Компьютерное моделирование в физике
реклама
1 ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ. Развитие науки и техники в настоящее время требует огромных материальных затрат. Поэтому, прежде, чем решиться на постановку очень дорогого эксперимента, надо хорошо взвесить все «за» и «против», с максимальной достоверностью «проиграть» все ситуации, возможные при проведении эксперимента. С другой стороны, при изучении сложных объектов и процессов – процессы в недрах звезд, планет, траектории движения космических кораблей, расчет технологического цикла, выяснение механизма сложного малоизученного физико-химического процесса и т.д. – очень сложно учесть влияние всех факторов. Какие-то факторы окажутся более важными, какимито вообще можно будет пренебречь. Сложность поставленных задач требует использования для их решения электронно-вычислительной техники. Действительно, вручную тяжело производить сложные математические расчеты, принимая во внимание физические или иные принципы, лежащие в основе изучаемого процесса, постоянно при этом учитывая влияние различных факторов, не говоря уже о громадном количестве переменных, постоянных, начальных и граничных условий. При этом на каждом этапе расчетов существуют свои допущения и ограничения. Очевидно, что такая кропотливая работа доступна только компьютеру. В обоих случаях при постановке проблемы (задачи) появляется модель объекта – мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию о самом объекте (модель – от латинского modus, modulus – мера, образец, способ и т.д.). Создав модель, следующим шагом в решении поставленной задачи является написание алгоритма, т.е. определение последовательности в решении задачи. После этого можно приступить к написанию программы, которая и будет реализована на компьютере. Таким образом, моделирование – нахождение законов, которым подчиняется поведение изучаемого объекта, составление математических уравнений, описывающих эти законы (природа законов может быть любой). Если результаты моделирования объекта на ЭВМ верно отражают его поведение, то можно смоделировать его поведение в самых разных, подчас экстремальных условиях, выбрать наиболее «выгодные и удобные» (понятие) параметры. Стал возможен вычислительный эксперимент, значение которого трудно переоценить, особенно если натурный (реальный) эксперимент опасен, дорог или просто невозможен. Разумное сочетание аналитических и численных методов является необходимым для решения проблемы. Основой вычислительного эксперимента является математическое моделирование, теоретической базой – прикладная математика, технической базой – мощные электронно-вычислительные машины. Использование вычислительного эксперимента как средства решения сложных прикладных задач имеет в каждом конкретном случае свои специфические особенности, но, тем не менее, всегда просматриваются общие характерные основные черты, позволяющие говорить о единой структуре процесса. Большой опыт, накопленный при решении задач физики плазмы, атомной энергетики, освоения космоса и т.д., необходимо использовать при решении других не менее важных проблем. Огромны возможности оптимизации процессов в химической технологии, машиностроении, в теории новых методов обработки и создания новых материалов. Важные задачи стоят в моделировании и совершенствовании биотехнологических процессов. Увеличение нефтеотдачи пластов, борьба с коррозией, разработка ресурсосберегающих технологий - решение этих проблем может дать большой экономический эффект. Очевидно, что модели, алгоритмы, программы, 2 вычислительные машины должны развиваться согласованно и гармонично, отставание в развитии какого-либо звена может сделать невозможным решение многих проблем, а качественный прорыв может привести к разрешению сразу многих проблем в различных отраслях техники и науки. Умение программировать должно стать полезным инструментом при работе в вычислительном эксперименте. Модели реальных объектов, моделирование явлений давно используется в науке и технике для проверки идей, отработки гипотез, получения экспериментального материала. Таким образом, модель – должна не просто отражать внешнее сходство процессов и явлений, но поведения модели и реального объекта должно подчиняться одинаковым закономерностям. Зачастую физические модели могут быть решены (или обсчитаны) при помощи математических моделей. Математическая модель – математическая задача, которая описывает поведение реального физического объекта (используются физиками еще со времен Галилея), т.е. это запись законов природы математическим языком. Проиллюстрируем сказанное простым примером: ускорение свободного падения (g) всех тел у поверхности Земли описывается выражением: a Fm M G 23 g (где а – ускорение m R3 свободного падения тел, определяемое из второго закона Ньютона: F=ma). Но математическая модель – не только уравнения, но и дополнительные условия, устанавливающие границы их применимости. Опять же падение камня и плоского листа происходит с одинаковым ускорением, но во втором случае большое значение имеет сопротивление среды, в которой происходит падение. Таким образом, при конструировании математической модели ее нельзя слишком усложнить, иначе из-за обилия уравнений, их сложности, громоздкости может оказаться невозможным получение решения задачи. А с другой стороны – недопустимо не учитывать различные физические явления ради стремления к простоте, иначе математическая модель может дать абсурдные результаты. Поэтому от исследователя требуется не только хорошее владение математическими методами, программированием, но и понимание основных законов физики, химии, биологии и т.д. Различают следующие виды моделей: традиционные модели, в которых используется математическое моделирование без какой-либо привязки к техническим средствам вычисления (прежде всего для теоретической физики, механики, химии, биологии); - информационные модели и информационное моделирование, имеющие приложения в информационных систем; - вербальные (словесные, текстовые) языковые модели; - информационные модели, которые делятся на: модели, построенные с использованием базовых универсальных программных средств: текстовых редакторов, СУБД, табличных процессов, телекоммуникационных пакетов; компьютерные модели, которые, в свою очередь, делятся на: - вычислительные (имитационные) модели; - графические модели, представляющие собой «визуализацию явлений и процессов»; - модели, использующие специализированные прикладные технологии с применением компьютера (как правило, режим реального времени) в сочетании с измерительной аппаратурой, датчиками, сенсорами и т.д. Вербальные модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (например, правила дорожного движения). Математические модели используют математические методы. Можно сказать, что модель физического явления, например, представляет собой набор - 3 исходных уравнений, описывающих физические процессы. Или же это могут быть математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный план работы какого-либо предприятия. Информационные модели описывают информационные процессы в системах различной природы. Математическое моделирование получило дополнительный толчок к развитию с появлением и развитием ЭВМ, хотя оно не всегда требует компьютерной поддержки. Аналитические решения, представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные, обычно удобнее и информативнее численных решений. Результат аналитического исследования математической модели часто выражается такой сложной формулой, что с первого взгляда и не понять механизма описываемого процесса. Поэтому эту формулу нужно табулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, а при этом трудно обойтись без компьютера. Последовательность компьютерного моделирования. выделение целей моделирования огрубление объекта (процесса) поиск математического описания упорядочение модели исходный объект Математич. модель выбор метода исследования разработка алгоритма и программы для ЭВМ конец работы анализ результатов расчеты на ЭВМ отладка и тестирование программы Первый этап – определение целей моделирования, основные из которых следующие: - понимание; модель нужна для понимания устройства объекта исследования, его структуры, свойств, взаимодействия с окружающей средой; - управление; модель нужна для обучения управлением неким процессом или объектом и определения оптимального способа управления при заданных целях и условиях; - прогнозирование; модель нужна для прогнозирования последствий воздействия на объект или процесс. Символическое поведение объекта или процесса можно представить как yj = Fj(x1, x2, …, xn) (при j = 1,2,…, k и i = 1,2,…,n), 4 где исходные (входные) величины - (xi) x1, x2, …, xn, конечные (выходные) величины - (yj) y1, y2, …, yk, Fj – действия, которые необходимо произвести над входными данными, чтобы получить выходные, или, конечный результат. Входные параметры могут быть известны «точно», т.е. могут быть измерены – детерминированные величины, как например, в классической механике. Но в природе, как впрочем, и в обществе, чаще встречаются процессы, известные лишь с определенной степенью вероятности, значит и входные параметры – вероятностные, стохастические, случайностные. Для стохастической модели выходные данные могут быть как вероятностными величинами, так и строго определенными. Например, «стояние» в очереди: в этом случае неизвестно, какое время будет затрачено на продвижение очереди, но в итоге вы все равно подойдете к прилавку (если вам это необходимо). Или же утренняя поездка на работу-учебу: можно затратить минимум времени при минимальном количестве транспорта или – наоборот – можно затратить достаточное количество времени и поменять несколько видов транспорта на одном и том же маршруте движения. При этом автобусы могут ломаться, могут быть «обесточены» трамвайно-троллейбусные линии, возникать препятствия различного характера на дорогах и т.д., но вы в итоге все равно доберетесь до нужного вам пункта. Время в пути, являющееся в данном случае объектом моделирования, будет укладываться в определенный временной интервал. Второй этап – огрубление объекта (процесса), называемое ранжированием – это разделение входных данных по степени важности влияния (об этом уже упоминалось ранее). Отбрасывание менее значимых факторов огрубляет процесс (или объект) моделирования и способствует пониманию его основных свойств и закономерностей. Определить правильность ранжирования можно, проэкспериментировав с моделью, проанализировав полученные результаты. Если исходный параметр незначительно влияет на конечные результаты, т.