МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
Учебно-методический комплекс дисциплины
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Код и направление подготовки
02.03.01 – Математика и компьютерные науки
Профиль подготовки
«Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные
технологии»
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
Форма обучения
очная
Тобольск
2014
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
________________________________________________________________
Дисциплина:
Математический анализ___________________________________________
Учебный план: 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» Профиль «Вычислительные,
программные, информационные системы и компьютерные технологии»
Автор:
Кушнир Таисья Ивановна______________________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
Кушнир Таисья Ивановна, доцент кафедры физики,
математики и методик преподавания
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
_____________
_______
дата
2
Содержание
Рабочая программа дисциплины …………………………………...……………................3
Руководство по организации обучения дисциплине ……………………………………..23
Приложения ……………………………………………………………………………/..….. 26
Приложение 1. Лекционные материалы …………………………………………………..….26
Приложение 2. Практические занятия …………………………………………………….…33
2.1. Планы практических занятий …………………………………………………………….33
2.2. Методические указания к практическим занятиям ………………………………….….22
Приложение 3. Самостоятельная работа студентов …………………………………..…... 23
3.1. Задания для самостоятельной работы …………………………………………………. 23
3.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы ……………………26
Приложение 4. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине 27
4.1. Технологическая карта ………………………………………………………………..... 27
4.2. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине …………………. 28
4.3. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине ………………….28
4.4. Вопросы к зачету ……………………………………………………………................... 30
Приложение 5. Глоссарий ……………………………………………………………..…..... 31
Приложение 6. Дополнительные учебно-методические материалы …………………….
3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
Рабочая программа дисциплины
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Код и направление подготовки
02.03.01 – Математика и компьютерные науки
Профиль подготовки
«Вычислительные, программные, информационные системы
и компьютерные технологии»
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
Форма обучения
очная
Тобольск
2014
4
1 Цели и задачи освоения дисциплины
Цель дисциплины - формирование систематических знаний в области
математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук,
приложениях в естественных науках.
Задачи дисциплины:
- выработать умения и навыки вычисления пределов, нахождения производных и
интегралов, доказательства свойств и теорем, относящихся к основным понятиям
математического анализа;
- научить применять методы математического анализа для решения задач,
нахождения геометрических и физических величин;
- познакомить с современными направлениями развития математического анализа
и его приложениями;
- дать научное обоснование школьного курса «Алгебра и начала анализа».
Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный и научно-методический виды
профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых
задач профессионально деятельности:
в области учебно-воспитательной деятельности:
- осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой;
- планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов
программы и в соответствии с учебным планом;
- использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств
обучения;
- использование технических средств обучения, информационных и компьютерных
технологий;
- применение современных средств оценивания результатов обучения;
воспитание учащихся как формирование у них духовных, нравственных ценностей
и патриотических убеждений на основе индивидуального подхода;
в области научно методической деятельности:
- выполнение научно-методической работы, участие в работе научно-методических
объединений;
- анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и повышения
своей квалификации.
Выпускник должен быть готов к выполнению основных видов профессиональной
деятельности учителя математики, решению типовых профессиональных задач в
учреждениях среднего общего (полного) образования, использовать знания по математике
для эффективной организации содержания учебного материала по другим предметам.
Курс математики имеет также общеобразовательное, общекультурное и
прикладное значение, способствует формированию научного мировоззрения студентов.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина
«Математический
анализ»
относится
к
базовой
части
профессионального цикла. Для освоения дисциплины используются знания, умения и
виды деятельности, сформированные в процессе изучения предметов «Математика»,
«Информатика» на предыдущем уровне образования. Дисциплина «Математический
анализ», наряду с дисциплинами «Фундаментальной алгеброй» и «Дифференциальная
геометрия и топология», является фундаментом высшего математического образования.
Знания и умения, формируемые в процессе изучения дисциплины «Математический
анализ», будут использоваться в дальнейшем при освоении дисциплин вариативной части
профессионального цикла: «Дифференциальные уравнения», «Физика» и др.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
5
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению
подготовки (специальности):
а) общепрофессиональных (ОПК):
- готовность использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1);
б) профессиональных (ПК):
- способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики (ПК-2);
- способностью к проведению методических и экспертных работ в области
математики (ПК - 11)
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные понятия математического анализа;
- основные свойства и теоремы математического анализа;
- основные методы математического анализа;
уметь:
- вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы;
- используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями;
- применять методы математического анализа к доказательству теорем и решению задач;
владеть:
- современными знаниями о математическом анализе и его приложениях;
- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 15 зачетных единиц (540 часов).
4.1. Структура дисциплины
Таблица 1
Виды учебной работы
(в
академических часах)
Наименование раздела
№
Семестр
дисциплины
аудиторные занятия
СР
ЛК
ПЗ
КСР
Введение в анализ.
1.
1
18
36
18
Дифференциальное
исчисление для функций
одной переменной
Интегральное исчисление
2.
2
40
40
28
для функций одной
переменной
Ряды
3.
3
32
32
44
Дифференциальное
и
4.
4
20
20
41
интегральное
исчисление
функций
нескольких
переменных
Функциональный анализ
5.
5
16
32
33
Итого
126
160
164
4.2. Содержание дисциплины
Таблица 2
6
№
1.
2.
Наименование раздела
дисциплины
Введение в анализ
Дифференциальное
исчисление для функций
одной переменной
Содержание раздела
(дидактические единицы)
Предварительные сведения о математическом
анализе.
Действительные
числа.
Предмет
математического
анализа.
Множество
R
действительных чисел. Изображение действительных
чисел на прямой. Модуль действительного числа, его
свойства.
Ограниченные
и
неограниченные
множества. Промежутки. Функции и их общие
свойства.
Область
определения.
Композиция
функций. Обратимая функция. Обратная функция.
Сужение
функции.
Действительная
функция
действительной переменной. График функции.
Арифметические действия над функциями. Числовые
последовательности.
Предел
числовой
последовательности и функции. Понятие предела
последовательности и функции. Предел отношения
синуса к аргументу, стремящемуся к нулю.
Единственность
предела.
Предел
суммы,
произведения и частного. Односторонние пределы.
Бесконечно малые и их сравнение. Бесконечно
большие. Непрерывность множества R. Верхняя и
нижняя грани числового множества. Принцип
вложенных
отрезков.
Предел
монотонной
последовательности. Число е и связанные с ним
пределы.
Теорема
Больцано-Вейерштрасса.
Непрерывность функции. Основные элементарные
функции. Непрерывность функции в точке.
Непрерывность суммы, произведения и частного.
Переход к пределу под знаком непрерывной
функции. Односторонняя непрерывность. Точки
разрыва. Пределы и точки разрыва монотонной
функции. Теорема о промежуточных значениях
непрерывной функции. Непрерывность обратной
функции.
Ограниченность,
наибольшее
и
наименьшее значения непрерывной функции на
отрезке.
Понятие
равномерной
непрерывной
функции. Равномерная непрерывность непрерывной
функции
на
отрезке.
Показательная,
логарифмическая
и
степенная
функции.
Показательная
функция
и
ее
свойства.
Существование
логарифмов.
Логарифмическая
функция и ее свойства. Натуральные логарифмы.
Дифференцируемость функции. Производная и
дифференциал, их геометрический и механический
смысл. Непрерывность дифференцируемой функции.
Дифференцирование
суммы,
произведения
и
частного. Производная и дифференциал композиции
функций.
Производная
обратной
функции.
Производные основных элементарных функций.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Параметрически
заданные
функции
и
их
7
3.
Интегральное исчисление
для функций одной
переменной
4
Ряды
дифференцирование.
Параметрически
заданные
кривые. Векторнозначные функции действительной
переменной и их дифференцирование. Касательная и
нормаль
к
кривой.
Основные
теоремы
дифференциального исчисления, их применение.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
Формула Тейлора. Признак постоянства, возрастания
и убывания функции в точке и на промежутке.
Максимум и минимум. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия максимума и
минимума. Нахождение наибольших и наименьших
значений функции. Выпуклые функции. Точки
перегиба.
Асимптоты.
Применение
дифференциального исчисления к построению
графиков функций.
Неопределенный интеграл, методы интегрирования.
Задача восстановления функции по ее производной.
Первообразная функции и неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов. Интегрирование
заменой переменной. Интегрирование по частям.
Интегрирование
рациональных
функций.
Интегрирование иррациональных и трансцендентных
функций. Определенный интеграл и его приложения.
Задачи, приводящие к понятию определенного
интеграла.
Интегрируемость
функций
и
определенный интеграл. Нижние и верхние суммы
ограниченной функции. Необходимое и достаточное
условие
интегрируемости.
Интегрируемость
непрерывной и монотонной функций. Основные
свойства определенного интеграла. Теорема о
среднем. Определенный интеграл с переменным
верхним пределом. Существование первообразной
функции.
Формула
Ньютона-Лейбница.
Интегрирование по частям и заменой переменной.
Интегральное определение логарифма. Вычисление
площадей плоских фигур в декартовых и полярных
координатах. Принцип Кавальери. Вычисление
объема тела вращения. Вычисление длины дуги.
Вычисление площади поверхности вращения.
Несобственные интегралы, их сходимость. Понятие
несобственного интеграла с бесконечным верхним
пределом
и
от
неограниченной
функции.
Несобственные интегралы от положительных
функций. Абсолютная сходимость. Несобственные
интегралы, зависящие от параметра.
Числовые ряды. Признаки сходимости рядов.
Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся
ряды. Сложение рядов и умножение ряда на число.
Остаток сходящегося ряда. Необходимое условие
сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
Критерий
Коши
сходимости
числовой
8
5
последовательности и числового ряда. Необходимое
и достаточное условие сходимости числового ряда.
Необходимое и достаточное условие сходимости
ряда с положительными членами. Сравнение рядов с
положительными членами. Признаки Даламбера и
Коши.
Интегральный
признак
сходимости.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов
абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся
ряды.
Теорема
Римана.
Функциональные
последовательности и ряды. Функциональная
последовательность и функциональный ряд. Область
сходимости. Равномерная сходимость. Необходимый
и достаточный признак равномерной сходимости.
Признак равномерной и абсолютной сходимости.
Предел равномерно сходящейся последовательности
непрерывных
функций.
Сумма
равномерно
сходящегося
ряда
непрерывных
функций.
Интегрирование
и
дифференцирование
функциональных последовательностей и рядов.
Степенные ряды. Ряд Тейлора. Понятие степенного
ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.
Равномерная
сходимость
степенного
ряда.
Интегрирование и дифференцирование степенных
рядов. Задача разложения функций в степенной ряд.
Ряд Тейлора. Разложение функций ex, sinx, cosx,
ln(1+x), (1+x)a в степенной ряд. Приближенное
вычисление значений функций и интегралов с
помощью степенных рядов. Тригонометрические
ряды.
