РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
КУТРУНОВ В.Н.
АЛГЕБРА
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направления 010800.62 « Механика и математическое моделирование»,
профиль подготовки: «Механика жидкости, газа и плазмы
Тюменский государственный университет
2011
Кутрунов В.Н.. АЛГЕБРА. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 010800.62- «Механика и
математическое моделирование», профиль- «Механика жидкости, газа и
плазмы». Форма обучения- очная.. Тюмень, 2011, 26 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте
ТюмГУ:
Алгебра,
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Кутрунов В.Н., 2011.
2
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины «АЛГЕБРА»
Целями освоения дисциплины «Алгебра» являются: получение базовых
знаний по алгебре: комплексные числа и многочлены, матричная алгебра и
решение систем линейных уравнений, конечномерные линейные
пространства, линейные операторы и функционалы, канонический вид
линейных операторов (жорданова форма, симметрические, ортогональные и
унитарные операторы),
билинейные формы, метрические линейные
пространства, классификация квадрик, группы преобразований и
классификация движений, основы тензорной алгебры, основные структуры
современной алгебры. При освоении дисциплины вырабатывается
общематематическая культура: умение логически мыслить, проводить
доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи
между понятиями, применять полученные знания для решения
алгебраических задач и задач, связанных с приложениями алгебраических
методов. Получаемые знания лежат в основе математического образования
необходимы для понимания и освоения всех курсов математики,
компьютерных наук и их приложений.
Задачи изучения дисциплины: изучить материал дисциплины; усвоить
основные понятия; приобрести навыки самостоятельного анализа фактов
постановки и решения задач алгебры.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина входит в базовую часть профессионального цикла.
С курса высшей алгебры начинается математическое образование.
Знания, полученные в этом курсе, используются в аналитической геометрии,
математическом анализе, функциональном анализе, дифференциальной
геометрии и топологии, дифференциальных уравнениях, дискретной
математике и математической логике, теории чисел, методах оптимизации и
других математических дисциплинах.
Дисциплина «Алгебра» базируется на математических знаниях
студентов, полученных в рамках школьной программы.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в
результате освоения данной ООП ВПО.
3
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать
следующими компетенциями: умением понять поставленную задачу (ПК-2);
умением формулировать результат (ПК-3); умением строго доказать
утверждение (ПК-4); умением на основе анализа увидеть и корректно
сформулировать результат (ПК-5); умением самостоятельно увидеть
следствия сформулированного результата (ПК-6); умением грамотно
пользоваться языком предметной области (ПК-7); умением ориентироваться
в постановках задач (ПК-8); знанием корректных постановок классических
задач (ПК-9); пониманием корректности постановок задач (ПК-10);
способностью к самостоятельному построению алгоритма и его анализу (ПК11); обретением опыта самостоятельного различения различных типов знания
(ПК-13); способностью передавать результат проведенных физикоматематических и прикладных исследований в виде конкретных
рекомендаций, выраженной в терминах предметной области изучавшегося
явления (ПК-15); способностью к выделению главных смысловых аспектов в
доказательствах (ПК-16); умением извлекать полезную научно-техническую
информацию из электронных библиотек, реферативных журналов, сети
Интернет (ПК-17); умением публично представить собственные и известные
научные результаты (ПК-18);
В производственно-технологическая деятельности:
владением методом алгоритмического моделирования при анализе
постановок
прикладных
задач
(ПК-19);
владением
методами
математического и алгоритмического моделирования при решении
прикладных и инженерно-технических задач (ПК-20); умением грамотно
использовать программные комплексы при решении задач механики (ПК-21);
пониманием того, что фундаментальное математическое знание является
