КОЛЛОКВИУМ № 1 ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КОЛЛОКВИУМ № 1 ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
специальность «Менеджмент организаций», 1 курс, 2-й семестр, 2008/2009 уч.год
ПРОГРАММА
1. Модуль вещественного числа, его свойства. Что представляют собой множества, описанные
неравенствами: |x|<6; |x-3|>4; |x+2|=5; |x-4|2; |x|3 . …
2. Окрестности числа и бесконечно удаленной точки (определения и примеры). Уметь записать окрестности заданных точек при различных значениях >0.
3. Четность-нечетность функций (определения, свойства графиков; уметь проверить наличие свойств).
4. Ограниченность функции (определения, примеры ограниченных и неограниченных функций).
5. Числовая последовательность как функция. Предел числовой последовательности
6. Понятие о монотонной и ограниченной числовой последовательностях, теорема о пределе монотонной
ограниченной последовательности. Число «e», функции «экспонента» и «натуральный логарифм».
7. Различные определения предела функции (на языке окрестностей, на языке - для конечного и
бесконечного предельных значения, частные случаи, напр. lim f ( x)  3 , lim f ( x )   ,
x 1
x  1
lim f ( x)   ).
x  
8. Конечный предел функции (определение) и его единственность (с доказательством).
9. Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел (доказывать). ]
10. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах (формулировка, применение).
11. Бесконечно малые функции, их свойства (c доказательством). Уметь обоснованно (с учетом свойств)
показывать, что данная функция является бесконечно малой (например, для функций f(x)=sinx/(x+1) в
окрестности x=0; f(x)=tg(x-1)+x-1 в окрестности x=1).
12. Бесконечно большие функции, их свойства. Уметь обоснованно (с учетом свойств) gоказывать, что
данная функция является бесконечно большой (например, для функций f(x)=cosx+x при x;
f(x)=x+(1/x) при x).
13. Бесконечно малая и бесконечно большая функции, теорема о связи между ними (доказывать).
14. Бесконечно малые функции (определение), лемма о представлении функции, имеющей конечный
предел (доказывать).
15. Теорема об арифметических действиях с пределами функций (формулировка)
16. Эквивалентные функции, примеры. Уметь доказывать с помощью определения, что две
предложенных функции эквивалентны (например, f(x)=sin6x-sin2x, g(x)=4x при x0).Теорема о замене
эквивалентных функций (формулировка), цепочки эквивалентностей.
17. Односторонние пределы (определения), теорема о связи с обычным пределом. Вычисление
односторонних пределов, выводы о существовании и значении обычного предела
ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЯ
БИЛЕТ №
За ответы на вопросы 1-6 дается по 0,5 балла, за ответ на вопросы 7-8 по 1 баллу, за решение задач 9-10
по 1,5 балла, за полное и аккуратное доказательство теоремы в вопросе 11 2 балла.
Критерии оценок: от 4 до 6 баллов «3», от 6,5 до 8 баллов «4», от 8,5 баллов – «5»
Задание
1. Выберите четные функции из предложенных
2. Неравенство |x-1|<2 соответствует утверждению
Ответ
А) f ( x)  x 2  2
В) f ( x)  x 2  2 x
А) x  (2;2)
В) x  [1;3]
Б) f ( x)  cos x  x 2 , x  (0,2)
Г) f ( x )  1 / x 2
Б) x  (1;3)
Г) x  (1;3)
3. Какие из функций являются бесконечно малыми
при x  0 ?
А) f ( x)  x 2  1
Б) f ( x)  xex
В) f ( x)  x 2  x
Г) f ( x )  sin( x  1)
А) f(x) ограничена на множестве X, если  С>0:
|f(x)|C при всех xX
Б) f(x) ограничена на множестве X, если  С>0:
f(x)C при всех xX
4. Выберите неправильное утверждение из
предложенных
В) f(x) ограничена на множестве X, если  С,с:
с f(x)C при всех xX
А) Для любого >0 и любого >0 |f(x)-3|< при
5. lim
x  3
0<|x+3|< (xD(f))
Б) Для любого >0 найдется >0: |f(x)+3|< при
0<|x-3|< (xD(f))
В) Для любого E>0 найдется >0: |f(x)-3|< при
0<|x+3|< (xD(f))
Г) Для любого E>0 найдется >0: |f(x)-3|< при
|x-3|< (xD(f))
f ( x )  3 , если
А) конечная сумма бесконечно больших функций
является функцией, бесконечно большой
Б) конечное произведение бесконечно больших
функций является бесконечно большим
В) конечная сумма бесконечно малых функций
является функцией, бесконечно малой
Г) конечное произведение бесконечно малых
функций является функцией, бесконечно малой
6. Какое из утверждений ошибочно?
7. Сформулируйте теорему об арифметических
действиях с пределами функций
8. Сформулируйте теорему «о двух милиционерах»
 x 1

