1 - Super-rrt2009.narod.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Марийский Государственный Технический Университет
Кафедра прикладной математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине Теория вероятностей
Выполнил:
Студент гр. ЗРРТ .
Проверил: доцент к.т.н.
Томилова Н.К.
Йошкар-Ола
2008
1.
1.1. В партии из 100 изделий 6 нестандартных. Из партии выбирают наугад
10 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 10 изделий будет 2
нестандартных.
А – вероятность события,
10
С 100 - общее число случаев,
2
10 2
6
100 6
С С
- число благоприятных случаев.
С С
С
2
Р(А) =
6
10
8
94

100
6  5  94  93  92  91  90  89  88  87  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1
 0,0107
2  1  2  3  4  5  6  7  8  100  99  98  97  96  95  94  93  92  91
1.2 Вероятность того, что радиолампа, принадлежащая данной партии,
проработает не менее T часов, равна 0,6. Определить вероятность того, что из
выбранных наудачу 10 ламп хотя бы одна проработает не менее Т часов.

Перейдем к противоположному событию В  1  0,6  0,4 - вероятность того,
что радиолампа не проработает Т часов.
Определим вероятность того, что ни одна из 10 ламп не проработает Т часов.

10
В  0,4  0,0001049
В  1  0,0001049  0,9998951
1.3 В группе из 10 студентов, пришедших на экзамене, 3 подготовлены
отлично, 4-хорошо, 2- удовлетворительно и один плохо. В экзаменационных
билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может
ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16 вопросов,
удовлетворительно подготовленный на 10, плохо подготовленный - на 5.
Найти вероятность того, что случайно выбранный студент ответит на 2
заданных вопроса.
Вероятность ответа на вопросы:
3
 0,3
10
4
 0,4
Ударника
10
2
 0,2
Троечника
10
Отличника
Двоечника
1
 0,1
10
Вероятность ответа на 2 вопроса:
20 19
 1
20 19
16 15
Ударника   0,6315
20 19
10 9
Троечника   0,3268
20 19
5 4
Двоечника   0,0526
20 19
Отличника
Определим вероятность ответа на 2 вопроса случайного студента
0,3  1  0,4  0,6315  0,2  0,2368  0,1  0,0526  0,6051
2.
2.1. Две монеты бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 2 «герба» выпадут:
а) 2 раза; б) хотя бы один раз.
а) Возможные варианты (ГГ, ГР, РГ, РР)
А – вероятность появления двух гербов
Р( А)  р 
g
1
- вероятность события А
4
3
- вероятность не появления события А
4
По формуле Бернулли
Р
к
n
(К )  C n 
к
р g
nк
находим вероятность выпадения двух гербов
Р
7
(2) 
7 6 1 33333
 
 0,3114
1  2 16 4  4  4  4  4
б) Перейдем от прямого события В – выпадение двух “гербов”, к
противоположному В - ни одного выпадения двух “гербов”.
1
- вероятность выпадения при одном броске.
4
3
Р1( В ) =
- вероятность невыпадения при одном броске.
4
Р1(В) =
3
Р7( В ) =  
4
7
Р7(В) = 1- Р7( В ) = 1- 0,133 = 0 .827
2.2 Вероятность попадания при одном выстреле 0,7. Найти вероятность того,
что при 100 выстрелах будет: а) 70 попаданий; б) не менее 70 попаданий.
a  100, k  70, p  0,7, q  0,3
n
а) По локальной теореме Лапласа
P100 (70) 
1
  ( x), x 
npq
70  100  0,7
k  np
npq
 0;  (0)  0,3989
100  0,7  0,3
1
P100 (70) 
 0,3989  0,087
100  0,7  0,3
x
б) не менее 70 раз
Интегральная теорема Лапласа
x1 
x2 
k1  np

npq
k 2  np
Ф(0) =
npq

70  100  0,7
100  0,7  0,3
100  100  0,7
100  0,7  0,3
0
 6,54
; Ф(6,54) = .
P100 (70;100) 
3
Построить закон распределения случайной величины Х и определить
числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение) случайной величины.
Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 35-го размера,
равна 0,6. Вошли 3 покупателя. Случайная величина X—число
покупателей, которым нужна обувь 35-го размера.
Возможные величины числа – Х;
Х1 = 0 – ни одному покупателю не нужна обувь 35 го размера,
Х2 = 1 – одному покупателю нужна обувь 35 го размера,
Х3 = 2 – двум покупателям нужна обувь 35 го размера,
Х4 = 3 – трем покупателям нужна обувь 35го размера.
Вероятность этих значений находим по теореме о повторении опытов.
Р1 = 0,43 = 0,064, 0,4 – вероятность того, что ни одному покупателю не
нужна обувь 35го размера.
Р2 =
С
Р3 = С
1
3
2
3
 0,6  0,4 2 = 0,288
 0,6 2  0,4 = 0,432
Р4 = 0,63 = 0,216
Построим ряд распределения величины Х
Рис 1.
В данном случае мы имеем биноминальное распределение, поэтому М(х)
– математическое ожидание и Д(х) – дисперсию можно вычислить по
формулам;
М(х) = n  p = 3  0,6  1,8
Д(х) = n  p  q  3  0,6  0,4  0,72
σ(х) = Д (х) = 0,72  0,848
4.
Случайная величина X задана функцией распределения F(x).
Найти плотность распределения вероятностей, математическое
ожидание и дисперсию случайной величины.
0 при х ≤ 0,
F (x) = x2 при 0 < х ≤ 1,
1 при х > 1.
Плотность распределения определяется по формуле
ƒ(x) =F′(x), отсюда
0 при х  0