главным инструментом механики (ПК-22); владением методами
математического и алгоритмического моделирования при решении задач
механики (ПК-23).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основные понятия и результаты по алгебре (теория матриц, системы
линейных уравнений, теория многочленов, линейные пространства и
линейная зависимость, собственные векторы и собственные значения,
канонический вид матриц линейных операторов, геометрия метрических
линейных пространств, свойства билинейных функций, классификацию
квадрик, основы теории групп) и логические связи между ними.
4
 Уметь: решать системы линейных уравнений, вычислять определители,
исследовать свойства многочленов, находить собственные векторы и
собственные значения, канонический вид матриц линейных операторов,
классифицировать квадрики, основные свойства групп, колец.
 Владеть: методами линейной алгебры, теории многочленов, аппаратом
теории групп.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр первый. Форма промежуточной аттестации – экзамен.
Семестр второй. Форма промежуточной аттестации – экзамен.
трудоемкость дисциплины составляет 9 зачетных единиц, 324 часа.*
Вид учебной работы
Таблица 1.
Семестры
1
2
Всего
часов
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
Общая
180
-
72
36
36
144
57
108
54
54
87
экзамен
324
129
9
3,6
экзамен
195
5,4
Тематический план.
3.
Таблица 2.
Тематический план
1
2
Семестр 1
Модуль 1
3
4
5
Итог
о
часов
по
теме
Из них в
интеракт
ивной
форме
Итого
количество
баллов
ая работа*
Семинарские
(практические)
занятия*
Самостоятельн
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции*
Тема
недели семестра
№
7
8
9
5
1.1
Группы. Аддитивная
группа вычетов
Кольца. Кольцо вычетов
1
2
2
3
7
3
0-10
2-3
4
4
6
14
3
0-10
Поля. Поле комплексных
чисел
Всего
Модуль 2
4-6
6
6
10
22
7
0-15
12
12
19
43
13
0-35
7-8
4
4
6
14
4
0-10
2.2
Введение в теорию
линейных пространств
Алгебры. Алгебра матриц
910
4
4
6
14
5
0-10
2.3
Определители
1112
4
4
7
15
5
0-10
12
12
19
43
14
0-30
1.2
1.3
2.1
Всего
Модуль 3
3.1
Решение систем
линейных алгебраических
уравнений
1315
6
6
10
22
8
0-20
3.2
Многочлены
1618
6
6
9
21
7
0-15
Всего
12
12
19
43
15
0-35
Итого семестр 1 (часов,
баллов)
36
36
57
129
42
0-100
Из них часов в
интерактивной форме
12
30
Семестр 2
n
1.1
Модуль 1
Линейное пространство
над произвольным полем
1-2
6
6
9
21
7
0-13
1.2
Евклидовы и унитарные
пространства
3-4
6
6
10
22
8
0-13
1.3
Линейные операторы и
функционалы
5-6
6
6
10
22
8
0-14
18
18
29
65
23
0-40
Всего
Модуль 2
6
2.1
Канонический вид
линейных операторов
(жорданова форма,
симметрические,
ортогональные и
унитарные операторы)
7-8
6
6
9
21
7
0-15
2.2
Линейные
нормированные
пространства
910
6
6
10
22
8
0-10
2.3
Группы преобразований и
классификация движений
1112
6
6
10
22
8
0-10
18
18
29
65
23
0-35
Всего
Модуль 6
3.1
Билинейные и
квадратичные формы
1315
9
9
19
37
12
0-15
3.2
Тензорная алгебра
1618
9
9
10
28
10
0-10
Всего
18
18
29
65
22
0-25
Всего семестр 2 (часов,
54
54
87
195
68
0-100
Из них часов в
интерактивной форме
34
34
Итого за год
90
90
144
324
110
баллов):
Таблица 3.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
№ темы
коллокви
умы
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3
Всего
Модуль 2
2.1.
Письменные работы
Устный опрос
0-5
0-5
Итого
количество
баллов
собеседование
ответ на семинаре
контрольная работа
0-2
0-2
0-2
0-6
0-4
0-4
0-4
0-12
0-4
0-4
0-4
0-12
0 - 10
0 - 10
0 - 15
0 - 35
0-2
0-4
0-4
0 - 10
7
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
семестр 1
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
семестр 2
-
0-3
0-2
0-7
0-7
0-4
0-15
0-5
0-4
0-13
0 - 15
0 - 10
0 - 35
0-5
0-5
0-10
0-3
0-2
0-5
0-18
0-7
0-4
0-11
0-38
0-5
0-4
0-9
0-34
0-15
0-15
0 - 30
0 - 100
0-4
0-4
0-2
0-2
0-1
0-5
0-6
0-6
0-5
0-17
0-5
0-5
0-4
0-14
0 - 13
0 - 13
0 - 14
0 - 40
0-3
0-2
0-2
0-7
0-4
0-4
0-5
0-4
0-4
0 - 15
0 - 10
0 - 10
0-7
15
0-13
0 - 35
0-2
0-2
0-4
0-16
0-4
0-4
0-8
0-40
0-4
0-4
0-8
0-35
0-15
0-10
0 - 25
0 - 100
-
0.5
0-5
0-9
Таблица 4.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
Чтение
дополнительной
литературы
1
3
0-10
Знакомство с
содержанием
электронных
источников
2-3
6
0-10
4-6
10
0-15
19
0-35
7-8
6
0-10
9-10
6
0-10
Модуль 1
1.1
