НИУ ВШЭ МИЭМ 1 семестр, 2012-2013 уч. год Дополнительные главы в микро- и макроэкономике. МИКРОЭКОНОМИКА Задания к занятию 3. Тема: выбор потребителя в условиях неопределенности. Задание 1. Предпочтения индивида, имеющего богатство w =$4, представимы элементарной функцией полезности (функцией Бернулли) вида u ( x ) x . У него есть лотерейный билет, по которому индивид может выиграть $12 с вероятностью 1 / 2 или не выиграть ничего. (а) За какую минимальную цену индивид согласится продать этот билет? Проиллюстрируйте решение графически. (б) Если у индивида нет такого лотерейного билета, за какую максимальную цену он согласится купить такой билет? Проиллюстрируйте решение графически. Задание 2. Рассмотрите индивида, которому предложили выбрать между получением 175 руб. и участием в лотерее, по которой можно выиграть 400 руб. с вероятностью 1 / 4 и 100 руб. с вероятностью 3 / 4 . (а) Если известно, что индивид является рискофобом, то какую альтернативу он выберет? (б) Предположим теперь, что индивиду предложили выбор между лотерей и получением 170 руб. Если индивид предпочел участие в лотерее, то можно ли сделать однозначный вывод о том, что он является рискофилом? (в) Предположим теперь, что предпочтения индивида описываются ожидаемой функцией полезности с элементарной функцией полезности u ( x ) x . Найдите денежный (гарантированный) эквивалент лотереи и проиллюстрируйте его графически на двух рисунках, один из которых выполнен в осях контингентных товаров, а другой в осях «богатство-полезность». Задание 3. Верны ли следующие утверждения (если вы считаете, что утверждение верно, то докажите его; если – неверно, то приведите контрпример): (а) Агент-рискофоб никогда не будет рисковать; (б) Агент-рискофил будет рисковать всегда? Задание 4. Рассмотрите индивида, имеющего первоначальное богатство, равное 200 руб. Предположим, ему предложили принять участие в игре «орел-решка» с несимметричной монетой, такой, что вероятность выпадения «орла» равна 2 / 3 . Поставив 1 руб. индивид выиграет 3 руб., если выпадет «орел», и потеряет свою ставку в противном случае. Пусть элементарная функция полезности индивида имеет вид: u ( x) ln( x) . Будем считать, что индивид может произвольно варьировать ставку и выигрыш пропорционален ставке. Укажите все ставки, на которые индивид согласится играть, если они будут предположены, и ставки, на которые индивид никогда не согласится. Изобразите графически. Задание 5. Фермер на своих полях площадью 100 акров может выращивать зерно или картошку или обе культуры. В случае хорошей погоды один акр земли зерновых приносит прибыль в $4, а один акр картофеля приносит $2. При неблагоприятных погодных условиях один акр зерновых даст $1 прибыли, а один акр картофеля принесет $2 прибыли. Хорошая и плохая погода равновероятны. (а) Предполагая, что элементарная функция полезности фермера имеет вид u( x ) ln x , найдите, сколько земли следует отдать под зерновые. (б) Как изменился бы ваш ответ на пункт (а), если бы в случае хорошей погоды один акр зерновых приносил не $4, а лишь $3 прибыли? (Попытайтесь ответить на вопрос, не решая вновь задачу потребителя). (в) Предположим теперь, что отдача от зерновых такая же как в пункте (б), но элементарная функция полезности фермера имеет вид u( x ) x 2 . Сколько земли будет отведено под зерновые в этом случае? (Попытайтесь ответить на вопрос, не решая вновь задачу потребителя). Задание 6. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида, предпочтения которого описываются элементарной функцией полезности ux ln x 1 . Пусть агент может потерять y % своего богатства, равного 10000 долларов, с вероятностью . (а) Пусть агенту предлагается актуарно справедливая страховка. Если известно, что агент застраховался на сумму 1500 долларов, что чему равно y ? НИУ ВШЭ МИЭМ 1 семестр, 2012-2013 уч. год Дополнительные главы в микро- и макроэкономике. МИКРОЭКОНОМИКА (б) Считайте, что y равен величине, найденной в пункте (а), вероятность наступления страхового случая равна 1/5, а цена страховки составляет $0,25 за каждый доллар страхового покрытия. На какую сумму застрахуется индивид? Задание 7. Предпочтения индивида представимы элементарной функцией полезности вида u ( x ) x . Его богатство w составляет $10. У него есть возможность вложить свои деньги в безрисковый актив, который принесет $2 на каждый вложенный доллар, кроме этого ему предлагается вложить деньги в актив, который принесет $5 на каждый вложенный доллар с вероятностью 1/3 и вернет только вложенные деньги с вероятностью 2 / 3 . (а) Какой объем средств будет вложен данным агентом в рисковый актив? (б) Если бы рисковый актив приносил индивиду при тех же вероятностях не $5 , а $4, то какой объем средств был бы вложен в рисковый актив? Попробуйте ответить на данный вопрос, не решая вновь задачу потребителя. (в) Как изменится ответ на вопрос пункта (а), если элементарная функция полезности индивида имеет вид u ( x) x 2 ? Задание 8. Окончив школу, выпускник решает, какую профессию ему выбрать. Если он станет программистом, то его доход составляет 49 тыс. долларов в год. Если же он выберет профессию инженерастроителя, то станет зарабатывать 100 тыс. долларов, если будет рост жилищного строительства, и 16 тыс. долларов в противном случае. Вероятность того, что рынок жилищного строительства будет на подъеме, равна 75%. Выпускник может обратиться к услугам консалтинговой фирмы для составления прогноза поведения рынка, который с определенностью покажет, будет рост жилищного строительства или нет. Пусть предпочтения выпускника описываются элементарной функцией полезности u x x . Какую максимальную цену будет готов заплатить выпускник за услуги консалтинговой фирмы?