 x 1
 2
10. Найдите lim 1  
n
n  
9. Постройте график f ( x )  sgn 
n
11. Сформулируйте и докажите теорему о связи
между бесконечно малыми и бесконечно большими
функциями
КОНТРОЛЬНАЯ № 1
ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЯ
Критерии оценки: «3» - от 7 балов; «4» - от 10,5 баллов, «5» - от 13,5 баллов
1. Найти без применения правила Лопиталя:
а) lim
n 
9n 4  3n 2  2
2
2n  5n  1
(1б);
б) lim
x3 3
x  6 x 2  4 x  12
2. Охарактеризовать точки разрыва функции f ( x ) 
3. Найти
(1б);
1  cos 2 x
x 2  3x 3
в) lim
x  2
(2б)
sin x  sin 2
8  x3
(2 б)
cos( x 2 )
3
б) f ( x)  x  3x 2  2 x  4 , df
(2 б)
, f ' ( x)  ? , (1б);
x 1
11  5 x
в) f ( x)  x  (1  x)arctg x ., f ' ' (1)  ? (2 б);
г) f ( x)  ln (32 x  2 x 3 ) f ' ( x)  ? (1б)
а). f ( x) 
e 2 x  cos 3 x  x
4. Найти с помощью правила Лопиталя: а) lim
(1б); б) lim x 4 ln x (2б)
sin 5 x
x 0
x  0
КОЛЛОКВИУМ № 2 ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
для студентов 1 курса экономфака, «Менеджмент организаций»», 2008/2009 учебный год, 2-й семестр
ПРОГРАММА
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Приращения аргумента и функции, определение функции, непрерывной в точке и на множестве,
критерий непрерывности (доказывать).
2. Основные теоремы о непрерывных функциях (формулировки).
3. Знать определения и уметь охарактеризовать точки разрыва.
4. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, физический смысл
производной, дифференцируемость функции в точке и на множестве.
5. Геометрический смысл производной (доказать), уравнение касательной, проходящей к графику
заданной функции в указанной точке (составление для заданной функции, например, написать уравнение
касательной к графику функции y  ln( 2 x 2  1) в точке с абсциссой x0=1).
6. Дифференциал функции: критерий дифференцируемости (доказывать), определение
дифференциала, его геометрический смысл
7. Основные правила дифференцирования (теоремы о производной суммы, произведения, частного –
доказывать, производная сложной функции – только формулировка).
8. Вывод производных функций y=sin x, y=cos x, y=tgx, y=ctgx.
9. Таблица производных, понятие о производных и дифференциалах старших порядков.
10. Определения производной функции в точке, непрерывности функции в точке, теорема о связи между
непрерывностью и дифференцируемостью (доказывать).
11. Теорема Лагранжа (только формулировка!), два следствия (с доказательством).
12. Определения строгой и нестрогой монотонности функции одного переменного, критерий нестрогой
монотонности (уметь доказать необходимость и достаточность для обоих случаев), критерий строгой
монотонности (формулировки) и его следствие.
13. Определения точек экстремума и экстремумов функции (локальных максимума и минимума).
14. Необходимое условие точки экстремума (доказать для точки максимума и точки минимума).
15. Формулировки первого и второго достаточных условий точки экстремума, их применение.
16. Понятие об абсолютном экстремуме, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке и в интервале, в том числе для прикладных задач
17. Направления выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой функций),
теорема о связи со знаком второй производной (формулировка).
18. Определение точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условие (формулировки).
19. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции: знать определения и уметь найти.
ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ, ПРОВЕРЯЮЩИХ ЗНАНИЕ ТЕОРИИ
1) Определять характер точек разрыва предложенных функций, например,
f ( x) 
| x 3|
x 2  5x  6
,
2 x  3, при x  1
2 x  3, при x  1
1
f ( x)   2
, f ( x)  
, f ( x) 
).
2
1  3 x /( x  3)
 x , при x  1
 x , при x  1
2) Составить уравнение касательной к графику заданной функции; считая, что угол между линиями
можно рассматривать как угол между касательными к их графикам, проведенными в точке пересечения
линий, найти угол между заданными кривыми например, между графиками функций y  x 3 , y  x 2 .
3) Найти по определению дифференциалы для y=x2, y=x3 в фиксированной точке x0.
4) Уметь применить следствия теоремы Лагранжа, например, доказать, что arcsin x  arccos x  const на
интервале (0;1)
5) Найти стационарные и критические точки предложенных функций.
6) Используя второе достаточное условие, найти точки экстремума функций и определить их вид,
например, для функций y  x  2 sin 2 x , y  x 2 e  x .
7) Уметь решать прикладные задачи, например: Издержки производства товара определены функцией
g ( x)  4  15 x , цена на товар - функцией f ( x)   x 2  20 x  2 , причем x - объем производства - может
меняться в пределах от 10 до 20 тысяч штук. Определить максимально возможную прибыль.
8) Уметь найти асимптоты графика функций
y
x3
3
; y  x 2  1 ; y  x 3  6x 2
1 x
ОБРАЗЦЫ ЗАДАНИЙ
БИЛЕТ № 1
1. Понятие о направлениях выпуклости графика непрерывной функции
2. Сформулировать геометрический смысл производной, составит уравнение касательной, проведенной к
графику функции y  9  x 2  2 x 3 в точке с абсциссой x0  1 .
3. Сформулировать и доказать теорему о производной частного.
4. Найти вертикальные асимптоты графика функции f ( x) 
sin x
x 2  2x
, определить поведение графика
вблизи этих асимптот.
5. С помощью второго достаточного условия экстремума найти и охарактеризовать точки экстремума
функции y  2 sin x  cos 2 x , лежащие на отрезке [0;2]
БИЛЕТ № 2
1. Дайте определения возрастающей строго и нестрого функции, сформулируйте критерии строгого и
нестрогого возрастания.
2. Сформулируйте следствия теоремы Лагранжа, докажите, что на любом отрезке [a;b] выполняется
равенство ln  x 