Ортогональные
системы
функций.
Тригонометрическая система. Ряд Фурье. Разложение
кусочно-гладкой функции в тригонометрический ряд
Фурье. Равенство Парсеваля. Комплексная форма
тригонометрического
ряда
Фурье.
Решение
уравнения свободных
колебаний
струны с
закрепленными концами методом Фурье.
Дифференциальное
Функции нескольких переменных. График функции
исчисление для функций двух переменных. Линии уровня. Скалярные поля.
нескольких переменных
Поверхности уровня функции трех переменных.
Векторные поля. Предел и непрерывность функций
нескольких
переменных.
Дифференцируемость
функции
нескольких
переменных.
Дифференцируемость, частные производные и
полный
дифференциал
функции
нескольких
переменных.
Достаточное
условие
дифференцируемости.
Касательная
плоскость.
Геометрический смысл дифференциала функции
двух переменных. Дифференцирование сложной
функции.
Инвариантность
формы
первого
дифференциала. Производная по направлению.
Градиент.
Теорема
о
существовании
и
дифференцируемости неявной функции. Вычисление
9
6
7
8
частных производных неявно заданной функции.
Частные производные высших порядков. Равенство
смешанных производных. Дифференциалы высших
порядков. Формула Тейлора для функции двух
переменных. Экстремумы функций нескольких
переменных. Определения максимума и минимума.
Необходимое условие экстремума. Достаточные
условия максимума и минимума функции двух
переменных. Нахождение наибольших и наименьших
значений. Условные экстремумы.
Интегральное исчисление
Кратные интегралы и их применение. Квадрируемые
для функций нескольких
фигуры и их площади. Понятие двойного интеграла.
переменных
Интегрируемость непрерывной функции. Основные
свойства двойного интеграла. Вычисление двойного
интеграла повторным интегрированием. Замена
переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл
в полярных координатах. Кубируемые тела и их
объемы. Понятие тройного интеграла. Замена
переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл
в цилиндрических и сферических координатах.
Вычисление объемов тел. Вычисление площадей
гладких поверхностей. Применение в физике.
Криволинейные интегралы. Задача о работе плоского
силового поля. Криволинейный интеграл и его
основные свойства. Вычисление криволинейных
интегралов. Формула Грина. Криволинейные
интегралы, зависящие только от начала и конца пути
интегрирования.
Применение
криволинейных
интегралов.
Теория функций
Понятие мощности. Эквивалентные множества.
действительного
Счетные множества и их свойства. Множество
переменного
мощности континуума. Сравнение мощностей.
Несчетность отрезка [0; 1]. Основные понятия теории
точечных множеств. Строение линейных замкнутых
множеств. Строение совершенных множеств.
Открытые множества. Множество Кантора. Точки
конденсации. Понятие метрического пространства,
примеры. Полные метрические пространства.
Компактность. Принцип сжимающих отображений и
его применение. Задача о разложении функции в
тригонометрический
ряд.
Соотношение
ортогональности. Тригонометрический ряд Фурье.
Ряд Фурье для функций с периодом 2, 2l.
Разложение четных и нечетных функций. Разложение
непериодических функций. Четные и нечетные
продолжения. Ряд Фурье в комплексной форме.
Теория функций
Определение предела функции комплексного
комплексного переменного переменного в точке и его геометрическая
интерпретация. Определение непрерывности в точке
функции комплексного переменного. Основные
свойства непрерывной функции. Определение
интеграла функции комплексного переменного.
10
Разные способы вычисления интеграла функции
комплексного переменного. Теорема Коши и
следствия из нее. Применение теоремы Коши к
интегрированию функций. Интегральная формула
Коши и её следствия. Изолированные особые точки
аналитической функции. Вычет и его вычисление.
Основная теорема о вычетах. Применение вычетов
для
вычисления интегралов. Степенные ряды.
Теорема Абеля. Разложение элементарных функций в
комплексной области в степенные ряды. Ряды
Тейлора. Разложение основных элементарных
функций в ряд Тейлора. Теорема единственности.
Формулы Эйлера. Определение ряда Лорана. Связь
рядов Тейлора и Лорана. Разложение функций
комплексного переменного в ряд Лорана
5. Образовательные технологии
Таблица 3
№
№
занятия раздела
1.
1
2.
1
3
1
4
1
5.
1
Тема занятия
Множество R
действительных чисел.
Модуль действительного
числа, его свойства.
Функции и их графики
Предел функции
Виды образовательных
технологий
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Кол-во
часов
2
Групповое обсуждение,
дискуссия (Интерактивные
2
технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии) 2
Вычисление предела
функции в точке
Практическое занятие
(Традиционные технологии) 2
Непрерывность функции
Информационная лекция
(Традиционные технологии) 2
7.
2
Дифференцирование
функций, основные правила
8
2
Дифференцирование
функций
(Традиционные
технологии)
Практическое
занятие
(Традиционные технологии) 4
2
Дифференцирование
сложных и параметрически
заданных функций
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Дифференцирование
сложных и параметрически
заданных функций
Групповое обсуждение
(Интерактивные
технологии)
9
10
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Лекция-визуализация
Практическое занятие
4
2
4
11
11
2
12
2
13.
2
14.
2
15
2
16
2
17.
2
18
2
19
2
20
2
21
2
22
2
23
2
24
2
25
3
Производные
дифференциалы
порядков.
и Информационная лекция
высших (Традиционные технологии)
Производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Касательная и нормаль к
кривой. Основные теоремы
дифференциального
исчисления, их применение
Касательная и нормаль к
кривой.
Групповое обсуждение,
дискуссия (Интерактивные
технологии)
Лекция-беседа
(Интерактивные
технологии)
Исследование функций
Применение
дифференциального
исчисления к построению
графиков функций.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Построение графиков
функций
Практическое занятие в
форме презентации
(Интерактивные
технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Первообразная функции и
неопределенный интеграл,
вычисление
Первообразная функции и
неопределенный интеграл,
вычисление.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
2
2
2
4
2
6
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
6
Определенный интеграл
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Определенный интеграл
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Вычисление площадей
плоских фигур, объемов тел
и площадей поверхностей в
декартовых и полярных
координатах.
Вычисление площадей
плоских фигур, объемов тел
и площадей поверхностей в
декартовых и полярных
координатах.
Несобственные интегралы
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Практическое занятие в
форме презентации
(Интерактивные
технологии)
6
6
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
Несобственные интегралы
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Числовые ряды. Признаки
сходимости рядов
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
6
12
26
3
Числовые ряды. Признаки
сходимости рядов
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
6
27
3
Функциональные
последовательности и ряды.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
6
28
3
Функциональные
последовательности и ряды.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
6
3
Задача разложения функций
в степенной ряд. Ряд
Тейлора.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
3
Задача разложения функций
в степенной ряд. Ряд
Тейлора.
Ряды Фурье
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
Ряды Фурье
Практическое занятие в
форме презентации
(Интерактивные
технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
29
30
31
3
32
3
33
4
34
4
35
4
36
37
4
4
38
4
39
4
40
4
Функции нескольких
переменных. График
Функции нескольких
переменных. График
Дифференцируемость
функции нескольких
переменных
Дифференцируемость
функции нескольких
переменных
Понятие двойного
интеграла. Интегрируемость
непрерывной функции.
Основные свойства
двойного интеграла.
Вычисление двойного
интеграла
Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы
41
5
Понятие мощности.
Эквивалентные множества.
Счетные множества и их
свойства. Множество
мощности континуума.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
4
4
4
4
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
Практическое занятие в
форме презентации
(Интерактивные
технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
4
4
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
13
42
5
43
5
Понятие мощности.
Эквивалентные множества.
Счетные множества и их
свойства. Множество
мощности континуума.
Сравнение мощностей.
Несчетность отрезка [0; 1].
44
5
Сравнение мощностей.
Несчетность отрезка [0; 1].
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
45
5
Основные понятия теории
точечных множеств.
Строение линейных
замкнутых множеств.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
46
5
Основные понятия теории
точечных множеств.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Понятие метрического
пространства, примеры.
Полные метрические
пространства.
Понятие метрического
пространства, примеры.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
5
Компактность. Принцип
сжимающих отображений и
его применение.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
5
Компактность. Принцип
сжимающих отображений и
его применение.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Определение предела
функции комплексного
переменного в точке и его
геометрическая
интерпретация.
Предел функции
комплексного переменного
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Определение
непрерывности в точке
функции комплексного
переменного.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Непрерывность в точке
функции комплексного
переменного
Определение интеграла
функции комплексного
переменного.
Способы вычисления
интеграла функции
комплексного переменного.
Теорема Коши и следствия
из нее. Применение теоремы
Коши к интегрированию
функций. Интегральная
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
47
5
48
5
49
50
51
5
52
5
53
5
54
5
55
5
56
Практическое занятие в
форме презентации
(Интерактивные
технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
4
4
4
4
4
4
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
4
14
Основная теорема о
вычетах. Применение
вычетов для вычисления
интегралов.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
57
58
59
60
61
62
4
Вычет и его вычисление.
Степенные ряды. Теорема
Абеля. Разложение
элементарных функций в
комплексной области в
степенные ряды. Ряды
Тейлора.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
4
Разложение основных
элементарных функций в
ряд Тейлора.
Теорема единственности.
Формулы Эйлера.
Определение ряда Лорана.
Связь рядов Тейлора и
Лорана.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Разложение функций
комплексного переменного
в ряд Лорана
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
4
6. Самостоятельная работа студентов
Таблица 4
№
Наименование раздела
дисциплины
1
Введение в анализ
2
Дифференциальное
исчисление для функций
одной переменной
Интегральное
исчисление для функций
одной переменной
Ряды
3
4
5
Вид самостоятельной работы
Конспектирование предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
Изучение
предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
Изучение
предложенной
литературы; решение задач
Конспектирование предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
Дифференциальное
Конспектирование предложенной
исчисление для функций литературы;
решение
задач;
Трудоемкость
(в академических
часах)
8
10
28
44
21
15
6
7
8
нескольких переменных
Интегральное
исчисление для функций
нескольких переменных
Теория функций
действительного
переменного
Теория функций
комплексного
переменного
выполнение домашних заданий
Конспектирование предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
Конспектирование предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
Конспектирование предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
20
13
20
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
1) Входящий контроль в форме теста;
2) Текущий контроль в форме мониторинга результатов лекционных и
практических занятий, а так же домашних работ;
3) Промежуточная аттестация в форме зачета.
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая
технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
Таблица 5
Виды работ
Максимальное количество баллов
Модуль 1
Модуль 2
Модуль 3
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итоговый
Итого
Итого
2
2
16
2
2
16
3
3
14
7
7
46
5
5
10
25
25
30
20
20
100
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
Таблица 6
Наименование
№
раздела
Формы оцениваемой работы
дисциплины
Работа на лекциях
1 Введение в анализ
– посещение лекций и
практических (семинарских)
занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
2 Дифференциальное – посещение лекций и
