РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Ишиме
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050502.65 Технология и предпринимательство
заочной формы обучения
1
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине Математика
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050502.65 Технология и предпринимательство
заочной формы обучения
Автор(-ы): Теплова В.Д.
Должность
ФИО
Дата
согласования
Заведующий
кафедрой
Мамонтова
Т.С.
16.10.2014
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г.Ишиме
Поливаев
А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Начальник ОИБО
Гудилова
Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
2
Результат
согласования
Рекомендовано
к электронному
изданию
Примечание
Протокол заседания
кафедры от 16.10.2015
№2
Протокол заседания
УМС от 11.11.2015
№3
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г. Ишиме
Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования
Теплова Валентина Давыдовна
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050502.65 Технология и предпринимательство
заочной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
Теплова В.Д. УМК по дисциплине Математика
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050502.65 Технология и предпринимательство
заочной формы обучения. Тюмень, 2014.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Математика
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная
деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и
профессионально-технологического образования.
Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР Мамонтова Т.С., к.п.н., доцент
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Теплова В.Д., 2014.
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова"
УТВЕРЖДАЮ
Ректор ФГБОУ ВПО «ИГПИ
им. П.П. Ершова»
_______________
«___» ______________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
МАТЕМАТИКА
050502 – Технология и предпринимательство
Ишим 2011
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
УТВЕРЖДЕНО
На заседании кафедры
математики, информатики и МП
Протокол № 2 от «20» октября 2011 г.
Зав. кафедрой
_______________
роспись
Т.С. Мамонтова
И.О.Ф. зав. кафедрой
УТВЕРЖДЕНО
На заседании УМК факультета
Протокол № 2 от «22» октября 2011 г.
Председатель Совета
_______________ ____Е.В. Ермакова__
роспись
И.О.Ф. председателя
СОГЛАСОВАНО
«23» октября 2011 г.
Зав. библиотекой
_______________ ___Л.Б. Гудилова___
роспись
И.О.Ф. начальника ОИБО
ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ с «1» ноября 2011 г.
РАЗРАБОТАН ассистент В.Д. Теплова________________
(наименование структурного подразделения (ий), разработавшего (их) документ или руководитель
рабочей группы и ее члены)
РЕЦЕНЗЕНТЫ
_______ к.ф.-м.н., доцент В.Н. Алексеев ________________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
_______ к.ф.-м.н., профессор Н.С. Гусельников __________________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
Периодичность ПЕРЕСМОТРА – 1 раз в год
Программа составлена на основе ГОС ВПО «31» января 2005
Номер государственной регистрации729 пед/маг (новый)
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
Содержание
I. Программа дисциплины ……………………………………………………………………
1. Выписка из ГОС ВПО ………………………………………………………………
2. Введение……………………………………………….................................................
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины………....................
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины ……………………………..
2.3. Требования к организации дисциплины…………………………………...
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы ……………………………...
II. Содержание дисциплины …………………………………………………………….........
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий……………………………………
2. Материально-техническое оснащение дисциплины ……………………………
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов……………………
1. Организация аудиторной работы студентов ………………………………….....
1.1. Краткий курс лекций………………………………………………………..
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним…….
2. Организация самостоятельной работы студентов ……………………………...
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины………………………..……….
3.1. Основная литература………………………………………………………..
3.2. Дополнительная литература………………………………………………..
3.3. Электронные ресурсы ………………………………………………………
4. Методические рекомендации для преподавателя ………………………………
5. Методические рекомендации для студента ………………………………………
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля ………………………………
1. Варианты контрольных работ ……………………………………………………..
2. Вопросы к экзамену……………………………………………………….…………
3. Темы курсовых работ …………………………………………………………….....
V. Терминологический минимум …………………………………………………………….
1. Основные термины и понятия курса ……………………………………………..
Лист регистрации изменений и дополнений ……………………………………………….
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
I. Программа дисциплины
1. Выписка из ГОС ВПО
Аналитическая геометрия и линейная алгебра; дифференциальное, интегральное
исчисления, гармонический анализ; дифференциальные уравнения; численные методы;
функции комплексного переменного; элементы функционального анализа; вероятность и
статистика: теория вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка
гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
2. Введение
Рабочая программа (РП) дисциплины «Математика» разрабатывался на основе
требований ГОС ВПО в соответствии с нормативно-правовыми актами, учредительными и
нормативными документами ФГБОУ ВПО ИГПИ.
Математические методы исследования проникают во все области человеческой
деятельности. Поэтому подготовка будущих учителей биологии и географии тесно связанна с
получением соответствующих математических знаний и практических навыков. Целью
преподавания математики является ознакомление студентов с основами математического
аппарата, используемого при изучении естественных дисциплин. Кроме того, изучение
математики способствует развитию логического мышления, пространственных представлений,
навыков математического моделирования и исследования явлений и процессов различной
природы, способствует трудолюбию при приобретении соответствующих навыков.
Цель преподавания математики при подготовке учителя технологии и
предпринимательства является ознакомление студентов с основами математического аппарата,
используемого при изучении естественных дисциплин, (физики, химии), а также целого ряда
общетехнических, технологических, графических и предпринимательских дисциплин. Кроме
того, изучение высшей математики способствует развитию логического мышления,
пространственных представлений, навыков математического моделирования и исследования
явлений и процессов различной природы.
Предполагается, что в курсе высшей математики будет изучаться не в стиле его полной
математической обоснованности строгости, а в стиле, достаточном для применения
математических знаний при изучении других курсов и в будущей профессиональной
деятельности. Построение курса предполагает ограничиться доказательством небольшого числа
теорем с целью продемонстрировать основные методы доказательства в каждом конкретном
разделе с последующим обзором результатов теории и областей их применения.
РП дисциплины «Математика» предназначен для студентов педагогического института
факультета технологии и предпринимательства. РП включает планы практических занятий и
методические рекомендации к ним; вопросы (тесты) для самоконтроля; организацию СРС и ее
методическое обеспечение; материалы входного и итогового контроля; терминологический
минимум (терминологический словарь).
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины
Цель дисциплины - развитие логического и алгоритмического мышления, выработка
умения самостоятельно расширять и углублять математические знания; освоение необходимого
математического аппарата, помогающего анализировать, моделировать и решать прикладные
задачи; формирование у студента начального уровня математической культуры, достаточного
для продолжения образования, научной работы или практической деятельности,
методологических основ для формирования целостного научного мировоззрения, отвечающего
современному уровню развития человеческой цивилизации..
Задачи преподавания и изучения дисциплины:
– выработать умения и навыки вычисления пределов, нахождения производных и
интегралов;
– научить применять математические методы для решения задач, нахождения
геометрических и физических величин;
– познакомить с современными направлениями развития математики и ее
приложениями.
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный и научно-методический виды
профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых задач
профессиональной деятельности:
в области учебно-воспитательной деятельности:
– осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой;
– планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов
программы и в соответствии с учебным планом;
– использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств
обучения;
– использования технических средств обучения, информационных и компьютерных
технологий;
– применение современных средств оценивания результатов обучения;
– воспитание учащихся как формирование у них духовных, нравственных ценностей и
патриотических убеждений на основе индивидуального подхода;
в области научно-методической деятельности:
– выполнение научно-методической работы, участие в работе научно-методических
объединений;
– анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и повышения своей