е. отклонение значений yi от yср невелики, то таким параметром (xi) можно пренебречь. Если же значение величины yi реагирует на изменение xi сильными отклонениями от yср, то такой параметр xi нельзя ни в коем случае исключать из параметров моделирования. На этапе поиска математического описания требуется перейти от абстрактной формулированной модели к конкретной системе математических выражений: уравнение, система уравнений, системы интегральных уравнений, неравенств или дифференциальных уравнений. Далее необходимо выбрать методы исследования математической модели, известные из курса высшей математики. Для решения конкретной задачи могут быть использованы несколько методов, выбор определяется их эффективностью, устойчивостью, сложностью решаемой задачи, требуемой точностью получаемого решения. Очень важно правильно подобрать метод. Для следующего этапа – разработки алгоритма и составления программы для ЭВМ – в настоящее время наиболее распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного) программирования. В качестве языков программирования используются FORTRAN (именно на этом языке написано большинство отлаженных оптимизированных программ), PASCAL, BASIC, СИ. Тестирование программы – этап трудоемкий. Вначале неплохо решить с помощью написанной программы простую задачку с известным ответом, чтобы устранить грубые ошибки. Окончание тестирования определяется самим автором. После этого следует расчет на ЭВМ или вычислительный (численный) эксперимент. Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными данными с заданной точностью. В случае несоответствия модели реальному процессу, а это определяется на этапе анализа результатов необходимо вернуться к выбору 5 метода исследования. Если и в этом случае модель не адекватна реальному процессу, то нужно начать с ранжирования параметров процесса. - Классифицировать математические модели можно: по отраслям наук: модели в физике, химии, биологии и т.д. по используемому математическому аппарату; по целям моделирования математические модели подразделяются на: описательные оптимизационные многокритериальные игровые имитационные. При создании моделирующей программы необходимо особое внимание уделять оформлению диалога и формы представления результатов. Уместно начать с кадра – заставки, где написаны название задачи, фамилия автора программы, можно поместить несложный рисунок, иллюстрирующий задачу. Далее (на следующем кадре) – основное уравнение, по сути своей – сама модель, предложение ввести исходные данные с обязательным словесным запросом значения каждого параметра. Для вывода результатов уместно использовать таблицы, графики, траектории движения и т.д. Можно в процессе выполнения программы организовать появление на экране монитора надписи, типа «подождите, идут расчеты», «вывод таблицы результатов», «вывод графика функции y(x)», «окончание расчетов» и т.п. Использование сред визуального программирования типа DELPHI и интерфейсных операционных систем уровня WINDOWS дает более высокие по качеству программные продукты. Как известно, рисунки, графики воспринимаются мозгом человека легче набора цифр. Поэтому и появилась машинная или компьютерная графика, которая подразделяется : - на иллюстративную графику, которая служит для создания неформульных изображений; - на деловую графику, необходимую для построения на экране диаграмм, графиков с подписями и разметкой по имеющимся данным; - на инженерную графику или САПР (системы автоматизированного проектирования), представляющую собой диалоговые системы, предназначенные для автоматизации процесса проектирования технического объекта, создания полных комплектов проектных документов; - на научную графику, то, что более применимо для случая моделирования. Универсальных систем не существует из-за разнообразия решаемых задач. Обычно основные программы содержат подпрограммы, обеспечивающие иллюстрационную графику изучаемого процесса (объекта). Научная графика дает возможность увидеть «невидимое», например, строение молекул сложных веществ, залегание рудоносных пластов под землей и т.д., что - весьма немаловажно. Надо заметить, что сама математическая модель в процессе развития претерпевает изменения (как то – усложнения, корректировку, поправки). Приходится учитывать большее количество факторов, влияющих на объект или процесс. В итоге программа усложняется, разветвляется, иногда приходится программу полностью переписывать. Для разрешения подобных ситуаций существуют пакеты прикладных программ (ППП), состоящие из функционального наполнения и системной части. Функциональное наполнение представляет собой набор отдельных программ, решающих конкретные задачи, объединенные общей предметной областью или общей направленностью. ППП проблемно ориентирован, т.е. предназначен для решения определенного класса задач. Системная часть выполняет функции сервисного характера: хранение функционального наполнения, обеспечение 6 сборки из отдельных модулей полной конкретной программы. Широкое внедрение ППП должно служить цели оперативного распространения передового опыта в области вычислительного эксперимента. Пакеты прикладных программ дают возможность пользоваться ими не только математикам, но и специалистам в других областях науки и техники, знакомым с азами программирования. Чтобы не быть голословными, уместно привести примеры некоторых областей науки и техники, в которых не только возможно, но и необходимо использование математического моделирования и вычислительного эксперимента. энергетическая область. Прогнозирование работы атомных и термоядерных реакторов на основе детального математического моделирования происходящих в них физических процессов; здесь вычислительный эксперимент используется очень активно и успешно. космическая техника. Расчет траекторий летательных аппаратов, задачи обтекания, системы автоматического проектирования, обработка данных натурного эксперимента. Сочетание имеющейся измерительной техники с присоединенным к ней компьютером заменяет измерительный прибор более высокого уровня (необходим лишь специальный алгоритм для стыковки приборов). технологические процессы. Получение кристаллов и пленок, необходимых, в том числе, и для вычислительной техники, моделирование теплового режима конструктивных узлов перспективных ЭВМ, процессов лазерной плазмы, технологии создания материалов с заданными свойствами. экологические проблемы. Вопросы прогнозирования и управления экологическими системами. гео- и астрофизические явления. Моделирование климата, долгосрочный метеопрогноз, прогноз землетрясений и цунами, моделирование развития звезд, солнечной активности, фундаментальные проблемы происхождения и развития Вселенной. химия. Расчет сложных химических (особенно органических) реакций, определение их констант, исследование химических процессов на макро- и микро-уровне для интенсификации химических технологий. биология. Изучение фундаментальных проблем, таких как, генетика, морфогенез, разработка новых липидов, биотехнологии; оптимизация установок по производству кормового белка, производство этанола, метанола (проблема горючего), производство лекарств. физика. Изучение процессов в квантовой теории поля (на уровне микромира), т.к. они сильно нелинейны, а именно нелинейность процессов явилась первопричиной возникновения и развития вычислительного эксперимента. Так как дисциплина называется «Компьютерное моделирование в естествознании», а естествознание включает в себя такие науки, как физика, химия, биология, экология, электротехника и пр., то мы затронем при обучении некоторые вопросы физики, химии и экологии (как весьма актуальной в настоящее время дисциплины). В данных лекциях будут приведены теоретические основы рассматриваемых наук для как можно более полного понимания студентами задач, которые им предстоит решать. Многие прикладные задачи имеют несложную постановку, но дают сложное поведение. В данном курсе для моделирования будем пользоваться языком программирования TURBO PASCAL, т.е. языком высокого уровня. Но, по большому счету, язык программирования не столь важен, главное – это правильно определить систему уравнений, по которым эта программа пишется. 7 КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИЗИКЕ. Можно выделить четыре направления использования компьютеров в физике: - численный анализ. Применим, если нужно всего лишь решить систему уравнений, до которых была сведена физическая задача, особенно он удобен при большом наборе переменных. В этом случае в рабочую программу закладываются необходимые физические законы. Численный анализ применим для решения сложных дифференциальных уравнений, вычисления многомерных интегралов, больших матриц. - символьные или аналитические преобразования – следующий шаг в решении задач. В памяти компьютера уже имеется программа решения квадратного уравнения, дифференцирования, интегрирования, разложения в степенной ряд, и «физику» остается лишь задать правильные физические (математические) уравнения, расчеты по которым машина «выполнит сама». - моделирование. В этом случае в программу закладываются все основные законы рассматриваемой модели с минимальным анализом. Моделирование необходимо (а может уже и незаменимо) при невозможности постановки реального эксперимента, многократной повторяемости однотипных операций. К тому же не все задачи удается решить аналитическими методами. Поэтому можно поступить следующим образом: заложить правила решения, а именно, физические законы в программу для компьютера, промоделировать большое число вариантов и вычислить вероятности. Можно при помощи ЭВМ выяснить вопрос типа «что будет, если изменить какой-либо параметр?» Надо заметить, что компьютерное моделирование за последние несколько десятилетий помогло открыть новые упрощающие физические принципы. Все три вышеназванных способа требуют некоторых приближений и допущений, но именно моделирование требует минимального предварительного исследования и понимания сути физического явления. Также компьютеры используются на этапах прогнозирования аппаратуры, управления ею в ходе эксперимента, для до сбора и обработки информации. Всем этим вопросам будут посвящены практические занятия. - управление в реальном времени. Эти задачи качественно отличаются от предыдущих, требуют программирования в реальном времени, стыковки вычислительного оборудования с разнообразными типами установок, поэтому в данном курсе рассматриваться не будут. Принцип использования численного моделирования. Надо заметить, что степень развития ПЭВМ достигла такого уровня, при котором стало возможным их применение для решения не только физических, химических и прочих задач по отдельности, но и сложных технических, научных, инженерных проблем в целом. Большинство используемых аналитических средств подходит для изучения линейных задач, однако же, большинство природных процессов имеют нелинейный характер. Поэтому к ним не применимы аналитические методы, пригодные для линейных процессов с их допущениями и приближениями. Другая причина заключается в том, что нас интересуют системы либо со многими переменными, либо со многими степенями свободы (что , в принципе, одно и то же). Компьютерное моделирование «делает естественным» выражать научные законы в виде правил для компьютера. Некоторые физики пришли к мысли о создании компьютеров, способных более эффективно моделировать физические системы. Вычислительный эксперимент имеет много общего с лабораторным экспериментом. 