Школьная олимпиада по математике

Школьная олимпиада по математике
8 класс
1. Найти хотя бы одно натуральное число n, при котором число 2 n + 3 будет
составным.
2. Доказать, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного
четырёхугольника – параллелограмм.
3. Арбуз весил 12 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал
Содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?
4. Три брата – Александр, Борис и Сергей преподают различные предметы в школах
Архангельска, Северодвинска и Котласа. Александр работает не в Архангельске, а
Борис не в Северодвинске. Архангелогородец преподаёт не математику. Тот, кто
работает в Северодвинске, преподаёт химию. Борис преподаёт физику. Какую
дисциплину преподаёт Сергей и в каком городе?
5. Решить числовой ребус: **5
1* *
2**5
+13*0
***
4*77*.
Составила: Кулакова Т.М.
Школьная олимпиада по математике
8 класс
1. Найти хотя бы одно натуральное число n, при котором число 2 n + 3 будет
составным.
2. Доказать, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного
четырёхугольника – параллелограмм.
3. Арбуз весил 12 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал
Содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?
4. Три брата – Александр, Борис и Сергей преподают различные предметы в школах
Архангельска, Северодвинска и Котласа. Александр работает не в Архангельске, а
Борис не в Северодвинске. Архангелогородец преподаёт не математику. Тот, кто
работает в Северодвинске, преподаёт химию. Борис преподаёт физику. Какую
дисциплину преподаёт Сергей и в каком городе?
5. Решить числовой ребус: **5
1* *
2**5
+13*0
***
4*77*.
Ответы и решения.
1. Например, при n = 5,получим: 2 5 +3 = 32 =3 =35 = 5∙7- составное число.
2. Указание .Использовать теорему о средней линии треугольника.
3. Решение: масса « сухого вещества» арбуза составляет 1% первоначальной
массы, или 12∙0,01 = 0,12 кг. После того, как арбуз усох, масса 2 сухого
вещества» составляла 2% от новой массы арбуза. Новая масса будет равна:
0,12: 0,02 = 6 кг.
После того как арбуз усох, его масса уменьшилась вдвое.
4.Возможны два случая: Сергей работает в Котласе учителем математики или
Сергей работает в Северодвинске учителем химии. ( Ответ легче найти, заполняя
по условию три таблицы)
Город
Александр
Борис
Сергей
Архангельск
Северодвинск
Котлас
5. Ответ: 325
147
2275
+1300
325
47775
Олимпиада по математике 9 класс.
Школьный тур.
1. Найти самое малое четырёхзначное число, которое при делении на 6 даёт
остаток 5.
2. На рисунке изображён график функции
у=ах2 +вх +с.
Указать знаки коэффициентов а, в, с.
3. Найдите площадь прямоугольника
ABCD , если SAMD =33см2 , СК=ВК.
4. Доказать, что если a2 +b2+c2+ ab+bc+ca<0 , то a2+b2<c2.
5. Клиент банка забыл четырёхзначный шифр своего сейфа и помнил лишь, что
этот шифр - простое число, а произведение его цифр равно 243. За какое
наименьшее число попыток он наверняка сможет открыть свой сейф?
Ответы к задачам 9 класс.
1. Решение. Находим самое большое трёхзначное число, которое делится на 6.
Таким числом является 996, а искомое на 5 больше, т.е. 1001.
2. Ответ: а>0,b<0,c<0.
3. Указание. Показать, что площадь ABCD равна площади AMD = 33 см2.
4. Доказательство: Умножим обе части неравенства на 2 и преобразуем его: a2
+b2+c2+ 2(ab+bc+ca)+ a2 +b2+c2<0, или (a+b+c)2+ a2 +b2+c2<0. Отсюда a2 +b2-c2<(a+b+c)2, значит a2 +b2-c2<0.
5.Решение: Так как 243=35, то все четыре цифры шифра являются степенями
числа 3, и одна из них равна 1, в противном случае шифр делился бы на 3.
Следовательно, шифр состоит из цифр 1,3,9,9. Из этих цифр можно составить 12
чисел: 1399,1939,1993,3199,3919,3991,9139,9193,9319,9391,9931,9913. Простыми
являются только 6 из этих чисел, так что для открытия сейфа достаточно шести
попыток.
Олимпиада по математике 7 класс.
Школьный тур.
1. В арифметических примерах некоторые цифры заменены пустыми
прямоугольниками. Впишите в эти прямоугольники недостающие цифры так,
чтобы равенство было верным.
2. По контракту работнику причитается 48 долларов за каждый отработанный
день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 долларов.
Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней
работал работник в течении этих 30 дней?
3. Какое двузначное простое число при умножении на 9 даёт в произведении
трёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр?
4. Попробуйте найти семь различных способов деления данной фигуры на
четыре равные части.
5. На свой день рождения фрекен Бок испекла огромный торт. Известно, что
Малыш и торт весили столько же, сколько Карлсон и фрекен Бок. После того
как торт съели, Карлсон весил столько же , сколько фрекен Бок и Малыш.
Докажите, что кусок торта, который съел Карлсон, весит столько же, сколько
весила фрекен Бок до своего дня рождения.
Ответы и решения 7 класс.
1. Ответ.
568
24
2272
1136
13632.
2. Ответ: 6 дней.
Решение: Пусть х дней из 30 дней работал, тогда (30-х) дней не работал из 30
дней. Заработал 48х долларов, а проштрафил 12(30-х) долларов. По Условию
задачи сказано, что работник ничего в итоге не заработал. Составим
уравнение:48х-12(30-х)=0, 60х=360,х=6.
3. Произведение любого числа на 9 кратно 9. Произведение искомого числа на 9
ищем среди чисел: 333, 666, 999. Но 999:9 – число трёхзначное, 666:9 – число
чётное. Делим 333на 9, получаем простое число 37. Ответ: 37.
4.
5. Доказательство. Т-торт, М-малыш, Б-фрекен Бок, К- Карлсон, П-порция торта.
Условие 1: Т+М+Б=К+2Б,
условие 2: Т+М+Б=К+2П.
Следовательно, П=Б.