о вариантах метода

В.М. Мадорский
БрГУ им. А.С. Пушкина (г. Брест, Беларусь)
О ВАРИАНТАХ МЕТОДА КАНТОРОВИЧАКРАСНОСЕЛЬСКОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Приближенное
решение
недифференцируемым оператором
операторного
Gx  0 ,
уравнения
предложено
находить
с
в
работе [1] с помощью локального процесса
xn1  xn  F x0  Gxn ,
1
n  0,1,...
(1)
F x  дифференцируемый оператор, хорошо аппроксимирующий Gx  по
равномерной метрике и формулируется теорема о сходимости процесса(1).
Недостатки данной теоремы заключаются в том, что процесс (1)
является локальным линейным процессом, то есть линейно сходится к
решению с «хорошего» начального приближения и проблема заключается
в том, как найти это начальное приближение. Кроме того, константы,
участвующие в формулировке теоремы,
трудно,
либо
настолько
завышенными,
находятся либо достаточно
что
применить
теорему
невозможно. Дополнительная трудность заключается в выборе оператора
F, который должен хорошо аппроксимировать G по равномерной метрике.
Поэтому для решения нелинейного операторного уравнения
f ( x)  g ( x)  0
(2)
f , g – нелинейные операторы, действующие из некоторой выпуклой
1
области D из X в X, Х – банахово пространство, при этом f  CD , g  CD ,
предлагается нелокальный алгоритм с регулировкой шага:
Шаг 1. Решается линейная система для определения поправки x n
(n f ( xn )  g ( xn )  f ( xn ))( xn1  xn )   n  f ( xn )   n1 g ( xn ), n  0, 1, ...
(3)
Шаг 2. Находится очередное приближение
xn1  xn  xn .
(4)
Шаг 3. Проверяется выполнение условия || f ( xn1 ) ||  , -малая величина
(параметр останова). Если условие выполняется, то конец просчетов, иначе
Шаг 4. Производится пересчет шаговой длины по формуле: если
f ( xn 1 )  f ( xn ) , то  n 1 : 1 , иначе


n1


n1
  n || f ( x )   g ( x ) || 
0
n1
0
,
 || f ( x )   n g ( x ) ||  n 


n1
n1
 min 1,

n1 n ,    2 ;
0
0
n

(5)

 0 ,  1  10 6 ,10 1 ,  1   0 ;
и переход на шаг 1.
Относительно
оператора
f
предполагаем,
что
производная
Фреше f (x) оператора f удовлетворяет условию Липшица с некоторой
константой L и

f ( xn )  g ( xn )  f ( xn )
1
n
 B , x  D . Относительно
оператора g полагаем, что x  D имеет место соотношение
||  n g ( xn 1 )   n 1 g ( xn ) ||  n L || xn ||  || f ( xn )   n 1 g ( xn ) || .
Теорема
1.
Пусть
в
области
(6)
 B || f ( x0 )   1 g ( x0 ) || 

D  S  x0 ,
1

q
0


существует x * – решение уравнения (2), операторы f и g удовлетворяют
перечисленным выше условиям, начальное приближение x0 и шаговые
длины  0 ,  1 таковы, что
 0   0 ( KB  LB 2 ) || f ( x0 )   1 g ( x0 ) || 1 .
Тогда
алгоритм
(3)
–
(5)
со
сверхлинейной
(локально
с
квадратичной) скоростью сходится к x * .
Рассмотрим сходимость процесса (3) – (5) в условиях Вертгейма, то
есть если производная Фреше оператора f (x) удовлетворяет условию
Гельдера вида
|| f ( x)  f ( y ) || L || x  y || p , L  0 , 0  p  1 .
(7)
Теорема 2.[2] Пусть в интересующей нас области D выполняются
условия теоремы 1, оператор f (x) удовлетворяет условию (7), начальное
приближение x0 и шаговые длины  0 ,  1 таковы, что
 0   0p ( KB  LB 1 p ) || f ( x0 )   1 g ( x0 ) || p  1.
Тогда алгоритм (3) – (5) со сверхлинейной скоростью сходится к x * .
Теорема 3. [2] Если операторы f и g недифференцируемы, но
оператор первой разделенной разности  f ( xn , y n )
1
по норме равномерно
ограничен в интересующей нас области D константой B  0 , оператор
f ( x, y) удовлетворяет условию Липшица с некоторой константой L имеет
место соотношение (6), а шаговая длина  n и начальное приближение x0
таковы, что выполняется условие
1
 0   0 ( KB  LBM ) || f ( x 0 )   1 g ( x 0 ) || 1, || E   f ( xn , y n ) || M ,
то итерационный процесс (8), (4), (5) со сверхлинейной скоростью
сходится к x * – решению уравнения (2), если решение в D существует.
f ( xn , yn )( xn 1  xn )    n ( f ( xn )   n 1 g ( xn )),
y n  xn   n ( f ( xn )   n1 g ( xn )).
Доказательства сформулированных выше теорем, проводятся по
схеме, предложенной автором в работе [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Красносельский, М.А. [и др.] Приближённое решение
операторных уравнений./ М.А. Красносельский – Москва: Наука, 1969. –
455с.
2. Мадорский, В.М. Квазиньютоновские процессы для решения
нелинейных уравнений./ В.М. Мадорский – Брест: БрГУ, 2005. – 174с.
(8)