Образец тех

Образец тех-файла
\documentstyle[10pt,russian]{article}
%\topmargin 0cm % (сдвиг верхней границы для принтера EPS)
\textheight 16.2cm \textwidth 11.3cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{corol}{Следствие}
\newtheorem{note}{Замечание}
\newtheorem{claim}{Утверждение}
\newtheorem{pro}{Предложение}
\newtheorem{defin}{Определение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\sloppy
%\large
\begin{center}
{\Large \bf О сложности недетерминированных \\
ветвящихся программ}\\
\vspace{3mm}
\nopagebreak
{\sc Е.А. Окольнишникова (Новосибирск)}
\end{center}
\nopagebreak
\vspace{3mm}
\nopagebreak
В данной работе улучшены нижние оценки сложности недетерминированных
ветвящихся программам, реализующих
характеристические функции некоторых кодов Рида--Маллера. Подробное
изложение
результатов см. [1].
Недетерминированной ветвящейся программой от переменных
$x_1,x_2,\ldots,x_n$
называется ориентированный граф без циклов с одной входной вершиной и
двумя
выходными вершинами, одна их которых помечена нулем, другая - единицей.
Из каждой вершины, за исключением выходных, выходит ровно две дуги. Все
невыходные вершины при этом делятся на два типа: \\
--- вершины, помеченные переменными из множества $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$;
из вершин этого типа выходит одна дуга помеченная единицей, и одна дуга,
помеченная нулем; \\
--- недетерминированные вершины, из которых выходит ровно две
непомеченные дуги.
Функция $f(x_1,\ldots,x_n)$,
вычисляемая недетерминированной ветвящейся программой,
описывает проводимость между входной
и выходной вершиной, помеченной единицей,
в зависимости от значений переменных $x_1,\ldots,x_n$.
Сложность булевых функций в этом классе схем --- число помеченных
вершин
--- будем обозначать через ${\rm NBP}(f)$.
\begin{theorem}{\rm ([2], теорема 1).\ }
Пусть $g(X)$ --- булева функция и $C$ --- константа, $0<C<1$.
Пусть для любого подмножества переменных $X_0$, $X_0\subseteq X$ и
$|X_0|=\lfloor C n \rfloor$,
существует такая подстановка констант из $\alpha $ в
$X_0$, что сложность реализации функции
${g\big| }_{X_0=\alpha}(X\setminus X_0)$
недетерминированными
ветвящимися $k(n)$-программами не менее чем $n\psi(n)$, где $\psi(n)$ --растущая функция. Тогда
сложность реализации функции $g$ недетерминированными
ветвящимися программами без
ограничений не меньше $\min \{Cnk(n),n\psi(n)\}$.
\end{theorem}
Рассмотрим всевозможные представления функции $f(Y)$, $|Y|=n$, в виде
\begin {equation}
f(Y) = \bigvee_j f^j_1 (Y_1^j\cup Y_0^j) \wedge f^j_2 (Y_2^j\cup Y_0^j),
\end {equation}
где $Y_1^j $, $Y_2^j $, и $Y_0^j $ --- непересекающиеся множества;
$Y=Y_1^j\cup Y_2^j\cup Y_0^j $;
$|Y_1^j|\ge m_1$; $|Y_2^j|\ge m_2$.
Через $A(f;n,m_1,m_2)$ обозначим минимальное число
дизъюнктивных членов в представлении (1).
Известно 2 подхода к получению высоких нижних оценок
сложности ветвящихся $k$-программ. В [3] был применен подход из [2],
который позволил
сформулировать следующее утверждение
\begin{theorem}\hspace{-1.75mm}{\bf.\ }
Пусть $f$ --- булева функция, существенно зависящая от $n$ переменных,
$n\ge 16$.
Сложность ${\rm NBP}k(f)$ реализации булевой функции $f$
недетерминированными ветвящимися $k$-программами удовлетворяет
неравенству
$$
{\rm NBP}k(f)\ge \max \left\{ n;
\frac{1}{8\sqrt{k}} \cdot \left(A(f;n,m_1,m_2)\right)^{1/(4k)}
\right\},
$$
где $m_1= \left\lceil n\Big/\left(2(ke)^k\right)\right\rceil$,
$m_2= \left\lceil n/(k+1)\right\rceil $.
\end{theorem}
{\sc Доказательство. } Используя формулу (1) из [4], имеем ...
Теорема доказана.
Для получения нижних оценок для величины
$A(f;n,m_1,m_2)$ рассмотрим следующий способ.
Среди всех $i$-мерных граней булева
куба размерности $n$ выделим грань, в которой
содержится максимальное число единиц функции $f$. Число единиц в этой
грани
обозначим через $H_i(f)$.
Легко доказать следующее утверждение.
\begin{lemma}\hspace{-1.75mm}{\bf.\ }
Величина $A(f;n,m_1,m_2)$ удовлетворяет неравенству
$$
A(f;n,m_1,m_2)\ge \frac{|f^{-1}(1)|}{2^{n-m_1-m_2}H_{m_1}(f)H_{m_2}(f)}.
$$
\end{lemma}
Исследование поддержано РФФИ (проект~03--01--00634).
\vspace{3mm}
\begin{center}{\sc Литература}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item
Дебрев~Е.~В. Тестовые задачи на графах // Материалы XIV Меж\-ду\-на\-род\ной
школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем" (Нижний
Новгород,
27~октября--1~ноября 2003~г.). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского
педуниверситета, 2003. С.~27--32.
\item Лупанов~О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем.
М.: Изд-во МГУ, 1984.
\item Марченков~С.~С. S-классификация функций многозначной логики //
Дискретная математика. 1997. Т.~9, вып.~3. С.~125--152.
\item Сапоженко~А.~А. Проблема Дедекинда и метод граничных функционалов
//
Математические вопросы кибернетики. Вып.~9. М.: Наука, 2000. С.~161--220.
\item Sutner K. Reduced power automata //
Implementation and application of automata. 7-th International conference,
CYAA 2002 (Tours. July~3--5, 2002). Berlin: Springer, 2002. P.~194--202
(Lecture Notes in Comput. Sci.; V.~2608).
\end{enumerate}
\end{document}
%%% Никакие сведения, содержащиеся в этом файле,
%%% не относятся к каким-либо конкретным лицам
%%% или организациям; все возможные совпадения
%%% могут носить только случайный характер.