8 Таблица. Аналогии между лабораторным и вычислительным экспериментом. Лабораторный эксперимент образец физический прибор калибровка прибора измерение анализ данных Вычислительный эксперимент модель программа для ЭВМ тестирование программы расчет анализ данных Последовательность моделирования. разработка идеализированной модели рассматриваемой системы (в данном случае – физической); - определение процедуры или алгоритма для реализации данной модели на компьютере; - моделирование компьютерной программой физической или иной системы и описание вычислительного эксперимента, который служит мостом между лабораторными экспериментами и теоретическими расчетами. Таким образом, можно получить точные результаты, моделируя идеализированную модель, у которой нет лабораторного аналога, что есть самое заманчивое для теоретиков. Но можно моделировать и на реалистичной модели для осуществления более прямого сравнения с лабораторными экспериментами. Повторимся еще раз: численное моделирование не заменяет размышление, а помогает объяснять природные явления так, чтобы их суть была бы понятна каждому. Особую важность имеет графическое представление результатов. Графическая информация дает большую наглядность полученных данных, причем, чем более сложные численные данные, тем полезнее визуальное их представление. Дело в том, что по виду табличных данных нельзя однозначно судить о характере процесса, графическое же представление результатов работы всегда дает ясную картину об изучаемом процессе (объекте). К тому же, использование графических средств может улучшить наше понимание характера аналитических решений. Обычно рабочие программы стараются писать в виде модулей, представляющих собой подпрограммы, выполняющие конкретные задачи. Если программу легко читать и понимать, то это, по всей видимости, неплохая программа. При построении программы используют два принципа: дедуктивный – от общего к частному – и индуктивный – от частного к общему. При дедуктивном подходе рассматривается частный случай общеизвестной фундаментальной модели. В этом варианте при заданных предположениях известная модель приспосабливается к условиям моделируемого объекта. Индуктивный способ предполагает выдвижение гипотез, декомпозицию сложного объекта, анализ, затем – синтез. В этом случае широко используются подобие, аналогичное моделирование, умозаключения с целью формирования каких-либо закономерностей в виде предположений о поведении системы. Иными словами индуктивное моделирование можно представить как: - 1 – эмпирический этап: - умозаключения - интуиция 9 - предположения - гипотеза; 2 – постановка задачи для моделирования; 3 – оценки, количественное и качественное описания; 4 – построение модели. В заключении к вводной части можно добавить, что компьютерное математическое моделирование использует практически весь аппарат современной математики. В данном курсе предполагается знание студентами таких основ математики, как: теория дифференциальных уравнений; аппроксимация функций (включая интерполяцию и среднеквадратичные приближения); аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве; математическая статистика; численные методы: - решения алгебраических и трансцендентных уравнений; - решения систем линейных алгебраических уравнений; интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем (задача Коши). СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ. Будем рассматривать падение тел вблизи поверхности Земли (в случае других небесных тел принципы и подходы аналогичные). Для начала изучим простейший случай: падение тел, без учета вращения и возможного внутреннего движения тела. Да и само тело будем рассматривать как материальную точку, тем более что во многих случаях даже планеты можно считать материальными точками. В случае одномерного движения, т.е. движения по одной пространственной координате, уравнения движения материальной точки имеют следующий вид: скорость V (t ) dy (t ) , dt (1) где y(t) – путь, пройденный точкой (здесь и далее подразумевается материальная точка), он же соответственно и координата. ускорение a(t ) dV (t ) d 2 y (t ) dt (dt ) 2 (2) Величины скорости и ускорения здесь кинематические, т.к. не рассматриваются причины, их вызывающие. Если скорость – это изменение радиус-вектора (или приращения пути) в единицу времени, то ускорение, соответственно, - это изменение скорости движения материальной токи или тела за единицу времени; оно обусловлено действием на объект некой результирующей силы. Результирующая сила – векторная величина, находится из векторной суммы всех сил, действующих на тело: 10 n F Fi . i 1 Второй закон Ньютона определяет понятие ускорения как: F ( y, V , t ) m a (t ) (3) где F – равнодействующая сила, m – инертная масса (масса, не зависящая от скорости движения тела). В общем случае сила зависит от координаты, скорости и времени. Движение материальной точки не зависит от d 2V da d nV ( ) и (тот факт, что можно dt 2 dt dt n найти простое объяснение для движения, является свойством природы, а не математического описания). Сведя уравнения (1) и (2) в одно, получим: F ma m dV ( y ) d 2 y (t ) m dt (dt ) 2 (4) Вернемся к падению тел. «Свободным падением» называют движение, при котором отсутствует сопротивление воздуха. В этом случае все тела, независимо от массы, размеров, состава, строения, находящиеся на одинаковом расстоянии от поверхности Земли, имеют одинаковое ускорение. Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли, и вблизи Земли оно составляет величину g 9.8 м/с2. Решив уравнение (4), имеем (с учетом того, что a=g): V (t ) a (t ) dt a t Vo g t Vo , g t2 y (t ) V (t ) dt (Vo g t ) dt Vo t yo , 2 (5) (6) где Vo – начальная скорость точки (тела), yo – начальная координата. Из уравнений (5) и (6) видно, что для определения движения необходимо задать начальные условия. В более сложном случае, с учетом гравитационного поля Земли, ускорение свободного падения не является постоянным, а зависит от расстояния тела до центра Земли. И тогда сила притяжения будет равна: F GM m , ( R y) 2 (7) где G – постоянная всемирного тяготения (или гравитационная постоянная), равная 6.6710-11 Нм2/кг2, M – масса Земли, которая составляет 5.981024 кг, R – средний радиус Земли, равный 6.38106 м. Преобразовав уравнение (7) (с учетом того, что GM/R2 = g), получим: F (G M / R 2 ) m g m . 2 (1 y / R) (1 y / R) 2 (8) 11 Усложним задачу еще: учтем сопротивление воздуха, которое обусловливает появление тормозящей силы. По определению тормозящая сила направлена противоположно движению тела. Надо заметить, что начинать решение физических задач или моделирования физических процессов (объектов) необходимо с построения схематического рисунка. Fср Результирующая сила F равна: F=mg–Fсреды. (9) Если сила тяжести больше силы сопротивления, то тело будет падать. Fт = mg В общем случае зависимость силы сопротивления среды от скорости надо определять эмпирически, проводя конечную серию наблюдений положения тела. Одним из способов определения функции Fср от V является измерение координаты y как функции времени t и получения зависимости скорости и ускорения от времени. Но в этом методе изначально заложены большие погрешности, связанные с измерением наклона зависимостей y(t) (для нахождения скорости и ускорения). Другой способ представляет собой обратную процедуру. Для функции Fср предполагается некий вид зависимости от скорости V, и по этой формуле находят функцию y(t). Если вычисленные значения функции y(t) согласуются с экспериментальными значениями, то предложенная зависимость Fср(V) считается экспериментально подтвержденной. Общий вид зависимости силы сопротивления среды от скорости: Fcp (V ) k1 V k 2 V 2 , (10) где k1 и k 2 – коэффициенты пропорциональности, зависящие от свойств среды и геометрии тела. Очевидно, что они не могут быть постоянными и различны для каждой конкретной пары тело – среда. Выражение (10) – феноменологическое, приближенно описывающее переменную (в общем случае) в ограниченном диапазоне параметров, но никак не законы физики. В данном случае тормозящая сила является переменной, а скорость параметром. Сила сопротивления растет с увеличением скорости тела, при чем при достаточно малых скоростях преобладает линейная зависимость силы сопротивления от скорости, а при больших – квадратичная. Корректнее говорить о преобладании какой-либо составляющей, т.к. обе составляющие силы сопротивления присутствуют всегда, но при высоких скоростях движения тела квадрат скорости растет быстрее и слагаемым k1 V можно просто пренебречь (кстати, одно из допущений), при небольших скоростях наоборот, слагаемое k 2 V не вносит значимого вклада в силу сопротивления. Коэффициент к1 определяется свойствами среды и формой тела, рассчитать его можно по формуле Стокса: 2 k1 6r , (11) где r – линейный размер тела, например радиус шарика, - динамическая вязкость среды, табличная величина (при Т=20 оС и Р=1 атм воздуха составляет 0.0182 Нс/м2, воды – 1.002 Нс/м2, глицерина – 1480 Нс/м2). Величина k 2 пропорциональна площади сечения тела, поперечного по отношению к потоку, плотности среды и зависит от формы тела. Выражение для k 2 обычно имеет вид: 12 k 2 0.5c S cp , (12) где с – безразмерный коэффициент лобового столкновения, S – площадь поперечного сечения тела, ср – плотность среды. При достижении достаточно большой скорости движения тела, когда образующиеся за обтекаемым телом вихри жидкости или газа начинают интенсивно отрываться от тела, значение параметра (с) в несколько раз уменьшается. Значения «с» для некоторых форм тел. диск ◗ ◖ с = 1.11 полусфера с = 1.33 полусфера с = 0.55 шар с = 0.4 каплевидное с = 0.045 тело каплевидное тело с = 0.1 В случае, когда сила сопротивления равна силе тяжести, результирующее ускорение равно нулю, что соответствует предельной или установившейся скорости. Из выражений (10) – (12) можно вычислить ее значение для каждого конкретного случая. По уравнениям (9) – (10) составим следующее выражение: F m g Fcp m g k1 V k 2 V 2 (13) 13 Определив из условия равенства результирующей силы нулю можно получить следующее выражение для силы сопротивления: V V2 Fcp m g 2 Vnp V np (14) Тогда результирующую силу можно записать, как: 2 V V F (V ) m g 1 Vnp Vnp (15) Приравнивая выражение (13) нулю, можно определить предельную скорость, решив квадратное уравнение. По второму закону Ньютона ускорение тела при движении есть производная от скорости по времени: a dV F . dt m Интегрируя это уравнение, можно найти закон изменения скорости и соответственно ее численное значение. Перемещение тела во времени находится, интегрируя уже полученное выражение для скорости, т.