исчисление для
практических (семинарских)
функций одной
занятий;
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
3
1
4
3
2-3
16
переменной
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
– ответы на теоретические
4
вопросы
Интегральное
– посещение лекций и
3
исчисление для
практических (семинарских)
функций одной
занятий;
переменной
– ответы на теоретические
4
вопросы
Ряды
– посещение лекций и
3
практических (семинарских)
занятий;
– ответы на теоретические
4
вопросы
Дифференциальное – посещение лекций и
3
исчисление
для практических (семинарских)
функций нескольких занятий;
переменных
– ответы на теоретические
4
вопросы
Интегральное
– посещение лекций и
3
исчисление для
практических (семинарских)
функций нескольких занятий;
переменных
– ответы на теоретические
4
вопросы
Теория функций
– посещение лекций и
3
действительного
практических (семинарских)
переменного
занятий;
– ответы на теоретические
4
вопросы
Теория функций
– посещение лекций и
комплексного
практических (семинарских)
переменного
занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Введение в анализ
– выполнение учебных
9
индивидуальных и групповых
заданий в ходе практических
занятий
Дифференциальное – выполнение учебных
9
исчисление для
индивидуальных и групповых
функций одной
заданий в ходе практических
переменной
занятий;
– выступление на занятии
4
Интегральное
– выполнение учебных
9
исчисление для
индивидуальных и групповых
функций одной
заданий в ходе практических
переменной
занятий;
– выполнение аудиторной и
домашней контрольной работы
8
Ряды
– выполнение учебных
9
индивидуальных и групповых
заданий в ходе практических
занятий;
1-3
1-3
1-2
3
1-2
2-3
1
2-3
1-3
1-3
17
5
6
7
8
№
1
2
3
4
5
6
– выполнение аудиторной и
домашней контрольной работы
Дифференциальное – выполнение учебных
исчисление
для индивидуальных и групповых
функций нескольких заданий в ходе семинаров и
переменных
практических занятий;
– выполнение аудиторной и
домашней контрольной работы
Интегральное
– выполнение учебных
исчисление для
индивидуальных и групповых
функций нескольких заданий в ходе практических
переменных
занятий;
– выполнение аудиторной и
домашней контрольной работы
Теория функций
– выполнение учебных
действительного
индивидуальных и групповых
переменного
заданий в ходе практических
занятий;
– выполнение аудиторной и
домашней контрольной работы
Теория функций
– выполнение учебных
комплексного
индивидуальных и групповых
переменного
заданий в ходе практических
занятий;
– выполнение аудиторной и
домашней контрольной работы
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
Таблица 7
Наименование
раздела (темы)
Формы оцениваемой работы
дисциплины
Введение в анализ
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
Дифференциальное выполнение домашних
исчисление для
контрольных работ
функций одной
переменной
Интегральное
выполнение домашних
исчисление для
контрольных работ;
функций одной
– конспектирование
переменной
Ряды
выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
Дифференциальное выполнение домашних
исчисление
для контрольных работ;
функций нескольких – конспектирование
переменных
Интегральное
выполнение домашних
исчисление для
контрольных работ;
8
9
1-2
8
9
3
8
10
1-2
10
2-3
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
3
1
6
5
2-3
3
1-3
3
10
1-3
8
1-2
6
3
18
функций нескольких – конспектирование
переменных
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Раздел 1. Введение в анализ
1 Определения.
1. Переменная величина.
2. Постоянная величина.
3. Функция одной переменной.
4. Числовая последовательность.
5. Возрастающая числовая последовательность.
6. Убывающая числовая последовательность.
7. Последовательность, ограниченная снизу.
8. Последовательность, ограниченная сверху.
9. Предел последовательности.
10. Предел функции при x   (с геометрической иллюстрацией).
11. Предел функции при x  a (с геометрической иллюстрацией).
12. Бесконечно малая функция.
13. Бесконечно большая функция при x  a .
14. Бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с другой.
15. Бесконечно малые одного порядка.
16. Эквивалентные бесконечно малые.
17. Функция, непрерывная в точке (2 определения).
2 Вопросы без доказательства.
1. Свойства бесконечно малых.
2. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
3. Теорема о связи предела функции с бесконечно малой функцией:
а) прямая;
б) обратная.
4. Теоремы о пределах.
5. Признаки существования:
а) предела последовательности;
б) предела функции.
6. Второй замечательный предел.
7. Теорема об эквивалентных бесконечно малых.
8. Свойства непрерывных в точке функций.
9. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
10. Классификация точек разрыва.
3 Вопросы с доказательством.
1. Теорема о сумме бесконечно малых.
2. Теорема о пределе суммы функций.
3. Теорем о пределе произведения функций.
4. Вывод формулы первого замечательного предела.
5.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
1 Определения.
1. Возрастающая на интервале функция f(x).
2. Убывающая на интервале функция f(x).
3. Точка максимума функции f(x).
4. Точка минимума функции f(x).
19
5. Критические точки I рода функции f(x).
6. Выпуклая на интервале функция f(x).
7. Вогнутая на интервале функция f(x).
8. Точка перегиба функции f(x).
9. Критические точки II рода функции f(x).
10. Точка максимума функции f(x, y).
11. Точка минимума функции f(x, y).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2.Вопросы без доказательства.
Первое достаточное условие экстремума функции f(x).
Достаточное условие существования точки перегиба функции f(x).
Признак существования вертикальной асимптоты.
Признак существования горизонтальной асимптоты.
Признак существования наклонной асимптоты.
Необходимое условие экстремума функции f(x).
Достаточное условие экстремума функции f(x).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
3. Вопросы с доказательством.
Достаточное условие возрастания функции f(x) на интервале.
Достаточное условие убывания функции f(x) на интервале.
Необходимое условие экстремума функции f(x). Следствие.
Второе достаточное условие экстремума функции f(x).
Достаточное условие выпуклости функции f(x) на интервале.
Достаточное условие вогнутости функции f(x) на интервале.
Раздел 3. Интегральное исчисление для функций одной переменной
1. Определения
1.Первообразная функция.
2.Неопределенный интеграл.
3.Рациональная дробь.
4.Правильные рациональные дроби.
5.Неправильные рациональные дроби.
6.Определенный интеграл.
7.Интеграл с переменным верхним пределом.
2. Вопросы без доказательства.
1. Теоремы о первообразной функции.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла и основные
функции, которые интегрируются по частям.
4.Основные свойства определенного интеграла.
5.Теоремы об оценке определенного интеграла. Геометрический смысл теоремы 1.
6.Теорема о среднем для определенного интеграла.
7.Геометрический смысл определенного интеграла.
8.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат.
9.Вычисление площадей фигур, ограниченных параметрически заданной кривой.
10. Вычисление длины дуги (плоской и пространственной), заданной
параметрически.
11. Вычисление длины дуги, заданной в полярной системе координат.
3. Вопросы с доказательством.
20
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.
Вычисление объема тела вращения вокруг оси Ox.
Вычисление длины дуги в декартовой системе координат.
Раздел 4. Ряды.
27.
1.Определение числового ряда.
2.Определение сходящегося ряда. Сумма ряда.
3.Определение расходящегося ряда.
4.Необходимый признак сходимости ряда. Следствие из него.
5.Положительный ряд - общий вид.
6.Ряды, используемые для сравнения.
7.I признак сравнения.
8.II признак сравнения.
9.Предельный признак сравнения.
10. Признак Даламбера.
11. Радикальный признак Коши.
12. Интегральный признак Коши.
13. Знакочередующийся ряд - общий вид.
14. Признак Лейбница. Следствие из него.
15. Остаток знакочередующегося ряда. Оценка остатка.
16. Определение абсолютно сходящегося ряда.
17. Определение условного сходящегося ряда.
18. Теорема об абсолютно сходящемся ряде.
19. Функциональный ряд - общий вид. Область сходимости ряда.
20. Степенной ряд по степеням x - общий вид.
21. Теорема Абеля. Следствие из теоремы.
22. Степенной ряд по степеням (x-x0) - общий вид.
23. Теорема о коэффициентах степенного ряда.
24. Основные разложения функций в степенные ряды.
25. Тригонометрический ряд Фурье.
26. Разложение в ряд Фурье 2, 2l периодических функций.
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
28. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
29. Основные понятия теории точечных множеств.
Раздел 5,6. Дифференциальное исчисление для функций нескольких переменных.
Интегральное исчисление для функций нескольких переменных.
1. Действительная функция n действительных переменных как функция точки
пространства Rn.
2. График функции двух переменных.
3. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
4. Дифференцируемость, частные производные и полный дифференциал функции
нескольких переменных.
5. Касательная плоскость.
6. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
7. Дифференцирование сложной функции.
8. Вычисление частных производных неявно заданной функции.
9. Частные производные высших порядков.
21
10. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух
переменных.
11. Экстремумы функций нескольких переменных.
12. Понятие двойного интеграла.
13. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием. Замена
переменных в двойном интеграле.
14. Двойной интеграл в полярных координатах.
15. Кубируемые тела и их объемы.
16. Понятие тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной
интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
17. Вычисление объемов тел. Вычисление площадей гладких поверхностей.
18. Криволинейный интеграл и его основные свойства. Вычисление криволинейных
интегралов.
19. Криволинейные интегралы, зависящие только от начала и конца пути
интегрирования.
Раздел 7,8 Теория функций
Вопросы к экзамену
1. Комплексные числа и действия над ними. Комплексное сопряжение.
Алгебраическая форма записи комплексного числа
2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная
форма.
3. Свойства операций с комплексными числами. Деление. Геометрическая
интерпретация комплексного числа Извлечение корней из комплексных чисел (примеры).
4. Определение функции комплексного переменного. Геометрическая
интерпретация функции комплексного переменного.
5. Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства.
6. Основные трансцендентные функции. Формула Эйлера
7. Решение трансцендентных уравнений.
8. Определение предела функции комплексного переменного в точке и его
геометрическая интерпретация.
9. Определение непрерывности в точке функции комплексного переменного.
Основные свойства непрерывной функции
10. Определение дифференцируемой в точке функции комплексного переменного.
Определение производной
11. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции
комплексного переменного.
12. Понятие аналитической функции.
13. Линейная функция. Дробно-линейная функция. Степенная функция.
14. Экспонента. Логарифмическая функция.
15. Тригонометрические функции комплексного переменного.
16. Определение интеграла функции комплексного переменного. Разные способы
вычисления интеграла функции комплексного переменного.
17. Степенные ряды функций комплексного переменного. Степенной ряд и его
круг сходимости
18. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
19. Понятие ряда Лорана и его кольцо сходимости. Разложение в ряд Лорана
функции, регулярной в кольце. Единственность разложения в ряд Лорана
20. Теоремы Вейерштрасса. Регулярность суммы степенного ряда.
21. Теорема единственности регулярной функции.
22. Понятие первообразной. Достаточное условие существования первообразной у
непрерывной функции.
23. Изолированные особые точки аналитической функции.
22
24. Вычет и его вычисление. Основная теорема о вычетах. Вычисление
несобственных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана
25. Понятие целой функции. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана.
Теорема Лиувиля. Теорема о разложении рациональной дроби в сумму простейших
26. Использование вычетов для вычисления интегралов функций действительного
и комплексного переменных
7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
Таблица 8
Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и
Вид
Допуск к
академических оценок)
Зачёт
аттестации аттестации
Удовл.
Хорошо
Отлично
40 баллов
61 балл
61-72 баллов
73-86 баллов
87-100 баллов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Контрольная работа №1
Тема: «Введение в анализ»
1. Решить неравенство: 1  3x  2 x  3  0
x
x
 arcsin
2. Найти область определения функции: y 
2
4
x  3x  2
x 
3. Исследовать функцию на периодичность: y  sin  1
3 
4. Построить график функции методом геометрических преобразований:
x