квалификации.
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины.
После изучения дисциплины «Математика» студент
знает:
• фундаментальные основы высшей математики, включая алгебру, геометрию,
математический анализ, теорию вероятностей и основы математической статистики;
умеет:
• самостоятельно использовать математический аппарат, содержащийся в литературе
по естественным наукам, расширять свои математические познания;
владеет:
• культурой мышления;
• культурой математической речи;
• первичными навыками и основными методами решения математических задач из
естественнонаучных и специальных дисциплин профилизации;
• сознанием важной роли математики в системе других наук.
2.3. Требования к организации дисциплины
Дисциплина «Математика» предусматривает проведение лекций и практических
занятий.
Основное содержание лекций - изложение теоретических основ дисциплины,
иллюстрация основных теоретических положений примерами применения, образцами решения
типовых задач.
Практические занятия посвящаются, главным образом, актуализации знаний и выработке
умений и навыков работы с понятиями и методами математики. Формы актуализации знаний и
решения заданий на практических занятиях разнообразны: самостоятельное повторение, опрос
дискуссии, самостоятельное решение, доклады по решению.
Контроль знаний проводится в виде оценки качества написания контрольных работ по
основным разделам дисциплины и сдачи зачета и экзамена.
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Таблица 1
Вид учебной работы
Аудиторные занятия
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа студента
Контрольные работы (КР)
Общая трудоемкость дисциплины
Вид итогового контроля
Всего
часов
Часов на курсе
1
2
26
26
200
334
зачет
экзамен
252
зачет
экзамен
2
2
78
+
82
экзамен
II. Содержание дисциплины
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий
Замечание: ЛК – лекции, ПР – практические занятия, СРС – самостоятельная работа
студентов, ВС – всего часов.
Таблица 2
Раздел
Содержание раздела
ЛК ПР
СРС ВС
1 курс
Элементы линейной и
Аналитическая геометрия и линейная
векторной алгебры
алгебра. Векторы, линейные операции
над векторами. Координаты вектора,
длина вектора. Деление отрезка в данном
отношении. Скалярное, векторное и
смешанное
произведения
векторов.
Примеры применения векторов
к
3
2
24
29
решению геометрических задач на
плоскости и в пространстве. Матрицы и
действия над ними. Определители 2 и 3
порядка, их свойства. Системы линейных
уравнений с двумя и тремя переменными,
методы их решения (формулы Крамера и
матричный метод.)
Элементы
Прямая
линия.
Различные
виды
аналитической
уравнений
прямой
на
плоскости.
геометрии
Взаимное расположение двух прямых на
плоскости. Расстояние от точки до
прямой. Кривые второго порядка:
окружность,
эллипс,
гипербола,
2
2
24
28
парабола. Плоскость. Различные виды
уравнений прямой и плоскости в
пространстве. Взаимное расположение
двух плоскостей, двух прямых, прямой и
плоскости в пространстве. Поверхности
второго порядка.
Введение в анализ
Множества, операции над множествами.
4
4
24
32
Система действительных чисел. Модуль
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
действительного числа. Комплексные
числа и действия над ними. Функция
одной
переменной.
Основные
элементарные
функции.
Последовательности.
Предел
последовательности. Предел функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие
функции. Основные теоремы о пределах.
Эквивалентные
бесконечно
малые
функции в точке. Непрерывность
функции. Точки разрыва. Свойства
функций, непрерывных на отрезке.
Дифференциальное
Дифференциальное,
интегральное
исчисление функции
исчисления. Производная функция, ее
одной переменной
геометрический и физический смысл.
Правила
дифференцирования.
Производная
сложной
функции,
параметрически
заданной
функции.
Производные основных элементарных
функций.
Дифференциал
функции.
Теоремы
о
дифференцируемых
функциях: теорема Ферма, теорема
Ролля, теорема Лагранжа. Правило
Лопиталя.
Производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Исследование функции с помощью
производной: монотонность, экстремум,
выпуклость
и
вогнутость,
точки
перегиба.
Асимптоты
функции.
Построение графиков. Наибольшее и
наименьшее значения функции на
отрезке.
Дифференциальное
Функция
нескольких
переменных:
исчисление функции
основные
понятия.
Частные
нескольких переменных производные. Полный дифференциал.
Касательная к пространственной кривой.
Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
Частные
производные
высших порядков. Дифференцирование
неявной функции. Производная по
направлению.
Градиент.
Экстремум
функции нескольких переменных.
Интегральное
Первообразная
функции.
исчисления
функции Неопределенный интеграл. Свойства
одной переменной
неопределенного интеграла.
Таблица
основных интегралов. Основные методы
интегрирования:
непосредственное
интегрирование, интегрирование по
частям,
замена
переменной.
Интегрирование дробно-рациональных
функций.
Интегрирование
тригонометрических
функций.
4
4
26
34
2
2
24
28
3
4
26
33
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
Определенный интеграл, его основные
свойства.
геометрический
смысл
определенного
интеграла.
Формула
Ньютона-Лейбница.
Приложения
в
естествознании.
Основы
векторного Поверхностные интегралы, Векторное
анализа
поле, его дивергенция и ротор. Поток
векторного поля через поверхность.
Формула
Остроградского-Гаусса.
Формула Стокса.
Числовые и степенные Гармонический анализ. Числовые ряды.
ряды
Сумма ряда. Сходимость и расходимость
рядов. Сходства сходящихся рядов.
Необходимый
признак
сходимости.
Числовые ряды с положительными
членами и достаточные признаки их
сходимости
(признаки
сравнения,
Даламбера, Коши). Достаточный признак
сходимости знакочередующегося ряда
(признак Лейбница). Абсолютная и
условная сходимость знакочередующихся
рядов. Остаток числового ряда и его
оценка. Функциональные ряды: основные
понятия. Степенные ряды, их свойства.
Радиус и интервал сходимости степенного
ряда. Ряды Тейлора элементарных
функций. Приложение степенных рядов к
приближенным вычислениям.
Численные методы;
Комплексные числа в алгебраической и
функции комплексного тригонометрической
формах.
переменного
Арифметические
операции
с
комплексными числами. Действия над
комплексными
числами
в
тригонометрической форме. Элементы
функционального
анализа
Ряды
комплексных
чисел.
Ряд
Тейлора
функций комплексного переменного.
2 курс
Дифференциальные
Дифференциальные
уравнения:
уравнения
основные понятия. Дифференциальные
уравнения
1-го
порядка:
с
разделяющимися
переменными,
однородные,
линейные.
Дифференциальные
уравнения
2-го
порядка. Понижение порядка. Линейные
дифференциальные
уравнения
2-го
порядка: однородные и неоднородные.
Структура общего решения линейного
однородного
дифференциальные
уравнения
2-го
с
постоянными
коэффициентами. Структура общего
решения
неоднородного
уравнения.
2
2
24
28
4
4
20
28
2
2
8
12
29
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
Элементы теории
вероятностей
Элементы
математической
статистики
Метод неопределенных коэффициентов.
Дифференциальные
уравнения
в
естествознании.
Элементы теории вероятностей и
статистики. События, операции над
событиями, виды событий. Классическое
и
геометрическое
определения
вероятности.
Статистическое
определение вероятности. Элементы
комбинаторики.
Совместимые
и
несовместимые
события.
Теорема
сложения. Зависимые и независимые
события. Теорема умножения. Условная
вероятность.
Полная
вероятность.
Формула Бейеса. Биномиальный закон
распределения случайной величины.
Формула Бернулли. Формула Пуассона.
Формула Лапласа. Случайные процессы
(величины): дискретная и непрерывная.
Математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратическое отклонение,
функция распределения вероятностей.
Некоторые
законы
распределения
случайной
величины:
равномерное,
нормальное,
показательное.
Закон
больших чисел.
Генеральная совокупность и выборка.
Статистическое распределение выборки.
Полигон. Гистограмма. Статистическое
оценивание и проверка гипотез Оценки
параметров генеральной совокупности по
ее выборке: генеральная и выборочная
средние, генеральная и выборочная
дисперсии, несмещенная, состоятельная,
эффективная оценки. Доверительные
интервалы для параметров нормального
распределения:
надежность,
доверительный интервал, доверительный
интервал для математического ожидания
при известном среднем квадратическом
отклонении, при неизвестном средним
квадратическом
отклонении,
доверительный интервал для среднего
квадратического
отклонения.
Статистические
методы
обработки
экспериментальных данных Проверка
статистических
гипотез.
Линейная
корреляция.
ИТОГО:
2
2
20
29
28
28
278
2. Материально-техническое оснащение дисциплины
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются необходимые учебные и
методические пособия; технические средства обучения (компьютеры, мультимедиа-проектор,
электронная доска, соответствующее программное обеспечение).
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
1. Организация аудиторной работы студентов
1.1. Краткий курс лекций
В библиотеке института и на кафедре математики, информатики и МП имеется
необходимое количество учебной литературы по данной дисциплине. Тематика лекций
соответствует содержанию разделов дисциплины (раздел II)/
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним
.
План практического занятия №1
Тема: Матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го
и 3-го порядка.
1. Необходимо изучить теоретический материал:

