ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНО-ОПРЕДЕЛЕННОЙ НИЛЬ

30
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
УДК 512.
ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНО-ОПРЕДЕЛЕННОЙ
НИЛЬ-ПОЛУГРУППЫ
И. А. Иванов, А. Я. Белов (г. Москва)
[email protected]
В свое время В. Н. Латышев поставил в Днестровской тетради вопрос: Существует ли конечно-определенное ненильпотентное ниль-кольцо? Этот вопрос
созвучен проблеме Л. Н. Шеврина "Существует ли конечно-определенная бесконечная ниль-полугруппа?" и является отражением концепции проблематике
контроля за соотношениями, построения разного рода конечно-определенных
монстров. Доклад посвящен решению проблемы Шеврина. Возможно, в будущем это поможет решить и проблему Латышева, и принести определенную
пользу в теории групп.
УМЦ г.Жуковского
МИОО, BIU
УДК 512.
СТАНДАРТНЫЕ БАЗИСЫ T -ИДЕАЛОВ
В. Н. Латышев (г. Москва)
[email protected]
Пусть M произвольный T -идеал в свободной ассоциативной алгебре над полем нулевой характеристики от счётного множества переменных, занумерованных натуральными числами. Переменные сравниваются по их индексам, а полилинейные слова (мономы) — лексико-графически. Известно, что идеал M
порождается своими полилинейными элементами. Скажем, что полилинейное
слово v "накрывает" полилинейное слово u, если существует изотонное отображение переменных на себя, при котором строка образов переменных из u
является подпоследовательностью в строке переменных v. В случае, когда u —
старший моном в полилинейном элементе из идеала M, то можно "редуцировать" слово v по модулю M. Таким образом, в множестве полилинейных элементов из M можно построить в понятном смысле стандартный базис, в частности,
редуцированный стандартный базис [1]. Высказывается гипотеза, что он конечен. В качестве "пробы пера" гипотеза подтверждается для T -идеала тождеств
верхне-треугольных матриц, T -идеала лиевой нильпотентности индекса 4, метабелева T -идеала [2], [3]. Вероятнее всего гипотеза может подтвердиться для
нематричных T -идеалов.
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
31
Список цитированной литературы
[1] Латышев В. Н. Комбинаторные порождающие полилинейных полиномиальных тождеств // Фундаментальная и прикладная математика. 2006.
Т. 12, вып. 2. С. 101–110.
[2] Латышев В. Н. Стандартный базис Т-идеала полиномиальных тождеств
алгебры треугольных матриц // Фундаментальная и прикладная математика. 2011. Т. 16, вып. 3. С. 193–203.
[3] Латышев В. Н. Конечность стандартного базиса Т-идеала, содержащего
лиеву нильпотентность индекса 4 // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17, вып. 5. С. 75–85.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
УДК 511.3
A DISCRETE VERSION OF THE MISHOU THEOREM
A. Laurinčikas (Vilnius, Lithuania)
[email protected]
Let s = σ + it be a complex variable and α, 0 < α ≤ 1, be a fixed parameter.
As usual, denote by ζ(s) and ζ(s, α) the Riemann zeta- and Hurwitz zeta-functions,
respectively.
It is well known that the functions ζ(s) and ζ(s, α) with transcendental or
rational parameter α are universal in the Voronin sense, i. e., their shifts ζ(s + iτ )
and ζ(s + iτ, α), τ ∈ R, approximate any analytic function. H. Mishou in [3] proved
a joint universality theorem for the functions ζ(s) and ζ(s, α). Denote by K the
class of compact subsets of the strip D = {s ∈ C : 12 < σ < 1} with connected
complements, and let H0 (K) and H(K), K ∈ K, be the classes of continuous nonvanishing and continuous functions on K, respectively, which are analytic in the
interior of K. Moreover, let measA denote the Lebesgue measure of a measurable
set A ⊂ R. Then the Mishou theorem is the following statement.
