Введение в анализ

5
Часть 1. Введение в анализ
Глава 1. Множество действительных чисел
Числовая ось
Рассмотрим основные понятия, связанные с построением теории действительных
чисел. Построение множества действительных чисел начинается с натуральных чисел.
Числа вида 1, 2, 3, … называют натуральными числами. Множество натуральных
чисел обозначается N .
Расширением множества натуральных чисел является множество целых чисел: к
натуральным числам присоединяют ноль и числа противоположные натуральным.
Обозначают данное множество Z .
Расширением множества целых чисел является множество рациональных чисел, т.е.
p
чисел, которые можно представить в виде дроби
, где p и q – целые числа, q  0 .
q
Отметим, что множество рациональных чисел замкнуто относительно четырех
арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления), т.е. сумма,
разность, произведение и частное двух любых рациональных чисел является рациональным
числом. Множество рациональных чисел обозначается Q .
Однако следует отметить, что рациональных чисел для нужд математики оказалось не
достаточно. Еще в Древней Греции было показано, что существуют числа, не являющиеся
рациональными. В рассмотрение вводится новый вид чисел, так называемые
иррациональные числа. Число не являющееся рациональным называют иррациональным.
Множество всех иррациональных чисел обозначают I .
Присоединение множества иррациональных чисел к множеству рациональных чисел
образует множество вещественных или действительных чисел, которое обозначают R .
Для множества действительных чисел существует наглядная геометрическая
интерпретация – числовая прямая или числовая ось.
Определение 1. Числовой осью называют прямую, на которой выбраны определенная
точка O (начало отсчета), единичный отрезок OE (длина которого равна 1) и положительное
направление (Рис. 1).
O
E
Рис 1.
При такой интерпретации каждому действительному числу на числовой прямой
соответствует определенная точка, причем только одна, т.е. устанавливается
взаимнооднозначное соответствие между точками прямой и множеством действительных
чисел. Часто понятия числа и точки числовой оси не различают. При этом число называют
координатой соответствующей точки. Обозначают числовую прямую также R .
В некоторых случаях возникает необходимость рассматривать не всю числовую ось, а
только ее часть, которую обычно называют числовым промежутком и обозначают a, b .
Введем следующие обозначения и названия для отдельных видов промежутков:
 a, b  – интервал ab ;
 a, b – отрезок ab ;
 a, b – полуинтервал ab , содержащий конец b ;
 a, b – полуинтервал ab , содержащий конец a ;
Величину b  a, b  a называют длиной промежутка ab . Если один из концов есть
  , то получаем неограниченный промежуток или луч.
6
Модуль действительного числа
Определение 2. Модулем действительного числа a называют неотрицательное число,
определяемое следующим образом: a , если a  0 , и  a , если a  0 . Обозначают a .
 a, a  0,
a 
 a, a  0.
Определим основные свойства модуля:
1. a  0 ;
2.
a  a ;
3.  a  a  a ;
4.
a  c  c  a  c , c  0 ;
5.
ab  a  b ;
6.
a
a
 , b  0;
b
b
7.
a  b  a  b (неравенство треугольника);
8.
a b  a  b ;
9.
a  b  ab ;
Ограниченные и неограниченные множества
Грани числовых множеств
Рассмотрим произвольное множество действительных чисел x, в общем случае
бесконечное. Будем требовать, чтобы данное множество содержало хотя бы один элемент.
Определение 3. Множество x называется ограниченным снизу, если существует
такое число m , что каждый элемент x множества x удовлетворяет неравенству x  m .
Такое m называют нижней границей множества x. Отметим, что если множество имеет
нижнюю границу, то оно имеет бесконечно много нижних границ.
Определение 4. Множество x называется ограниченным сверху, если существует
такое число M , что каждый элемент x множества x удовлетворяет неравенству x  M .
Число M в таком случае называют верхней границей множества x. Если множество имеет
верхнюю границу, то оно имеет бесконечно много верхних границ.
Определение 5. Множество x называется ограниченным, если оно ограничено
сверху и снизу.
Из всех нижних границ особый интерес представляет наибольшая из них, для такой
границы существует специальное название – точная нижняя граница или грань.
Определение 6. Наибольшая из всех нижних границ множества x называется
нижней гранью множества. Обозначают m  inf x(infimum – наинизшее).
Аналогично определяется верхняя грань множества.
Определение 7. Наименьшая из всех верхних границ множества x называется
верхней гранью множества. Обозначают M  supx (supremum – наивысшее).
Аксиома непрерывности
Аксиома. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань.
7
Теорема 1. Если множество x ограничено снизу, то оно имеет нижнюю грань.
Кванторы существования и общности
В курсе математического анализа довольно часто используют выражения
«существует» и «для всех». Для того чтобы сделать запись более краткой используют
специальные символы, которые называют кванторами.
Выделяют квантор существования  (перевернутая первая буква слова «exists» –
существует), заменяющий выражение «существует» и квантор общности  (перевернутая
буква слова «all»), заменяющий выражение «для всех».
Следует отметить, что использование кванторов позволяет сделать запись более
компактной.
Пример. Утверждение «Множество X ограничено снизу числом M » с помощью
кванторов можно записать следующим образом Mx  X : x  M .
8
Глава 2. Функции
Общее понятие функции
Обозначим через X и Y некоторые множества.
Определение 1. Говорят, что на множестве X определена функция со значениями в
Y , если каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный
элемент y из множества Y .
В таком случае X называется областью определения функции, x – аргументом
функции или прообразом (независимой переменной), y – значением функции или образом
(зависимой переменной). Т.е. для задания функции необходимо указать область определения
функции, множество, в которое идет отображение, и закон, по которому каждому элементу
области определения ставится в соответствие единственный элемент второго множества.
Две функции считаются совпадающими или равными, если они имеют одну и ту же
область определения и для любого элемента значения этих функций совпадают.
Числовая функция
Способы задания функции
Пусть X и Y являются частью R . В таком случае будем говорить о числовых
функциях или просто функциях f : R  R .
Будем рассматривать значение аргумента и значение функции как упорядоченную
пару чисел, которую можно изобразить на координатной плоскости. Совокупность таких
точек, получающихся для всех значений аргумента из области определения, составляет
график функции.
Рассмотрим основные способы задания функции:
 аналитический (с помощью формулы или аналитического выражения);
 словесный (функция задается словесным описанием);
 табличный (таблица, где каждому значению аргумента указывается соответствующее
