О продолжении решения однородной системы уравнения

УДК 517.946
О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла
Сатторов Э.Н., Махмудов К.О.
Самаркандский государственный университет
[email protected]
Ключевые слова: уравнений Максвелла, некорректные задачи, регулярное решение, матрицы Карлемана.
Key words: Maxwell equations, ill-posed problem, regular solution, Carleman matrix.
Аннотация: Рассматривается задача продолжения решения системы уравнений Максвелла по ее значениям на
части границы этой области.
Abstract: We consider the problem of continuation of a solution to the system of Maxwell equations from data on part of
the boundary of the domaın.
В теории электромагнитных методов, применяемых различных геофизических
исследованиях классическая формула Стрэттона-Чу играет важный роль. Эти представления
позволяет решить различные краевые задачи. В данной работе рассматриваются вопросы
регуляризации задачи Коши для уравнений Максвелла.
Рассмотрим однородную систему уравнений Максвелла
rotE  iH ;
rotH  iE ,
 1 ,  и  - электромагнитные постоянные (диэлектрическая постоянная и
проницаемость); E  ( E1 , E 2 , E3 ) и H  ( H1 , H 2 , H 3 ) - напряженностью электрического
где i 
и магнитного поля,
Пусть
 - частота электромагнитного колебания.
3
вещественное
евклидово
пространство:
R -трехмерное
3
2
2
x  ( x1 , x2 , x3 ), y  ( y1 , y 2 , y 3 ) R , x  ( x1 , x2 ), y   ( y1, y 2 )  R ,   y  x 2 ,
 2 s,
r 2  y  x 2   2  ( y3  x3 )2 ,
  tg

,
2
  1,
G  y : y  y3 , y3  0,
G  y : y  y3 , y3  0, C   :     i ,      ,      .
D  - односвязная ограниченная область в R3 с границей D , состоящей из части
поверхности конуса G  и гладкого куска поверхности S , лежащего в конусе G  . Случай
  1 предельный. В этом случае G - плоскость R 2 и G  - полупространство y3  0 , D1
3
-односвязная ограниченная область в R с границей, состоящей из части плоскости R2 и
гладкого куска поверхности S , лежащей в полупространстве y3  0 ; S 0 - внутренние точки
поверхности ( S 0 - поверхность S , из которой удален край).
Через
A( D  )
обозначим
пространство
вектор
функций
класса
C1 ( D  )
удовлетворяющих системы уравнений Максвелла в D 
Задача 1.
rotE  iH ;
rotH  iE , x  D ,
n( y), E( y)  f ( y), n( y), H ( y)  g ( y), y  S
По заданным f ( y ) и g ( y ) на S вычислить E ( x), H ( x), x  D .
(1)
(2)
Задача 2. Пусть на S заданы функции f ( y ) и g ( y ) . Указать условия на f ( y ) и g ( y ) ,
необходимые и достаточные для того, чтобы существовало решение системы (1) класса
A( D  )  C( D   S) , удовлетворяющее условию (2).
Задача (1), (2) относится числу некорректно поставленных задач. В настоящее время теория
некорректных задач разработана достаточно хорошо. Различные методы решения изложены в
[1-4].
Ж.Адамар [5] заметил, что решение задачи 1 неустойчиво. Чаще всего в приложениях
вместо вектор-функций f ( y ) и g ( y ) задаются на S их приближения f  ( y ) и g  ( y )
соответственно с заданным уклонением
решение в точках области
  0 и требуется по f  ( y ) и g ( y ) построить
D  с заранее заданной точностью. Поскольку решение задачи
неустойчиво, то построение приближенного решения невозможно.
Для того чтобы построить устойчивое решение, необходимо сузить класс рассматриваемых
решений [1,2-3,6]. Чаще всего это компакт в известных функциональных пространствах. Если
известно число характеризующее компакт (размеры компакта которому принадлежат решения,
то речь идёт о построении семейства вектор-функции E ( x)  E ( x, f  , g  ) ,
H  ( x)  H  ( x, f  , g  ) (регуляризация), зависящих от положительного параметра   0
(параметр регуляризации). При подходящем выборе параметра  в зависимости от  и
размера компакта сходится к решению задачи, когда   0 . Введение положительного
параметра  в зависимости от погрешности исходных данных здесь обусловлено свойством
задачи. Это обстоятельство впервые было замечено М.М.Лаврентьевым [13]. Явная формула
для регуляризации задачи (1), (2) дана в [7]. Мы приводим решение задачи 1 и 2, когда f ( y ) и
g ( y ) задаются на S заданы точной формулой.
Доказываемые ниже формулы продолжения, представляющие решения задачи 1 и 2,
основаны на построении матрицы фундаментальных решений системы (1), зависящей от
положительного параметра  и исчезающей при    вместе со своими производными
на конусе G  , когда полюс фундаментальной матрицы лежит внутри конуса.
Фундаментальная матрица решений системы (1) с указанными свойствами называется
матрицей Карлемана [1].
Функцию Ф( y , x,  ) при   0 ,   0 определим
1
Ф ( y , x,  ) 
4
1

