Задачи: Сфера с центром в точке касается граней , , пирамиды в

Задачи:
а)
Сфера с центром в точке 𝑂 касается граней 𝐴𝑆𝐶, 𝐴𝑆𝐵, 𝐵𝑆𝐶 пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶 в
точках 𝐾, 𝐸, 𝑃 соответственно. Точки 𝐾, 𝐸, 𝑃 принадлежат ребрам основания пирамиды.
Докажите, что прямая 𝑆𝑂 перпендикулярна плоскости основания.
б)
Плоскости 𝛼 и 𝛽 образуют двугранный угол с ребром 𝐴𝐵. Из точки 𝑀 на
прямой 𝐴𝐵 проведены перпендикуляры 𝐹𝑀 и 𝐾𝑀 к этой прямой в плоскостях 𝛼 и 𝛽
соответственно. 𝐸𝐹 ⊥ 𝐹𝑀, 𝐸𝐾 ⊥ 𝐾𝑀, ∠𝐹𝐸𝐾 = 𝜎. Выразите через 𝜎: угол между
плоскостями 𝛼 и 𝛽; угол между прямой 𝐾𝑀 и плоскостью 𝛼; угол между прямой 𝐹𝑀 и
плоскостью 𝛽.
Проверка:
а) Сфера с центром в точке 𝑂 касается граней 𝐴𝑆𝐶, 𝐴𝑆𝐵, 𝐵𝑆𝐶 пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶 в
точках 𝐾, 𝐸, 𝑃 соответственно. Точки 𝐾, 𝐸, 𝑃 принадлежат ребрам основания пирамиды.
Докажите, что прямая 𝑆𝑂 перпендикулярна плоскости основания. (Рисунок 2.17)
Рисунок 1
Решение:
Прямые 𝑆𝐾, 𝑆𝐸, 𝑆𝑃 – касательные к сфере, следовательно, они перпендикулярны
радиусам сферы 𝑂𝐾, 𝑂𝐸, 𝑂𝑃 соответственно. Значит, треугольники 𝑆𝐾𝑂, 𝑆𝐸𝑂, 𝑆𝑃𝑂
прямоугольные. Они равны по общей гипотенузе 𝑆𝑂 и равным как радиусы сферы катетам
𝑂𝐾, 𝑂𝐸, 𝑂𝑃. В треугольнике 𝑆𝐾𝑂 на гипотенузу опустим высоту 𝐾𝐻, тогда 𝐸𝐻, 𝑃𝐻 будут
также высотами в треугольниках 𝑆𝐸𝑂, 𝑆𝑃𝑂 соответственно.
Прямая
𝑆𝑂
перпендикулярна
двум
пересекающимся
прямым
𝐾𝐻,
𝐻𝑃,
следовательно, она перпендикулярна плоскости (𝐾𝐻𝑃). А значит, и прямой 𝐾𝑃
принадлежащей этой плоскости.
Аналогично прямая 𝑆𝑂 перпендикулярна прямой 𝐸𝐾.
Но точки 𝐾, 𝐸, 𝑃 по условию принадлежат плоскости 𝐴𝐵𝐶 основания пирамиды,
тогда прямые 𝐾𝑃 и 𝐸𝐾 также принадлежат плоскости 𝐴𝐵𝐶. А так как прямая 𝑆𝑂
перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости, то она
перпендикулярна и самой плоскости, то есть прямая 𝑆𝑂 перпендикулярна плоскости 𝐴𝐵𝐶.
б) Плоскости 𝛼 и 𝛽 образуют двугранный угол с ребром 𝐴𝐵. Из точки 𝑀 на
прямой 𝐴𝐵 проведены перпендикуляры 𝐹𝑀 и 𝐾𝑀 к этой прямой в плоскостях 𝛼 и 𝛽
соответственно. 𝐸𝐹 ⊥ 𝐹𝑀, 𝐸𝐾 ⊥ 𝐾𝑀, ∠𝐹𝐸𝐾 = 𝜎. (Рисунок 2.18)
Решение: Выразим через 𝜎:
𝛼
𝐹
𝐸
𝛽
𝜎
𝐵
𝐾
𝑀
𝐴
Рисунок Error! No text of specified style in document.
Угол между плоскостями 𝛼 и 𝛽;
Так как из условия задачи известно, что из точки 𝑀 на прямой 𝐴𝐵 проведены
перпендикуляры 𝐹𝑀 и 𝐾𝑀 к этой прямой в плоскостях 𝛼 и 𝛽 соответственно, то
воспользовавшись определением угла между двумя плоскостями, заметим, что угол
между плоскостями 𝛼 и 𝛽 – это угол между прямыми 𝐹𝑀 и 𝐾𝑀, следовательно, это
∠𝐹𝑀𝐾.
Рассмотрим четырехугольник 𝐾𝐸𝐹𝑀, в котором содержится искомый угол. Из
условия известно, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐹𝑀, 𝐸𝐾 ⊥ 𝐾𝑀, ∠𝐹𝐸𝐾 = 𝜎, поэтому воспользовавшись
свойством углов в четырехугольнике, можно сделать вывод, о том, что ∠𝐹𝑀𝐾 = 180° − 𝜎.
Угол между прямой 𝐾𝑀 и плоскостью 𝛼;
Заметим, что прямая 𝐾𝑀 является проекцией прямой 𝐹𝑀 на плоскостью 𝛽.
Поэтому искомым углом является ∠𝐹𝑀𝐾.
Угол между прямой 𝐹𝑀 и плоскостью 𝛽.
Аналогично рассуждая, заметим, что прямая 𝐹𝑀 является проекцией прямой 𝐾𝑀 на
плоскостью 𝛼. Поэтому искомым углом является ∠𝐹𝑀𝐾.