значение функции);
 графический способ (функция задана как множество точек плоскости с
прямоугольными координатами).
Основные свойства функции
1. Ограниченность. Пусть дана некоторая функция y  f (x) , заданная на множестве X ,
части области определения.
Определение 2. Функция y  f (x) называется ограниченной на множестве X , если
существует такое M , что для каждого x  X выполняется неравенство f ( x)  M .
Определение 3. Функция y  f (x) называется ограниченной сверху на множестве
X , если существует такое M , что для каждого x  X выполняется неравенство f ( x)  M .
Определение 4. Функция y  f (x) называется ограниченной снизу на множестве X ,
если существует такое M , что для каждого x  X выполняется неравенство f ( x)  M .
Дадим определение ограниченной функции, которое эквивалентно данному ранее
определению.
Определение 5. Функция y  f (x) называется ограниченной на множестве X , если
функция ограничена сверху и снизу на этом множестве.
2. Монотонность. Пусть дана некоторая функция y  f (x) , заданная на множестве X ,
части области определения.
9
Определение 6. Функция y  f (x) называется возрастающей на множестве X , если
для любых x1 и x2 из X таких, что x1  x2 , справедливо неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
Определение 7. Функция y  f (x) называется неубывающей на множестве X , если
для любых x1 и x2 из X таких, что x1  x2 , справедливо неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
Определение 8. Функция y  f (x) называется убывающей на множестве X , если для
любых x1 и x2 из X таких, что x1  x2 , справедливо неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
Определение 9. Функция y  f (x) называется невозрастающей на множестве X ,
если для любых x1 и x2 из X таких, что x1  x2 , справедливо неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
3. Четность (нечетность). Пусть дана некоторая функция y  f (x) , заданная на
множестве X , части области определения.
Определение 10. Функция y  f (x) называется четной, если множество X
симметрично относительно начала координат и выполняется равенство f ( x)  f ( x) .
Определение 11. Функция y  f (x) называется нечетной, если множество X
симметрично относительно начала координат и выполняется равенство f ( x)   f ( x) .
Замечание.
Требование
симметричности
области
определения
является
существенным, так как в противном случае о четности или нечетности функции говорить нет
смысла. Если функция четная, что ее график симметричен относительно оси OY , если же
функция нечетная – симметрия образуется относительно начала координат.
4. Периодичность. Пусть дана некоторая функция y  f (x) , заданная на множестве X ,
части области определения.
Определение 12. Функция y  f (x) называется периодической с периодом T , если
для любого значения аргумента из X значения аргумента x  T и x  T также принадлежат
X и выполняется равенство f ( x  T )  F ( x  T )  f ( x) .
Последовательности
Из всех числовых функций можно отдельно выделить функции, определенные на
множестве натуральных чисел.
Определение 13. Функция, определенная на множестве натуральных чисел и
принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью. Обозначается
x n .
Рассмотрим две последовательности x n  и y n .
xn  y n  называется суммой
Определение
14.
Последовательность
x 
последовательностей x n  и y n , xn  y n  – их разностью, xn  y n  – произведением,  n 
 yn 
– отношением последовательностей.
Замечание. Подразумевается, что y n  0 .
Определение 15. Последовательность x n  называется ограниченной сверху (снизу),
если существует такое число M m , что для любого члена последовательности выполняется
неравенство xn  M xn  m .
Определение 16. Последовательность называется ограниченной, если существует
такое число M  0 , что для любого n выполняется неравенство xn  M .
Замечание. Последнее определение равносильно случаю, когда последовательность
ограничена сверху и снизу.
10
Определение 17. Последовательность x n  называется бесконечно большой, если для
любого M  0 найдется такое N , что для всех n  N выполняется неравенство xn  M или
M  0Nn  N : xn  M .
Определение 18. Последовательность x n  называется бесконечно малой, если для
всякого   0 существует такое N , что для всех n  N выполняется неравенство xn  
или   0Nn  N : xn   .
Теорема 1. Бесконечно малая последовательность ограничена.
1
Теорема 2. Если x n  – бесконечно большая последовательность и xn  0 , то   –
 xn 
бесконечно малая последовательность.
1
Теорема 3. Если x n  – бесконечно малая последовательность и xn  0 , то   –
 xn 
бесконечно большая последовательность.
Теорема 4. Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть
бесконечно малая последовательность.
Следствие. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 5. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную
есть бесконечно малая последовательность.
Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть
бесконечно малая последовательность.
Следствие 2. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малая последовательность.
11
Глава 3. Предел
Предел последовательности
Определение 1. Число a называется пределом последовательности
x n  ,
если
  0Nn  N : xn  a   .
Для предела используют специальное обозначение lim x n  a . Последовательность,
n 
имеющую предел, называют сходящейся последовательностью.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность может иметь только один предел.
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Замечание. Из сходимости последовательности вытекает ее ограниченность, обратное
в общем случае не верно.
Предел функции на бесконечности
Определение 2. Число a называется пределом функции f (x) при x   , если
  0Cx  C : f ( x)  a   .
Обозначается lim f ( x)  a .
x  
Геометрически данное определение обозначает: начиная с некоторого числа C ,
зависящего от  , все значения функции на луче C,   лежат строго внутри интервала
a   , a    , каково бы ни было число  (Рис. 2).
x
a 
a
a 
O
y
C
Рис 2.
Определение 3. Число a называется пределом функции f (x) при x   , если для
любого   0 существует такое число C , что при всех x  C выполняется неравенство
f ( x)  a   или   0Cx  C : f ( x)  a   . Обозначается lim f ( x)  a .
x  
Определение 4. Число a называется пределом функции f (x) на бесконечности, если
  0C x  C : f ( x)  a   . Обозначается lim f ( x)  a .
x 
Геометрический смысл последних двух определений аналогичен указанному выше.
Предел функции в точке
Рассмотрим неравенство x  x0   , где x 0 – фиксированная точка,   0 . Оно
равносильно записи x  x0   , x0    . Назовем такой промежуток  -окрестностью точки
x 0 . Если из  -окрестности удалить точку x 0 , то получаем проколотую  -окрестность. С
помощью неравенств проколотую  -окрестность можно записать 0  x  x0   .
12
Определение 5. (предела функции в точке по Коши) Число a называется пределом