Theorem 1. Let K1 , K2 ∈ K, and that f1 (s) ∈ H0 (K1 ) and f2 (s) ∈ H(K2 ). Let
the number α be transcendental.Then, for every ε > 0,
{
1
lim inf meas τ ∈ [0, T ] : sup |ζ(s + iτ ) − f1 (s)| < ε,
T →∞ T
s∈K1
}
sup |ζ(s + iτ, α) − f2 (s)| < ε > 0.
s∈K2
32
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
The latter theorem is of the so-called continuous type, in that theorem, for
approximation of analytic functions, the shifts ζ(s + iτ ) and ζ(s + iτ, α) when τ
varies continuously in the interval [0, T ] are used. However, for the functions ζ(s)
and ζ(s, α), also a discrete universality is known. In this case, for approximation
of analytic functions, discrete shifts ζ(s + ikh) and ζ(s + ikh, α), where h > 0 is a
fixed number and k ∈ N0 = N ∪ {0}, are used. More precisely, the following discrete
universality theorems are known.
Theorem 2. Let h > 0 be an arbitrary number. Suppose that K ∈ K and
f (s) ∈ H0 (K). Then, for every ε > 0,
{
}
1
lim inf
# 0 ≤ k ≤ N : sup |ζ(s + ikh) − f (s)| < ε > 0.
N →∞ N + 1
s∈K
Theorem 2 was obtained by A. Reich in [5], and by B. Bagchi [1] by a different
method.
Theorem 3. Suppose that the number α is transcendental or rational ̸= 1, 12 .
In the case of rational α, let the number h > 0 be arbitrary, while
{ 2πin} the case of
transcendental α, let the number h > 0 be such that the number exp h is rational.
Let K ∈ K and f (s) ∈ H(K). Then, for every ε > 0,
{
}
1
lim inf
# 0 ≤ m ≤ N : sup |ζ(s + imh, α) − f (s)| < ε > 0.
N →∞ N + 1
s∈K
Theorem 3 with rational parameter α, under slightly different hypothesis on the
set K, was proved in [1], and by a different method, in [6]. The case of transcendental
α follows from a discrete universality theorem for periodic Hurwitz zeta-function
obtained in [2].
Our aim is a discrete analogue of Theorem 1. Define the set
{
}
L(P, α, h) = (log p : p ∈ P), (log(m + α) : m ∈ N0 ), 2π
,
h
where P is the set of all prime numbers.
Theorem 4. Suppose that the set L(P, α, h) is linearly independent over the field
of rational numbers Q. Let K1 , K2 ∈ K, and f1 (s) ∈ H0 (K1 ), f2 (s) ∈ H(K2 ). Then,
for every ε > 0,
{
1
# 0 ≤ k ≤ N : sup |ζ(s + ikh) − f1 (s)| < ε,
lim inf
N →∞ N + 1
s∈K1
}
sup |ζ(s + ikh, α) − f2 (s)| < ε > 0.
s∈K2
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
33
For example, by the Nesterenko theorem [4], it is known that the numbers π
and eπ are algebraically independent over Q. Therefore, the set L(P, α, h) is linearly
independent over Q with α = π −1 and rational h.