y  3 sin  2  1
2

Контрольная работа №2
Тема: «Предел и непрерывность»
4 6 8
1. Найти формулу общего члена последовательности: 0,1, , , ,...
3 4 5
2. Доказать равенство, пользуясь определением предела функции в точке:
x

lim 1    1
x6 
3
3. Вычислить предел функции:
2x
 2x 2  x 
1 x  1 x2
tg 2 3x  sin 5 x
а) lim
, б) lim
, в) lim 2
 .
x0
x   2 x  1 
x  0 1  cos 4 x tg 2 x
1 1 x
4. Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и
1

,x  0

x

постройте график: f ( x)   x,0  x  2
 2,2  x  5

sin( x  5), x  5
Контрольная работа № 3
Тема: "Дифференциальное исчисление функций одной переменной"
1. Пользуясь определением производной вычислить производную функции
y
3x  5 .
23
2. Найти производную функции:
1
2x 3
tg
x
а) y  2 ;
б) y  arcsin
.
1 x2
3. Найти производную функции, заданной параметрически:
 x  2t 3  9t 2  12t  1

y  t2  t 1

4. Найти производную функции, пользуясь методом
дифференцирования: y  ( x ) ln x .
логарифмического
5. Составить уравнение касательной к параболе y  x 2  2 x  5 , параллельной хорде,
соединяющей точки x1  1 и x 2  2 .
Контрольная работа № 4
Тема: "Неопределенный и определенный интеграл"
1. Вычислить интегралы:
 3x  2
dx
x3  1
3 x
dx ; б)  x  e dx ; в)  3
а) 
г) 
.
2 dx ;
2
3  sin x  cos x
x x
4x
5
2. Вычислить интеграл:

dx
.
5  4x  x 2
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми: y 2  4 x , x 2  4 y .
4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейно
трапеции, ограниченной сверху y  x 2  1 , с боков x  1 и x  1 .
2
5. Найти длину кривой r  2  sin  .
Контрольная работа № 5
Тема: "Ряды"
1 4 9 16
 ... .
1. Исследовать поведение ряда  
3 9 27 81
  1 n
2. Дана частичная сумма ряда Sn 
. Восстановить сам ряд и узнать его
n
поведение.

n n!
3. Выяснить, абсолютно или условно сходится ряд:    1 n .
n
n 1
4. Доказать, что если n  a n ограничены  an  0 , то ряд

a
n 1
2
n
сходится.
Контрольная работа №6
Тема: «Степенные ряды»
1. Какова область сходимости степенного ряда 1  x  2!x 2  3!x 3 ... ?
2. Разложить в ряд Тейлора функцию y  ln x по степеням  x  4 .
3. Разложит в ряд Фурье функцию y  x 2 в интервале (-  ;  ).
4. Разложить в ряд Фурье в интервале  2;2 функцию y  e x .
Контрольная работа № 7
Тема: "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных"
1
1. Найти и изобразить область определения функции z 
.
y x
24
2.
Показать,
что
функция
y
u  arctg x
удовлетворяет
уравнению
Лапласа
 2u  2u