функции f (x) в точке x 0 , если   0  0x 0  x  x0   : f ( x)  a   .
Обозначается lim f ( x)  a .
x  x0
Замечание 1. В данном определении не требуется, чтобы точка x 0 принадлежала  окрестности точки, так как в ней функция может быть и не определена.
Определение 6. (предела функции в точке по Гейне) Число a называется пределом
функции f (x) в точке x 0 , если для любой последовательности значений аргумента x n  ,
сходящихся к x 0 и отличных от него, соответствующая последовательность значений
функции  f ( xn ) сходится к a .
Теорема 3. Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны между собой.
Когда мы определяли предел последовательности на бесконечности, то использовали
определение предела по Коши. Можно дать определение предела на бесконечности по Гейне.
Определение 7. Число a называют пределом функции f (x) при x   ( x   ),
если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента x n  , все
элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность
значений функции  f  x n  сходится к числу a .
Единственность предела
Теорема 4. Если функция f (x) имеет в точке x 0 предел, то он единственный.
Теоремы о неравенствах
Теорема 5. Если lim f ( x)  a , lim  ( x)  b и a  b , то найдется проколотая
x  x0
x x0
  окрестность, в которой будет выполнено неравенство f ( x)   ( x) .
Следствие. Если lim f ( x)  a , где a  0 , то в некоторой   окрестности все значения
x  x0
f (x ) будут иметь тот же знак, что и число a .
Теорема 6. Если lim f ( x)  a , lim  ( x)  b и в некоторой   окрестности точки x 0
x  x0
x x0
выполняется неравенство f ( x)   ( x) , то a  b .
Теорема 7. Если lim f1 ( x)  a , lim f 2 ( x)  a и в некоторой   окрестности
x  x0
x  x0
выполняется неравенство f1 ( x)  f ( x)  f 2 ( x) , то существует lim f ( x)  a .
x  x0
Бесконечно малые функции
Определение 8. Функция
lim f ( x)  0 .
f (x )
называется бесконечно малой в точке, если
x  x0
Теорема 8. Если функция f (x) является бесконечно малой в точке, то она
ограниченна в некоторой   окрестности этой точки.
Теорема 9. Если функции  (x ) и  (x) бесконечно малые, то их сумма (разность) –
есть бесконечно малая функция.
Теорема 10. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть
бесконечно малая функция.
Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых, есть бесконечно малая.
Следствие 2. Произведение бесконечно малой на константу есть бесконечно малая.
13
Теорема 11. Для того чтобы функция f (x) имела в точке x 0 пределом число a ,
необходимо и достаточно, чтобы в некоторой   окрестности этой точки f (x) можно было
представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой f ( x)  a   ( x) .
Теоремы о пределах
Теорема 12. Если существует предел lim f ( x)  a , то в некоторой   окрестность
x  x0
точки x 0 функция ограничена.
Пусть функции
f (x ) и g (x ) имеют пределы в точке x 0 , т.е. lim f ( x)  a ,
x  x0
lim g ( x)  b .
x x0
Теорема 13. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов
этих функций.
Следствие. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме
пределов этих функций.
Теорема 14. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих
функций.
Следствие 1. Предел произведения любого конечного числа функций равен
произведению пределов этих функций.
Следствие
2.
Константу
можно
выносить
за
знак
предела,
т.е.
lim c  f ( x)  c lim f ( x) .
x  x0
x  x0
Пусть b  0 .
Теорема 15. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих
функций.
Односторонние пределы
В определении предела функции f (x) рассматривают точки как справа, так и слева от
x0 .
x0  
x0
x0  
x
Рис 3.
В некоторых случаях бывает необходимым рассматривать приближение к точке x 0
только с одной стороны, справа или слева. В таком случае говорят об одностороннем
пределе.
Определение 9. Число a называют левосторонним пределом (пределом слева)
функции f (x) в точке x 0 , если   0x x0    x  x0 : f ( x)  a   .
Обозначается lim f ( x)  a или f ( x0  0)  a .
x x0 0
Определение 10. Число a называют правосторонним пределом (пределом справа)
функции f (x) в точке x 0 , если   0x x0  x  x0   : f ( x)  a   .
Обозначается lim f ( x)  a или f ( x0  0)  a .
x  x0  0
Существование двустороннего предела в точке равносильно существованию двух
односторонних пределов в этой точке. lim f ( x)  a  lim f ( x)  a, lim f ( x)  a . Таким
x x0
x  x0 0
x  x0  0
14
образом, если односторонние пределы в точке существуют и различны или один из них не
существует, то предела в данной точке не существует.
Бесконечно большие функции
Определение 11. Функция f (x) называется положительной бесконечно большой в
точке x 0 , если   0x 0  x  x0   : f ( x)   .
В таком случае говорят, что lim f ( x)   .
x  x0
Определение 12. Функция f (x) называется отрицательной бесконечно большой в
точке x 0 , если   0x 0  x  x0   : f ( x)   .
В данном случае говорят, что lim f ( x)   .
x  x0
Определение 13. Функция f (x) называется бесконечно большой в точке x 0 , если
  0x 0  x  x0   : f ( x)   .
Обозначают lim f ( x)   .
x  x0
Теорема 16. Функция f (x) является бесконечно большой в точке x 0 тогда и только
1
тогда, когда  ( x) 
является бесконечно малой функцией.
f ( x)
Первый замечательный предел
sin x
 1.
x
Первый замечательный предел имеет ряд важных следствий.
x
 1.
Следствие 1. lim
x  0 sin x
acrsin x
 1.
Следствие 2. lim
x 0
x
tgx
 1.
Следствие 3. lim
x 0 x
acrtg x
 1.
Следствие 4. lim
x 0
x
Кроме того, существует несколько важных пределов, подобных
замечательному пределу.
1  x m  1  m .
ln( 1  x)
ex 1
a x 1
 1 , lim
lim
 1 , lim
 ln a , lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
Можно показать, что lim
x 0
первому
Предел ограниченной монотонной последовательности
Определение 14. Последовательность x n  называется убывающей, если для всех
натуральных n справедливо неравенство xn  xn1 .
Определение 15. Последовательность x n  называется возрастающей, если для всех
натуральных n справедливо неравенство xn  xn1 .
Теорема 17. Если последовательность x n  возрастает (убывает) и ограничена сверху
(снизу), то она имеет предел.
15
Последовательность стягивающихся отрезков
Рассмотрим последовательность  n  , составленную из отрезков  n  a n , bn  . Пусть
отрезки a n , bn  таковы, что каждый последующий содержится в предыдущем, т.е.
a1 , b1   a2 , b2   ...  an , bn   ... .
an
a1 a 2
x
bn b2 b1
Рис 4.
Такую последовательность называют последовательностью вложенных отрезков.
Кроме того, пусть длина отрезка a n , bn  при возрастании n стремится к нулю. Такую
последовательность вложенных отрезков называют последовательностью стягивающихся
отрезков.
Теорема 18. Для всякой последовательности стягивающихся отрезков существует
единственная точка c , принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.
Лемма Бернулли
Лемма. Для любого натурального числа n и любого действительного числа   1 ,
n
  0 справедливо неравенство 1     1  n .
Строго возрастающая последовательность
n
x

