ТЕРМОДИНАМИКА ДЕБАЕВСКИХ СИСТЕМ В СЛАБО И УМЕРЕННО НЕИДЕАЛЬНЫХ РЕЖИМАХ

ТЕРМОДИНАМИКА ДЕБАЕВСКИХ
СИСТЕМ В СЛАБО И УМЕРЕННО
НЕИДЕАЛЬНЫХ РЕЖИМАХ
А.Г. Храпак1, С.А. Храпак1,2
1Объединенный
институт высоких температур РАН, Москва, Россия
2Max-Planck-Institut für extraterrestrische Physik, Garching, Germany
NPP 2013
Москва, 3-4 декабря 2013
Содержание
•
•
•
•
•
Модель
Приближение Дебая-Хюккеля
Приближение «Debye-Hückel plus hole» (DHH)
Однокомпонентная плазма
Уравнение состояния в приближении DHH
Модель
Рассматривается двухкомпонентная система состоящая из
микрочастиц с зарядом Q плотности n и нейтрализующей
среды, характеризуемой зарядом –e и плотностью nb. В
равновесии система квазинейтральна:
Qn0  enb 0  0
Будем характеризовать систему двумя параметрами:
Q2

,
  akb
aT
a  (3 / 4n0 )1/ 3  радиус Вигнера-Зейтса
kb  4e2nb0 / T
 обратная длина дебая фона
k p  4Q2nb0 / T  3 / a
k  kb2  k p2  kb 1  3 /  2
Приближение Дебая-Хюккеля
В режиме предельно слабой неидеальности (Γ << 1)
справедливо приближение Дебая-Хюккеля. Линеаризация
распределения Больцмана для обоих компонент дает для
электростатического потенциала вокруг пробной частицы
 (r )  (Q / r ) exp( kr )
Избыточная внутренняя энергия при этом равна
U ex 1 Q 
Q
1 Q 2 k
1
3
uex 

 (r )    
   1  2

NT 2 T 
r  r 0
2 T
2

В пределе Г→ 0 uex   / 2,
а в пределе κ→ 0 (ОСР)
uex   33/ 2 / 2
Приближение Дебая-Хюккеля
Нормированная избыточная свободная энергия
uex ( , )
 3  3 
f ex  Fex / NT   d
  1  2 

9   
0

Давление
3/ 2

 1

PV
 f 
p
 n 
NT
 n T
Избыточное давление
 f ex  f ex
1  3 
pex 

   1  2 
3  3 
2   
1/ 2
В пределе κ → 0 (ОСР)
pex  
1
2 3
3/ 2


  3 
 1  2   1
9   

3

3/ 2
1
 uex
3
Приближение Дебая-Хюккеля
Свободная энергия fex в слабонеидеальном режиме, Г = 1,
при различных значениях κ
MD:
R. T. Farouki and S.
Hamaguchi, J. Chem. Phys.
101 (1994) 9885;
S. Hamaguchi, R. T. Farouki,
and D. H. E. Dubin, Phys.
Rev. E 56 (1997) 4671.
30
=1
f = (fex-fMD)/fMD
f, %
20
DH
10
DH:
3/ 2


  3 
f ex   1  2   1
9   

3
0
0
1
2
3

4
5
Приближение «Debye-Hückel plus hole» (DHH)
Уравнение Пуассона
  4 (Qn  enb )
nb  nb 0 exp( e / T )  nb 0 (1  e / T );
Внутри полости
rh
0,
n
n0 (1  Q / T ), r  h
in  kb2in  4enb 0
in (r )  ( A1 / r ) exp( kb r )  ( A2 / r ) exp( kb r )  A3
Вне полости
out  k 
2
 out
out (r )  ( B / r ) exp( k r )
_________________________________________________________________
Приближение DHH впервые было предложено для ОСР Грязновым и
Иосилевским (1973), а затем заново открыто Нордхольмом (1984)
Приближение DHH
Сшивая потенциал в т. r = h
 (h)
in (h)  out (h), in (h)  out
и используя дополнительные условия
out (h)  T / Q (n(h)  0) и ( A1  A2 )  Q (in  Q / r при r  0),
получаем уравнение для определения радиуса полости h(κ,Γ):

3  x 
3   x 
x 1  1  2 e  1  1  2 e   3[( x  1)e x  ( x  1)e x ]  2 3  0,
 
  


