questions_exam2010

1. Определители 2-го и 3-го порядков: определения и применение к
решению систем линейных уравнений методом Крамера.
2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядков. Разложение
определителя 3-го порядка по элементам строк и столбцов. Способы
вычисления определителей 3-го порядка.
3. Определитель n-го порядка: определение, свойства, вычисление и
применения.
4. Обратная матрица: определение, вычисление и применение.
5. Матрицы и линейные операции над ними.
6. Умножение матриц и его применение.
7. Ранг матрицы: определения, вычисление и применение.
8. Система линейных уравнений: основные определения и задачи.
9. Теорема Кронекера – Капели и её применение.
10.Метод Крамера.
11.Система линейных однородных уравнений: свойства её решений и
фундаментальная система решений.
12.Метод Гаусса и его матричная схема.
13.Векторы: основные определения, ориентация, умножение на числа и
сложение.
14.Векторный базис на прямой, на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора.
15.Основная теорема векторной алгебры (с доказательством).
16.Ортогональная проекция вектора на ось и её применение. Основные
задачи векторной алгебры и их решения методами систем линейных
уравнений.
17.Скалярное произведение векторов: определение, свойства и
применение. Направляющие косинусы вектора.
18.Векторное произведение векторов: определение, свойства и
применение.
19.Смешанное произведение векторов: определение, свойства и
применение. Двойное векторное произведение: определение и
способы вычисления.
20.Система координат на прямой, на плоскости и в пространстве.
Координаты точки.
21.Деление отрезка в данном отношении. Вычисление площадей и
расстояния между двумя точками.
22.Общее уравнение плоскости: определение и исследование. Задача о
нормальном векторе плоскости.
23. Общее уравнение прямой на плоскости: определение и исследование.
24.Связь между различными заданиями прямой на плоскости.
25.Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
26.Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
27.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
28.Параметрическое задание прямой на плоскости в пространстве.
29.Взаимное расположение двух и трех плоскостей в пространстве.
30.Параметрическое задание плоскости в пространстве.
31.Определение расстояний: 1) от точки до прямой на плоскости и в
пространстве; 2) от точки до плоскости; 3) между двумя
скрещивающимися прямыми.
32.Кривые второго порядка на плоскости: свойства, построение.
33.Поверхности второго порядка в пространстве: свойства, построение.
34.Функция одного вещественного аргумента: определения, области
определения и значений, график и способы задания.
35.Пределы функции: определения (на языке “ε-δ”и теоретическое),
свойства, левый и правые пределы.
36.Основная теорема пределов (с доказательством).
37.Точки разрыва функции и их классификация.
38.Непрерывность функции: определение, свойства. Свойства функций,
непрерывных на замкнутом ограниченном отрезке.
39.Непрерывность функции на языке приращений ( с доказательством).
40.Бесконечно большие и бесконечно малые величины и связь между
ними, их применение.
41.Эквивалентные бесконечно малые величины и их применение.
42.Сравнение бесконечно малых величин.
43.Замечательные пределы и их доказательство методом Лопиталя.
44.Производная функции: определение, свойства, геометрический
смысл.
45.Связь производной с непрерывностью (с доказательством).
46.Производные от обратной и параметрических функций.
47.Производные от сложной и неявной функций.
48.Таблица производных от тригонометрических функций (с
доказательством).
49.Производная
от
показательно-степенной
функции
(с
доказательством).
50.Таблица производных от логарифмической функции и от функций,
производные которых получены с применением логарифмической
функции.
51.Дифференциал функции: определение, свойства, геометрический
смысл и применение.
52.Производные и дифференциалы высших порядков. Формулы Тейлора
и Маклорена и их применение.
53.Теорема Коши: формулировка и доказательство и применение.
54.Теорема Лагранжа: формулировка, доказательство, геометрический
смысл и применение.
55.Теорема Ролля: формулировка, доказательство, геометрический
смысл и применение.
56.Теорема Лопиталя: формулировка, доказательство и применение к
вычислению пределов.
57.Возрастание и убывание функции.
58.Экстремум
функции:
определения,
необходимые
условия
существования по первой производной (с доказательством).
59.Экстремум
функции:
определения,
достаточные
условия
существования по первой производной (с доказательством).
60.Экстремум
функции:
определения,
достаточные
условия
существования по второй производной (с доказательством).
61. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом
ограниченном интервале.
62.Выпуклость и вогнутость графика функции: определения и условия
существования.
63.Точки перегиба графика функции: определение и условия
существования.
64.Поведение функции в бесконечности. Асимптоты графика функции.
65.Исследование функций и построение их графиков.
ВАРИАНТ 27
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой y = 3t2 + 7, x = t –
2t  5 в точке t = 6.
2. Используя правило Лопиталя, вычислить пределы.
lim tgx 
1
tg 2 x
x  /4
;
lim( x  1) ln x
;
x
2
x3  2x 2  x
lim
x 1
x 1
3. Найдите наибольшее, наименьшее значения и экстремумы функции
у(х) на отрезке [0; 4], y(x) = x +2 x .
4. f(x) = 3x6 + x2 + 2. Посчитайте приближенно f(1,03).
5. Провести полное исследование функции и построить её график.
y ( x) 
3x 2  10
.
3  2x