4
где
Здесь

 Im [
0
K ( w) ch(k u )
]
du 
w
u2  2

Im K ( w)
0  Re K (w)  ( y1  x1 ) u 2  


 ch(k u )
du ,

 u 2   2
(3)
2
2
K ( w)  expaw2 E ( w), w  i u    y1  x1 .
E  ( w) - целая функция Миттаг-Леффлера, который определяется интегральной
формулой ([8], § 3, гл.3). Обозначим
комплексной плоскости
следующих частей:
   (1,  ) ,
0 


w пробегаемый в направлении неубывания
,
 1
контур в
arg w и состоящий из
arg w   
1) луч
,
w  1; 2) дуга    arg w   окружности w  1;
3) луч arg w    , w  1.
Контур

разбивает комплексную плоскости на две односвязные бесконечные области
D _ и D  , лежащие слева и справа от

соответственно. Будем предполагать
  1.


  
,
2

В этих условях справедливы следующие интегральные представления
E ( w)  exp(w )    ( w) , w  D  ,
(4)

E ( w)    ( w) , E ( w)    ( w) , w  D ,
(5)
где

exp(  )
 exp( ) ,   ( w) 
(6)
 (  w)2 d .
  ( w) 
d

2

i
2i    w
Лемма 1. Функция Ф( y , x,  ) определенная при   0 ,   0 равенством (3) представима

в виде
e i k r
Ф( y ,  ,  ) 
 g ( y , x,  ) ,
4 r
где
g ( y, x,  ) - некоторая функция, определенная для всех значений
удовлетворяющая уравнению Гельмгольца
  0.
Определим матрицы
где
g   2 g  0
и
по переменному y при любом
M ( y, x, )  M i j ( y, x, ) 33
2
M i j ( y , x,  ) 
Ф( y, x,  )   i j k 2 Ф( y, x,  ),
x i x j
k     ,  i j - символ
Кроникера и
Ф( y  x,  )
x3
0
N ( y , x,  )  
x, y, 
Ф( y  x,  )
x3
0

Ф( y  x,  )
x2
Ф( y  x,  )
x1
Ф( y  x,  )
Ф( y  x,  )

0
x2
x1
Лемма 2. Матрицы M ( y, x,  ) , N ( y , x,  ) представимо в виде
M ( y, x, )  M ( y, x)  G1 ( y, x,  ) ,
N ( y, x, )  N ( y, x)  G2 ( y, x,  ) , r  y  x
,
где
G1( y, x, ), G2 ( y, x, ) -
системы
(1)
в
R3
симметричная и антисимметричная матрицы целых решений
соответственно
фундаментальных решений системы (1) в
вектора
R 3 /x:
M ( y, x)  M i j ( y, x) 33 , M i j ( y, x) 
E, H ;
2
 ( y, x)   i j k 2 ( y, x) ,
yi y j

