расчет поля излучения диполя методом непосредственного

РАСЧЕТ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ДИПОЛЯ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
© Салль С.А., 2004
ГУП ВНЦ ГОИ им. С.И.Вавилова
Биржевая линия 12, Санкт-Петербург, 199034, Россия
Показано, что непосредственное интегрирование уравнений Максвелла приводит к корректному решению
задачи о поле излучения диполя. Проведен анализ поля в ближней, средней и дальней зонах. Существующее
представление о неоднородности волны в средней зоне и о структуре сферической волны в дальней зоне
оказывается несостоятельным.
Sall S.A. It is shown that the direct integration of Maxwell’s equations results in the correct solution of a task on a field
of dipole radiation. The analysis of a field in near, average and far zones is carried out. The existing representation about
inhomogeneity of a wave in an average zone and about structure of a spherical wave in a far zone appears erroneous.
Принято полагать, что непосредственное интегрирование системы уравнений Максвелла в форме ГерцаХевисайда для нахождения поля излучающего диполя связано с большими трудностями. С целью
упрощения этой задачи используется широко распространенный прием введения вспомогательных функций
пространственных координат и времени – векторного и скалярного потенциалов. Подстановка выражений
для этих потенциалов в систему уравнений Максвелла после ряда преобразований и при условии
нормировки Лоренца приводит к уравнениям Даламбера. Их решение ищется в виде запаздывающих
потенциалов. Однако, как показано в работе 1, сведение уравнений Максвелла к уравнениям, выраженным
через векторный и скалярный потенциалы, в общем случае математически некорректно. При одних и тех же
краевых условиях эти уравнения могут приводить к кардинально отличающимся решениям для
электрического Е и магнитного Н полей. Калибровочная инвариантность полученных уравнений вовсе не
означает их эквивалентности уравнениям Максвелла. Против такого сведения, как и против метода
запаздывающих потенциалов, предложенного Фитцджеральдом, выступал Кельвин.
Между тем, задача о поле излучения диполя, колеблющегося по гармоническому закону, легко решается
без сведения уравнений Максвелла к уравнениям Даламбера для векторного и скалярного потенциалов.
Представим вектор E в виде E  E 0  E , где E 0 – квазистатическая составляющая поля, для которой
частная производная по времени равна нулю, а E – динамическая составляющая поля, для которой частная
производная отлична от нуля. Согласно принципу суперпозиции полей, систему уравнений Максвелла
можно решать отдельно для квазистатических и динамических составляющих, а затем суммировать решения
двух новых систем. Из первой системы следует выражение закона Кулона, из второй – волновые уравнения
для векторов E и H. Решение систем в сферической системе координат приводит к следующим
выражениям для проекций полей в вакууме:
H 
Pm sin 
4R 2
sin (t 
P  2 sin 
R
R 
 )  m
sin(t 
  ) ,
c
4cR
c
2
ER 
2Pmcos 

P 2cos 
R 
sin(t   )  m
sin(t 
  ) ,
3
2
c
2
4 0 R
4 0c 2 R
E 
Pmsin 

Pm2 sin 
R 
sin(

t



)

sin(t 
  ) ,
3
2
2
c
2
4 0 R
4 0c R
где Pm – амплитуда дипольного момента, ω – циклическая частота колебаний, ξ – начальная фаза
колебаний, R– расстояние от диполя до рассматриваемой точки поля, с – скорость света в вакууме.
Отметим существенные отличия полученного решения от принятого в электродинамике. 1)
Квазистатические составляющие поля (первые слагаемые в выражениях для E R и E  ) устанавливаются во
всем пространстве без задержки. Этот результат соответствует максвелловскому приближению
несжимаемой среды, а также представлениям Вебера, Гаусса, Кельвина и ряда других создателей
классической электродинамики о принципиально различном характере распространения квазистатических
полей и электромагнитных волн. 2) Наше решение полностью удовлетворяет закону сохранения энергии:
средний поток энергии через сферическую поверхность любого радиуса R сохраняется. Согласно же
принятой в электродинамике теории, в средней зоне этот поток не сохраняется из-за наличия компонент
E , пропорциональных R–2. 3) В дальней зоне квазистатическими
составляющими можно пренебречь, и представленный результат оказывается близким к принятому в
электродинамике, однако из-за присутствия динамической составляющей E R волны не оказываются
сферическими. В каждой точке поля вектор Пойнтинга перпендикулярен оси диполя, но его проекция на
любое направление радиус-вектора в точности соответствует принятому в электродинамике результату, и
известная формула для средней мощности излучения диполя остается справедливой. Наш расчет поля
излучения диполя можно использовать и для прозрачной изотропной диэлектрической среды, однако в
полученные выражения необходимо ввести релаксационные члены, учитывающие процесс поляризации.
Область справедливости данного расчета ограничивается рамками применимости уравнений Максвелла,
записанных для невязкой, несжимаемой и неподвижной мировой среды. Влияние вязкости приводит к
ограничению распространения магнитного поля 2 и превращению волн в сферические на значительном
расстоянии. Сжимаемость должна вызывать отклонение от зависимости 1/R в убывании волны на
небольшом расстоянии. Корректный расчет поля движущегося и одновременно осциллирующего диполя
требует приведения уравнений Максвелла к галилей-инвариантной форме 3. Характеристики поля излучения
релятивистского диполя можно рассчитать с привлечением классических представлений о деформации
формы заряда и шредингеровском «дрожании» 1. Лоренц-инвариантная релятивистская электродинамика,
основанная на неоднородных уравнениях Даламбера для векторного и скалярного потенциалов, приводит к
искаженным представлениям о поле дипольного излучения даже в нерелятивистском случае.
неоднородной волны H
и
ЛИТЕРАТУРА
1. С.А.Салль, А.П.Смирнов, Проблемы исследования Вселенной, 23, 215–241, (2001).
2. В.А.Ацюковский. Общая эфиродинамика. М., Энергоатомиздат,1990.
3. Я.Г.Клюшин. Основы современной электродинамики. СПб., 1999.