Группы. Аддитивная
группа вычетов
1.2
Кольца. Кольцо вычетов
1.3
Поля. Поле комплексных
чисел
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 1
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 1
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 1
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Ведение в теорию
линейных пространств
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 2
2.2
Алгебры. Алгебра матриц
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 2
Чтение
дополнительной
литературы
8
2.3
Определители
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 2
11-12
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Решение систем линейных
алгебраических уравнений
3.2
Многочлены
Всего по модулю 3:
ИТОГО семестр 1
Модуль 1
1.1. Линейное пространство над
произвольным полем
7
0-10
19
30
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 3
13-15
10
0-20
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 3
16-18
9
0-15
19
57
0-35
0-100
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 4
1-2
9
0-13
1.2.
Евклидовы и унитарные
пространства
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 4
3-4
10
0-13
1.3.
Линейные операторы и
функционалы
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 4
5-6
10
0-14
29
0-30
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1.
Канонический вид линейных
операторов (жорданова
форма, симметрические,
ортогональные и унитарные
операторы)
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 5
7-8
9
0-15
2.2.
Линейные нормированные
пространства
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 5
9-10
10
0-10
2.3.
Группы преобразований и
классификация движений
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 5
11-12
10
0-10
29
0-35
Всего по модулю 2:
Модуль 3
9
3.1.
Билинейные и квадратичные
формы
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 6
3.2.
Тензорная алгебра
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 6
Чтение
дополнительной
литературы
13-15
19
0-15
16-18
10
0-10
29
87
0-25
0-100
Всего по модулю 3:
ИТОГО семестр 2
4.
Разделы
дисциплины
и
междисциплинарные
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
2.
Теоретическая и прикладная
механика
Численные методы
3
Математический анализ
4
5
.1.2
1.3
2.1
+
+
2.2 2.3
3.1
+
+
+
+
+
+
+
+
Дифференциальные уравнения
+
+
+
+
6
Дифференциальная геометрия
и топология
Функциональный анализ
7
Комплексный анализ
+
+
+
8
Уравнения математической
физики
Гидродинамика
+
+
+
+
+
+
+
+
Механика деформируемого
твердого тела
Вариационное исчисление и
оптимальное управление
+
+
+
+
+
+
+
+
10
11
+
+
3.2
+
9
с
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 семестр
1.1
1.
связи
+
+
+
+
+
+
+
10
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
2 семестр
1.1
1.
Численные методы
2
3
Математический анализ
Дифференциальные уравнения
4
Дифференциальная геометрия
и топология
Функциональный анализ
5
6
7
8
9
10
Векторный и тензорный
анализ
Уравнения математической
физики
Гидродинамика
Механика деформируемого
твердого тела
Вариационное исчисление и
оптимальное управление
.1.2
1.3
2.1
2.2 2.3
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Содержание дисциплины.
В этом разделе материал структурирован на достаточно мелкие порции,
так что каждый пронумерованный пункт одновременно является и
вопросом для подготовки к экзамену.
Семестр 1
МОДУЛЬ 1
1.1 Группы. Аддитивная группа вычетов
Алгебраическая операция.
1. Декартово произведение множеств.
2. Понятие алгебраической операции (внутренней композиции).
Коммутативные и ассоциативные алгебраические операции.
Нейтральный и симметричный элементы относительно алгебраической
операции и теоремы об их единственности. Определение операции,
обратной к алгебраической. Дистрибутивные алгебраические
операции.
5.
Группа
3. Определение группы и общепринятые обозначения группы. Абелевы
группы.
4. Мультипликативное и аддитивное задание группы. Сходство и
различие в основной терминологии.
11
5. Перестановки и мультипликативная группа подстановок;
6. Аддитивная группа вычетов;
7. Циклические группы; разложение группы на смежные классы по
подгруппе; теорема Лагранжа.
8. Понятие о инъективном, сюръективном и биективном отображениях.
Определение изоморфизма групп.
