, K и L – середины сторон AB, BC, CD и DA параллелограмма
ABCD . Докажите, что четырехугольник МNKL - параллелограмм.
Доказательство: По свойству средней линии треугольника МN параллельна
AС и LK параллельна AС, значит, МN параллельна LK. Аналогично, МN = LK.
Т.о. МNKL – параллелограмм (по признаку). Ч.т.д.
Баллы Критерии оценки выполнения задания
3
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
3
Максимальный балл
26. Высоты треугольника АВС пересекаются внутри треугольника в точке Н,
а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь
треугольника АКС, если длина АВ = 18√2, длина СН = 12√2, а ВАС  45
Решение: 1) По условию задачи, высоты
В
треугольника пересекаются в точке Н,
значит треугольник – остроугольный.
С1
2) Пусть ВР – высота треугольника АВС,
а BM1 – медиана треугольника АВС.
Н
K
3) Из точки К опустим перпендикуляр
М
КК1 на сторону АС. Тогда площадь тре1
угольника АКС: SAKC = 2 ∙ KK1 ∙ AC.
А
M1 М2 К1 Р
С
4) Рассмотрим треугольник АВР – прямоугольный, равнобедренный. Длина
АВ = 18√2, значит, по свойству равнобедренного прямоугольного треугольника ВР = АР = 18.
5) Треугольник НРС – прямоугольный, равнобедренный (угол С1СА равен
45°). Длина СН = 12√2, значит, по свойству равнобедренного прямоугольного треугольника НР = СР = 12. Значит, сторона АС = 30.
6) Из точки М опустим перпендикуляр ММ2 на сторону АС. Треугольники
ВРМ1 и ММ1М2 подобны по двум углам. Точка М – точка пересечения медиММ
ММ
1
ан треугольника АВС, значит, М В1 = ВР2 = 3. Длина отрезка ММ2 = 6.
1
7) Рассмотрим четырехугольник МНРМ2. ММ 2  АС и НР  АС , значит,
ММ 2 НР . Отрезок МН не параллелен АС (MM2не равен НР), значит, четырехугольник МНРМ2 – трапеция. Точка К – середина отрезка МН,
ММ2 +НР
,
КК1  АС , тогда по теореме Фалеса, КК1 – средняя линия. КК1 =
2
КК1 = 9. Тогда площадь треугольника АКС равна 135.
Ответ 135.
Баллы
0
Критерии оценки выполнения задания
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но
пропущены существенные объяснения (например, отсутствует
объяснение, что МНРМ2 – трапеция или КК1 – средняя линия трапеции) или допущена вычислительная ошибка.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
4
Максимальный балл
4
3