логарифм

Введение
На протяжении 16 века быстро возрастало количество
приближенных
вычислений, прежде
всего,
в астрономии.
Совершенствование инструментов, исследование планетных движений
и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних,
расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в
невыполненных расчетах.
Логарифмы
были изобретены шотландским математиком
Джоном Непером (1550–1617) в 1614 г. Его
«Канон о логарифмах» начинался так: «Осознав,
что в математике нет ничего более, скучного и
утомительного,
чем
умножение,
деление,
извлечение квадратных и кубических корней, и
что названные операции являются бесполезной
тратой времени и неиссякаемым источником
неуловимых ошибок, я решил найти простое и
надежное средство, чтобы избавиться от них».
С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по
возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним
великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.
Через десяток лет после появления логарифмов Непера
английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный
прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и
инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с
достаточной точностью в три значащие цифры.
Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла.
Теория логарифмов связана с именами целого ряда математиков: Генри
Бригс, Эдмунд Уингейт, Уильям Отред, Н. Меркатор, Джон Спейдел,
К. Бремикер, Ф. Клейн.
Анализ тематики создание логарифмов достаточно актуален и
представляет научный и практический интерес.
Характеризуя степень научной разработанности проблематики,
следует учесть, что данная тема уже анализировалась у различных
авторов
в
различных
изданиях:
учебниках,
монографиях,
периодических изданиях и в интернете. Тем не менее, при изучении
литературы и источников отмечается недостаточное количество
полных и явных исследований тематики.
~1~
Научная значимость данной работы состоит в оптимизации и
упорядочивании существующей научно-методологической базы по
исследуемой проблематике – еще одним независимым авторским
исследованием. Практическая значимость темы состоит в анализе проблем
как во временном, так и в пространственном разрезах.
С одной стороны, тематика исследования получает интерес в научных
кругах, в другой стороны, как было показано, существует недостаточная
разработанность и нерешенные вопросы. Это значит, что данная работа
помимо учебной, будет иметь как теоретическую, так и практическую
значимость. Определенная значимость и недостаточная разработанность
проблемы определяют новизну данной работы.
Цель: показать, что логарифмы нужны не только на уроках
математики но, могут быть использованы и в других областях.
Проблема: показать практическую значимость логарифмов для
окружения.
Задача: применение логарифмов в различных областях науки и
повседневной жизни.
Основная часть
История логарифма
Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от
друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет
швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное
средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче поразному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем
самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве
рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у
обоих не похоже на современное
Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из
сочетания греческих слов: logos – «отношение» и ariqmo – «число», которое
означало «число отношений». Первоначально Непер пользовался другим
термином: numeri artificiales - «искусственные числа», в противоположность
numeri naturalts – «числам естественным».
В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея:
заменить трудоёмкое умножение на простое, сложение, сопоставив с
~2~
помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую
прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.
В 1614 году Непер опубликовал в Эдинбурге сочинение под
названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», на
латинском языке. Там было краткое описание логарифмов и их свойств,
а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и
тангенсов, с шагом 1'.
Сочинение было разделено на 2 книги, из которых первая
посвящена логарифмам, а вторая — плоской и сферической
тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит
практическим пособием по первой. Более развёрнутое, описание
содержалось в другом труде, изданном посмертно его сыном; там же
Непер пояснил, как он составлял свои таблицы.
Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил
логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмическизамедленное движение. В современной записи модель Непера можно
изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M —
масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение
получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные
дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M =
10000000.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая
сейчас называется логарифмом.
К сожалению, все значения таблицы Непера содержали
вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не
помешало новой методике вычислений получить широчайшую
популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись
многие европейские математики, включая Кеплера.
В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем
Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил
принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или,
что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные
логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы.
Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои
таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение
логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои
таблицы в год смерти Непера (1617).
~3~
Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и
любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя
пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже
других - в 1620 году.
Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное
издание на основе таблиц Вега́ появилось только в 1857 году в Берлине
(таблицы Бремивера).
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую
логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов —
незаменимый инструмент инженера.
Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером.
Термин «натуральный логарифм» ввели Менголи в 1659 г. и вслед за
ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел
от 1 до 1000 под названием «Новые логарифмы» лондонский учитель Джон
Спейдел.