1.2. Кольца. Кольцо вычетов
9. Определение кольца. Анализ аксиом кольца. Свойства кольца
относительно алгебраической операции сложения, относительно
алгебраической операции умножения. Аксиома дистрибутивности.
10.Коммутативное кольцо и кольцо с единицей. Свойства кольца. Понятие
о делителях нуля. Изоморфизм колец.
11.Кольцо вычетов
1.3. Поля. Поле комплексных чисел
12.Определение поля, свойства поля.
13.Примеры полей.
14.Поле комплексных чисел. Равенство, сумма и произведение
комплексных чисел.
15.Представление комплексных чисел через мнимую единицу.
16.Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства.
17.Комплексная плоскость и сложение комплексных чисел на плоскости.
18.Комплексные числа в тригонометрической форме. Модуль и аргумент
комплексного числа. Свойства аргумента. Равенство комплексных
чисел, заданных в тригонометрической форме.
19.Неравенство треугольника на комплексной плоскости.
20.Умножение и деление комплексных чисел, заданных в
тригонометрической форме.
21.Формула Муавра возведения комплексных чисел в целую степень.
22.Вычисление корней из комплексного числа. О возведении
комплексного числа в рациональную степень.
МОДУЛЬ 2
2.1. Введение в теорию линейных пространств.
12
23.Определение вещественного линейного пространства (векторное
пространство), аксиомы внутреннего и внешнего законов композиции.
Понятие разности элементов (векторов) пространства.
24.Классические примеры линейных пространств.
25.Тривиальные и нетривиальные линейные комбинации элементов
(векторов). Понятие линейной зависимости и независимости векторов.
26.Теорема о связи линейной независимости системы векторов с
единственностью разложения линейно-зависимого вектора по этой
системе.
2.2. Алгебры. Алгебра матриц
27.Матрицы. Определение, основные понятия и обозначения.
28.Равные матрицы. Противоположные матрицы. Операция сложения
матриц и ее свойства. Вычитание матриц.
29.Операция произведения матриц на число и ее свойства.
30.Операция произведения матриц и ее свойства.
31.Операция транспонирования матриц и ее свойства.
32.Матрицы специального вида.
33.Элементарные преобразования матриц и матрицы, соответствующие
элементарным преобразованиям. Трапецевидная матрица. Основные
теоремы об элементарных преобразованиях матриц.
2.3. Определители
34.Определитель. Основное определение определителя. Вычисление
определителя треугольной матрицы по определению.
35.Свойства определителя и доказательство одного из них.
36.Понятие минора и его алгебраического дополнения.
37.Теорема Лапласа о разложении определителя по минорам
произвольных k строк (столбцов). Частный случай разложения
определителя по произвольной строке (столбцу)
38.Теоремы о вычислении определителя квазидиагональной матрицы и
определителя произведения матриц.
39.Вычисление определителя методом Гаусса.
40.Доказательство теоремы о «фальшивом » разложении определителя
41.Понятие об обратной, вырожденной и присоединенной матрицах.
Свойства обратной матрицы.
42.Критерий обратимости матрицы и ее вычисление с помощью
присоединенной матрицы (доказательство теоремы.)
13
43.Определение сопряженной матрицы и свойства операции сопряжения
матриц.
Понятие эрмитовой и унитарной матриц. Вычисление матрицы,
обратной к унитарной
44.Теорема о приведении невырожденной матрицы к единичной
матрице.
45.Решение систем алгебраических уравнений с невырожденной
матрицей методом обратной матрицы и методом Жордана.
46.Понятие о ранге матрицы и базисном миноре. Теорема о базисном
миноре.
47.Теоремы о ранге матрицы. Теоремы о преобразованиях матрицы, не
меняющих ее ранг.
48.Теоретическая основа метода Гаусса вычисления ранга.
49.Понятие о эквивалентных матрицах и о необходимом и достаточном
условии их эквивалентности.
50.Понятие о базисе линейного пространства. Теореме о необходимом и
достаточном признаке базиса. Размерность пространства.
51.Понятие о конечномерном и бесконечномерном линейных
пространствах.
52.Базис и координаты вектора. Сложение векторов и умножение вектора
на число в координатной форме.
53.Два базиса n-мерного пространства и матрицы взаимного
преобразования базисов. Связь координат вектора, заданного в двух
базисах.
54.Понятие о линейном подпространстве и линейном многообразии.