 ( y, x)
x3
0
N ( y, x)  

 ( y, x)
x3

 ( y, x)
x2


 ( y, x)
x2
,

 ( y, x)
x1
0

M ( y, x), N ( y, x) -матрицы

 ( y, x)
x1
0
ei k y  x .
 ( y, x) 
4 y  x
Предложение.
Пусть E ( y), H ( y)  A( D )  C ( D  ) , где D   D  D . Тогда
где
справедлива формула Стрэттона – Чу [9]:
E ( x)  
 n( y ), E ( y )N ( y  x,  )dS y 
D 

1
 n( y ), H ( y )M ( y  x,  )dS y ,
ik D 
H ( x)  
 n( y),
x  D
(7)
H ( y )N ( y  x,  )dS y 
D 

1
ik
 n( y),
E ( y )M ( y  x,  )dS y ,
x  D ,
D 
здесь n - направление внешней нормали.
Теорема 1.
Пусть E ( y), H ( y)  A( D )  C ( D  )
n( y), H ( y)  g ( y) , где
и
n( y),
E ( y )  f ( y ) ,
f ( y ), g ( y ) - заданные на S вектор функции класса C (S ) . Тогда
справедливы следующие эквивалентные формулы продолжения:

E ( x)  lim   n( y ), E ( y )N ( y  x,  )dS y 
 
 S
1

  n( y ), H ( y )M ( y  x,  )dS y , x  D
ik S

(8)
1


E ( x)   J 1 ( x,  )d    N ( y  x) f ( y )dS y   M ( y  x) g ( y )dS y 
ik S
 S

0

H ( x)  lim   n( y ), H ( y )N ( y  x,  )dS y 
 
 S
1

  n( y ), E ( y )M ( y  x,  )dS y , x  D .
ik S


(9)
1


H ( x)   J 2 ( x,  )d    N ( y  x) g ( y )dS y   M ( y  x) f ( y )dS y 
ik S
 S

0
1
J 1 ( x,  )    N1 ( y  x,  ) f ( y )dS y   M 1 ( y  x,  ) g ( y )dS y ,
ik S
S

где
(10)
1
M 1 ( y  x,  ) f ( y )dS y ,

ik S
S
d
d
M 1 ( y,  ) 
M ( y,  ) , N1 ( y,  ) 
N ( y,  ) .
d
d
2
Теорема 2. Пусть S  C , f ( y), g ( y)  C ( S0 )  L( S ) . Для того чтобы существовало
решений E ( y ), H ( y )  A( D )  C ( D  S 0 )
такой, что n( y), E ( y)  f ( y) ,
n( y), H ( y)  g ( y) , y  S0 , необходимо и достаточно, чтобы
ln  I i ( x,  )
(11)
lim
 0 , i  1, 2
 

выполняется равномерно на каждом компакте K  G  , x  K . Если эти условия
J 2 ( x,  )    N1 ( y  x,  ) g ( y )dS y 
выполнены, то продолжение осуществляется двумя эквивалентными формулами (8) и (9).
Список литературы
1.Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск.
1962.
2. Латтес Р., Лионс Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения. М. : Мир, 1970.
3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
4. 7. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее
приложения. М. :Наука, 1978.
5. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными
гиперболичекого типа. М.: Наука, 1978.
6. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР Сер. Мат. 1956. Т.
20, №6. С. 819-842.
7.Сатторов Э., Мардонов Дж. Задача Коши для системы уравнений Максвелла // Сиб. Матем.
Журн. 2003. Т.44, №4. С.
8.Джарбашян М.М. Интегральные преобразование и представление функции в комплексной
области. М.: Наука, 1966.
9. Stratton J.A., Chu L.J. Diffraction theory of electromagnetic waves // Phys. Repav. 1939. V. 56.
P.99-107