На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в
1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки
при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в
Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).
Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким
применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К
тому времени относится установление связи между квадратурой
равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.
С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления
логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов.
~4~
В своих лекциях «Элементарная математика с высшей точки
зрения», прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил
использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории
логарифмов.
Таким образом, прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были
введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению
понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.
Логарифмические таблицы
Если вычислительные потребности практической жизни и
технического обихода вполне обеспечиваются трех и четырехзначными
таблицами то с другой стороны, к услугам теоретического
исследователя имеются таблицы и с гораздо большим числом знаков,
чем даже 14- значные логарифмы. Вообще говоря, логарифм в
большинстве случаев есть число иррациональное и не может быть
точно выражен никаким числом цифр; логарифмы большинства чисел,
сколько бы знаков ни брать, выражаются лишь приближенно, тем
точней, чем больше цифр в их мантиссе. Для научных работ
оказывается иногда недостаточной точность 14- значных логарифмов,
но среди пятисот всевозможных образов логарифмических таблиц
вышедших в свет, со времени их изобретения, исследователь всегда
найдет
такие,
которые
его
удовлетворяют.
Например, 20- значные логарифмы чисел от 2 до1200, изданные во
Франции Кале.
Для еще более ограниченной группы чисел имеются таблицы
логарифмов с огромным числом десятичных знаков - настоящие
логарифмические диковинки о существование которых не подозревают
многие математики.
Вот эти логарифмы – исполины все они - не десятичные, а
натуральные: (натуральными называются логарифмы, вычисленные не
при основании 10, а при основании 2,718…, о котором у вас еще будет
речь впереди. 48–значные таблицы Вольфрама для чисел до 10000; 61значные таблицы Шарпа; 102-значные таблицы Паркхерста
.
~5~
Счетная линейка
К логарифмическим диковинкам можно было бы с полным
основанием отнести и счетную линейку – «деревянные логарифмы», - если
бы этот остроумный прибор не сделался благодаря своему удобству столь же
обычным, счетным орудием для техников, как десятикосточковые счеты для
конторских работников. Привычка угашает чувство изумления перед
прибором, работающим по принципу логарифмов и, тем не менее, не
требующим от пользующихся им даже знания того, что такое логарифм.
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль - плоская трансцендентная
уравнение которой в полярных координатах имеет вид p=a φ, a>0.
кривая,
Рога козлов, раковина улитки и семечки в подсолнухе закручены по
логарифмической спирали
~6~
Применение логарифмов в различных сферах
жизнедеятельности человека
Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного
вещества происходит по формуле
, где m0 – где масса
вещества в начальный период времени t=0, m – масса вещества в
момент времени t,
.
T - период полураспада.
Это означает, что через время Т после начального момента
времени, масса радиоактивного вещества уменьшается
вдвое.
Народонаселение. Изменение количества людей
в стране на небольшом отрезке времени с хорошей
точностью описывается формулой
, где N0 – число людей
при t=0, N – число людей в момент t, λ – некоторая константа.
Формула Циолковского.
Эта формула, связывающая
скорость ракеты V с ее массой m:
, где Vr – скорость
вылетающих газов, m0 – стартовая масса ракеты.Скорость истечения
газа при сгорании топлива Vr невелика (в настоящее время она меньше
или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы
достичь космической скорости, необходимо сделать большим
отношение
, т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.
Звукоизоляция стен. Коэффициент звукоизоляции стен
измеряется по формуле
, где p0 – давление звука до
поглощения, p – давление звука, прошедшего через стену, А –
некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20
децибелам. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например 20
децибел, то это означает,
что и p0 =10p, т.е. стена снижает
давление звука в 10 раз. Такую изоляцию имеет деревянная дверь.
~7~
Логарифмы в музыке.
Играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно
говоря, на логарифмах. И действительно так называемые «ступени»
темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных
расстояниях ни по отношении к числам колебаний, ни по отношению к
длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы
этих величин. Основание этих логарифмов равно 2.
Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел –
колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12).
Мы даже можем сказать, что номер октавы
представляет собой целую часть (характеристику)
логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в
данной октаве, деленный на 12 – дробную часть
(мантиссу) этого логарифма.