лекции по соответствующей теме;
2. Контрольные вопросы:
 определение матрицы п-го порядка;
 определение определителя второго порядка;
 какими свойствами обладают определители второго порядка;
 определение определителя третьего порядка;
 какими правилами пользуются для вычисления определителя 3го порядка.
3. Решить на занятии:
№ 15.26, № 15. 31-15.36, №15.39, №15.48, №15.49, №15.53, №15.55
из [3].
4. Домашнее задание:
№15.47, №15.54, №15.65 из [3].
План практического занятия №2
Тема: Решение систем линейных уравнений.
1. Необходимо изучить теоретический материал:

лекции по соответствующей теме;

глава 10 §§2, 3 из [2];
2. Контрольные вопросы:
 формула для вычисления обратной матрицы;
 матричный метод решения систем линейных уравнений;
 формулы Крамера для решения систем линейных уравнений;
 метод Гаусса в решении систем линейных уравнений.
3. Решить на занятии:
№15.67, №16.10, №16.12, №16.16, №16.24 из [3].
4. Домашнее задание:
Решить тремя способами системы линейных уравнений из [3]
№16.19, №16.23.
План практического занятия №3
Тема: Векторы, действия над векторами.
1. Необходимо изучить теоретический материал:

лекции по соответствующей теме;
a. Контрольные вопросы:
 определение вектора;
 операции над векторами(сложение, вычитание, умножение
вектора на число);
 как найти угловой коэффициент прямой, если прямая задана
уравнением общего вида?
 какие векторы называются коллинеарными, компланарными?
 какие векторы называются равными?
 определение скалярного произведения векторов;
 свойства скалярного произведения векторов;
 что называется векторным произведением двух векторов,
каковы его свойства и геометрический смысл?
 что называется смешанным произведением двух векторов,
каковы его свойства и геометрический смысл?
 скалярное, векторное, смешанное произведение векторов в
координатной форме;
 в чем заключается условие компланарности векторов,
перпендикулярности векторов;
3. Решить на занятии:
№3.2, №3.6, №3.18 (1), №3.23, №3.25, №3.35, №3.56, №3.58, №3.59,
№3.81(1), №3.82(1) из [3].
4. Домашнее задание:
№3.22, №3.39, №3.46, №3.57, №3.81 (2), №3.83 из [3].
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
План практического занятия №4
Тема: Прямая линия на плоскости. Прямая и плоскость в
пространстве.
1. Необходимо изучить теоретический материал:

лекции по соответствующей теме;
2. Контрольные вопросы:
 общее уравнение прямой, его исследование;
 уравнение прямой с угловым коэффициентом;
 уравнение прямой проходящей через две точки;
 уравнение прямой, проходящей через точку в данном
направлении;
 каноническое уравнение прямой;
 как найти угол между прямыми?
 условие параллельности прямых;
 как определяется расстояние от точки до прямой?
 уравнение плоскости, его исследование;
 уравнение плоскости, проходящей через три точки;
 как убедиться в том, что данная точка лежит на данной
плоскости?
 условия
параллельности
и
перпендикулярности
двух
плоскостей;
 общее, каноническое, параметрическое уравнения прямой в
пространстве;
 каков геометрический смысл в уравнении?
 условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в
пространстве;
 как определить угол между двумя плоскостями? Между двумя
прямыми, между прямой и плоскостью?
 как найти точку пересечения прямой и плоскости?
 расстояние от точки до плоскости.
3. Решить на занятии:
№2.4, №2.12, №2.17(1), №2.18, №2.21, №2.22, №2.24, №2.26,
№2.29, №2.33, №2.41, №2.42, №2.45 из [3].
№4.1, №4.3 (1), №4.5 (1), №4.9 (1), №4.10 (1), №4.17, №4.18 (2),
№4.19, №4.29, №4.40(1), №4.41 (1), №4.47, №4.53, №4.57,
№4.52 (1), №4.63, №4.83 (1), №4.87, №4.93 из [3].
4. Домашнее задание:
№2.23, №2.27, №2.30, №2.32, №2.34, №2.37 (1) из [3].
№4.14, №4.20, №4.30 (1), №4.42 (1), №4.48, №4.54 (1), №4.68,
№4.89 из [3].
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
План практического занятия №5
Тема: Кривые 2-го порядка. Поверхности 2-го порядка.
3. Необходимо изучить теоретический материал:
- лекции по соответствующей теме;
4. Контрольные вопросы:

определения эллипса, гиперболы, параболы,
окружности;

какие координаты имеют фокусы эллипса,
гиперболы?

каковы координаты фокуса параболы;

геометрический смысл параболы;

что называется эксцентриситетом эллипса, гиперболы
и какие значения он может принимать;

уравнения асимптоты гиперболы;

общее уравнение второго порядка с тремя
переменными;

какие поверхности определяются уравнениями:
2
2
2
x
y
z
x2 y2
x2 y2 z2
;
;



1


1


 1;
a2 b2 c2
a2 b2
a2 b2 c2
x2 y2 z 2
x2 y2
 2  2  1 ; y 2  2 px ;
 2  1;
2
2
a
b
c
a
b
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
x2 y2
;



0


z

 z.
a2 b2 c2
a2 b2
a2 b2
3. Решить на занятии:
№2.48 (1,2), №2.49 (2), №2.53, №2.69, №2.73 (1), №2.92, №2.97
(1), №2.111 (1) , №2.119 (1), №2.127, №5.35, №5.39 из [3].
4. Домашнее задание:
№12.42, №12.57, №12.63, №12.72 из [4].
План практического занятия №6
Тема: Последовательность. Предел последовательности.
1. Необходимо изучить теоретический материал:
 лекции по соответствующей теме;
2. Контрольные вопросы:

определение последовательности;

способы задания последовательности;

какая последовательность называется возрастающей,
убывающей, примеры;

какая последовательность называется ограниченной сверху,
снизу, ограниченной, примеры;

определение предела последовательности, геометрический
смысл;

перечислить свойства предела последовательности;

какая последовательность называется бесконечно малой;

сформулировать теорему о взаимосвязи между бесконечно
малыми и большими последовательностями;

виды неопределенностей и способы их устранения;

пределом какой последовательности является число e?
3. Решить на занятии:
№7.2, №7.4, №7.7, №7.39, №7.43, №7.44, №7.45, №7.48, №7.49,
№7.51, из [3].
Упражнения 1,3,4,5 стр. 128 из [1].
Дополнительно:
 n3
2n 2 
2n
 ;
1. lim 2
2. lim  2

sin x ;
2n  1 
n   n  3
n   2n  1
n4
n 2 1
 n2  3 
 n 
3. lim 
4. lim  2 

n 
n   n  1 
n  
4. Домашнее задание:
№7.40, №7.42, №7.46, №7.50, №7.53, из [3].
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
План практического занятия №7
Тема: Предел функции в точке.
1. Необходимо изучить теоретический материал:
 лекции по соответствующей теме;
2. Контрольные вопросы:

определение функции, область определения, множество
значений;

способы задания функции;

определение четной и нечетной функции;

определение возрастающей и убывающей фукции;

определение ограниченной сверху, ограниченной снизу,
ограниченной функции;

определение предела функции в точке;

какая функция называется предельно малой?

свойства предела функции в точке;
0

неопределенность « » и способ ее устранения.
0
3. Решить на занятии:
№7.61, №7.63, №7.65, №7.81, №7.83, №7.160, №7.162, №7.164,
№7.166, №7.169 из [3].
Дополнительно:
x2  5x  6
x  4x  3
1. lim 2
;
2. lim 2
;
n  2 x  7 x  10
n 1 2 x  5 x  3
План практического занятия №8
Тема: Бесконечно большие функции. Пределы на
бесконечности.
1. Необходимо изучить теоретический материал:
 лекции по соответствующей теме;
2. Контрольные вопросы:

определение предела функции в точке;

определение бесконечно большой функции;

теорема о взаимосвязи бесконечно большой и бесконечно
малой функции;

определение предела функции на бесконечности;

виды неопределенностей и способы их устранения;

определение левостороннего и правостороннего предела
функции в точке.
3. Решить на занятии:
№7.70, №7.72, №7.74, №7.132, №7.133, №7.136, №7.139,
№7.147 из [3].
Упражнение 3,4,5 стр.147 из [1].
4. Домашнее задание:
№7.71, №7.73, №7.75, №7.77, №7.134, №7.135, №7.137, №7.148
из [3].
3  x  x2  9  2x  x
3. lim
;
x 2  3x  2
n2
4. Домашнее задание:
№7.62, №7.64, №7.66, №7.80, №7.82, №7.161, №7.163, №7.165
из [3].
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
План практического занятия №9
Тема: Замечательные пределы.
1. Необходимо изучить теоретический материал:
 лекции по соответствующей теме;
2. Контрольные вопросы:

первый замечательный предел;

второй замечательный предел (две формы записи);

виды неопределенностей, раскрываемых с помощью
замечательных пределов.
3. Решить на занятии:
№7.94, №7.96, №7.98, №7.100, №7.102, №7.130, №7.90, №7.93,
№7.104, №7.106, №7.108, №7.110, №7.112, №7.141, №7.143,
№7.145, №7.150, №7.155 из [3].
4. Домашнее задание:
№7.91, №7.92, №7.95, №7.99, №7.103, №7.109, №7.111,
№7.142, №7.144 из [3].
Дополнительно на повторение:
№657, №658, №660, №665, №666, №669, №673, №692, №694
из [4] часть 1.
2. Домашнее задание:
Подготовиться к аудиторной контрольной работе по технике
вычисления пределов.
№7.117, №7.119, №7.121, №7.123, №7.129, №7.151, №7.167 из [3].
План практического занятия №11
Тема: Контрольная работа по технике вычисления
пределов функции.
Вариант №1.
1.
2.
Вариант №2
 n
sin n 



lim
 2

2
n   n  1
n 1  ;
lim
т 3
n  5n  6  2n
x2  1
lim 2
2. x 1 5 x  4 x  1 ;
x
 x  4

lim 
3. ч    x  7  ;
1.
x  x6
x 3  27 ;
lim 5  2xx  2
1
План практического занятия №10
Тема:
Сравнение
бесконечно
малых
функций.
Эквивалентные бесконечно малые функции.
1. Необходимо изучить теоретический материал:
 лекции по соответствующей теме;
2. Контрольные вопросы:

определение бесконечно малой функции в точке;

определение бесконечно малой функции в точке более
высокого (более низкого) порядка малости по сравнению с другой
бесконечно малой;

определение бесконечно малых в точке одного порядка
малости, эквивалентных между собой;

теорема об отношении эквивалентных бесконечно малых
функций в точке;

знать таблицу эквивалентных бесконечно малых функций.
3. Решить на занятии:
№7.114, №7.116, №7.118, №7.120, №7.122, №7.126, №7.128,
№7.1154, № 7.158 из [3].
3.
n  2
;
4.
5.
6.
7.
lim 
sin 4
x  3x  1  x  x  4
2
2
n 

2

x
1
lim

n 3 0 
3 x
1 2

lim
ч 0
arcsin 4 x2
2
n 
3
sin 3 x
lim
x3 ;
n 0
n 1
lim



;

4.
lim
nx 0
x
2
x4
;
4x  5  x
x  11
;
2
5.
lim
x 
lim
x 0 0
6.
4  3x
3 2
3
1  cos 2 x
7.
lim
x 0
1
x
;
1  4x  1
2x
План практического занятия №12
Тема: Производная функции.
1. Необходимо изучить теоретический материал:
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
 лекции по соответствующей теме;
2. Контрольные вопросы:

определение производной функции;

правило вычисления производной;

правила дифференцирования (уметь формулировать);

таблица производных основных элементарных функций;

теорема о производной сложной функции;

теорема о производной обратной функции;

определение функции, дифференцируемой в точке;

теорема о непрерывности дифференцируемой функции;
верна ли обратная теорема? примеры;

геометрический смысл производной функции;

физический смысл производной функции.
3. Решить на занятии:
№9.1, №9.3, №9.5, №9.7, №9.11, №9.17, №9.19, №9.37, №9.39,
№9.41, №9.43, №9.45, №9.53, №9.57, №9.59, №9.62, №9.64,
№9.66, №9.69, №9.73, №9.82, №9.91, №9.92, №9.97,
№9.100, №9.105 из [3].
4. Домашнее задание:
№9.4, №9.6, №9.12, №9.18, №9.38, №9.44, №9.54, №9.60,
№9.67, №9.71, №9.74, №9.93, №9.95, №9.106 из [3].
План практического занятия №13
Тема: Дифференциальные функции. Производные и
дифференциалы высших порядков. Дифференцирование
функций, заданных параметрически.
1. Необходимо изучить теоретический материал:
 лекции по соответствующей теме;
2. Контрольные вопросы:

определение функции, дифференцируемой в точке;

определение дифференциала функции в точке;

теорема
о
связи
дифференцируемости
функции
существованием производной функции в точке;

формулы дифференциала суммы, произведения и частного
двух функций;

в чем заключается свойство инвариантности формы первого
дифференциала;

при каких условиях справедлива формула приближенных
вычислений f(x0 +∆x) ≈ f(x0) + f'(x0)∆x?

дайте определение производных высших порядков;

физический смысл производной второго порядка; дайте
определения дифференциалов высших порядков;

что такое параметрическое задание функции?