к. скорость – это производная перемещения по времени: V dS . Таким образом, dt формальная запись уравнения для определения перемещения или же координаты, что одно и то же, имеет вид: t S (t ) V (t )dt a(t )dt 2 (16) to Аналитическим методом это уравнение решить вряд ли удастся, поэтому применим стандартные математические приемы, заменив интеграл суммой, воспользовавшись одним из численных методов. В данном случае применим метод Эйлера, но сначала несколько преобразуем последнее выражение. t V (t ) a(t )dt a t Vo , (17) to где t – малое приращение времени. Следующим этапом будет нахождение перемещения, в случае падения тела движение является одномерным и совершается по координате у, поэтому здесь мы можем заменить перемещение координатой у: t t S (t ) y (t ) V (t )dt (Vo a t )dt Vo t V t to (18) to Будем рассматривать скорость и координату как конечные значения V и y некоего малого отрезка времени через значения скорости и координаты, начальные для этого отрезка, т.е.: t n t o n t , где Δt – малое единичное приращение времени, t n - конечное время, (19) 14 t o - начальное время, n - число шагов или приращений или отрезков времени. Тогда выражения для скорости и пути (координаты) примут следующий вид: Vn1 Vn an t (20) y n1 y n Vn t , (21) где Vn+1 и yn+1 -скорость и координата в конечной точке временного отрезка, Vn и yn - скорость и координата в начальной точке временного отрезка, an – ускорение в начальной точке временного отрезка, т.е. вычисляем конечную скорость из начального ускорения. Напишем программу для одномерного движения, результаты расчетов выведем в виде таблицы, графика, траектории падения, а также можно изобразить динамическую картинку. Необходимо учесть, что шаг моделирования очень маленький, и при выводе результатов в виде таблицы на экране все они не поместятся, поэтому при написании подпрограммы для вывода таблицы можно шаг интегрирования взять более «грубым», нежели при построении графика. Таким образом, структура программы должна представлять собой набор подпрограмм, отвечающим конкретным этапам моделирования. Прежде, чем перейти к следующей теме, остановимся на некоторых наиболее используемых в компьютерном моделировании, численных методах решения уравнений, т.к., как уже было сказано, большинство физических и химических процессов описываются нелинейными уравнениями. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Решение нелинейных уравнений вида F(x)=0 заключается в отыскании одного или всех корней на отрезке [a,b] изменения x. Обычно стараются локализовать каждый корень в своем отрезке [a,b]. Тогда нахождение всех корней сводится к локализации каждого корня с последующим сужением отрезков локализации корня [a,b] одним из известных методов. метод простых итераций основан на представлении f(x)=0 в виде x=f(x) и многократном применении итерационной формулы xn+1 = f(xn) до тех пор, пока соблюдается условие: |xn+1-xn| , где - заданная погрешность определения корня xср. Итерация (лат.) – результат применения какой-либо математической операции, получающийся в серии аналогичных операций. Итерационный процесс сходится, т.е xn xср при n , если соблюдается условие f’(x)<1 при a<x<b. метод Ньютона (метод касательных) основан на замене F(x) в точке начального приближения x=xo на касательную, пересечение которой с осью x дает первое приближение x1 и т.д. Таким образом, итерационный процесс схождения к корню реализуется формулой: xn+1=xn-F(xn)/F’(xn) до тех пор, пока выполняется условие: |xn+1-xn| . Метод обеспечивает быструю (квадратичную) сходимость, если (F(xo)F’’(xo))>0. В качестве xo выбирают тот конец отрезка [a,b], на котором знаки F(xo) и F’’(xo) совпадают. Выигрыш во времени вычислений за счет быстрой сходимости уменьшается из-за необходимости вычисления, помимо F(xn), производной F’(xn). Исключение 15 составляют частные случаи, когда выражение, по которому вычисляется отношение F(xn)/F’(xn), не сложнее выражения для вычисления F(xn) отдельно. F b0 b1 b2 a x 0 x2 x1 b= x 0 F(x) модифицированный метод Ньютона заключается в нахождении приближенного значения функции F´(xn) вместо вычисления ее производной на каждом шаге итерации: F ' ( xn ) dF ( xn ) / dx ( F ( xn x) F ( xn )) / x F ( xn ) , x (1 ) где х = . Следовательно, итерационная формула имеет вид: xn1 xn x F ( xn ) F ( xn x) F ( xn ) (2) Значение х не обязательно должно быть равно . Равенство х = позволяет уменьшить число исходных данных при вводе. метод хорд. При этом методе каждое значение xn+1 находится как точка пересечения оси абсцисс с хордой, проведенной через точки F(a) и F(b), причем одна из этих точек фиксируется – та, для которой знаки F(x) и F’’(x) одинаковы. Если неподвижен конец хорды x=a, то: xn1 xn F ( xn ) ( x n a) , F ( x n ) F (a) (3) а если неподвижен конец хорды x=b, то: xn1 xn F ( xn ) (b xn ) F (b) F ( xn ) (4) Если |xn+1 - xn|>, то в первом случае считаем b=xn+1 , во втором a=xn+1 и повторяем вычисления. При использовании метода хорд полагается, что корень x находится внутри отрезка [a, b]. 16 A F(x) x1 b= x 0 x a x x2 B Существуют и другие методы, описание которых можно найти в специальной литературе [5,12.23,27,28]. Решение систем нелинейных уравнений может выполняться описанными методами, применяемыми поочередно к каждому уравнению системы с контролем погрешности схождения каждой переменной к корню с заданной погрешностью. метод простых итераций заключается в реализации итерационного процесса по следующей формуле xi(n+1) = fi(xi(n)), применяемой после преобразования системы нелинейных уравнений общего вида Fi(Xi)=0 к виду Xi=fi(Xi), здесь i – номер переменной (1,2…N), n – номер итерации. Вычисления ведутся до тех пор, пока соблюдается условие |x n+1 - xn|>, где заданная точность. метод Ньютона является наиболее распространенным методом решения системы Fi(Xi)=0. Он реализуется следующим механизмом: 1. задаются абсолютная или относительная погрешность =Е, число уравнений N, максимальное число итераций M и вектор начальных приближений Xi0 с компонентами (x10, x20, …, xn0); 2. используя разложение Fi(Xi) в ряд Тейлора, формируется матрица Якоби [Fi/Xi], необходимая для расчета приращений Fi(Xi) при малом изменении переменных. Матрица Якоби в развернутом виде записывается следующим образом: F1 / X 1 ...F1 / X 2 .....F1 / X N F / X ...F / X .....F / X 1 2 2 2 N 2 .................................................. FN / X 1 ...FN / X 2 .....FN / X N (5) Поскольку аналитическое дифференцирование Fi(Xi) в общем случае нежелательно, заменяем частные производные в матрице Якоби их приближенными конечно-разностными значениями: Fi Fi ( X i H ) Fi ( X i ) , X i Hi где Hi – малое приращение Xi, например Hi = |Xi|; (6) 17 составляется и решается система линейных уравнений для малых приращений xi: 3. F1 / X 1 ...F1 / X 2 .....F1 / X N X 1 F / X ...F / X .....F / X X 1 2 2 2 N 2 2 x = .................................................. ..... FN / X 1 ...FN / X 2 .....FN / X N X N F1 F 2 .... FN (7) Решение этой системы дает значения X1, X2, …,Xn, т.е. Xi; 4. вычисляются уточненные значения: x1(n+1) = x1(n) + x1, x2(n+1) = x2(n) + x2, (8) …………………. Xi(n+1) = Xi(n) + Xi: XN(n+1) = xN(n) + xN, для всех Xi проверяется одно из условий: |Xi|>, |Xi/xi|>. Если оно выполняется, то выполняется новая итерация. Т.е. считаем вектор Xi(n+1) найденным решением. 5. Вычисление определенных интегралов. b Как известно определенный интеграл, имеющий вид I f ( x)dx с a пределами интегрирования a и b, можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс x, ординатами a и b, графиком подынтегральной функции f(x). f f(x) I x 0 a b 18 Обыкновенный определенный интеграл, у которого известна его первообразная F(x), вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: I = F(b) – F(a), т.е. достаточно вычислить значения функции F(x). Численное интегрирование применяется в тех случаях, если нахождение F(x) сложно или вообще невозможно. Оно заключается в интерполяции – нахождении по ряду данных значений функции промежуточных ее значений – f(x) на отрезке [a,b] подходящим полиномом, для которого определенный интеграл вычисляется по формулам численного интегрирования. Обычно отрезок [a,b] разбивается на m частей, к каждой из которых применяется соответствующая простая формула. Таким образом, получают составные (или сложные) формулы численного интегрирования. метод прямоугольников – простейший метод, при котором функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом нулевого порядка: I b a m 1 yi . m i 0 (9) Но из-за невысокой точности метод почти не используется (хотя, есть еще модифицированный метод прямоугольников). метод трапеций заключается в линейной аппроксимации – приближенном выражении каких-либо величин через другие, более простые величины – f(x) на отрезке [a,b]. Для уменьшения погрешности отрезок [a,b] разбивается на m частей длины h=(b-a)/m. С учетом суммирования смежных ординат внутри отрезка [a,b] обобщенная формула метода трапеций имеет вид: I y h 2 (b a) '' b a y0 y1 y 2 ... y m1 m f ( ) m 2 2 12 (10) У этого метода также невысокая точность. метод Ньютона-Котеса основан на интерполяции функции f(x) в n промежутках полиномом Лагранжа. В общем случае f(x) должна задаваться (n+1) ординатами. Формулы интегрирования точны, если f(x) – многочлен nой степени (при n=1 приходим к методу трапеций). Интерполяционный полином Лагранжа при произвольном расположении узлов в общем случае сводится к вычислению y(x)=Ln(x) с помощью интерполяционного полинома, имеющего вид: Ln ( x ) ( x x1 )( x x 2 )...( x x n ) y0 ( x0 x1 )( x0 x 2 )...( x0 x n ) ( x x 0 )( x x 2 )...( x x n ) y1 .. ( x1 x0 )( x1 x 2 )...( x1 x n ) . (11) ( x x 0 )( x x1 )...( x x n 1 ) yn ( x n x 0 )( x n x1 )...