55.Понятие прямой суммы подпространств и критерии прямой суммы.
56.
МОДУЛЬ 3
3.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений
57.Система линейных алгебраических уравнений. Основные понятия и
формы записи.
58.Эквивалентные преобразования системы уравнений. Теорема об
умножении системы Ax  b на невырожденную матрицу. Произвольная
невырожденная матрица как произведение матриц элементарных
преобразований.
59.Решение систем уравнений с невырожденной матрицей методом
Крамера и с помощью обратной матрицы.
14
60.Алгебраические системы уравнений общего вида. Теорема КронекераКапели.
61.Однородные алгебраические системы.
62.Главные и свободные неизвестные алгебраической системы общего
вида и техника получения всех решений.
63.Общее решение системы уравнений. Однородные системы линейных
уравнений и их свойства.
64.Метод Гаусса исследования и решения системы линейных уравнений.
3.2. Многочлены
65.Кольцо многочленов.
66.Деление многочленов с остатком; теорема Безу.
67.Корни многочлена, их кратность. Формулы Виета связи корней и
коэффициентов многочлена.
68.Наибольший общий делитель многочленов и алгоритм Евклида его
нахождения.
Семестр 2
МОДУЛЬ 1
1.1. Линейное пространство над произвольным полем
69.Определение линейного (векторного) пространства над произвольным
полем.
70.База и ранг системы векторов. Базис линейного пространства.
71.Примеры: рациональное, вещественное и комплексное пространства.
72.Пример: поле вычетов по модулю два (состоит всего из двух
элементов: 0,1).
73.Пример: Множество М состоит из n элементов. На нем строится
множество S всех его подмножеств. На множестве S вводится
операция сложения двух элементов
как объединение
соответствующих подмножеств с удалением из него пересечения этих
подмножеств. Внешняя композиция задается над полем вычетов по
модулю два по правилу: умножение на 0 дает нулевой элемент, а
умножение на 1 не меняет элемент. Показать, что множество S
относительно введенных операций является полем.
74.Определение изоморфизма пространств над общим полем.
75.Линейное подпространство над произвольным полем, его
размерность. Сумма и пересечение линейных подпространств и их
размерности.
76.Понятие прямой суммы подпространств и критерии прямой суммы.
15
1.2. Евклидовы и унитарные пространства
77.Определение скалярного произведения в вещественном или
комплексном пространствах. Аксиомы скалярного произведения.
Скалярное произведение в вещественном пространстве – частный
случай скалярного произведения в комплексном пространстве.
78.Определение евклидова и унитарного пространств. Примеры таких
пространств.
79.Неравенство Коши-Буняковского.
80.Неравенства треугольника.
81.Определение матрицы Грама и ее свойства.
82.Вычисление скалярного произведения векторов при наличии базиса
евклидова (унитарного) пространства с помощью матрицы Грама.
83.Определение изоморфизма евклидовых (унитарных) пространств.
84.Ортогональные
векторы.
Линейная
независимость
системы
ортонормированных векторов. Базис евклидова (унитарного)
пространства.
85.Вычисление координат вектора в пространстве с ортонормированным
базисом. Вычисление скалярного произведения.
86.Теорема о существовании ортонормированного базиса в
конечномерном пространстве и процесс ортогонализации Шмидта.
1.3. Линейные операторы и функционалы
87.Определение линейного оператора, действующего из пространства V в
пространство W, заданных над общим полем. Свойства линейного
пространства: сохранение нулевого элемента, сохранение линейной
комбинации и сохранение линейной независимости.
88.Примеры линейных операторов: оператор проектирования, оператор
отражения, нулевой оператор, единичный оператор, оператор
дифференцирования, линейный оператор-«изоморфизм линейных
пространств».
89.Теорема о связи базиса n- мерного пространства V c произвольной
системой n векторов пространства W, устанавливаемой с помощью
оператора A:V→W.
90.Матрица Afe оператора A в паре базисов e и f и ее однозначность.
91.Использование матрицы Afe оператора A для преобразования векторов
из пространства V в пространство W.
92.Подобие квадратных матриц.
93.Связь матриц оператора A, заданных в разных парах базисов.
94.Связь матриц оператора A, преобразующего пространство в себя,
заданных в разных базисах.
16