Рассмотрим последовательность U n  1   , где x – некоторый параметр, x  0 .
 n
n
x

Теорема 19. Для любого x  0 последовательность U n  1   , начиная с n  x ,
 n
строго возрастает.
Определение экспоненты
n
n
x

 1
Рассмотрим U n  1   , пусть x  1. Тогда U n  1   . Можно показать, что эта
 n
 n
последовательность имеет предел.
n
 1
Определение 16. Числом e называют предел последовательности lim 1    e .
n 
 n
Замечание. Отметим, что такая последовательность имеет предел (не установлено
какой) и его обозначили как e .
Число приближенно равно e  2,718281828459045...
n
x

Обратимся к последовательности U n  1   при x  0 . Можно заметить, что от
 n
значения x зависит предел данной последовательности.
Определение 17. Экспонентой e x , определенной для любого x , называют функцию,

которая определена с помощью предела lim 1 
n 

n
x
x
  e при x  0 и равна 1 при x  0 .
n
16
Второй замечательный предел
x
 1
Можно показать, что lim 1    e , где x – действительное число.
x 
x

Второй замечательный предел иногда представляют в другой форме lim 1  x  x  e .
1
x 0
Сравнение бесконечно малых
Пусть даны две бесконечно малые в точке x 0  (x ) и  (x) .
Как известно, отношение двух бесконечно малых в пределе может дать 0, c  0,  , а
также не существовать.
Определение 18. Две бесконечно малые функции  (x ) и  (x) называются
 ( x)
бесконечно малыми одного порядка, если lim
 c, c  0 .
x  x0  ( x)
Наибольший интерес представляют те пары бесконечно малых, предел отношения
которых равен 1.
Определение 19. Бесконечно малые  (x ) и  (x) называются эквивалентными
 ( x)
бесконечно малыми в точке x 0 , если lim
 1.
x  x0  ( x )
Замечание. Очевидно, что если  (x ) ~  (x) и  (x) ~  (x) , то  (x ) ~  (x) .
Определение 20.  (x ) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению
 ( x)
с  (x) , если lim
 0.
x  x0  ( x)
Определение 21.  (x ) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению
 ( x)
с  (x) , если lim
.
x  x0  ( x )
Если предел отношения бесконечно малых не существует, то они называются не
сравнимыми.
Теорема 20. Если  (x ) ,  (x) ,  (x) и  (x) – бесконечно малые в точке x 0 и  (x ) ~
 ( x)
 ( x)
 (x) ,  (x) ~  (x) , то lim
.
 lim
x  x0  ( x )
x  x0  ( x )
17
Глава 4. Непрерывность
Понятие непрерывности является одним из основных понятий математического
анализа. Оно полностью опирается на понятие предела. Непрерывные функции обладают
целым рядом важных свойств, которых лишены функции разрывные. Эти свойства создают
большие удобства при использовании непрерывных функций в различного рода
исследованиях, имеющих огромное теоретическое и практическое значение.
Непрерывность функции в точке
В определении предела не требуется, чтобы точка x 0 принадлежала окрестности этой
точки, в которой должна быть определена функция. Потребуем, чтобы функция была
определена в каждой точке некоторой области X .
Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если существует
предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x0
Определение 2. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то
говорят, что она непрерывна на всем промежутке.
Отметим, что понятие непрерывности включает выполнение трех условий:
1. Функция f (x) определена в точке x 0 , в противном случае невозможно говорить об
существовании f ( x0 ) .
2. Предел f (x) при x  x0 существует.
3. lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x0
В случае, если хотя бы одно из данных условий не выполнено, то функцию нельзя
назвать непрерывной в данной точке.
Определение непрерывной функции можно задать несколько иначе. Из определения
предела получаем.
Определение 3. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если
  0x x  x0   : f ( x)  f ( x0 )   .
Последнее определение называют определением функции непрерывной в точке по
Коши.
Введем некоторые обозначения. Пусть x  x  x0 , такую разность называют
приращением аргумента, при этом x  0 . Аналогично разность f (x) и f ( x0 ) назовем
приращением функции f  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ) . Предел из определения
непрерывной функции можно переписать следующим образом lim  f ( x)  f ( x0 )  0 . В
x  x0
результате, переходя к замене, получаем еще одно определение функции непрерывной в
точке.
Определение 4. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если lim f  0 .
x  0
Непрерывные функции обладают рядом арифметических свойств.
Теорема 1. Если функции f (x) и g (x ) непрерывны в точке x 0 , то в этой точке будут
f ( x)
непрерывны функции f ( x)  g ( x) , f ( x)  g ( x) ,
( причем g ( x0 )  0 ).
g ( x)
Сложная функция и ее непрерывность
18
Пусть в некоторой области X определена функция t  g (x) , а в области T
определена функция y  f (t ) . Если некоторому значению x 0 из X поставить в соответствие
t 0  g ( x0 ) из T , а t 0 поставить в соответствие y 0  f (t 0 ) , то можно считать, что поставлено
соответствие y0  f ( g ( x0 )) . Такое соответствие называют сложной функцией или функцией
от функции.
Пусть задана сложная функция y  f ( g ( x)) .
Теорема 2. Если функция t  g (x) непрерывна в точке x 0 , а функция y  f (t )
непрерывна в точке t 0  g ( x0 ) , то сложная функция непрерывна в точке x 0 .
Односторонняя непрерывность
Точки разрыва
В некоторых случаях возникает необходимость рассматривать понятие односторонней
непрерывности.
Определение 4. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева),
если lim f ( x)  f ( x0 )  lim f ( x)  f ( x0 )  .
x  x0  0
 x  x0  0