теорема
о
производной
функции,
заданной
параметрическими уравнениями.
3. Решить на занятии:
№9.130, №9.131, №9.147, №9.151, №9.156, №9.158, №9.163,
№9.166, №9.189, №9.190, №9.193, №9.197, №9.198, №9.206,
№9.211 из [3].
4. Домашнее задание:
№9.132, №9.149, №9.153, №9.159, №9.168, №9.167, №9.191,
№9.194 из [3].
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
План практического занятия № 14
Тема: "Вероятность события."
Необходимо изучить теоретический материал:
лекции по данной теме;
2.
Контрольные вопросы:
определение достоверного события;
определение невозможного события;
определение случайного события;
понятие противоположного события;
определение несовместимых событий;
понятие полной группы попарно несовместимых
событий;
классическое определение вероятности;
геометрическое определение вероятности;
статистическое определение вероятности;
определение и формула перестановок;
определение и формула размещений;
определение и формула сочетаний.
3.
Решить на занятии:
№ 1, № 2, № 3, № 4, № 5, № 6 №8 из [1].
№ 807, № 808, № 809, № 810, № 814, № 815, № 818 из [5] и др.
4.
Домашнее задание:
№ 7, № 9, № 12, № 16, № 18, № 20 из [6].
1.
1) напишите плотность распределения вероятности и схематично
постройте ее график;
2) найдите вероятность того, что
примет значения из
интервала
, где
14. Известно эмпирическое распределение выборки. Найдите
выборочную среднюю, выборочную и исправленную выборочную
дисперсию. Постройте полигон частот и график эмпирической
функции распределения.
1 3 6 9 12 15
10 12 20 25 15 10 8
15. По данным предыдущей задачи проверьте гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности по
критерию Пирсона при уровне значимости
.
16. Найдите доверительный интервал для оценки математического
ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, зная
выборочную среднюю 70,2, объем выборки
и среднее
квадратичное отклонение
.
.
.
2. Организация самостоятельной работы студентов
Таблица 3
№
1
2
3
Содержание
Работа над лекционным материалом
Выполнение домашних заданий
Форма, вид контроля
Опрос на практическом занятии.
Проверка, отчет на
практическом занятии, на
консультациях
Самостоятельное изучение отдельных Опрос на занятии, на зачете,
тем учебного материала.
проверка конспектов, опрос на
дополнительном занятии,
экзамен.
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
3.1. Основная литература
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учеб.
пособие для студентов вузов / В.Е. Гмурман. – Изд. 8-е, стер. – М.: Высшая школа, 2010. – 60
экз.
2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / В.Е. Гмурман. – Изд. 7-е, стер. – М.:
Высшая школа, 2010. – 60 экз.
3. Липчинский, А.Г. Сборник задач по математическому анализу: Введение в анализ
[Текст] / А.Г. Липчинский. – Ишим: ИГПИ им. П.П. Ершова, 2009. – 196 с. – 17 экз
3.2. Дополнительная литература.
1. Афанасьев, В.В. Теория вероятностей: учебное пособие для студентов вузов [текст]/
В.В. Афанасьев.: ВЛАДОС, 2007
2. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики [Текст]: учеб. пособие для вузов /
В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – 7-е изд., испр. – М.: Наука, 1989. – 656 с. – 133 экз.
3. Гмурман, В.Г. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. [Текст]/ Учебное пособие для студентов вузов. Изд. 5-е, стер. В.Г.
Гмурман. –М.: Высшая школа, 2001. –400с. – 5 экз.
3.3. Электронные ресурсы
1. Электронно-библиотечная система elibrary: http://elibrary.ru
2. Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных “East View”
ООО «ИВИС»: http://www.eastview.com/
3. Электронный справочник «Информио»: http://www.informio.ru/
4. Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека онлайн":
http://www.biblioclub.ru
4. Методические рекомендации для преподавателя
С целью повышения эффективности преподавания дисциплины "Математика"
преподаватель должен знакомить студентов с материалом, изучаемым в курсе математики
средней общеобразовательной школы. В частности, рассмотреть демонстрационный вариант
КИМов ЕГЭ по математике 2011 года, где в часть B включены задания по теории вероятностей.
Кроме того, преподаватель и студенты должны работать (интересоваться) с соответствующими
электронными
ресурсами
[email protected];
[email protected],
http://www.ege.edu.ru.
С целью эффективного преподавания и изучения дисциплины "Математика"
преподаватель и студенты должны уверенно работать с основным программным обеспечением:
статистические и теоретико-вероятностные функции Microsoft Excel, MathCAD и др.
5. Методические рекомендации для студентов
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
Студенту следует помнить, что дисциплина "Математика" предусматривает
обязательное посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через
систему аудиторных и домашних работ, домашних контрольных работ (Домашняя контрольная
работа № 1, Домашняя контрольная работа № 2), зачет и экзамены.
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля
1. Варианты тренировочных контрольных работ
Контрольная работа №1
Преподаватель дает студенту для домашнего самостоятельного выполнения один из
вариантов контрольной работы. На выполнение работы дается одна неделя.
ТЕСТ №1
1. Дано уравнение прямой y  5 x  3 . Как называется это уравнение:
1) общее уравнение прямой
2) каноническое уравнение
3) уравнение прямой с угловыми коэффициентом
4) уравнение прямой, проходящей через две точки.
x2 y2

 1:
9 16
2) эллипс 3) окружность
2. Определите вид кривой
1) гипербола
4) парабола
3. Условие перпендикулярности прямых на плоскости:
1
1
1) k1  k 2 , 2) k1   , 3) k1 
, 4) k1  k 2  2
k2
k2
4. Определить вид поверхности: 5 x  6 y  7 z  8  0
1) плоскость 2) конус 3) гиперболоид 4) эллипсоид
x2 1
x 1 2 x 2  x  1
5. Вычислить: lim
1)
4
,
3
2) 0,
3) 2,
4)
2
3
6. Назовите первый замечательный предел:
sin x
sin x
sin x
 1 , 2) lim
 1 , 3) lim
0,
1) lim
x 
x 0
x 0
x
x
x
7. Сколько пределов может иметь функция y  f (x)
1) два 2) один
3) бесконечное множество
sin x
e
x 
x
4) lim
4) три
8. Дана функция y  f ( ( x)), где ( x)  z . Ее производная имеет вид:
y
y
1) y   y z  z x
2) y   z
3) y    x  y x
4) y   z
z x
x z
9. Производная функции y  sin 2 x имеет вид:
1) y   2 cos 2 x 2) y   cos 2 x
3) y  
cos 2 x
sin 2 x
4) y  
2 sin 2 x
sin 2 x
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
10. Дифференциал функции y  arctgx 3 имеет вид:
1) dy 
x2
dx
1  x6
2) dy 
3x 2
1  x6
1
3) dy 
1  x6
dx
4) dy 
3x 2
dx
1  x6
11. Если на участке x  a, b y ( x)  0 , то из этого следует, что на этом участке функция
y  f (x) :
1) монотонно убывает, 2) может возрастать и убывать,
3) монотонно возрастает, 4) выпукла
12. Достаточное условие существования экстремума:
1) y ( x0 )  0 или не существует
2) y ( x0 )  0 , и y ( x0 )  0
3) y ( x0 )  0 и y  меняет свой знак при переходе через точку x 0
4) y ( x0 )  0
13. Какое количество асимптот может иметь y  f (x) ?
1) 1, 2) 2, 3) 3, 4) любое количество
14. Найти точки перегиба функции y 
1) x  0
x2 1
x2 1
2) x  3 и x   3 3) x 
1
3
и x
1
3
4) нет точек перегиба
 x y40
15. Найти точку пересечения прямых 
2 x  y  8  0
1) (-3; 1), 2) (2; 4), 3) (1; 1), 4) (-4; 0)
ТЕСТ № 2
1. Угол между двумя прямыми на плоскости определяется по формулам:
k 2  k1
k  k1
k  k1
1) sin   k1  k 2 2) tg  2
3) ctg  2
4) cos  
1  k 2  k1
1  k 2  k1
k12  k 22
2. Определите вид кривой x  2    y  3  25
1) эллипс 2) гипербола 3)окружность 4) парабола
2
2
3. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 4;2 , параллельно прямой 2 x  y  4  0
имеет вид:
1) 2 x  y  6  0 2) 2 x  y  6  0 3) x  2 y  8  0 4) x  2 y  6  0
4. Задано уравнение x  5  3t y  6  7t z  1 2t
Как называется это уравнение:
1) общее уравнение прямой
2) каноническое уравнение прямой
3) параметрическое уравнение прямой
4) не имеет названия
5. Определите вид поверхности x 2  y 2  z 2  25
1) эллипсоид 2) шаровая поверхность 3) цилиндр
4) гиперболоид
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
6. Вычислить lim
x 
1) 5,
2) 0,
x
2
 10 x  9  x
3)  ,