2
где x = kbh. Внутренняя энергия в приближении DHH равна:
1Q
Q
x
3
3 
2
x
x
uex ( , ) 
 (r )    (1  1  3 /  )e  2 ( x  1)e  2 

2T 
r  r 0 2
2
2
2
Приближение DHH
Внутренняя энергия в зависимости от Г при различных κ
Пунктир – приближение DH при κ = 0 (ОСР), точечная кривая –
аппроксимация uex(Γ) = aΓ + bΓ1/3 + c + dΓ-1/3 [Stringfellow et al. (1990)],
точки – результаты MD моделирования [Hamaguchi et al. (1997)]. Γm –
значение Г на линии кристаллизации.
Приближение DHH
Свободная энергия fex в слабонеидеальном режиме, Г = 1,
при различных значениях κ

30
uex ( , )
f ex   d

0
=1
f = (fex-fMD)/fMD
f, %
20
MD:
R. T. Farouki and S.
Hamaguchi, J. Chem. Phys.
101 (1994) 9885;
S. Hamaguchi, R. T. Farouki,
and D. H. E. Dubin, Phys.
Rev. E 56 (1997) 4671.
DH
10
DHH
0
0
1
3
2

4
5
Однокомпонентная плазма (ОСР)
В пределе κ = akb → 0 уравнения для определения радиуса
полости h и внутренней энергии u принимают вид:
k p h  [1  (3)3 / 2 ]1/ 3  1,
k p  4e2n0 / T
1
1
1
uex ()   k ph  k p2 h 2   {[1  (3)3 / 2 ]2 / 3  1}
2
4
4
Эти уравнения совпадают с полученными ранее Грязновам и
Иосилевским (1973) и Нордхольмом (1984). В режиме сильной
неидеальности Г >> 1, DHH приближение приводит к
правильной зависимости u ~ Γ, но со слишком малым
коэффициентом пропорциональности (0.750 вместо 0.899).
Однокомпонентная плазма (ОСР)
Радиус полости h представляет собой минимальное расстояние между
частицами в модели DHH. Это означает, что взаимодействие между
частицами может рассматриваться как состоящее из сильного твердосферного отталкивания при r ≤ h и слабого дебаевского притяжения
при r > h. Обратный радиус полости h-1 можно использовать в качестве
оценки максимального волнового вектора kmax, фигурирующего в
кинетической модели при определении кулоновского логарифма
1
1
2
  ln[ 1  (kmax / k p ) ]  ln[ 1  (1 / k p h) 2 ]
2
2
k p h  [1  (3)3/ 2 ]1/ 3 1
  1,    ln( 33 / 2 ),
  1,   ln( 1  1 / 3) / 2  1 / 6
Однокомпонентная плазма (ОСР)
D ~ 1 / 5 / 2 
Результат нашей оценки в
нормировке Розенфельда
DR  0.0384(m / )
Зависимость приведенного коэффициента диффузии от приведенного
параметра неидеальности. Линия  результат наших вычислений
[S.Khrapak (2013)], точки результаты MD моделирования [Hansen et al.
(1975), Ohta and Hamaguchi (2000)].
Уравнение состояния в приближении DHH
Вириальное уравнение для избыточного давления имеет вид:

2n0 3
pex  
r V (r )[ g (r )  1]dr

3T 0
Используя парную корреляционную функцию модели DHH
rh
0,
g (r )  
1  Qout (r ) / T , r  h
получаем для избыточного давления

1 
e x
x
2
pex 
 3  e (3  3x  x ) 
2
2
1  1  3 /  2

x
 x  x 2 
1  1  3 /  2

где x = kbh – нормированный размер полости.

,

Уравнение состояния в приближении DHH
Избыточное давление в зависимости от параметра неидеальности в
приближении DHH
Спасибо за внимание!
Пыле-звуковые волны
2
q2
q2
 2
  p
2
2
 p q   3
  C p / Cv
 p  1  pex 
 pex  pex

3 
3 
2
q2
q2
4


(
3

uex )
2
2
2
 p q   3
15
Дисперсия продольных пыле-звуковых волн в дебаевских жидкостях вблизи
линии кристаллизации. Точки – результат MD моделирования [Ohta,
Hamaguchi (2000, 2001)].