 0.
x 2 y 2
3. Вычислить частные производные
z
и
x
z
неявно заданной функции, если
y
x 2  2 y 2  3z 2  yz  y  0 .
4. Исследовать на экстремум функцию u  x y  x 2  y  6x  3 .
5. Найти полный дифференциал функции v  sin 2 t  cos2 x .
Контрольная работа № 8
Тема: "Интегральное исчисление функций нескольких переменных"
1. Изменить порядок интегрирования в интеграле
0
1 x 2
1
x 1
 dx  f  x, ydy .
2. С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной кривыми
y  2 x , y  2 2 x , y  4 .
3. Найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверхностью 2 y  x 2 и
плоскостями y  z  1 , 2 y  z  2 .
4. Вычислить интеграл
 r
2
ddr , где D ограничена кривой r  a sin 2 .
D
Содержание самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
1) Вопросы для терминологического опроса
(см. вопросы к экзамену)
2) аудиторные самостоятельные работы
Самостоятельная работа № 1
Тема: «Множество, мера множеств. Метрические пространства»
1.
Доказать,
что
если
множества
А
и
В
измеримы,
то
m( A  B)  m( A  B)  m( A)  m( B) .
2. Найти неподвижную точку отображения С, y  x 2  2 x  1 .
3. Найти предельные, граничные, внутренние точки и точки прикосновения
множества X  1;2  2;3 .
4. Является ли пространство R ,  ( x, y)  sin x  sin y метрическим?
8 семестр
Самостоятельная работа №1
1. Доказать, что для любого комплексного числа z  0 существует единственное
число  , удовлетворяющее условию z  1 . Это комплексное число обозначается одним
1
из двух символов z 1 или .
z
1
x  iy
2. Пусть Re z  x , Im z  y и z  0 . Доказать, что  2
z x  y2
25
3. Символом
z1
z2
обозначим комплексное число
z1 
1
. Пусть
z2
Re z k  xk ,
z1 x1 x2  y1 y 2
x y x y

 i 2 21 12 2
2
2
z2
x2  y 2
x2  y 2
4. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел:
Im z k  yk , k  1,2 . Доказать, что
3
1
 i5  2 
(1  i )5
3
1 i 




2) 
3)
4)
5)
.

i

3
 i10  1 
2

(
1

i
)
2
1 i 




5. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел:
1) i
2)  3
3) 1  i 123
1
3
1 i


4)   i
5)
6)  cos  i sin
7
7
2
2
1 i
1
1)
1 i
7) (4  3i) 3
3
2
8) (1  i ) 8 (1  i 3 ) 6 9) 1  cos

 i sin

7
7
6. Доказать, что для любого многочлена P (z ) с действительными коэффициентами
и для любого комплексного числа z имеет место равенство P( z )  P( z ) .
7. Дать геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих следующим неравенствам:
1) Re z  0
2) Im z  1
3) | Re z | 1
4)
| Im z | 1, 0  Re z  1
5) | z | 1
6) | z  i | 1
7) 0 | z  i | 2
8) 1 | z  1 | 3


9) 0  arg z 
10) |   arg z | .
4
4
8. Записать с помощью неравенств следующие множества точек комплексной
плоскости:
1) Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси;
2) Первый квадрант;
3) Полуплоскость, расположенная выше действительной оси и состоящая из точек,
отстоящих от действительной оси на расстояние не меньшее 2;
4) Полоса, состоящая из точек отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее
1;
5) Полукруг радиуса 1 (без окружности) с центром в точке z=0, расположенный
слева от мнимой оси.
1. Пусть A и C действительные, а B - комплексная постоянные и пусть
2
AC | B |2 . Доказать, что уравнение A z  Bz  B z  C  0 ( A  0) является уравнением
окружности, а также найти ее радиус.
2. Доказать, что уравнение окружности, проходящей через три данные точки
z1 , z 2 , z3 не лежащие на одной прямой, можно записать в виде:
| z |2
z
z
2
| z1 |
| z 2 |2
z1
z2
z1 1
0
z2 1
| z3 |2
z3
z3 1
1
Самостоятельная работа №2
1. Выяснить какие линии на плоскости записаны следующими уравнениями:
1
z 1
( a  0)
0
1) Re z 
2) Re
a
z 1
26
z 1
za
0
 0, (a  0) .
4) Re
z 1
za
2. Найти все решения следующих систем уравнений:
 z  12 5
 z 2  2i  4
 z  8i  3


1) 
2)  z  1  i
1
 z  4 1

 z 1 i
 z  8
3. Доказать, что символ e i обладает следующими свойствами показательной
функции:
1) e i 0  1
2) e i1 e i1  e i (1  2 )
e i1
i n
 e in
3) i 2  e i (1  2 )
4) e
e
4. Доказать формулы Эйлера
e i  e i
e i  e i
1) cos  
2) sin  
2i
2
3) Im
 
n
2
 
5. Доказать формулу Муавра: cos n   (1) k Cn2 k cos n  2 k  sin 2 k 
k 0
6. Пусть   0 (mod 2 ) . Доказать формулы:
n 1
sin

n
2
1) sin   sin 2    sin n 
sin

2
sin
2
1

sin  n  
1
2
2)  cos   cos 2    cos n  

2
2 sin
2
Самостоятельная работа №3
1. Найти все значения корней и построить их:
3
1) 1
2) 3 i
3) 4 1
4) 8 1
5) 1  i
6) 3  4i
7) 3  2  2i 8) 5  4  3i
2. Найти все решения следующих уравнений:
1) z 2  i
2) z 2  3  4i
3) z 3  1
4) z 6  64
5) z 7  1  0
6) z 8  1  i
7) z  z 3
8) | z |  z  1  2i
3. Найти вершины правильного n-угольника, если его центр находится в точке
z 0  0 , а одна из вершин z1 известна.
4. Доказать тождество | z1  z 2 |2  z1  z 2 |2  2 (| z1 |2  | z 2 |2 )
1
1
Im z  ( z  z )
5. Доказать, что Re z  ( z  z ),
2i
2
Самостоятельная работа №4
1. Выяснить, какие кривые определяются следующими параметрическими
уравнениями (указать множество точек плоскости и порядок их прохождения)
1) z  a  (b  a)t , 0  t  1
2) z  Re it , 0  t   , ( R  0)
i
3) z  t  t 2 , o  t  
4) z  t  , 1  t  
t
27
1
5) z  ae it  e it , 0  t  2
6) z  1  e it , 0  t  2
a
7) z  i cos t , 0  t  2
8) z  1  i cos 2 t , 0  t  2
2. Найти образ множества E при отображении   f (z ) :
1
1)   2 z; E :| z | 1
2)   , E :| z  1 | 1
z

3)   z 2 , E : {| z | R, 0  arg z  }
4)   z 4 , E : {| z | 1, Im z  0}
2
3. Описать геометрически, что представляет собой образ кривой C , заданной
параметрическим уравнением z  z (t ) при отображении   f (z ) :
1)   z 2 ,
2).   z 2 ,
C : {z  e it , 0  t  2 }
C : {z  e it , 0  t   }
1
1
C : {z  e it , 0  t  2 }
3)    z  ,
4)
2
z
1
1
   z  ,
C : {z  t , 0  t  }
2
z
4. Выяснить, будут ли взаимно однозначными следующие отображения:
1
, E :| z | 1
1)   z 2 , E : Re z  0
2)   z 2 , E :| z | 1 3)  
z 1
1
1

1
1
4)    z  , E :| z | 2
5)    z  , E : {| z | 1, 0  arg z  }
2
z
4
z
2
5. Записать в форме   u  iv , т.е. найти действительную и мнимую часть
следующих функций:
1
1)   z
2)   az  b
3)   z 2
4)  
z
1
1
1
5)    z  
6)   z  z 2
7)   e z
8)   e z
2
z
6. Для отображения   z 2 требуется:
1) найти образы линий x  C , y  C , x  y , | z | R , arg z   и выяснить, какие из
них преобразуются взаимно однозначно;
2) найти прообразы (на z-плоскости) линий u  C , v  C ,   u  iv .
1
1
7. Для отображений   z  и   z  найти образы окружностей | z | R .
z
z
Самостоятельная работа №5
1
1. Для отображения   найти:
z
1) образы линий x  C , y  C , x  y , | z | R , arg z   , | z  1 | 1
2) прообразы u  C , v  C ,   u  iv .
2. Найти все точки, в которых дифференцируемы функции:
1) Re z
2) x 2 y 2
3) | z |2 4) x 2  iy 2 5) 2 xy  i( x 2  y 2 )
n
3. Доказать, что при любом целом значении n функция z дифференцируема во
всей плоскости или во всей плоскости с выколотой точкой z  0 и что ( z n )'  nz n 1
4. Доказать, что многочлен от z является функцией, дифференцируемой во всей
плоскости, а рациональная функция – во всей плоскости, за исключением точек, где
знаменатель обращается в нуль.
28
5. Пусть функция f (z ) дифференцируема в точке z0  x0  iy 0 . Положим
u ( x, y )  Re f ( x  iy ) , v( x, y )  Im f ( x  iy ) . Доказать справедливость формул:
1) f ' ( z 0 )  u x' ( x0 , y0 )  iv x' ( x0 , y0 )
2) f ' ( z0 )  v 'y ( x0 , y0 )  iu 'y ( x0 , y0 )
3) f ' ( z0 )  ux' ( x0 , y0 )  iu 'y ( x0 , y0 )
4) f ' ( z0 )  v 'y ( x0 , y0 )  iv x' ( x0 , y0 )
5) | f ' ( z0 ) |2  u x'2  u 'y2  u x'2  vx'2  ...
Самостоятельная работа №6
1. Доказать, что в полярных координатах условия Коши-Римана имеют вид:
u 1 v
v
1 u