4) 1
7. Назовите второй замечательный предел
x
x
sin x
 1
 1
 e 2) lim 1    e 3) lim 1    e
1) lim
x 
x


x

0
x
x
x


1
 1x
4) lim 1    e
x 
 x
8. Какие бесконечно малые функции являются эквивалентными?
1) sin x ~ x при x  0
2) ln 1  x  1 ~ x при x  0
arctgx
3)
~ x при x  0
4) arcsin x ~2 x при x  
x
9. Дана функция y  f x  , заданная параметрически x   t  , y   t  .Ее производная
имеет вид:



1) y  
2) y  
3) y  
4) y       



10. Производная функции y  ln x 2  4 x  5 равна
1
x2
1
1) y  
2) y   2
3) y   2
2
x  4x  5
x  4x  5
x  4x  5
4) y  
2x  4
x  4x  5
2
11. Если на участке x  a, b, yx  0 , то из этого следует, что на этом участке функция
1) убывает 2) возрастает 3) возрастает и убывает 4) вогнута
12. Необходимым условием существования экстремума в точке x  x0 является выполнение
условия:
1) y x0   0 или не существует
2) y x0   0 и y  меняет свой знак при переходе через точку x 0
3) y x0   0 и y x0   0
4) y x0   0
13. Найдите точки максимума функции y  x 3  5x 2  3x  2 :
1
1) x = 3 2) x = 1 3) x =
4)x = 2
3
14. Точкой перегиба функции y  f x  является точка x 0 , в которой выполняется условие:
1) y x0   0
2) y x0   0 и y x0   0
3) y x0   0 и вторая производная меняет свой знак на переходе через точку x 0
15. По какой из формул определяется дифференциал функции y  f x 
1) dy  f x0  2) dy  f x0 dx 3) y  Ax   xx 4) y  Ax  5
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
Домашняя контрольная работа
Вариант 1
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
Вопросы к экзамену 1 курс
1. Простейшие понятия теории множеств. Операции над множествами, их свойства.
2. Множество действительных чисел, свойства. Изображение действительных чисел.
3. Абсолютная величина действительного числа, ее свойства (одно с
доказательством).
4. Ограниченные и неограниченные множества. Примеры. Числовые промежутки.
Верхняя и нижняя грани числового множества.
5. Комплексные числа и действия над ними. Модуль и аргумент комплексного числа.
Изображение комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма
комплексного числа.
6. Понятие функции, ее область определения и множество значений. График
функции. Способы задания функции.
7. Ограниченные
и
неограниченные
функции.
Примеры.
Геометрическая
интерпретация этих понятий. Монотонные функции.
8. Четные и нечетные функции. Графики функций. Периодические функции.
Примеры.
9. Понятие обратной и сложной функции. Примеры. График обратной функции.
Параметрическое задание функции.
10. Последовательности.
Способы
задания.
Ограниченные
и
монотонные
последовательности. Предел последовательности, геометрический смысл.
11. Свойства предела последовательности (одно с доказательством).
12. Бесконечно малые последовательности, свойства (одно с доказательством).
13. Бесконечно большие последовательности, свойства. Теорема о взаимосвязи
бесконечно
малых
и
бесконечно
больших
последовательностях
(с
доказательством).
14. Арифметические свойства предела последовательности (одно доказать).
15. Теорема о пределе промежуточной переменной (с доказательством).
16. Теорема о пределах, связанных с неравенствами (одну доказать).
17. Предел функции в точке. Свойства предела функции в точке.
18. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности.
19. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.
20. Сравнение бесконечно малых функций. Теорема (с доказательством).
21. Первый замечательный предел (с доказательством). Две формы второго
замечательного предела.
22. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций в точке.
Непрерывность справа и слева.
23. Понятие точки разрыва, их классификация. Свойства функций, непрерывных на
отрезке.
24. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
25. Понятие дифференцируемой функции. Теорема о необходимых условиях
существования производной (с доказательством).
26. Основные правила дифференцирования (одно с доказательством)
27. Производные обратной и сложной функции. Производная параметрически
заданной функции.
28. Производные основных элементарных функций (одну доказать).
29. 29. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл.
Свойства
дифференциала.
30. Приближенные вычисления при помощи дифференциалов. Дифференциалы
высших порядков.
31. Основные теоремы дифференциального исчисления, их геометрический смысл, (одну
теорему доказать).
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
32. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей 0, ;   ;1 с помощью правила
Лопиталя.
33. Возрастание, убывание функции. Экстремум функции одной переменной.
Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции.
34. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции. Необходимые и достаточные
условия выпуклости, вогнутости функции, существования точки перегиба.
35. Асимптоты функции, их классификация.
36. Понятие функции двух переменных. График, область определения, линии уровня.
Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных.
Свойства функций, непрерывных в области.
37. Частные производные функции двух переменных, геометрический смысл.
38. Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимые и достаточные
условия дифференцируемости функции.
39. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных (одну теорему
доказать)
40. Частные производные второго порядка. Теорема о равенстве смешанных
производных. Дифференциал второго порядка для функции z=f(x, у) с выводом.
41. Неявная функция одной и двух переменных. Дифференцирование функции
заданной неявным образом.
42. Производная по направлению. Теорема о вычислении производной по
направлению (с доказательством).
43. Градиент функции, его свойства (одно с доказательством).
44. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия
существования экстремума функции двух переменных.
Вопросы к зачету 1 курс
1. Понятие первообразной функции. Теорема(с доказательством). Неопределенный
интеграл, геометрический смысл.
2. Свойства неопределенного интеграла (одно с доказательством).
3. Таблица неопределенных интегралов (одну формулу с доказательством).
4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (вывод).
5. Метод замены переменной в неопределенном интеграле (вывод).
6. Интегрирование рациональной функции.