95.Образ и ядро линейного оператора, а также его ранг и дефект.
96.Линейное пространство линейных операторов, умножение линейных
операторов. Обратный оператор. Теорема Кэли-Гамильтона.
МОДУЛЬ 2
2.1. Канонический вид линейных операторов (жорданова форма,
симметрические, ортогональные и унитарные операторы)
97.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Характеристический многочлен.
98.Операторы и матрицы простой структуры.
99.Инвариантные подпространства.
100.
Корневые подпространства. Жорданова форма
матрицы
линейных операторов
101.
Сопряженный и самосопряженный операторы
102.
Нормальные операторы
103.
Унитарные операторы
2.2. Линейные нормированные пространства
104.
Норма оператора
105.
Линейные операторы в нормированных пространствах.
106.
Нормы операторов и матриц
2.3. Группы преобразований и классификация движений
107. Группы преобразований
108. Классификация движений
МОДУЛЬ 3
3.1. Билинейные и квадратичные формы
109.
Билинейные формы. Определения. Способы записи билинейной
формы в конечномерном пространстве с заданным базисом. Матрица
билинейной формы.
110.
Теорема о связи матриц билинейной формы, заданной в разных
базисах
111.
Симметричная билинейная форма и ее связь с симметричной
матрицей.
112.
Вырожденные и невырожденные билинейные формы
17
113.
Квадратичные формы и полярные к ним формы. Связь матриц
данной квадратичной формы, заданной в разных базисах. Компактная
запись квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
114.
Канонический базис и канонический вид квадратичной формы.
Канонический вид билинейной формы.
115.
Метод Якоби получения канонической формы квадратичной
формы и условия его применения.
116.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к
каноническому виду.
117.
Положительный
и
отрицательный
индексы
инерции
квадратичной формы и ее сигнатура. Закон инерции квадратичной
формы. Сигнатурное правило Якоби.
118.
Критерий
Сильвестра
положительно
(отрицательно)
определенной квадратичной формы.
3.2. Тензорная алгебра
119. Тензорная алгебра векторного пространства
120. Симметрическая алгебра
121. Алгебра Грассмана.
18
Планы семинарских занятий.
1
1
2
3
2
Семестр 1
Модуль 1
1.1. Группы.
Аддитивная группа
вычетов
1.2. Кольца. Кольцо
вычетов
1.3. Поля. Поле
комплексных чисел
2
2.1. Введение в
теорию линейных
пространств
2.2. Алгебры. Алгебра
матриц
ая работа*
Тема аудиторных семинарских занятий
3
4
5
6
7
1
2
2
3
2-3
4
4
6
4-6
6
6
10
Простейшие примеры числовых множеств, образующие группы по сложению или
умножению.
Подробный разбор аддитивной группы вычетов. Примеры изоморфных групп.
Простейшие примеры числовых колец. Подробный разбор кольца вычетов. Примеры
изоморфизма колец
Определение полей. Простейшие числовые поля. Поле комплексных чисел. Вычисления с
комплексными числами. Вычисления с использованием тригонометрической формы.
Формула Муавра. Корни комплексного числа.
12
12
19
7-8
4
4
6
9-10
4
4
6
Всего
Модуль 2
1
Виды учебной
работы в часах.
Семинарские
(практические)
занятия*
Самостоятельн
Модули
недели семестра
№
Лекции*
6.
Геометрические векторы. Вещественное линейное пространство. Линейная зависимость и
независимость векторов. Базис и координаты. Линейное пространство и линейное
многообразие.
Сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц. Матрицы
специального вида. Элементарные преобразования матриц. Квадратные матрицы. Алгебра
квадратных матриц.
19
3
2.3. Определители
1112
Всего
4
4
7
12
12
19
Перестановки. Вычисление определителя с использованием его свойств. Миноры и
алгебраические дополнения. Вычисление определителя по теореме Лапласа. Вычисление
определителя методом Гаусса. Обратная матрица, вычисление обратной матрицы с
помощью присоединенной матрицы. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Жордана.
Модуль 3
1
3.1. Решение систем
линейных
алгебраических
уравнений
1315
6
6
10
2
3.2. Многочлены
1618
6
6
9
Всего
12
12
19
Всего семестр 1
36
36
57
Вычисление ранга матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений
методом обратной матрицы и Крамера. Системы общего вида, выяснение их совместности
или несовместности по теореме Кронекера Капелли. Выявление главных и свободных
неизвестных системы уравнений. Приведение системы уравнений к к системе с