x 2  1   ln  x  x 2  1   const .



3. Дайте определения производной функции в точке и на множестве, выведите формулы для нахождения
производных функций y  sin x и y  tgx .
4. Найти уравнения касательных к графику функции y  4 x  x в точках пересечения графика с осью
2
ОХ.
 2 x  1, при x  0
 sin x
5. Охарактеризуйте точки разрыва функции f ( x )  
, при 0  x  2
 x
 2 x-3, при x  2
КОНТРОЛЬНАЯ № 2
ПРОГРАММА
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Первообразная, теорема о первообразной (с доказательством)
2. Свойства неопределенного интеграла (с доказательством)
3. Теорема об интегрировании по частям для неопределенного интеграла (с доказательством)
4. Определенный интеграл от непрерывных функций и его основные свойства (с доказательством).
5. Построение интегральной суммы, понятие об определенном интеграле как пределе интегральных сумм.
Интегрируемые функции.
6.Интеграл с переменным верхним пределом (определение, случай интегрируемой функции и случай
непрерывной функции)
7. Геометрический смысл определенного интеграла (понятие криволинейной трапеции, формула для
вычисления площади криволинейной трапеции).
8. Понятие о несобственных интегралах с конечной и бесконечной особой точкой и их сходимости.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Определение интервалов монотонности и нахождение точек экстремума и экстремумов функции
одного переменного.
2. Определение наибольшего и наименьшего значений функции одного переменного на указанном
отрезке.
3. Определение направлений выпуклости графика функции одного переменного.
4. Нахождение неопределенных и определенных интегралов (табличные, внесение под знак
дифференциала, интегрирование по частям, замена переменной в линейных иррациональностях, в
выражениях с квадратным трехчленом, интегрирование простейших тригонометрических функций)
5. Определение площадей фигур, ограниченных графиками заданных функций, например:
а) y  x 2 , yx  8, x  0, y  16 ; б) y  x 2  1, y  x  3 ;
в) y  x 2 , yx  8, y  8 , ( y  8 / x) ;
г) y  4 x, yx  1, y  0, x  2 ; д) y  x 2 , y  x  6, y  0

6) Проверка по определению сходимости несобственных интегралов, например:

1
1
dx

dx

 x2 ;  x2 ; 
0
1
1
dx
x
1
;

0
dx
;
x
1

0
dx
;
x

dx
 x2 ;
1
dx
x
ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЯ
Критерии: «3» - от 7,5 баллов; «4» - от 11,5 баллов, «5» - от 14,5 баллов (из 16)
1. Найти точки перегиба и определить направления выпуклости графика функции f ( x)  e
2. Понятие об определенном интеграле как пределе интегральных сумм (1,5 б)
3. Сформулировать и доказать свойство линейности для неопределенного интеграла (2 б)
4. Найти: а)
x
 sin 2 x  x  5e dx (1б);
4
г)

1
dx
(1,5 б);
2x  x
б)
д)

x 2 dx
sin xdx
cos 2 x  4
 x 2  4 x  1 (2 б)
 x2
(1,5 б)
1

в) xe5 x dx (1,5 б);
(1 б);
0
е)
 arccosxdx (2 б)
5. Определить площадь области, ограниченной графиками функций xy  9, y  x  10, y  x ( y  x ) (2б)