ƒ(x) = 2 х при 0  х  1
0 при х  1



Математическое ожидание определяется по формуле

 хf ( x)dx , отсюда
М ( х) 

1
М ( х)   х 2 xdx 
0
2
3
Определим дисперсию случайной величины через ее второй начальный
момент
2
D(x) = а 2  m х

a2 
x
2
f ( x)dx , отсюда

1
a  x
2
2
2 xdx 
0
1
2
2
D(x) =
1 2
1
  
2 3
18
5.
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Получены 100 значений непрерывной случайной величины X.
1) Построить группированный (интервальный) статистический ряд.
2) По полученному интервальному ряду построить гистограмму.
3) 0пределить точечные оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения.
4) Считая, что распределение случайной величины X,
является нормальным, найти с надежностью =0,95 интервальные оценки
для математического ожидания и среднего квадратического отклонения Х.
Вариант 1
22
40
27
47
23
52
4
49
26
10
49
41
27
40
38
38
31
30
25
19
18
37
32
29
19
32
18
50
30
35
44
18
34
28
29
49
19
13
53
27
52
40
28
29
27
43
17
33
46
22
31
25
40
3
32
25
23
46
30
38
18
38
31
27
21
16
6
26
11
32
20
46
20
12
21
33
36
37
40
41
27
37
22
41
13
22
40
30
40
21
35
50
25
24
40
6
12
46
24
46
Выбор количества промежутков k интервального ряда.
По правилу Старджесса
k = 1+3,3
lg n = 1+3,3∙2 ≈ 8
Определение ширины h частотного интервала
Хmin = 3
Xmax = 53
Пусть Δ = 0,6, тогда интервал значений (2,4; 53,6)
h=
53,6  2,4
 6,4
8
Получили следующие границы частичных интервалов
2,4 ; 8,8 ; 15,2 ; 21,6 ; 28 ; 34,4 ; 40,8 ; 47,2 ; 53,6.
Определение частот n. По методичке определяем частоты и заносим
результаты в таблицу 1.
Номер
интервала
1
2
3
4
Границы
частичных
интервалов
2,4 – 8,8
8,8 – 15,2
15,2 – 21,6
21,6 – 28
Значения
попавшие
в интервал
3
4
6
10
11
12
13
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Подсчет
частот
Ι
I
II
I
I
II
II
I
I
IIII
III
II
III
IIII
II
II
IIII
II
IIIIII
I
частоты
Серединный
интервал
4
5,6
7
12
13
18,4
21
24,8
5
6
7
8
28 – 34,4
34,4 – 40,8
40,8 – 47,2
47,2 - 53,6
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
40
41
43
44
46
47
49
50
52
53
I
III
IIII
III
IIII
II
I
II
I
III
IIII
IIIIIIII
III
I
I
IIIII
I
III
II
II
I
Построение гистограммы.
Рис 2.
18
31,2
18
37,6
11
44
8
50,4
Определение точечных оценок числовых характеристик.
Для удобства расчетов составим таблицу 2, беря в качестве хi
середину i-того интервала и ni из таблицы 1
1
xi
hi
ai
ai ∙ni
ai2 ∙ni
1
5,6
4
-3
- 12
36
2
12
7
-2
- 14
28
3
18,4
13
-1
- 13
13
4
24,8
21
0
0
0
5
31,2
18
1
18
18
6
37,6
18
2
36
72
7
44
11
3
33
99
8
50,4
8
4
32
128
Σ
100
80
394
.
Определим выборочное среднее хв
aв =( аi ×ni )/n=0,8,
хв= aв×h + х0=0,8 × 6,4+24,8 = 29,9,
определим выборочную дисперсию
Dв(А)= ( ai2×ni )/n – aв2=3,94-0,82=3,3, тогда
Dв= h2 ×Dв(А)= 6,42×3,3=135,17.
Определим среднее квадратическое отклонение
S = Dв = 11,5
2.5. Определение интервальных оценок М(X) и σ(X)
Определим интервальные оценки М(X) и σ(X) с надежностью γ=0,95,
считая распределение случайной величины. X нормальным с найденными
непосредственно
по
выборке
объема
n=100
параметрами:
а ≈ хв =29,9; σ ≈ S=11,5.
а) Для М( X ) нормально распределенной с.в. X
δ=tγ,n·S / n , где tγ,n находим по таблице приложения 3 [1].
tγ,n =1,984 ;
δ = 1,984×11,5/10 2,3;
доверительный интервал (хв–δ, хв+δ) = (29,9 – 2,3; 29,9+2,3)
=
(27,6; 32,2).
С вероятностью 0,95 искомый параметр М (X) покрывается
доверительным интервалом (27,6; 32,2).
б) Для σ(X) нормально распределенной с.в. X доверительный интервал
имеет вид:
(S (1-q); S (1+ q)) nрu q <1; (0 ; S(1 + q) npи q >1,
где q находят по таблице приложения 4 по заданным n и γ. В нашем случае
q=0,143 <1.
Тогда доверительный интервал (11,5(1–0,143); 11,5(1+0,143)) или
(9,85; 13,14).
С вероятностью 0,95 искомый параметр σ(X) покрывается
доверительным интервалом ( 3,40; 4,54).