трапецевидной матрицей методом элементарных преобразований. Вычисление общего
решения системы методом Гаусса. Однородные системы уравнений. Линейное
подпространство решений однородной системы. Представление общего решения системы
уравнений через частное решение неоднородной и общее решение однородной систем.
Многочлены над произвольным полем. Операции сложения и умножения многочленов.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Корни
многочлена. Разложение многочлена в произведение n линейных множителей. Формулы
Вьета. Многочлены над полем действительных чисел и их разложение на неразложимые
множители.
Семестр 2
n
Модуль 1
20
1
1.1. Линейное
пространство над
произвольным полем
1-2
6
6
9
Примеры линейных пространств над произвольным полем. Примеры: рациональное,
вещественное и комплексное пространства.
Пример: поле вычетов по модулю два (состоит всего из двух элементов: 0,1).
Пример: Множество М состоит из n элементов. На нем строится множество S всех его
подмножеств. На множестве S вводится операция сложения двух элементов как
объединение соответствующих подмножеств с удалением из него пересечения этих
подмножеств. Внешняя композиция задается над полем вычетов по модулю два по
правилу: умножение на 0 дает нулевой элемент, а умножение на 1 не меняет элемент.
Показать, что множество S относительно введенных операций является полем.
2
1.2. Евклидовы и
унитарные
пространства
3-4
6
6
10
3
1.3. Линейные
операторы и
функционалы
5-6
6
6
10
Примеры введения скалярного произведения в вещественных и комплексных
пространствах. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в евклидовом и
унитарном пространствах. Матрица Грама, линейная независимость векторов и базис в
евклидовом и унитарном пространствах. Изоморфизм евклидовых или унитарных
пространств. Ортонормированный базис, вычисление координат векторов. Унитарная и
ортогональная матрицы.
Примеры линейных операторов и функционалов. Примеры операторов, не являющихся
линейными. Вычисление матрицы различных операторов в паре базисов. Подобие матриц.
Матрицы линейных операторов в разных базисах. Образ и ядро линейного оператора.
Вычисление ранга и дефекта линейного оператора. Примеры на умножение линейных
операторов, обратный оператор.
18
18
29
6
6
9
Всего
Модуль 2
1
2.1. Канонический вид
линейных операторов
(жорданова форма,
симметрические,
7-8
Собственные числа и собственные векторы линейных операторов. Характеристический
многочлен. Собственные подпространства линейных операторов. Операторы и матрицы
простой структуры и ее канонический вид. Жорданова форма линейного оператора.
Симметрические, ортогональные и унитарные операторы.
21
ортогональные и
унитарные
операторы)
2
2.2. Линейные
нормированные
пространства
9-10
6
6
10
Норма вектора. Нормы в евклидовых пространствах. Примеры. Нормы в арифметических
пространствах. Нормы в пространствах матриц. Сходимости векторов по норме.
Эквивалентность норм. Линейные операторы в нормированных пространствах
3
2.3. Группы
преобразований и
классификация
движений
1112
6
6
10
Примеры групп преобразований: Группа подстановок, группа движений евклидовой
плоскости (пространства), группа невырожденных квадратных матриц. Группа
ортогональных преобразований
18
18
29
Всего
Модуль 3
1
3.1. Билинейные и
квадратичные формы
1315
9
9
19
2
3.2. Тензорная
алгебра
1618
9
9
10
18
18
29
Всего
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Выяснение
положительной определенности квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра.
Квадратичные формы в вещественном пространстве. Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределенные квадратичные формы. Квадратичные формы в комплексном
пространстве. Квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве
Понятие тензора. Тензоры в механике Прямое тензорное исчисление.
22
Всего семестр 2
54
54
87
Всего за год
90
90
144
23
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Отсутствует
8. Примерная тематика курсовых работ Отсутствует
9. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
 Вопросы к экзамену к каждому семестру расписаны выше и
соответствуют номерам пунктов раздела 5- Содержание дисциплины.
Варианты контрольных работ
Контрольная работа №1.
1. Вычислить определитель:
1 2
4 3
 1 
1 2