,

r r 
r
r 
z
1. Определим функцию e при любом комплексном значении z равенством:

zn
e   . Доказать, что при любом комплексном значении постоянной а
n 0 n!
z
справедливо равенство (e az )'  ae az .
3. Найти, где дифференцируемы следующие функции, и написать формулы для их
производных:
1) e chz
2) sin( 2e z )
3) sin z ch z  i cos z sh z
4) ze  z
z cos z
z
5) z
6)
1  z2
e
Самостоятельная работа №7
1. Вычислить интеграл  | z | dz по следующим путям:
1) по радиус-вектору точки z  2  i ;
2) по полуокружности | z | 1, 0  arg z   (начало пути в точке z=1);


3) по полуокружности | z | 1,   arg z  (начало пути в точке z  i );
2
2
4) по полуокружности | z | R .
2. Вычислить интеграл  | z | z dz , где C – замкнутый контур, состоящий их верхней
полуокружности | z | 1 и отрезка  1  x  1, y  0 .
z
3. Вычислить и интеграл  dz где С – граница полукольца в верхней
z
C
полуплоскости.
4. Вычислить интеграл  ( z  a ) n dz (n-целое число):
1) По окружности | z  a | R, 0  arg z   (начало пути в точке z  a  R );
2) По окружности | z  a | R ;
3) по периметру квадрата с центром в точке а и сторонами, параллельными осям
координат.
5. Вычислить интеграл  z Im z 2 dz
| z | 2
6. Вычислить интеграл
 ze
z2
dz
| z | 1
7. Вычислить интеграл  e z dz, C : y  x 3 , 1  x  2 .
C
8. Вычислить интеграл  sin zdz , C : z  t 2  it ,
C
1
3
t  .
2
2
29
Самостоятельная работа №8
1. Показать что следующие ряды сходятся и найти их суммы:



2
1
1
1) 
2)  2
3) 
n  2 4n  9
n 1 n( n  1)( n  2)
n 1 (2n  1)( 2n  1)

cos 2n
2n  1
4) 
5)

2
3n
n 1
n 1 n(n  1)
2. Определить радиусы сходимости рядов:



zn
zn
1) 
2) 
3)  n n z n
4)
n 1
n 1 n
n 0 n!
(1  i)n
6) 
2n
n 1


6)
z
n 0

n!
7)
2

n
z
n!
8)
n 0
z
n 0


n n
z

n
n 1 2

5)
n!
n
n 1
n
zn


2n
9)
 [3  (1)
n n
] z
n0
n
10)
 cos in  z
n!
n 0
Самостоятельная работа №9
1
1. Разложить в ряд Лорана функцию f ( z )  z 2 z z , z  0, 
1
1 z
2. Разложить в ряд Лорана функцию f ( z )  e
, z  1, 
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. –
СПб.: Профессия, 2003.
2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов / А.Ф.
Бермант, И.Г. Араманович. - 11-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2005.
3. Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Кн.1:
Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной: Учеб.
пособие. – М.: Высшая школа, 2002.
4. Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Кн.2:
Ряды, несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы: Учеб. пособие. –
М.: Высшая школа, 2002.
5. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Математический анализ. – Минск: Вышейшая
школа, 1990.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу:
Учеб. пособие. – М.: АСТ, 2002.
7. Ильин В.А. Математический анализ: Учебник : в 2 ч. / В.А. Ильин, В.А.
Садовничий и др. - 3-е изд.,пер. и доп. - М.: Проспект, 2006.
8. Никольский С.Н. Курс математического анализа: Учеб. для вузов. - 6-е изд.
стер. - М.: Физматлит, 2002.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2т.: Учебник
для втузов. – М.: Интеграл-Пресс, 2002.
10. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. – СПб.: Лань, 2001.
11. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 2. – СПб.: Лань, 2001
б) дополнительная литература:
1. Акилов Г.П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа. -. Новосибирск,
Наука, 1980.
30
2. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение
в теорию интеграла. - М.: Наука, 1973.
3. Доброхотов П.А. и др. Ряды. - М., Просвещение, 1980.
4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1966.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. - М., Наука, 1982.
6. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ. – М.: Наука,
1984.
7. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических
функций. - М.: Просвещение, 1977.
8. Сидоров Ю.В. и др. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976.
9. Тихонов А.Н. и др. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1998.
в) периодические издания:
Квант, Математика в школе.
г) мультимедийные средства:
проектор, экран
д) Интернет-ресурсы:
1. http://www.bymath.net/stadyguide/fun/sec/fun9.htm – элементарная математика.
2. http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=14 – функции в школьной программе.
3. http://graphfunk.narod.ru/parabola.htm – графики элементарных функций.
4. http://www.math.ru – математический сайт.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки
материалов для учебного процесса).
2. Аудитории с мультимедийным обеспечением.
3. Программное обеспечение: 1) MS Excel 2) Power Point.
31
Руководство по организации обучения дисциплине
Программа курса рассчитана на пять семестров. В неделю в первом семестре 1 час
лекций и 2 часа практических занятий, зачет; во втором семестре проводится: 2 часа
лекций и 2 часа практических занятий. В конце семестра - экзамен. В третьем семестре
запланировано 32 часа лекций и 32 часа практических занятий, одна контрольная работа и
5 самостоятельных работ. В конце семестра проводится дифференцированный зачет. В
четвертом семестре 1 час лекций и 2 часа практических занятий. В конце семестра
проводится экзамен. В этом же семестре выполняется курсовая работа. В пятом семестре
запланировано 16 часов лекций и 32 часа практических занятий, одна контрольная работа
и 4 самостоятельных работ. В конце семестра проводится экзамен.
Объём самостоятельной работы студентов – 164 часа.
Примерный перечень заданий для самостоятельных и контрольных работ
приведён выше. Предусмотрено проведение самостоятельных работ.
Отчётность по дисциплине осуществляется в форме экзамена. Приём экзамена
складывается из трёх компонент: отсутствие долгов по самостоятельным, контрольной
работе, знание основных понятий и утверждений изученной теории, умение
иллюстрировать их примерами.
Еженедельно проводятся индивидуальные занятия, на которых студенты
консультируются у преподавателя по самостоятельно изучаемым темам, сдают
задолженности, коллоквиумы и т. п.
На каждом практическом занятии проверяется и оценивается выполнение
домашнего задания, выясняются проблемы.
При выставлении рейтингового балла учитывается:
а) посещение занятий;
б) выполнение домашних заданий;
в) активность работы на практических занятиях и лекциях;
г) результат написания контрольной работы;
д) успехи в самостоятельном изучении тем курса.
Экзамены завершают изучение курса, проводятся вне расписания в каждой группе
отдельно. Заранее студентам известны теоретические вопросы и примерные практические
задания, выносимые на зачёт или экзамен. Чтобы получить зачёт, достаточно вполне
удовлетворительно ответить по теории и решить с незначительными погрешностями
уравнение (задачу).
По данному курсу можно предложить достаточное количество тем для курсовых
работ, которые указаны выше.
Для работы над курсовым проектом нужно: подобрать литературу по теме, изучить
её, составить план, подобрать и прорешать упражнения по теме, консультироваться у
научного руководителя, познакомиться с оформлением работы и составлением
библиографии и т. д. Защита курсовой работы проходит во внеурочное время в течение 710 минут перед всеми студентами научного руководителя. На защиту выносятся основные
моменты, суть работы, использование её.
Преподавателю, читающему дисциплину «Математический анализ», важно знать
структуру дисциплины, умело выделяя в разделах основные, базовые понятия. Организуя
учебные занятия, учитывать их порядок, последовательность и технологические приемы,
отражая научно-методические основы дисциплины.
Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, самостоятельную
работу.
Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами
изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу
теоретического обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине,
раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и
32
техники, концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных)
вопросах.
Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение
основных математических методов и показывается их применение для обработки и
исследования информации. На лекциях преподаватель дает теоретические основы,
примеры, показывает основное направления для подготовки к зачету. Посещение лекций,
а также ведение конспектов лекций (фиксирование основных положений, свободное
изложение и т.п.) и их проверка являются обязательными. Необходимо показывать
приемы успешной работы с текстом лекции: использование кратких общепринятых
символов, совращений, правильная обработка текста, исправление неточностей и внесение
дополнительных сведений.
Темы практических занятий соответствуют теме прочтенной лекции, поэтому в
учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий
рекомендовано проведение небольшой самостоятельной работы, математического
диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых
на данном занятии. Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия,
осуществляя систематический контроль за успеваемостью (рейтингом) студентов, но и
воспитательную, требуя от обучающихся дисциплинированности, активности,
трудолюбия.
Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы
которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий.
- самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к
практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной
литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому
занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не только
базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной работы
студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы,
сборники задач;
- домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради,
проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания
оцениваются баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов.
- выполнение других заданий, которые представлены в программе и технологической
карте.
Дисциплина завершается экзаменом в 3,4,5 семестрах.
Аннотация по дисциплине «Математический анализ»
1. Цель дисциплины - формирование систематических знаний в области
математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук,
приложениях в естественных науках.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина
«Математический
анализ»
относится
к
базовой
части
профессионального цикла. Для освоения дисциплины используются знания, умения и
виды деятельности, сформированные в процессе изучения предметов «Математика»,
«Информатика» на предыдущем уровне образования. Дисциплина «Математический
анализ», наряду с дисциплинами «Фундаментальной алгеброй» и «Дифференциальная
геометрия и топология», является фундаментом высшего математического образования.
Знания и умения, формируемые в процессе изучения дисциплины «Математический
анализ», будут использоваться в дальнейшем при освоении дисциплин вариативной части
профессионального цикла: «Дифференциальные уравнения», «Физика» и др.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
33
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению
подготовки (специальности):
а) общепрофессиональных (ОПК):
- готовность использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1);
б) профессиональных (ПК):
- способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики (ПК-2);
- способностью к проведению методических и экспертных работ в области
математики (ПК - 11)
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные понятия математического анализа;
- основные свойства и теоремы математического анализа;
- основные методы математического анализа;
уметь:
- вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы;
- используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями;
- применять методы математического анализа к доказательству теорем и решению задач;
владеть:
- современными знаниями о математическом анализе и его приложениях;
- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 15 зачетных единиц (540
часов).
5. Разработчики:
к.п.н., доцент
Т.И. Кушнир
34
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЛЕКЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Раздел 1 «Множества. Функция. Классификация функций»
Лекция 1. Тема 1 «Множества, примеры множеств. Операции над множествами».
Содержание: Множество, примеры множеств (числовые, множества точек на плоскости, в
пространстве, конечные, бесконечные, пустые).
Операции над множествами (объединение, пересечение, разность двух множеств,
дополнение до универсального). Множество действительных чисел и его свойства.
Числовые промежутки. Абсолютная величина числа. Грани числовых множеств.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [§1-2].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл.1, § 1-5].
Лекция 2. Тема 2 «Функция, основные характеристики функции».
Содержание: Отображение, классификация отображений. Понятие функции. Способы
задания функции (аналитический, табличный, графический, параметрический, неявное
задание). Примеры. Область определения функции и множество значений, примеры.
Основные характеристики функции: четность, нечетность, периодичность, монотонность,
ограниченность.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [§6-7].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 4, § 1].
Лекция 3. Тема 3 «Построение графика функции путем деформации графиков
известных элементарных функций».
Содержание: Преобразования графиков не изменяющие масштаб (преобразования
симметрии, параллельный перенос), преобразования графиков, изменяющие масштаб
(растяжение или сжатие по оси абсцисс, по оси ординат). Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [§ 8].
Раздел 2 «Последовательности. Предел последовательности и предел функции»
Лекция 4. Тема 1 «Числовая последовательность. Предел числовой
последовательности»
Содержание: Понятие числовой последовательности, примеры. Способы задания
числовой последовательности (аналитический, указание нескольких первых членов
последовательности, графический, реккурентный). Монотонные и ограниченные
последовательности. График числовой последовательности. Понятие предела числовой
последовательности и его геометрическая интерпретация. Арифметические операции над
сходящимися последовательностями. Неопределенности. Основные теоремы о пределе
последовательности.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл.2, §1-11].
35
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл.2, § 1-4].
Лекция 5. Тема 2 «Предел функции»
Содержание: Определение предела функции в точке на языке последовательностей и по
Коши. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.
Основные свойства пределов (предел константы, предел алгебраической суммы,
произведения и частного), примеры. Геометрическая интерпретация предела функции в
точке. Теорема о единственности предела функции. Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [Гл.2 § 3, 5-7].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 4, § 2-4].
Лекция 6. Тема 3 «Бесконечно малые и бесконечно большие функции»
Содержание: Понятия бесконечно малой и бесконечно большой функции, примеры. Связь
между бесконечно малой и бесконечно большой величинами. Сравнение бесконечно
малых функций. Таблица эквивалентных функций. Вычисление пределов, с применением
таблицы эквивалентных функций. Приближенные вычисления, примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл.2, § 4,11].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 4, § 5, 6].
Раздел 3 «Непрерывные и разрывные функции»
Лекция 7. Тема 1 «Непрерывные функции»
Содержание: Различные определения непрерывной в точке функции (с помощью предела,
на языке окрестностей, последовательностей, приращений). Односторонняя
непрерывность. Примеры на исследование функции на непрерывность с помощью разных
определений. Теорема о непрерывности алгебраической суммы, произведения и частного
двух функций. Точки разрыва, их классификация. Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл.2, § 9].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 4, § 7-9].
Лекция 8. Тема 2 «Свойства функций, непрерывных на отрезке»
Содержание: Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Первая и вторая
теоремы Больцано-Коши, их геометрическая интерпретация. Первая и вторая теоремы
Вейерштрасса, их геометрическая интерпретация. Непрерывность сложной и обратной
функций.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл.2, § 10].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 4, § 8-12].
36
Раздел 4 «Дифференцируемые функции»
Лекция 9. Тема 1 «Производная»
Содержание: Задачи, приводящие к понятию производной (о вычислении скорости
материальной точки, о построении касательной к кривой). Понятие производной функции,
ее обозначение. Пример вычисления производной по определению. Односторонняя