Используя связь предела в точке с односторонними пределами, можно заключить, что
функция будет непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она будет непрерывна справа
и слева в этой точке.
Пусть некоторая функция y  f (x) не является непрерывной в точке x 0 . В таком
случае говорят, что в точке имеется разрыв. Точки разрыва подразделяют на два вида.
I. Точки разрыва первого рода.
Определение 5. Если в точке x 0 существуют односторонние пределы, то говорят, что
в ней имеется разрыв первого рода.
В том случае, если lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) , то разрыв называется устранимым.
x x0 0
x x0 0
В таких случаях функцию можно доопределить и тем самым получить непрерывную
функцию. Если же lim f ( x)  lim f ( x) , то разрыв является неустранимым.
x x0 0
x x0 0
II. Точки разрыва второго рода.
Определение 6. Если в точке x 0 хотя бы один из односторонних пределов не
существует или равен бесконечности, то говорят, что в ней имеется разрыв второго рода.
Первая теорема Больцано - Коши
Пусть на отрезке a, b определена функция f (x) .
Теорема 3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b и принимает на концах
значения разных знаков, то на отрезке a, b найдется по крайней мере одна точка c
( a  c  b ), в которой функция обращается в ноль.
Геометрический смысл теоремы: непрерывная кривая при переходе с одной
полуплоскости по отношению к оси Ox на другую непременно пересекает эту ось (Рис. 5).
19
y
O
a
b
x
Рис 5.
Замечание. В теореме указывается на то, что хотя бы одна такая точка существует, но
ни каким образом не ограничивается их количество; таких точек может быть и несколько.
Вторая теорема Больцано - Коши
Пусть на отрезке a, b определена функция f (x) .
Теорема 4. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b и принимает на его
концах различные значения f (a )  A , f (b)  B , то, каково бы ни были число C , лежащее
между числами A и B , всегда найдется точка c на отрезке a, b такая, что f (c )  C .
Следствие. Если функция f (x) , заданная на некотором промежутке, непрерывна на
этом промежутке, то совокупность ее значений тоже представляет собой промежуток.
Непрерывность монотонной функции
Теорема 5. Пусть функция определена на промежутке a, b , монотонна на нем. Для
того чтобы функция была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы множеством ее
значений был промежуток.
Понятие обратной функции, ее существование и непрерывность
Как известно, для того, чтобы задать функцию требуется:
1. указать область определения X ;
2. указать множество Y , откуда будут браться значения функции;
3. определить закон, по которому каждому аргументу из X будет ставится в
соответствие единственный элемент из Y .
При этом допускается наличие в Y свободных элементов. Будем рассматривать такую
функцию, что во множестве Y отсутствуют свободные элементы, т.е. каждому элементу из
Y найдется соответствующий элемент из X (такое отображение часто называют
отображением « X на Y »). Кроме того возможна ситуация, когда различным элементам
множества X ставится в соответствие единственный элемент из Y . Будем рассматривать
функцию такую, что каждому элементу из X ставится в соответствие один и только один
элемент из Y . Такую функцию называют взаимнооднозначной.
Поступим так, будем множество Y считать областью определения, множество X
множеством значений, закон отображения будет следующий: каждому элементу из Y будем
ставить в соответствие его прообраз из X при заданном ранее отображении. Такую
функцию называют обратной. Обозначают обратную функцию следующим образом:
x  f 1 ( y ) . Графики прямой и обратной функции совпадают.
На практике подобное обозначение не слишком удобно, потому производят замену
переменных, в результате для функции y  f (x) обратной считают y  f 1 ( x) . В таком
случае графики для прямой и обратной функций различны, более того их связывает
20
следующее соотношение: графики симметричны относительно биссектрисы первого
координатного угла, т.е. прямой y  x .
Возникает вопрос, в каком случае функция имеет себе обратную. Существуют
достаточные условия, которые позволяют определить существование обратной функции.
Теорема 6. Если функция f (x) на некотором промежутке X непрерывна и строго
монотонна, то на множестве значений f (x) существует обратная функция f 1 ( x) также
непрерывная и строго монотонная в том же смысле.
Первая теорема Вейерштрасса
Теорема 7. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b , то она ограничена на
данном отрезке.
Вторая теорема Вейерштрасса
Теорема 8. Если функция f (x) непрерывна на a, b , то она на данном отрезке
принимает значения верхней и нижней граней.
21
Глава 5. Элементарные функции
Каждую из элементарных функций будем рассматривать по следующему плану.
1. Определение функции.
2. Обозначение.
3. Область определения.
4. Четность, нечетность, периодичность.
5. Монотонность.
6. Непрерывность.
7. Предельное поведение.
8. Область значений.
9. График.
Экспонента
  x n
lim 1   , x  0
1. y  n n 
.
1, x  0