( x n x n ) метод Симпсона (метод парабол) – частный случай метода НьютонаКотеса при n=2. При разбиении отрезка [a,b] на m равных отрезков получается обобщенная формула Симпсона: 19 f (a) 4 f (a h) 2 f (a 2h) 4 f (a 3h) ... h 3 b 4 f (b h) f (b) I (12) a mh 5 f 90 IV ( ) Выражение для остаточного члена показывает, что формула Симпсона точна, даже если функция f(x) - многочлен третьей степени. Что объясняет довольно частое использование этого метода. метод Гаусса основан на интерполяции функции f(x) полиномом Лагранжа, но абсциссы xi выбираются из условия обеспечения минимума b I f ( x)dx подстановкой погрешности интерполяции. При этом интеграл a ba ba x t сводится к виду: 2 2 1 I 1 n f (t )dt Ai f (t i ) (13) i 1 Метод Гаусса обычно обеспечивает повышенную точность, последняя формула верна для полиномов до степени (2n-1). Для n=3 A1=5/9 t1=-1/3 A2=8/9 t2=0 A3=5/9 t3=1/3. Остаточный член при этом равен: 1 ba VI R3 f ( ) 15750 2 7 Для повышения точности интегрирования отрезок [a,b] дробится на m частей. метод Монте-Карло заключается в использовании случайных чисел для моделирования различных объектов, ситуаций и физических явлений, реализации игр (подобных игре в карты) и др. Равномерно-распределенные случайные числа обычно генерируются ЭВМ в отрезке значений [0; 1], причем любое значение Vi в этом интервале равновероятно. Обычно для этого используется отделение дробной части от сложного арифметического выражения, содержащего предшествующее число Vi . Например, может использоваться соотношение вида: Vi 1 FRAC(kVi ) (14) где k = 8t ± 3 и t – нечетное целое число (при t = 5 k = 37 или k =43). Обычно перед использованием датчика случайных чисел задается начальное значение Vо на отрезке [0; +1]. Задание разных Vо позволяет формировать различные последовательности случайных чисел. В действительности получаются «квазислучайные» числа, т.е. спустя некоторое количество циклов последовательность чисел повторяется. Количество неповторяющихся чисел находится в пределах от нескольких тысяч до сотен тысяч. Перевод равномерно-распределенных случайных чисел на отрезке [a; b] производится с помощью формулы : 20 X i 1 a (b a) Vi 1 (15) Случайные числа с различными законами распределения получают с помощью формул преобразования (см. [29, 30]). Случайные числа с нормальным распределением могут быть получены с помощью формул: Ri' 2 ln( 1 / Vi ) cos( 2 Vi 1 ) (16) Ri'' 2 ln( 1 / Vi ) sin( 2 Vi 1 ) (17) При этом получается сопряженная пара чисел, имеющих среднее значение R = 0 и среднеквадратичное отклонение σ = 1. При других значениях производится пересчет по формуле: ri 1 R Ri 1 R иσ (18) Формирование случайных чисел – параметров с равномерным распределением преобразование законов распределения вычисление реакции объекта на случайные воздействия – параметры статистическая обработка результатов Обобщенный алгоритм реализации метода Монте-Карло (рис.) обеспечивает моделирование работы объекта и вычисление основных статистических характеристик его функциональных параметров. Решение систем дифференциальных уравнений. задача Коши заключается в решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, представленных в виде: 21 dy1 F1 ( x, y1 ,..., y j ,..., y N ), dx ........................................... dy j F j ( x, y1 ,..., y j ,..., y N ), dx ............................................. dy N FN ( x, y1 ,..., y j ,..., y N ) dx (19) где j=1N – номер каждой зависимой переменной yj, x – независимая переменная. Задача Коши сводится к интегрированию дифференциальных уравнений. Порядок метода численного интегрирования определяет и порядок метода решения системы дифференциальных уравнений. Обобщенная форма записи каждого из уравнений системы может быть представлена в общем виде: dY j dx F j ( x, Y j ) , (20) где Yj в правой части уравнений – это векторы переменных y1, y2, …,yj, …,yN, а Fj - правая часть каждого из уравнений. В частности, одно дифференциальное уравнение записывается в виде dy/dx=F1(x,y). Дифференциальные уравнения высшего порядка: y ( n ) F ( x, y, y , y ,... y ( n1) ) , (21) где n - порядок уравнения, и уравнения (16) могут быть сведены к системам представленного ранее вида с помощью следующих преобразований: dy y1 dx dy1 y2 dx ….. dy n 2 y n 1 dx dy n1 F ( x, y, y1 ,..., y n1 ) dx (22) Таким образом, решение уравнения y F ( x, y, y , y ,... y ) сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка. ( n 1) (n) модифицированный метод Эйлера второго порядка выражается следующими рекурентными формулами: Y j (i 1) Y ji h F j ( xi h * , Y j (i 1 / 2 ) ), где 2 Y j*(i 1 / 2) Y ji h F j ( xi , Y ji ) / 2 . (23) (24) Метод дает погрешность R~(h3) и имеет меньшее время вычислений, так как вместо нескольких итераций производится вычисление только одного значения Y j*(i 1 / 2) . 22 метод трапеций – одна из модификаций метода Эйлера второго порядка. Он реализуется применением на каждом шаге формулы: Y j (i 1) Y ji дает погрешность Кутта. 1 ( k j1 k j 2 ) , 2 (25) где kj1=hFj(xi,Yji), (26) kj2=hFj(xi+h,Yji+kji), (27) R~(h3). Этот метод относится к общим методам Рунге- метод Рунге-Кутта четвертого порядка является наиболее распространенным методом решения системы дифференциальных уравнений при постоянном шаге h=Const. Его достоинством является высокая точность ( R~h5) и меньшая склонность к возникновению неустойчивости решения. Алгоритм реализации метода Рунге-Кутта заключается в циклических вычислениях Yj(i+1) на каждом (i+1) шаге по следующим формулам: k1 j h F j ( xi , Y ji ); h 1 k 2 j h F j ( xi , Y ji k1 j ); 2 2 h 1 k 3 j h F j ( xi , Y ji k 2 j ); 2 2 (28) k 4 j h F j ( xi h, Y ji k 3 j ); 1 Y j ( i 1) Y ji (k1 j 2k 2 j 2k 3 j k 4 j ) 6 При переходе от одной формулы к другой задаются или вычисляются соответствующие значения x, Yj и находятся по подпрограмме значения функций Fj(x,Yj). Решение одного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта производится по приведенным выше формулам, если в них опустить индекс j, а из алгоритма исключить циклы. Последнее значительно упрощает программу и позволяет получить минимально возможное время счета. Метод РунгеКутта, используемый для решения дифференциального уравнения второго порядка вида y d2y F ( x, y, y ) и имеющий погрешность R~h5, 2 dx реализуется следующими уравнениями: 23 1 y i 1 y i h y i (k1 k 2 k 3 ) 6 1 y i1 y i (k1 2k 2 2k 3 k 4 ) 6 k1 h F ( xi , y i , y i ) k h h h k 2 h F ( xi , y i y i k1 , y i 1 ) 2 2 8 2 k h h h k 3 h F ( xi , y i y i k1 , y i 2 ) 2 2 8 2 k h h h k 4 h F ( xi , y i y i k1 , y i 1 ) 2 2 8 2 (29) Перед началом вычислений необходимо задать шаг h и начальные значения x0, y(x0)=y0, y ( x0 ) y 0 . метод Рунге-Кутта с автоматическим изменением шага заключается в изменении шага h после вычисления Yj(i+1) на шаг h/2 и повторное вычисление уже Y*j(i+1). Если условие |Yj(i+1) – Y*j(i+1)|<, то вычисления продолжают с шагом h, если условие не выполняется, то шаг уменьшают. Метод обеспечивает приближенную оценку погрешности на каждом шаге интегрирования (R~h5). Все описанные методы относятся к одношаговым методам, они обеспечивают автоматическое начало вычислений при заданных начальных условиях и изменение (в том числе автоматическое) шага в ходе вычислений. Многочисленные методы решения дифференциальных уравнений базируются на использовании данных решения на нескольких предшествующих шагах. Это повышает скорость вычислений, но, для начала вычислений приходится выполнять одношаговыми методами несколько первых шагов. Гармонический синтез. Гармоническим синтезом называется получение колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических составляющих (гармоник). Гармонический синтез может иметь как самостоятельное значение, так и использоваться как средство тригонометрической интерполяции функций. Гармонический синтез при помощи ряда Фурье заключается в вычислении ограниченного m–гармониками ряда Фурье: y (t ) m A0 ( Ak sin( 2kf1t ) Bk cos( 2kf1t )) , 2 k 1 где t – время, f1 – частота (или частота повторений) первой гармоники, Ak, Bk – коэффициенты ряда Фурье. (30) 24 В нахождении коэффициентов ряда Фурье заключается спектральный анализ периодической функции. Спектр временной функции y(t) – это совокупность ее гармонических составляющих, образующих ряд Фурье. Кроме вышеприведенной формулы есть и другая: y (t ) где a0 M k cos( 2kf1t k ) , 2 k (31) M k ak2 bk2 - амплитуда гармоник, bk ak k arctg - фаза гармоник. Коэффициенты Фурье определяются выражениями: T 2 a k y(t ) cos( 2kf1t ) T0 (32) T bk где 2 y (t ) sin( 2kf1t ) , T 0 (33) T 1 / f1 - период повторения периодической функции. Спектральный анализ непериодических или финитных функций функций, полностью определенных на отрезке [0,t0], заключается в вычислении составляющих комплексной спектральной плотности: S ( jw) S c ( w) j S s ( w) S ( w) e j ( w) , где w 2f - угловая частота, S ( w) (34) (35) S c (w)2 S s (w)2 - (36) - модуль спектральной плотности, S s ( w) S ( w ) c (w) arctg (37) - фаза на частоте w, При этом: t0 S c y (t ) cos( wt ) 0 t0 (38) S s y (t ) sin( wt ) 0 Таким образом, численный спектральный анализ заключается в нахождении коэффициентов ak, bk периодической функции и коэффициентов Sc, Ss непериодической функции: 25 N 1 ak 2 N y bk 2 N N 1 i 0 y i 0 i cos( 2kf1i t ) , (39) i sin( 2kf1i t ) , (40) где t=T/N – шаг расположения абсциссы y(t) и: N 1 S c t y i cos( 2f t i ) , (41) i 0 N 1 S s t y i sin( 2f t i ) (42) i 0 Обобщенный численный спектральный анализ базируется на том, что периодические функции y(t) являются частными случаями финитных, полагая t0=T (т.е. условно приписывая финитным колебаниям период T) и считая f=kf 1 (в случае финитных функций k – любые, а в случае периодических – целые числа). ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ. Для начала рассмотрим пару электрических зарядов q1 и q2. Между двумя зарядами в зависимости от знаков действует сила притяжения – в случае разноименных зарядов – или сила отталкивания – в случае зарядов одного знака: F k | q1q2 | r2 (1) выражение (1) представляет закон Кулона, где r - расстояние между зарядами, k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В системе «СИ» k представляет собой выражение: k 1 4 0 , (2) где 0 – электрическая постоянная - фундаментальная физическая величина, равная 8.8510-12 Кл2/(Нм2) или же 8.8510-12 Ф/м. Тогда в системе «СИ» k=9109 Нм2/Кл2. Кулоновская сила взаимодействия всегда направлена по прямой линии, соединяющей заряды. Величина силы имеет отрицательное значение, если заряды разноименные, что соответствует взаимному притяжению, и положительное значение в случае одноименных зарядов, что соответствует отталкиванию. Величина заряда измеряется в Кл – кулон. От каждого электрического заряда распространяется электрическое поле, пронизывающее все окружающее пространство. Действительно, между зарядами независимо от расстояния между ними возникает кулоновские силы, а раз есть силы, то есть и поле сил (по определению силового поля). Поле, создаваемое неподвижным зарядом, является электростатическим, т.