2 1
3 4  5
2 1  11

1 2  9
 
2 1  11
5 4 6
9 4 5 
8 3 6

9 4 7
2. Решить систему уравнений методом Крамера:
 x1  2 x2  3x3  6

 x1  4 x2  3x3  8
2 x  6 x  9 x  17
2
3
 1
3. Решить матричное уравнение:
 2 1 2
 1 1 1  1 1 1 
 3 2 4   X   3 2 2   1 1 2 



 

5 3 7
 6 3 4  1 2 3 



 

Контрольная работа №2.
1. Вычислить ранг матрицы:
 7 4
 2 0

 3 4

 8 8
 15 12

12 11
21 9
30 7
63 5
75 6
2. Решить систему линейных уравнений:
2
16
34
36
38
4 
15 
26 

21 
17 
 2 x1  x2  3 x3  7 x4  5
 6 x  3x  x  4 x  7

1
2
3
4

 4 x1  2 x2  2 x3  3 x4  2
4 x1  2 x2  14 x3  31x4  18
3. Решить систему линейных однородных уравнений:
 2 x1  x2  3x3  5 x4  0
 x  2x  2x  x  0
 1
2
3
4

 3 x2  7 x3  7 x4  0
 x1  4 x2  12 x3  13x4  0
a  1, 2,  3, 2 
4. Известны координаты вектора
в
 e1, e2 , e3, e4  . Найти координаты этого вектора в
 e1  e2  e3  e4 , e1  e2  e3, e1  e2 , e1  .
базисе
базисе
Контрольная работа №3.
1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
оператора, заданного в некотором базисе матрицей:
 1 3 1
 3 5 1


 3 3 1 


2. Вычислить в поле комплексных чисел:
4 64
3. Найти наибольший общий делитель многочленов:
x5  2 x 4  2 x3  3 x  2 и x 4  2 x 3  3 x 2  2 x  4 .
10. Образовательные технологии.
аудиторные занятия:
 лекционные и практические занятия (коллоквиумы, семинары,
специализированные практикумы); на практических занятиях
контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке
домашних заданий. В течение семестра студенты решают
задачи, указанные преподавателем к каждому семинару.
25
активные и интерактивные формы (лекционные и семинарские
занятия в диалоговом режиме, компьютерное моделирование и
практический анализ результатов, научные дискуссии, работа
студенческих
исследовательских
групп,
вузовские
и
межвузовские видеоконференции).
внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа: Индивидуальные расчетные задания
по каждому модулю с индивидуальным (интерактивным)
отчетом преподавателю в конце каждой контрольной точки.
 индивидуальные консультации.
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины .
11.1. Основная литература:
1. В.А. Ильин, Г.Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
М.: ТК Велби, Издательство проспект, 2008
2. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы
и задачи. Т. 1.2. М.: Планета знаний. 2007 г.
3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. Санкт-Петербург-МоскваКраснодар: Лань. 2006г.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., “Наука”, 1971 г.
11.2. Дополнительная литература:
1. Винберг Э.Б. Курс алгебры М.: МЦНМО, 2011
2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М., “Наука”, 1970 г.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., “Наука”,
1974 г.
4. Александров П.С. Курс линейной алгебры и геометрии. М.: Наука,
1986. – 582 с.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
Не требуется.
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины.
Данный предмет является абстрактным математическим предметом.
Для наглядной реализации отдельных задач потребуется компьютер, с
установленными на нем пакетами компьютерной математики. Аудитории для
чтения лекций и проведения практик оборудованы компьютером и
мультимедийной техникой и этого достаточно.
26