2.
3.
4.
5.
6.
7.
y  ex .
D( y )  R .
Не является ни четной, ни нечетной, не периодическая.
Возрастает на всей области определения.
Является непрерывной на всей области определения.
lim e x  , lim e x  0 .
x
x
8. E(y)  0,   .
9. График y  e x .
3
2
1
1
0
1
Рис 6.
Натуральный логарифм
1.
2.
3.
4.
5.
Определяется как обратная функция к функции y  e x .
y  ln x .
D(y)  0,   .
Не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
Возрастает на всей области определения.
2
22
6. Непрерывна на всей области определения.
7. lim ln x  , lim ln x   .
x
x0
8. E ( y )  R .
9. График y  ln x .
2
1
1
0
1
2
3
4
1
2
Рис 7.
Показательная функция
y  e a ln a , a  0, a  1 .
y  ax .
D( y )  R .
Не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
При a  1 возрастает на всей области определения, при 0  a  1 убывает на всей области
определения.
6. Непрерывна на всей области определения.
7. При a  1 lim a x  , lim a x  0 , при 0  a  1 lim a x  0, lim a x   .
1.
2.
3.
4.
5.
x
8. E(y)  0,   .
9. График y  a x .
x
x
a >1
x
0< a <1
4
4
3
3
2
2
1
1
0
2
2
1
Рис 8.
0
1
Логарифм с произвольным основанием
23
Определяется как обратная функция к функции y  a x ( a  0, a  1 ).
y  log a x .
D(y)  0,   .
Не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
При a  1 возрастает на всей области определения, при 0  a  1 убывает на всей области
определения.
6. Непрерывная на всей области определения.
7. При a  1 lim log a x  , lim log a x   , при 0  a  1 lim log a x  , lim log a x   .
1.
2.
3.
4.
5.
x
x0
x
x0
8. E ( y )  R .
9. График y  log a x
0< a <1
a >1
2
2
1
1
1
0
1
2
3
4
1
0
1
1
2
2
Рис 9.
Степенная функция
I. Степень с показателем   0
1. y  1 .
2.
3.
4.
5.
6.
7.
y  x0 .
D( y )  R .
Четная, не периодическая.
Постоянная на всей области определения.
Непрерывная на всей области определения.
lim x 0  1, lim x 0  1 .
x
x
8. E ( y )  1 .
9. График y  x 0 .
1
2
3
4
24
2
1
2
1
0
1
2
1
Рис 10.
II. Степень с натуральным показателем
1. y  
x  
x  x 
...  x .
n
2. y  x .
3. D( y )  R .
4. При n  2k (четном) функция является четной, при n  2k  1 (нечетном)
является нечетной. Не периодическая.
5. При n  2k (четном) функция убывает при x   ; 0 и возрастает при
x  0,   . При n  2k  1 (нечетном) функция возрастает на всей области
определения.
6. Непрерывная на всей области определения.
7. При n  2k (четном) lim x n  , lim x n   , при n  2k  1 (нечетном)
n
x
x
lim x  , lim x   .
n
x
n
x
8. При n  2k (четном) E(y)  0,   , при n  2k  1 (нечетном) E ( y )  R .
9. График y  x n ( n  1, n  2, n  3 ).
2
1
2
1
0
1
Рис 11.
III. Степень с целым показателем (отрицательным)
1
1. y  n .
x
2. y  x  n .
3. D(y)   , 0  0,  .
1
2
25
4. При n  2k (четном) функция является четной, при n  2k  1 (нечетном)
является нечетной. Не периодическая.
5. При n  2k (четном) функция возрастает при x   ; 0 и убывает при
x  0,   . При n  2k  1 (нечетном) функция возрастает на промежутках
 , 0, 0,   .
6. Непрерывна на всей области определения.
7. При n  2k (четном) lim x  n  0, lim x  n  0 , lim x  n  , lim x  n   , при
x
n  2k  1 (нечетном) lim x
x
n
x
x0
 0, lim x
x
n
 0 , lim x
8. При
(четном)
E(y)  0,   ,
n  2k
E(y)   , 0  0,   .
9. График y  x  n ( n  1, n  2, n  3 ).
x0
n
x0
при
 , lim x  n   .
x0
n  2k  1
(нечетном)
4
2
2
0
2
2
4
Рис 12.
IV. Корень с натуральным показателем
1. При n  2k (четном) определяется как обратная к функции y  x 2 k на
промежутке 0,   . При n  2k  1 (нечетном) определяется как обратная к
функции y  x 2 k 1 .
1
n
2. y  x  n x .
3. D(y)  0,   при n  2k (четном), D( y )  R при n  2k  1 (нечетном).
4. При n  2k (четном) не является ни четной, ни нечетной, при n  2k  1