е. постоянным во времени. При 26 внесении в электрическое поле, создаваемое первым зарядом q1, другого очень малого заряда q2 отношение кулоновской силы взаимодействия между ними к величине вносимого заряда не зависит от его величины и характеризует только электростатическое поле неподвижного заряда в каждой конкретной точке пространства. Отношение F не зависит от величины заряда q и является силовой q характеристикой электростатического поля, называемой напряженностью поля Е. Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля: E F 1 q1 q2 40 r 2 (3) Направление вектора Е совпадает с направлением вектора силы, действующей на заряд. Размерность напряженности – [Н/Кл] означает, что электростатическое поле действует на точечный заряд в 1 Кл с силой в 1 Н. Для наглядного представления векторного поля используют силовые линии электрического поля. Эти линии гладкие и непрерывные за исключением точек самих точечных зарядов. Полное число силовых линий, исходящих из точечного заряда, пропорционально величине этого заряда. Силовые линии всегда выходят из положительного заряда (на рисунке – серого цвета) и заканчиваются на отрицательном заряде (белый шарик на рисунке). Каждая силовая линия электрического поля представляет собой направленную линию, касательная к которой в каждой точке параллельна электрическому полю в этой точке. Если вектор напряженности в любой точке пространства постоянен по своей величине и направлению, то поле в этом случае однородно. Для электростатических полей выполняется принцип суперпозиции, который заключается в том, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности: n E Ei (4) i 1 Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электрические поля любой системы неподвижных зарядов. Для упрощения вычисления напряженности электрического поля удобнее пользоваться теоремой Гаусса, определяющей поток вектора напряженности электрического поля (ФЕ) сквозь произвольную замкнутую поверхность. Поток вектора напряженности через площадку dS - есть число 27 линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует угол с вектором Е: n E α S dФЕ = EEdS = EcosdS ФЕ = q1 q1 E dS 4 r dS 4 r n 2 0 S 2 4r 2 0 S (5) q1 0 (6) Последнее выражение справедливо для замкнутой поверхности любой формы. При перемещении в электрическом поле точечного заряда q2 сила, приложенная к нему, совершает работу (опять же по определению работы ). Выведем уравнение для расчета работы электрических сил. По определению элементарная работа – есть произведение силы на элементарное перемещение, совершенное под действием этой силы: dA F dl cos (7) где - угол между направлением действия силы и перемещением. Распишем силу F и получим следующее выражение: dA 1 40 q1 q q dr q2 dl cos 1 2 2 2 r 40 r (8) так как выражение ( dl cos dr ) - и есть вектор перемещения. Тогда сама работа является интегралом от элементарной работы: r2 qq A dA 1 2 40 r1 r2 dr r r1 2 q1 q 2 40 1 1 r1 r2 (9) Если работа по перемещению заряда не зависит от траектории перемещения, а только от начального и конечного положения заряда в пространстве (а так оно и есть в нашем случае), то поле является потенциальным. Таким образом, электрическое поле потенциально. Тогда работа по перемещению заряда, совершаемая по замкнутому контуру, равна нулю, так как совпадают начальное и конечное положение заряда в пространстве. Работу можно представить как разность выражений: А = П 1 – П2 = q1q2 qq 1 2 40 r1 40 r2 (10) 28 где П – потенциальная энергия электрического поля, и выражение q1q2 40 r представляет собой потенциальную энергию электрического поля: П= q1q 2 C 40 r (11) где С – постоянная интегрирования. При бесконечном удалении r потенциальная энергия стремится к нулю и, следовательно, константа С тоже стремится к нулю. Для одноименных зарядов потенциальная энергия больше нуля, для разноименных зарядов она меньше нуля. В случае системы точечных зарядов для потенциальной энергии выполняется принцип суперпозиции полей: n n П= Пi = i 1 q2 i 1 q1 40 ri (12) Из формулы (12) видно, что отношение (П/q2) не зависит от q2 – заряда, вносимого в поле первого заряда q1 – и является энергетической характеристикой электростатического поля. Величина П/q обозначается через и называется электрическим потенциалом. Единица измерения потенциала []: [Дж/Кл = В (вольт)], следовательно: q (13) 40 r Таким образом, работа электрического поля по перемещению единичного заряда есть разность электрических потенциалов: А = П1 – П2 = q(1 - 2) (14) Опять же, при расчете электрического потенциала системы зарядов сохраняется принцип суперпозиции полей: n i (15) i 1 Исходя из рассмотренных характеристик, подставив уравнение (14) в выражение (7), получим: dA = Fdlcos = Eq2dr = q2(1 - 2), или r2 (1 - 2) = Edr = -( 2 - 1) (16) r1 Потенциал является скалярной величиной, и физический смысл имеет лишь разность потенциалов в двух точках. Перепишем выражение (16) следующим образом: E ( r ) V ( r ) , оператор градиента () в декартовых координатах определяется формулой, известной из курса математики: 29 V (r ) где V (r ) V (r ) V (r ) i j k, x y z (17) i , j , k - единичные векторы, направленные вдоль осей x, y, z. В одномерном случае E = -dV/dx, в случае не зависимости V только от модуля r: E = -dV/dr. При r ∞ (1 - 2) 1 (так как 2 0) и (18) A q 1 , откуда: A , q (19) т.е. суть понятия электрического потенциала - есть величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда в бесконечность. Таким образом, поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одно и то же значение, называется эквипотенциальной. В разделе электростатики рассматриваются следующие задачи, которые не имеют аналогов в разделе гравитации: 1 движение «малого» электрического заряда в поле «большого» заряда при их взаимодействии; 2 движение заряженного тела в поле, заданном несколькими фиксированными зарядами произвольных знаков; самый простой случай, когда все заряды лежат в одной плоскости, начальное положение и скорость движущегося заряда находятся в этой же плоскости; 3 движение заряженного тела между пластинами конденсатора, в простейшем случае – движение в одной плоскости. Более подробное рассмотрение моделирования поставленных предложено в методическом пособии по практическим занятиям. задач МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. Во многих физических системах движение носит регулярный периодический характер. Движение, повторяющееся через конечные интервалы времени, называется периодическим или гармоническим, например движение Земли вокруг Солнца или движение маятника часового механизма. Если объект движется по одной и той же траектории между двумя продольными положениями, то движение называется колебанием. Наиболее наглядным примером колебательного движения служит пружина, к свободному концу которой прикреплено тело, массой m. Δx ˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠˠ x=0 30 В данном одномерном случае изменение положения тела описывается координатой x. Тогда положение, при котором пружина не напряжена как в одну, так и в другую сторону, является положением равновесия, т.е. x=0, и будем считать нулевым состоянием координаты x. Для простоты моделирования примем, что трение между телом и горизонтальной поверхностью отсутствует. Если тело сместить из положения равновесия и затем отпустить, то оно будет совершать колебательное движение в горизонтальной плоскости. Если пружина не слишком сильно напряжена, иными словами не слишком сильно растянута или сжата, то сила, действующая на тело со стороны пружины, является линейной и описывается законом Гука: F kx , (20) где k – силовая постоянная, называемая жесткостью пружины [н/м=кг/с2]. Знак “-“ указывает на то, что упругая сила стремится вернуть тело в положение равновесия. Тогда уравнение баланса сил: F ma примет вид: d 2x kx 02 x , 2 m dt где 0 k - круговая или циклическая частота, [1/с] m (21) (22) Заметим, что t - угол поворота. Видно, что уравнение (21) является линейным дифференциальным уравнением. Движение, описываемое этим уравнением, называется простым гармоническим колебанием, и его решение можно выразить аналитически: x(t ) A cos( 0 t ) , (23) где A – амплитуда колебаний – максимальное смещение координаты x (или изменение x) от состояния равновесия; - начальная фаза колебаний в момент времени t=0; (0t + ) – фаза колебаний в момент времени t. Амплитуда колебаний и начальная их фаза (A и ) могут быть определены из начальных условий для координаты x и скорости колебаний =dx/dt: x(0) A cos( 0) (24) (t ) A 0 sin( 0 t ) (25) (0) A 0 sin (26) В начальный момент времени t=0 можно время представить как : t0 x(0) t x(0) cos 1 x(0) (0) 0 sin 0 tg (27) Так как косинус является периодической функцией с периодом 2, то и смещение координаты также будет периодической функцией. В этом случае можно записать: x(t T ) x(t ) , где Т – период колебаний, иными словами наименьшее время, через которое колебательное движение повторяется. При 31 времени, равном периоду колебаний выражение (0t) в уравнении (22) соответствует выражению (0Т), где период можно выразить как: T 2 0 2 (28) k /m Величина, равная числу периодов колебаний в единицу времени, называется частотой колебаний ν и определяется как : 1 T (29) Вспомнив, что период колебаний зависит от жесткости пружины (к) и массы тела (m) и не зависит от амплитуды (А) и начальной фазы (), то, следовательно, и частота не зависит от значения амплитуды колебаний. Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия (Е) колебаний остается постоянной и равной: E 1 1 m 2 kx 2 , 2 2 (30) 1 m 2 - кинетическая энергия колебаний, зависящая от времени 2 1 2 kx - потенциальная вследствие зависимости от времени скорости, и 2 где энергия, зависящая от координаты (месторасположения) тела. Другим наглядным примером колебательного движения является математический маятник. Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из частицы или тела массой m, прикрепленного к нижнему концу жесткого стержня длиной l с пренебрежимо малой массой, верхний конец которого вращается без трения в точке подвеса. Маятник совершает колебания в вертикальной плоскости. l R m F mg На точку m действуют сила тяжести mg и сила реакции стержня l - R, в результате их взаимодействия возникает сила F=ma, заставляющая точку совершать движение по дуге окружности. Вспомнив, что скоростью называется производная пути по времени, а путем в данном случае является смещение точки (или тела) от положения равновесия, которое можно представить как поворот на некоторый угол , то нетрудно получить выражения для скорости: 32 и для ускорения: d dt (31) a d d 2 2 dt dt (32) Смещение x можно представить как: x l sin l (33) В силу малости углов величину синуса малого угла можно приближенно заменить величиной самого угла. И тогда для величин скорости колебаний и ускорения математического маятника получим выражения: dx d l dt dt (34) a d d 2 l 2 dt dt (35) Из рисунка видно, что величина результирующей силы равна: F ma mg sin (36) Подставив выражение (35) в уравнение (36) получим: же: d 2 m l 2 m g sin , dt d 2 g sin 2 l dt или (37) Так как уравнение (37) содержит функцию синуса, то оно является нелинейным. Большинство нелинейных уравнений не имеет аналитических решений. Но в случае малых углов отклонения математического маятника выражение (37) можно переписать в следующем виде: d 2 g 2 l dt (38) Угол поворота измеряется в радианах. Сравнив выражение (38) для математического маятника с выражением (21) для пружины имеем аналогию между малыми углами поворота маятника () и линейным смещением пружины (x), и следовательно между величинами (g/l) и (k/m). Учитывая все вышесказанное, можно записать выражение для периода колебаний математического маятника: T 2 g /l (39) 33 В случае достаточно больших отклонений ( > 1) для нахождения решения нелинейного уравнения воспользуемся законом сохранения энергии: Е=П+К. Потенциальная энергия П равна mgh , величина h может быть найдена следующим образом (см. рисунок): h l l cos l (1 cos ) (40) и тогда потенциальная энергия высчитывается как: П mgl (1 cos ) (41) Очевидно, что при отклонении равном нулю, другими словами при угле поворота равном нулю, потенциальная энергия равна нулю, что логично, так как величина отклонения от горизонтали (высота) равна нулю. Кинетическая энергия маятника записывается как: 1 1 d K m 2 ml 2 2 2 dt 2 (42) И тогда выражение для полной энергии колебаний принимает вид: 1 d E ml 2 mgl (1 cos ) 2 dt 2 (43) ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОАЭРОДИНАМИКИ. Гидроаэромеханика – раздел физики, изучающий законы равновесия и движения жидкостей и газов, а также взаимодействие жидкостей и газов с твердыми телами. Гидроаэростатика рассматривает условия и закономерности равновесия жидкостей и газов под воздействием приложенных к ним сил и, кроме того, условия равновесия твердых тел, помещенных в жидкости или газы. Гидроаэродинамика изучает законы движения жидкостей и газов, а также взаимодействие жидкостей и газов с твердыми телами при их относительном движении. Конкретное строение жидкостей или газов в гидроаэромеханике не учитывается, и они рассматриваются как сплошные среды, непрерывно распределенные в пространстве. Исключение составляют сильно разреженные газы, к которым модель сплошной среды не применима. Отличительной особенностью жидкостей и газов является их текучесть, которая связана с малыми силами трения при относительном движении соприкасающихся слоев. При бесконечном уменьшении скорости относительного движения слоев, силы трения между ними стремятся к нулю. Этим объясняется отсутствие сил трения покоя в жидкостях и газах. Жидкости и газы не сохраняют своей формы, а принимают форму сосуда, в который они заключены. Газы и жидкости характеризуются наличием поверхностного слоя, называемого свободной поверхностью, большой плотностью при одних и тех же условиях (за исключением критического состояния – состояния, при котором разность удельных объемов насыщенного пара и жидкости равна нулю, т.е. над жидкостью не образуется насыщенного пара) и характером зависимости 34 плотности от давления: несжимаемость жидкости и заметная сжимаемость газов. Изменению объема сплошной среды препятствуют силы упругости. Поскольку взаимодействия между слоями жидкости или газа, а также взаимодействие жидкостей и газов с твердыми телами осуществляются не в отдельных точках, а по поверхности, причем силы упругости всегда перпендикулярны к рассматриваемым плоскостям, то эти взаимодействия в гидроаэродинамике характеризуются давлением. Многие соотношения и законы в гидроаэромеханике справедливы как для жидкостей, так и для газов. При необходимости подчеркнуть различие между жидкостью (характеризующейся поверхностным слоем) и газом (не имеющего поверхностного слоя) первой называют капельной жидкостью. Несжимаемой жидкостью называется капельная жидкость или газ, зависимостью плотностей которого от давления в данной задаче можно пренебречь. Если зависимостью плотности газа от давления пренебречь нельзя, то такой газ называется сжимаемой жидкостью. Гидроаэростатика. В отсутствии или при компенсации внешних воздействий на жидкость в инерциальной системе отсчета частица сплошной среды находится в равновесии, если равна нулю равнодействующая всех сил, действующих на нее со стороны соседних частиц: n F Fi 0 (43) i 1 F1 a F6 F3 F2 F4 F2 F1 F1 F4 F2 Запишем выражение (43) для этого конкретного случая: F F1 F2 F3 F4 F5 F6 0 Из выражения (43) вытекает закон Паскаля, по которому давление в данной точке жидкости одинаково по всем направлениям. Давлением называется сила, действующая на единицу поверхности: P F S (44) В системе СИ давление измеряется в Паскалях: 1 Па = 1 Н/м2, т.е. давление в 1 Паскаль – это сила в 1 Ньютон, приходящаяся на 1 м2 поверхности. 35 Сумма сил образует замкнутый основанию куба, поэтому напишем: прямоугольник, идентичный F F1 F F 2 3 4 aa aa aa aa (45) В знаменателях всех дробей имеем одинаковые величины, поэтому для выполнения равенства должны быть равны и числители, таким образом: P1 P2 P3 P4 (46) Нетрудно доказать, что и по остальным граням куба картина будет аналогичной. Следовательно, давление на все боковые грани куба одинаковые – это и есть закон Паскаля. Теперь кратко рассмотрим основные законы гидроаэромеханики. закон сообщающихся сосудов: 1 gh1 2 gh2 1h1 2 h2 , или или (47) 2 h1 1 h2 , где ρ – плотность жидкостей, h – уровень высоты жидкости в сосуде, g – ускорение свободного падения. Отсюда следует, что если в сообщающихся сосудах находится однородная жидкость (1 = 2), то ее свободная поверхность во всех сосудах располагается на одном уровне (h1 = h2). закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая (Архимедова) сила, равная по модулю силе тяжести жидкости, вытесненной телом. Выталкивающая сила возникает из-за того, что значения гидростатического давления на разных глубинах неодинаковые. Гидростатическое давление – давление, вызываемое силой тяжести жидкости и зависящее от глубины под поверхностью жидкости. FA g g Vm , где g (48) – плотность жидкости в кг/м3, Vm – объем тела, вытесненного жидкостью в м3. Если тело погружено в жидкость не полностью, то уравнение (47) примет вид: FA g g V n , (49) где Vп – объем погруженной под свободную поверхность жидкости части тела. Точка приложения выталкивающей жидкости называется центром давления. Центр давления совпадает с центром масс тела только в случае однородного тела, полностью погруженного в жидкость. Для неоднородного тела и однородного тела, погруженного в жидкость не полностью, центр давления не совпадает с центром масс. 36 FA FA C D D D C P FA P C P Тело, погруженное в жидкость, находится в равновесии, если сила тяжести тела уравновешивается выталкивающей силой: m g FA (50) Если при заданном погружении на тело не действуют никакие другие силы, и архимедова сила больше силы тяжести тела, то тело всплывает до тех пор, пока не будет выполнено условие: g g Vn mg (51) При условии малости выталкивающей силы по сравнению с силой тяжести тело тонет. Движение жидкостей и газов. Если в заданных точках пространства скорость жидкости не зависит от времени, то движение жидкости называется стационарным. Ламинарное движение жидкости – такое движение, при котором соприкасающиеся слои жидкости движутся без перемешивания. В случае перемешивания слоев жидкости имеем турбулентное движение. Ламинарное движение может быть как стационарным, так и нестационарным, турбулентное движение всегда не стационарно. Вязкостью или внутренним трением называется явление возникновения сил, препятствующих относительному перемешиванию слоев жидкости или газа. Силы внутреннего трения направлены вдоль соприкасающихся слоев и зависят от их относительных скоростей. Тогда как силы упругости направлены перпендикулярно к поверхностям слоев. Причиной вязкости в газах является перенос частицами газа импульсов между соприкасающимися слоями. Если 1 2, то переход какой-либо частицы А из слоя 2 в слой 1 приведет В 1 Fòð к торможению первого слоя. Переход же 1 частицы В из слоя 1 в слой 2 приведет к увеличению скорости второго слоя 2. Таким 2 2 образом, сила трения F1 А Fòð противонапралена скорости 1 и сила трения F2 сонаправлена со скоростью 2. Идеальной или невязкой жидкостью является сплошная среда, в которой вязкость либо отсутствует, либо ею можно пренебречь. 