7. Интегрирование иррациональных функций (I, II, III типа).
8. Интегрирование тригонометрических функций.
9. Площадь криволинейной трапеции.
10. Определенный интеграл, его свойства.
11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом (теорема с
доказательством).
12. Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).
13. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
14. Приближенные вычисления определенного интеграла.
15. Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление длины дуги кривой.
16. Вычисление объема тела вращения. Вычисление площади поверхности тела
вращения.
17. Физические приложения определенного интеграла. Теорема Гульдена.
18. Вычисление работы переменной силы с помощью определенного интеграла.
19. Понятие двойного интеграла, геометрический смысл.
20. Свойства двойного интеграла.
21. Вычисление двойного интеграла (оба случая).
22. замена переменных двойном интеграле.
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
23. Геометрические и физические приложения двойного интеграла.
24. работа переменной силы вдоль криволинейного пути.
25. Криволинейный интеграл, его свойства.
26. Вычисление криволинейного интеграла.
27. Формула Грина (с доказательством)
28. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования (теорему 2 с
доказательством).
29. Тройной интеграл, вычисление тройного интеграла.
30. Замена переменных в тройном интеграле.
31. Поверхностный интеграл, его вычисление.
32. Формула Остроградского-Гаусса.
Вопросы к экзамену 2 курса
1. Общие понятия ДУ n-го порядка. ДУ 1-го порядка. Общее решение, частные решения.
Теорема Коши.
2. ДУ с разделяющимися переменными. Две формы записи. Метод решений.
3. Понятие однородной функции n-го измерения. Однородные ДУ 1-го порядка. Метод
решения.
4. Линейные ДУ 1-го порядка. Методы решения линейных уравнений 1-го порядка.
5. ДУ в полных дифференциалах. Метод решения.
6. ДУ 2-го порядка. Общее решение ДУ 2-гопорядка. Понижение порядка (3 случая).
7. Свойства частных решений линейного однородного ДУ 2-го порядка (одно с
доказательством).
8. Линейная зависимость функций. Теорема о необходимых и достаточных условиях
линейной зависимости функций (с доказательством). Следствие.
9. Фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения линейного
однородного ДУ 2-гопорядка.
10. Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения
линейного неоднородного уравнения (с доказательством).
11. Метод вариации произвольной постоянной как метод нахождения частного решения
линейного неоднородного ДУ 2-го порядка.
12. Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение. Теорема о структуре общего решения (1 и 2 случай с
доказательством).
13. Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о
структуре общего решения (3 случай с доказательством).
14. Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о
структуре
общего
решения.
Нахождение
частного
решения
методом
неопределенных коэффициентов.
15. Понятие числового ряда. Сходимость ряда. Геометрический ряд, его сходимость (с
доказательством)
16. Необходимый признак сходимости рядов. Следствие. Свойства сходящихся рядов.
Гармонический ряд. Расходимость гармонического ряда (с выводом).
17. Ряды с положительными членами. Критерий сходимости положительных рядов (с
доказательством).
18. Признаки сравнения (с доказательством).
19. Признак Даламбера (с доказательством).
20. Признак Коши (с доказательством).
21. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (с доказательством).
22. Абсолютная и условная сходимость. Теорема (с доказательством).
23. Понятие функционального ряда, его сходимость. Равномерная сходимость
.
Рабочая программа дисциплины «МАТЕМАТИКА»
функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся
рядов.
Степенной ряд. Теорема Абеля (с доказательством).
Понятие радиуса,
интервала сходимости.
Формула
Коши-Адамара (с
доказательством). Замечания 1-3.
Разложение функций в степенной ряд.
Единственность разложения (с
оказательством).
\
Ряд Тейлора. Необходимые и достаточные условия разложимости функции в ряд
Тейлора. Разложения элементарных функций у = е х, у = cosx, у = sinx, у = (1 + х)т, у =1
+ х, у=1п(1 + х) в ряд Тейлора, (одно разложение с доказательством). Применение рядов
в приближенных вычислениях.
Случайные события и их виды. Операции над событиями.
Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.
Понятие
вероятности. Классическое определение вероятности, геометрическое
определение вероятности.
Теорема сложения и умножения вероятностей.
Полная вероятность. Формула Бейеса.
Биномиальный закон распределения вероятностей.
Наивероятнейшее число наступления события. Теорема Бернулли.
Случайная величина. Дискретная случайная величина и ее характеристики (закон
распределения, математическое ожидание, дисперсия и их свойства).
Непрерывная случайная величина и ее характеристики (функция плотности
вероятности, функция распределения вероятности, математическое ожидание и
дисперсия).
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
V. Терминологический минимум
1. Основные термины и понятия курса
1.
Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого,
даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такой номер N
(зависящий от ε), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно
неравенство ап  А   . lim a n  A .
n 
2.
3.
4.
Производной функцией у=f(x) называется предел отношения приращения функции к
приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю. (Если
y
f ( x  x)  f ( x)
этот предел существует) у   lim
.
 lim
x
х 0 x
х 0
Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой неограниченно
приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке
Х, если в каждой точке этого промежутка F/(x)= f(x).
Совокупность всех
первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным
интегралом от функции f(x) и обозначается  f ( x)dx , где  – знак интеграла, f(x) –
подынтегральная функция, f ( x)dx – подынтегральное выражение. Таким образом,
 f ( x)dx  F ( x)  C , где F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная
5.
постоянная.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую
функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные
различных порядков данной функции.
.