(нечетном) является нечетной функций, не периодическая.
5. Возрастает на всей области определения.
6. Непрерывна на всей области определения. При n  2k (четном) функция
непрерывна в точке x  0 справа.
7. При n  2k (четном) lim n x  , lim n x  0 , при n  2k  1 (нечетном)
x
lim
x
n
x  , lim
x
n
x0
x   .
8. E(y)  0,   при n  2k (четном), E ( y )  R при n  2k  1 (нечетном).
9. График y  n x ( n  2, n  3, n  4 ).
26
2
1
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1
2
Рис 13.
V. Степень с рациональным показателем
1. Определяется как сложная функция y  n x  , предполагается, что дробь
m
m
–
n
несократимая.
m
n
2. y  x .
3. D( y )  R при нечетных n и m , D( y )  R при нечетном n и четном m ,
D(y)  0,   при четном n и нечетном m .
4. Является нечетной при нечетных n и m , является четной при нечетном n и
четном m , не является ни четной, ни нечетной при четном n и нечетном m .
Не периодическая.
5. Возрастает на всей области определения при любом n и нечетном m , убывает
при x   ; 0 и возрастает при x  0,   при нечетном n и четном m .
6. Непрерывна на всей области определения. При четном n и нечетном m
функция непрерывна в точке x  0 справа.
7. При нечетных n и m lim
x
m lim
x
n
n
x m  , lim
x
n
x m   , при нечетном n и четном
x   , при четном n и нечетном m lim
x
n
x  , lim
x0
n
x  0.
8. E(y)  0,   при любом n и нечетном m , E ( y )  R при нечетных n и m .
9. График y  n x  ( n  3, m  5; n  3, m  4; n  4, m  3 ).
m
27
4
2
4
2
0
2
4
2
4
Рис 14.
VI. Степень с рациональным показателем (отрицательным)
1
1. y 
.
n
( x) m

m
2. y  x n .
3. D(y)   ; 0  0;   при нечетных n и m , D(y)   ; 0  0;   при
нечетном n и четном m , D( y)  0,   при четном n и нечетном m .
4. Является нечетной при нечетных n и m , является четной при нечетном n и
четном m , не является ни четной, ни нечетной при четном n и нечетном m .
Не периодическая.
5. При нечетных n и m убывает на промежутках  , 0, 0,   , при нечетном
n и четном m возрастает на промежутке  ; 0 и убывает на промежутке
0,   , при четном n и нечетном m убывает на области определения.
6. Непрерывна на всей области определения.
7. При нечетных n и m lim x
x
при
lim x
нечетном

m
n
x0
lim x
x0
 , lim x
x0

m
n
n

m
n
и

m
n
 0, lim x
x
четном

m
n
 0 , lim x

m
n
x0
m
 , lim x
lim x
x

m
n
  ,
x0

m
n
 0, lim x
  , при четном n и нечетном m

m
n

m
n
x
lim x
x
0,
 0,
  .
8. При нечетных n и m E(y)   , 0  0,   , при нечетном n и четном
m E(y)  0,   , при четном n и нечетном m E(y)  0,   .
9. График y  x

m
n
( n  3, m  5; n  3, m  4; n  4, m  3 ).
28
4
2
4
2
0
2
4
2
4
Рис 15.
VII. Степень с иррациональным показателем
1. y  e ln x .
2. y  x , где  – иррациональное число.
3. D(y)  0,   .
4. Не является ни четной, ни нечетной, не периодическая.
5. Возрастает на области определения.
6. Непрерывна на области определения, в точке x  0 функция непрерывна
справа.
7. lim n x  , lim n x  0 .
x
x0
8. E(y)  0,  .
9. График y  x (   2 ,   e,  
1

).
4
3
2
1
0
2
4
1
Рис 16.
VIII. Степень с произвольным показателем
1. y  e ln x .
2. y  x , где  – любое действительное число.
Остальные свойства функции зависят от конкретного значения  .
29
Тригонометрические функции
I.
y  sin x
1. Пусть дана единичная окружность с центром в начале координат и радиусом,
равным единице. Рассмотрим произвольную точку A , лежащую на
окружности. Обозначим через  угол между осью абсцисс и вектором OA ,
отсчитываемый от положительного направления оси OX . Синусом угла 
называется абсцисса точки A .
y
A(cos  , sin  )

O
x
1
Рис 17.
2. y  sin x .
3. D( y )  R .
4. Функция нечетная, периодическая с наименьшим периодом 2 .