37 Запишем уравнение неразрывности для стационарного течения жидкости: S Const , (52) где - плотность вещества, S – площадь соприкасающихся поверхностей, - модуль скорости движения потока. Для несжимаемой жидкости (плотность является постоянной величиной) имеем выражение: S Const (53) Уравнение, связывающее параметры движущихся потоков, носит название уравнение Бернулли: P gh 2 2 Const , (54) Где h – высота от условно выбранного уровня, P – давление, вызванное силами упругости жидкости. Если h=Const (случай горизонтального движения), то тогда выражение (54) примет вид: P 2 2 Const (55) Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного течения несжимаемой невязкой жидкости. В это уравнении Р – представляет собой статическое давление, а сумма 2 2 - динамический напор, а их 2 P является полным давлением Р0. В тех сечениях, где 2 скорость течения больше, статическое давление меньше, и наоборот. Теперь рассмотрим движение твердых тел в жидкостях и газах. При обтекании твердого тела вязкой жидкостью поток деформируется. Слои жидкости, прилегающие к нему, прилипают к его поверхности. На поверхности тела образуется пограничный слой – область, в пределах которой скорость жидкости изменяется от нуля до скорости невозмущенного потока. υ υ υ 0 υ 38 Пунктирная линия отвечает пограничному слою. В какой-то точке поверхности 0 может произойти отрыв пограничного слоя. При этом жидкость из пограничного слоя выбрасывается в основной поток и за точкой отрыва (О) образуется вихревое движение. От толщины и вида (ламинарное или турбулентное) пограничного слоя зависит сопротивление движению тела в жидкостях. Рассмотрим два примера: Подъемная сила при обтекании потоком вязкой жидкости вращающегося кругового цилиндра – называемая эффектом Молнуса. Подъемная сила возникает за счет разности статических давлений в различных точках поверхности твердого тела, движущегося в жидкости или газе. Если на цилиндр, вращающийся вокруг горизонтальной оси по часовой стрелке, слева набегает поток вязкой жидкости со скоростью 1, то возникает подъемная сила Fп, направленная вверх. a υ Fп c d b Цилиндр вовлекает во вращательное движение по часовой стрелке прилегающие к его поверхности слои вязкой жидкости, вследствие чего возникает циркуляция слоев жидкости. В сечении ac результирующая скорость больше, чем в bd. Статическое давление у нижних точек цилиндра будет больше, чем статическое давление у верхних точек, что приводит к возникновению подъемной силы Fп. Подъемная сила крыла самолета. Профиль крыла самолета, предназначенного для полетов со скоростью меньше скорости звука, имеет следующий вид: F При обтекании такого крыла отрыв пограничного слоя происходит только на его задней кромке. Если поток воздуха набегает слева, то вихревое движение у задней кромки будет происходить против часовой стрелки. В системе крыло – набегающий поток при этом должно возникать вихревое движение воздуха вокруг профиля крыла по часовой 39 стрелке. Вследствие чего результирующая скорость потока воздуха над крылом самолета будет больше, чем под крылом. Статическое давление у нижней поверхности крыла будет больше, чем статическое давление у верхней поверхности. В результате возникает сила F, действующая на крыло. Причем вертикальная составляющая этой силы F является подъемной силой F п, а горизонтальная составляющая является силой сопротивления Fс. Последняя сила уравновешивается или преодолевается силой тяги двигателя самолета. ТЕПЛОЕМКОСТЬ. Теплоемкостью называется физическая величина, численно равная количеству теплоты Q, которое необходимо сообщить телу для нагревания его на один градус: C Q T (56) Теплота – такая форма передачи энергии, при которой осуществляется непосредственный обмен энергией между хаотически движущимися частицами взаимодействующих тел. При этом за счет переданной телу энергии усиливается неупорядоченное движение его частиц, т.е. увеличивается внутренняя энергия тела. Теплота – это не вид энергии, а форма ее передачи. Теплоемкость тела зависит от его массы, химического состава, термодинамического состояния тела и вида того процесса, в котором ему передается энергия в форме теплоты. Для нагревания данной массы газа на один градус требуется различное количество теплоты, если нагревание происходит в различных условиях, например, при постоянном объеме или при постоянном давлении. Во втором случае требуется большее количество теплоты. Из определения теплоемкости следует, что при адиабатическом процессе, когда ΔQ =0, другими словами при неизменном давлении Р= Const и объеме, изменяющемся по закону: V V0 (1 V t ) (изохорный процесс), (57) 1 - термический коэффициент объемного расширения, Т 0 = 273оС; T0 T или V V0 , теплоемкость равна нулю. T0 где V При изотермическом процессе, когда ΔΤ =0 и произведение PV Const , понятие теплоемкости не имеет смысла, т.е. C . При этом в условиях кипения жидкости и плавления твердых тел изменения температуры не происходит (ΔΤ =0), и понятие теплоемкости также не имеет смысла применять. В случае изохорного процесса, когда объем неизменен ( V Const ), а изменение давления подчиняется закону: P P0 T , то T0 следующее выражение для расчета давления в системе : получаем 40 P P0 (1 p t ) , где p (58) P - термический коэффициент давления. P0T Удельная теплоемкость однородного вещества: (с) c – теплоемкость единицы C , M массы (59) где М – масса вещества. Удельная теплоемкость тела не является постоянной величиной, и в таблицах теплоемкостей указываются условия, при которых данные таблицы справедливы. Молярная теплоемкость ( c ) – теплоемкость одного моля вещества. c c , где (60) - молярная масса вещества. Количество теплоты ΔQ, необходимое для нагревания тела от температуры Т до температуры T dT , равно Q C T . Для нагрева тела, массой М, получим: Q M C T M c T n c T , (61) где n – число молей вещества. Существует теория теплоемкости Дебая. Мольная теплоемкость металлов зависит от температуры Т температуры Дебая , которая является характеристическим свойством каждого металла. Мольная теплоемкость металлов по Дебаю задается формулой, содержащей интеграл, который невозможно вычислить аналитическими средствами. Поэтому для решения этой задачи необходимо привлечь численные методы интегрирования. Строго говоря, теплоемкость cV зависит не от абсолютных значений Т и , а от их отношения: z T (62) Тогда формула Дебая принимает вид: z cV 9R ex 4 x dx z 3 0 (e x 1) 2 Если за z обозначить отношение T (63) z , то тогда выражение для теплоемкости Дебая выглядит следующим образом: 41 1/ z cV ( z ) 9 Rz 3 x4 0 ex dx (e x 1) 2 (64) где R – универсальная газовая постоянная , равная 8.314 кДж/(кмольК). Для решения такого интеграла удобно использовать метод Симпсона. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. Будем рассматривать спектральную плотность излучения абсолютно черного тела от частоты и температуры, которая выражается формулой Планка: 2 3 ( , T ) c2 1 e kT , (65) 1 где - спектральная плотность излучения, - частота излучения, 1/с (Гц), ħ – постоянная Планка, 6.6210-34 Дж/с, c – скорость света в вакууме, 3108 м/с, k – константа Больцмана, 1.3810-23 Дж/К. Абсолютно черным телом называется такое тело, которое при любой температуре, независимо от материала тела и состояния его поверхности, полностью поглощает электромагнитные волны любых частот, другими словами, поглощает все лучи, падающие на тело. К абсолютно черным телам по своим свойствам близки: сажа, черный бархат, платиновая чернь. По своим оптическим свойствам Солнце близко к абсолютно черному телу. Моделью абсолютно черного тела является небольшое отверстие в непрозрачной стенке ящика. Луч, проходя через отверстие внутрь ящика, после многократных отражений от внутренних стенок практически полностью поглощается. 42 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ по курсу «Компьютерное моделирование в физике». 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1969. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1993. Беллман Р. Математические методы в медицине: Пер. с англ. - М.: Мир, 1987. Белошапка В.К. Информационное моделирование в примерах и задачах. – Омск: Из-во ОГПИ, 1992. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. – М.: Наука, 1966. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1965. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. – М.: Наука, 1966. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. – М.: Знание, 1991. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: Пер. с англ. Т.1,2. – М.: Мир, 1990. Демидович Б П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. – М.: Просвещение, 1990. Зайденберг А.П., Павлович Е.С. Законы распределения случайных величин. – Омск: Из-во ОГПИ, 1971. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. – М.: Наука, 1967. Кондаков В.М. Математическое программирование. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. – Пермь: Из-во ПГУ, 1992. Математическое моделирование: Пер. с англ. / Под ред. Дж. Эндрюса, Р. Мак-Лоуна. – М.: Мир, 1979. Матюшкин-Герке А. Учебно-прикладные задачи в курсе информатики. Информатика и образование, №3-4, 5-6, 1992. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. – М.: Наука, 1988. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: Пер. с англ. – М.: Сов. Радио, 1971. Сайдашев а.А., Хеннер Е.К. Компьютер на уроке математики. – Пермь: Из-во ПГУ, 1991. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. – М.: Наука, 1964. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука: Пер. с англ. – М.: Мир, 1978. Электронные вычислительные машины./ Под ред. А.Я. Соловьева. В 8 книгах. Книга 8. Решение прикладных задач. – М.: Высшая школа, 1987. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. – М.% Наука, главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1987. Дьяконов В.П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах. – М.: Наука, 1985. Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Инженерные расчеты на программируемых микрокалькуляторах. - Киев: Техника, 1985. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика. – М.: ACADEMA, 2000. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Практикум по информатике. – М.: ACADEMA, 2001. 43 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ…………………………………………………………….1 КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИЗИКЕ………………………...7 Принцип использования численного моделирования………………..8 Последовательность моделирования……………………………….….9 СВОБОДНОЕ ПАДАНИЕ ТЕЛ…………………………………………………10 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ……………………… 15 Метод простых итераций………………………………….…………..15 Метод Ньютона……………………………………….………………..16 Модифицированный метод Ньютона…………………………………16 Метод хорд……….……………………………………………………..16 Вычисление определенных интегралов………………..……..………18 Метод прямоугольников..………..……………………………………19 Метод трапеций………………………………………………………..19 Метод Ньютона-Котеса………………………………………………..19 Метод Симпсона……………………………………………………….20 Метод Гаусса…………………………………………………………...20 Метод Монте-Карло……………………………………………………20 Решение систем дифференциальных уравнений…………………….22 Задача Коши……………………………………………………………22 Модифицированный метод Эйлера второго порядка………………..22 Метод трапеций…………………………………………………………23 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка……………………………...23 Метод Рунге-Кутта с автоматическим изменением шага…………...24 Гармонический синтез…………………………………………………24 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ……………………………………....26 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ……………………………………………..31 ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОАЭРОДИНАМИКИ……………………………………..35 Гидроаэростатика………………………………………………………36 Основные законы гидроаэромеханики……………………………….37 Движения жидкостей и газов………………………………………….38 Движения твердых тел в жидкостях и газах…………….……………39 ТЕПЛОЕМКОСТЬ………………………………………………………………..41 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ……………………………………………………….43 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………….44 СОДЕРЖАНИЕ…………………………………………………………………...46