Логарифмы в поэзии
Многообразные применения показательной (или её ещё называют,
экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила на
написание “Оды экспоненте”, отрывок из которой гласит:
« … Ею порождено многое из того,
Что достойно упоминания,» Как говорили наши
Англосаксонские предки.
Могущество ее порождений
Заранее обусловлено ее
Собственной красотой и силой,
Ибо они суть физическое воплощение
Абстрактной идеи ее.
~8~
Английские моряки любят ее и знают
Под именем «Гунтер».
Две шкалы Гунтера Вот чудо изобретательности.
Экспонентой порождена
Логарифмическая линейка:
У инженера и астронома не было
Инструмента полезнее, чем она.
Даже изящнее искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть
Набор передовых логарифмов?
И таким образом абстрактно красивое
Стало предком одного из величайших
Человеческих достижений?
Логарифмы в психологии
Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека,
могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга
во много миллионов даже миллиардов раз.
Удары молота о скользкую плиту в сто раз
громче, чем тихий шелест листьев, а
яркость вольтовой дуги в триллионы раз
превосходит яркость какой-нибудь слабой
звезды, едва видимой на ночном небе. Но
никакие физиологические процессы не
~9~
позволяют дать такого диапазона ощущений.
Опыты показали, что организм как бы «логарифмирует»
полученные им раздражения, то есть величина ощущения
приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины
раздражения. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье
рабочих и на производительность труда побудило выработать приёмы
точной числовой оценки громкости шума.
Логарифмы в живописи
Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но
и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора
Дали.
“…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала
картина Я. Вермера “Кружевница”, репродукция которой висела в отцовском
кабинете”
Сальвадор Дали
« Уже много лет спустя я попросил в Лувре разрешение написать
копию с этой картины. Потом я попросил киномеханика показать на экране
репродукцию нарисованной моей копии…
И обнаружил, что в
«Кружевнице» я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические
кривые…»
~ 10 ~
Молекула ДНК
Её молекулы имеют огромную по молекулярным масштабам
длину и состоят из 2-х нитей, сплетённых между собой в двойную
спираль. Каждую из нитей можно сравнить с длинной нитки бус. С
нитями бус мы сравниваем и белки. У белков «бусинами» являются
аминокислоты 20 различных типов. У ДНК-всего 4 типа «бусин» и
зовутся они нуклеотидами. «Бусины» двух нитей двойной
спирали ДНК связаны между собой и строго друг другу
соответствуют. Мы часто встречаем изготовление
предметов по шаблону, называемому матрицей. Отливка
монет или медалей, типографского шрифта. По аналогии
происходящее в живой клетке восстановление двойной
спирали по одной её цепи, как по матрице, так же называют
матричным синтезом.
Заключение
С моей точки зрения, изобретение логарифмов по возможности
можно смело поставить рядом с другими, более древним великим
изобретением индусов – нашей десятичной системы счисления. Потому
что, математика повсюду. Она окружает нас и она есть в каждом
предмете, что мы видим или держим в руках. Я не знала, что
логарифмы так тесно связаны с нашей жизнью и являются ее
неотъемлемой частью. Благодаря этому проекту, я осознала, насколько
важна роль логарифмов в жизни.
Результаты исследования следующие:
1. Многие природные явления не могли быть изучены без
понятия логарифма;
2. Логарифмы используются для описания природных явлений
астрономами, физиками, биологами.
3. Понятие логарифма широко применяется человеком во многих
науках.
4. Логарифм является инструментом для вычисления
радиоактивного распада, изменения количества людей в стране,
~ 11 ~
зависимости скорости ракеты от ее массы, коэффициента звукоизоляции.
5. Выяснили, что, играя по клавишам современного рояля, музыкант
играет, собственно говоря, на логарифмах.
Список использованной литературы:
1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998.
2. Шахмейстер А.Х. Логарифмы.-2-е изд., исправленное и дополненное
- СПб.: «ЧеРо- наНеве»,2005.
3. Лиман М.М.
М.:Просвещение,1981.
Школьникам
о
математике
и
математиках.-
4. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,1994.
5.
Виленкин
М.:Мнемозина,2004.
Н.Я.
Алгебра
и
математический
анализ.-
6. Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий»: 2004
~ 12 ~