 

5. Возрастает на промежутках   2n;  2n  , убывает на промежутках
2
 2

3


 2  2n; 2  2n , где n  N , обращается в нуль в точках n .
6. Непрерывна всюду на области определения.
7. lim sin x, lim sin x – не существуют.
x
x
8. E( y)   1, 1 .
9. График y  sin x .
6
4
2
0
2
4
6
Рис 18.
II.
y  cos x .
1. Пусть дана единичная окружность с центром в начале координат и радиусом,
равным единице. Рассмотрим произвольную точку A , лежащую на
окружности. Обозначим через  угол между осью абсцисс и вектором OA ,
отсчитываемый от положительного направления оси OX . Косинусом угла 
называется ордината точки A .
30
y
A(cos  , sin  )

O
x
1
Рис 19.
2. y  cos x .
3. D( y )  R .
4. Функция нечетная, периодическая с наименьшим периодом 2 .
5. Возрастает на промежутках    2n;2n, убывает на промежутках
2n;   2n , где n  N , обращается в нуль в точках   n .
2
6. Непрерывна всюду на области определения.
7. lim cos x, lim cos x – не существуют.
x
x
8. E( y)   1, 1 .
9. График y  cos x .
6
4
2
0
2
4
6
Рис 20.
III.
y  tgx .
sin x
.
cos x
y  tgx .
1. tgx 
2.

 

3. D( y )     n;  n  , где n  N .
2
 2

4. Функция нечетная, периодическая с наименьшим периодом  .

 

5. Возрастает на каждом из промежутков    n;  n  , где n  N .
2
 2

6. Непрерывна на области определения.
7. lim tgx, lim tgx – не существуют.
x
x
8. E ( y )  R .
9. График y  tgx .
31
4
2
6
4
2
0
2
4
6
2
4
Рис 21.
IV.
y  ctgx .
cos x
.
sin x
y  ctgx .
D( y)  n;   n , где n  N .
Функция нечетная, периодическая с наименьшим периодом  .
Убывает на каждом из промежутков n;   n , где n  N .
Непрерывна на области определения.
lim ctgx, lim ctgx – не существуют.
1. ctgx 
2.
3.
4.
5.
6.
7.
x 
x
8. E ( y )  R .
9. График y  ctgx .
4
2
6
4
2
0
2
4
2
4
Рис 22.
Обратные тригонометрические функции
I.
y  arcsin x .
1. Определяется как обратная функция к функции y  sin x .
6
32
2.
3.
4.
5.
6.
7.
y  arcsin x .
D( y)   1, 1 .
Функция нечетная, не периодическая.
Возрастает на области определения.
Непрерывна на области определения, в точке x  1 непрерывна справа, в
точке x  1 непрерывна слева.
lim arcsin x  
x1

2
, lim arcsin x 
x1

2
.
  
8. E ( y )   ;  .
 2 2
9. График y  arcsin x .
2
1
0
1
2
Рис 23.
II.
y  arccos x .
1. Определяется как обратная функция к функции y  cos x .
2. y  arccos x .
3. D( y)   1, 1 .
4. Функция не является ни четной, ни нечетной, не периодическая.
5. Убывает на области определения.
6. Непрерывна на области определения, в точке x  1 непрерывна справа, в
точке x  1 непрерывна слева.
7. lim arccos x   , lim arccos x  0 .
x1
x1
8. E( y)  0;   .
9. График y  arccos x .
33
4
3
2
1
0
Рис 24.
III.
y  arctgx .
1. Определяется как обратная функция к функции y  tgx .
2. y  arctgx .
3. D( y )  R .
4. Функция нечетная, не периодическая.
5. Возрастает на области определения.
6. Непрерывна на области определения.


7. lim arctgx  , lim arctgx   .
x
2 x
2
  
8. E ( y )   ;  .
 2 2
9. График y  arctgx .
2
1
4
2
0
2
4
1
2
Рис 25.
IV.
y  arcctgx .
1. Определяется как обратная функция к функции y  ctgx .
2. y  arcctgx .
3. D( y )  R .
4. Функция не является ни четной, ни нечетной, не периодическая.
5. Убывает на области определения.
6. Непрерывна на области определения.
7. lim arcctgx  0, lim arcctgx   .
x
8. E( y)  0;   .
x
34
9. График y  arcctgx .
4
3
2
1
4
2
0
2
4
Рис 26.
Гиперболические функции
I. Гиперболический синус
e x  e x
1. y 
.
2
2. y  shx .
3. D( y )  R .
4. Функция нечетная, не периодическая.
5. Возрастает на области определения.
6. Непрерывна на области определения.
7. lim shx  , lim shx   .
x
x
8. E ( y )  R .
9. График y  shx .
5
5
0
5
5
Рис 27.
II. Гиперболический косинус
e x  e x
1. y 
.
2
2. y  chx .
3. D( y )  R .
4. Функция четная, не периодическая.
5. Возрастает на промежутке 0,   , убывает на промежутке  , 0 .
6. Непрерывна на области определения.
35
7.
lim shx   .
x
8. E(y)  1,   .
9. График y  chx .
5
5
0
Рис 28.
5