The proof of Theorem 4 is based on a limit theorem on weakly convergent
probability measures in the space of analytic on D functions H(D) equipped with
the topology of uniform convergence on compacta. Let γ = {s ∈ C : |s| = 1} ,
∏
∏
Ω1 =
γp ,
and
Ω2 =
γm ,
p∈P
m∈N0
where γp = γ for p ∈ P, and γm = γ for m ∈ N0 and Ω = Ω1 × Ω2 . Then Ω is
a compact topological Abelian group. Therefore, on (Ω, B(Ω)), where B(S) stands
for the class of Borel sets of the space S, the probability Haar measure mH can
be defined. This gives the probability space (Ω, B(Ω), mH ). Denote by ω1 (p) the
projection of an element ω1 ∈ Ω1 , p ∈ P, by ω2 (m) the projection of an element ω2 ∈
Ω2 , m ∈ N0 , and denote the elements of Ω by ω = (ω1 , ω2 ). Now on the probability
space (Ω, B(Ω), mH ), define the H 2 (D)-valued random element ζ(s, α, ω1 , ω2 ) by the
formula
( (
)
)−1 ∑
∞
∏
ω1 (p)
ω2 (m)
ζ(s, α, ω1 , ω2 ) =
1−
,
,
ps
(m + α)s
m=0
p∈P
and denote by Pζ its distribution. Then we have the following theorem.
Theorem 5. Suppose that the set L(P, α, h) is linearly independent over Q. Then
the probability measure
1
# {0 ≤ k ≤ N : (ζ(s + ikh), ζ(s + ikh, α)) ∈ A} ,
N +1
A ∈ B(H 2 (D)),
converges weakly to Pζ as N → ∞.
REFERENCES
[1] Bagchi B. The statistical behaviour and universality properties of the Riemann
zeta-function and other allied Dirichlet series. Ph. D. Thesis. Calcutta: Indian
Statistical Institute, 1981.
[2] Laurinčikas A., Macaitienė R. The discrete universality of the periodic Hurwitz
zeta-function // Integral Transf. Spec. Funct. 2005. Vol. 10, №. 9-10. P. 673–686.
[3] Mishou H. The joint value distribution of the Riemann zeta-function and
Hurwitz zeta-functions // Lith. Math. J. 2007. Vol. 47, №. 1. P. 32–47.
[4] Nesterenko Yu. V. Modular functions and transcendence questions // Mat. Sb.
1996. V. 187, No. 9. P. 65–96. (in Russian) ≡ // Sb. Math. 1996. Vol. 187, №.
9. P. 1319–1348.
34
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
[5] Reich A. Wertverteilung von Zetafunktionen // Arch. Math. 1980. Vol. 34.
P. 440–451.
[6] Sander J., Steuding J. Joint universality for sums and products of Dirichlet
L-functions // Analysis (Munich). 2006. Vol. 26, №. 3. P. 295–312.
Vilnius University, faculty of Mathematics and Informatics
УДК 512.
ПРОБЛЕМА О БОЛЬШИХ АБЕЛЕВЫХ
ПОДГРУППАХ И ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА А. И.
МАЛЬЦЕВА
В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова (г. Красноярск)
[email protected]
Сибирский федеральный университет
УДК 511.335
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
ТРАНЗИТИВНЫХ АЛГЕБРОИДОВ ЛИ 1
А. С. Мищенко (г. Москва)
[email protected]
Под алгеброидом Ли мы будем понимать конечномерное векторное расслоение E → M над гладким многообразием M вместе с его гомоморфизмом a : E →
T M в касательное расслоение T M , называемым анкором, причем пространство
Γ∞ (E) гладких сечений снабжено дополнительной структурой, коммутаторной
скобкой {•, •}, которая удовлетворяет естественным свойствам структуры бесконечно мерной алгебры Ли, а также тождеству Ньютона-Лейбница по отношению к операции умножения сечения на гладкую функцию. Анкор при этом
индуцирует гомоморфизм алгебры Ли Γ∞ (E) в алгебру Ли Γ∞ (T M ) векторных полей на многообразии M . Примерами алгеброидов Ли служит само касательное расслоение T M , расслоение D(L) всех ковариантных дифференцирований гладких сечений Γ∞ (L) любого конечномерного векторного расслоения L
над гладким многообразием M , а также касательное расслоение произвольного
гладкого слоения F на многообразии M без особых точек. В случае, когда анкор
a является послойно сюръективным отображением, алгеброид Ли называется
транзитивным.
1
Грант РФФИ № 14-01-00007