производная. Правила дифференцирования (формула производной произведения с
выводом). Таблица производных элементарных функций.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 3, §1-7, 15].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 5, § 1-2, 4].
Лекция 10. Тема 2 «Производная сложной и обратной функции»
Содержание: Теорема о производной обратной функции. Правило дифференцирования
сложной функции. Примеры. Параметрическое задание функции и ее
дифференцирование. Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 3, § 12-14, 16].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 5, § 6-9, 11].
Лекция 11. Тема 3 «Дифференциал функции»
Содержание: Дифференцируемость функции. Связь между дифференцируемостью и
существованием производной. Понятие дифференциала, примеры. Приближенные
вычисления с помощью дифференциала. Геометрический и физический смыслы
дифференциала функции. Правила вычисления дифференциала. Формула для
приближенных вычислений, пример на ее применение. Понятия производной второго и nго порядков, примеры. Понятия дифференциала второго и n-го порядков, примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 3, § 20-24].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 5, § 3, 10].
Раздел 5 «Применение дифференциального исчисления к исследованию функции
одной переменной»
Лекция 12. Тема 1 «Основные теоремы дифференциального исчисления»
Содержание: Теорема Ферма (с доказательством), геометрическая иллюстрация. Теорема
Роля и ее геометрический смысл. Теорема Лагранжа (с доказательством), её
геометрический смысл. Теорема Коши. Правило Лопиталя и его применение при
раскрытии неопределенностей, примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 4, § 1-5].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 6, § 1-2].
Лекция 13. Тема 2 «Теорема Тейлора»
37
Содержание: Теорема Тейлора, формула Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых
элементарных функций по формуле Маклорена (разложение функции у=sin x с выводом).
Применение разложений элементарных функций к приближенным вычислениям.
Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 4, § 6].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 6, § 3].
Лекция 14. Тема 3 «Применение дифференциального исчисления к исследованию
функции»
Содержание: Признаки монотонности (возрастания, убывания) и постоянства функции.
Экстремумы функции. Теорема о необходимом и достаточном условии существования
экстремума (с доказательством). Понятия стационарных и критических точек. Примеры на
нахождение экстремумов и промежутков монотонности функции. Понятия выпуклой,
вогнутой кривой, точек перегиба графика функции, примеры. Примеры исследования
функции на выпуклость, вогнутость, нахождение точек перегиба. Понятие асимптоты
кривой. Вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты и их нахождение.
Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 5, § 1-6, 9,10].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 5, § 4].
Лекция 15. Тема 4 «Полное исследование функции и построение графика функции»
Содержание: Схема полного исследования функции. Примеры на построение графиков
функции с помощью полного исследования по схеме.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 5, § 11-12].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 6, § 4].
Раздел 7 «Неопределённый интеграл»
Лекция 16. Тема 1 «Первообразная, неопределённый интеграл»
Содержание: Определение первообразной
для функции, примеры. Понятие
неопределенного интеграла, примеры. Свойства неопределенного интеграла. Таблица
основных интегралов, некоторые формулы из таблицы с выводом. Непосредственное
интегрирование (вычисление некоторых интегралов используя таблицу интегралов и
основные свойства) решение примеров. Примеры нахождения первообразных для
функции с помощью таблицы. Интегрирование способом замены переменной, суть метода
замены переменной в неопределенном, решение примеров.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 10, § 1-4].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 7, § 1-4].
Лекция 17. Тема 2 «Основные методы интегрирования»
38
Содержание: Интегрирование по частям. Выделить три группы функций, к которым
применяется метод интегрирования по частям, решение примеров. Интегрирование
элементарных дробей. Интегрирование функций, содержащих квадратичный трехчлен.
Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей. Четыре типа
элементарных дробей и их интегрирование. Интегрирование иррациональных и
тригонометрических функций. Интегрирование различных тригонометрических функций
( sin n x, cos n x, tg n x, ctg n x , универсальная тригонометрическая подстановка), примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 10, § 6-10].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 7, §4-6].
Раздел 8 «Определённый интеграл. Несобственные интегралы»
Лекция 18. Тема «Определённый и несобственные интегралы, их вычисление»
Содержание: Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл. Основные
свойства интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой
переменной в определённом интеграле, примеры. Интегралы с бесконечными пределами
(несобственные интегралы 2-рода), интегралы от разрывной функции (несобственные
интегралы 1- рода), примеры на их вычисление. Сходимость и расходимость
несобственных интегралов.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 11, § 1-8].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 8, § 1-9].
Лекция 19. Тема «Геометрические и физические приложения определенного
интеграла»
Содержание: Площадь плоской фигуры, вывод формулы. Решение примеров на
вычисление площади фигуры ограниченной функцией: заданной в декартовых координат,
параметрически и в полярных координатах. Вывод формулы для вычисления длины
кривой, объема тела вращения. Примеры на вычисление работы переменной силы, центра
тяжести, координаты центра масс.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 12, § 1-9].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 8, §10].
Раздел 9 «Числовые ряды»
Лекция 20. Тема 1 «Ряд. Сумма ряда, признаки сходимости положительных рядов»
Содержание: Понятие числового ряда, частичные суммы числового ряда. Определение
сходящегося числового ряда и его суммы, пример. Ряд геометрической прогрессии и его
поведение. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового
ряда (с доказательством). Эталонные ряды. Достаточные признаки сходимости
положительных рядов: сравнения, Даламбера, интегральные. Сравнение рядов с
положительными членами, примеры. Признак Даламбера для исследования на сходимость
положительных числовых рядов, примеры. Радикальный и интегральный признаки сходимости
положительных рядов, примеры.
39
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. II: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 16, § 1-6].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 14, §1-2].
Лекция 21. Тема 2 «Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость»
Содержание: Определение знакочередующегося ряда, примеры. Теорема Лейбница (с
доказательством), примеры на её применение. Определение знакопеременного ряда.
Понятие абсолютно и условно сходящихся рядов, примеры. Свойства абсолютно и
условно сходящихся рядов.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. II: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 16, § 7-9].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 14, § 3-4].
Раздел 10 «Степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена»
Лекция 22. Тема «Степенные ряды. Разложение элементарных функций в степенной
ряд»
Содержание: Функциональные ряды, область сходимости, примеры. Определение
степенного ряда. Теорема Абеля (с доказательством). Радиус, интервал сходимости
степенного ряда, примеры на исследования рядов на сходимость. Свойства степенных
рядов. Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Разложение
функции в степенной ряд по формуле Тейлора, единственность этого разложения.
Понятие ряда Маклорена. Примеры разложения элементарных функций в степенной ряд.
Степенные ряды как мощное вычислительное средство (приближенные вычисления с
помощью разложения функций в степенной ряд, вычисление пределов, интегралов).
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. II: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 16, § 10-20].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 14, § 5].
Раздел 11 «Функции нескольких переменных»
Лекция 23. Тема 1 «Основные понятия функции нескольких переменных»
Содержание: Определение функции нескольких переменных (ФНП), понятие линии
уровня, график. Область определения ФНП и изображение ОДЗ на плоскости, примеры.
Определение предела, непрерывности ФНП, провести аналогию с функцией одной
переменной. Свойства ФНП, непрерывных в области. Применение данной теории в
картографии, пример.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 8, § 1-4].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 11, § 1-4].
Лекция 24. Тема 2 «Дифференцируемость функции нескольких переменных»
Содержание: Понятия частного и полного приращения, геометрическая иллюстрация
этих понятий. Определение частной производной ФНП, производная от функции,
заданной неявно. Понятие полного дифференциала, применение полного дифференциала
40
к приближенным вычислениям, рассматривается на примере. Производная сложной
функции, инвариантность полного дифференциала. Частные производные и
дифференциала высших порядков, примеры на вычисление частной производной и
дифференциала второго порядка.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 8, § 5-12].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 12, § 1-4].
Лекция 25. Тема 3 «Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких
переменных»
Содержание: Определение максимума и минимума функции нескольких переменных.
Теорема о необходимом условии экстремума с доказательством. Теорема о достаточном
условии экстремума. Примеры на исследование функции на экстремум, заданной явно и в
неявном виде. Примеры на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в
области.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 8, § 17-18].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 12, § 8].
Раздел 12 «Интегральное исчисление функции нескольких переменных»
Лекция 26. Тема «Кратные и криволинейные интегралы»
Содержание: Определение двойного интеграла, его геометрический смысл. Свойства
двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения к повторному.
Замена переменной в двойном интеграле. Полярная система координат, вычисление
двойного интеграла с помощью перехода к полярной системе координат, решение
примеров. Определение криволинейного интеграла 1-рода, примеры их вычисления.
Определение криволинейного интеграла 2- рода, примеры их вычисления.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 14, §1-7, гл15].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 13, § 1-7].
Использованная литература
1. Балк М. Б. и др. Математический анализ: Теория аналитических функций. – М.:
Просвещение, 1985.
2. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. II.
3. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. – М.: Просвещение, 1981.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002.
5. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
41
Приложение 2
Содержание практических (семинарских) занятий и методические указания для
студентов
Тема «Функции, основные характеристики функции»
Центральным вопросом всего математического анализа является понятие функции.
Поэтому необходимо, чтобы первоначальные сведения о функциях были правильно
восприняты и прочно усвоены.
План:
1. Теоретический опрос для проверки знаний усвоенных на лекции и самостоятельной
работе.
2. Решение примеров на вычисление значения функции, определение ОДЗ функции,
множества значений, определение четности, нечетности функции, периодичности,
ограниченности и монотонности.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. § 6-10.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк.,
1990. Гл. 4, § 1.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. – М.,
Просвещение, 1979. Гл. 2, § 1-3.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл 6, § 1-3.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-2. – Спб.: Лань, 2001. Гл. 2, §
1, п. 45-51.
Методические указания.
В начале занятия проводится теоретический опрос по основным понятиям функции. При
ответе на вопросы преподаватель обращает внимание на необходимость пересмотра
школьного представления о функции, в нужных местах вносятся необходимые поправки,
уточнения и обобщения.
Вопросы для обсуждения, уточнения и обобщения.
1. Как определяется числовая функция?
2. Что называется множеством значений функций?
3. В каком случае таблица задает функцию?
Тема: «Числовая последовательность. Предел числовой последовательности»
План:
1. Теоретический опрос для проверки знаний усвоенных на лекции и самостоятельной
работе по теме занятия.
2. Решение примеров на вычисление предела последовательности и предела функции.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2., § 1-11.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк.,
1990. Гл. 2, § 1-4; гл. 4, § 2-6.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. – М.,
Просвещение, 1979. Гл. 2, § 3; гл. 3, § 1-4.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 3, § 1-13.
Методические указания.
42
Теория пределов вместе с понятием функции составляет основу математического анализа.
С пределами придется встречаться не только при изучении всех разделов курса
математического анализа, но и при изучении других наук, таких, например, как геометрия
и физика. Кроме того, пределы составляют важную часть школьной программы по
математике. Поэтому будущий учитель информатики должен изучать эту главу с особым
вниманием и тщательностью.
Ответьте на следующие вопросы:
1. Что называется числовой последовательностью?
2. Что является графиком числовой последовательности?
3. Способы задания числовой последовательности (аналитический, указание
нескольких первых членов последовательности, графический, рекуррентный);
4. Понятие предела числовой последовательности (записать определение с
помощью кванторов), его геометрическая интерпретация.
5. Понятие предела функции в точке и его геометрическая интегрпретация.
6. Основные теоремы о пределе последовательности и пределе функции.
7. Неопределенности и приемы их раскрытия..
Тема «Дифференцирование функций с помощью таблицы и правил»
План:
1. Повторение теоретической части по теме дифференцирование функций.
2. Обработка практических навыков при решении примеров на вычисление производной
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 3, § 1-4.
2. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2.: Учебное пособие для втузов
/ Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во Физико-математической
литературы, 2004. Гл. 6, § 1
Методические указания.
По первому вопросу необходимо выучить и осмыслить определение производной,
уточнить геометрический и физический смысл производной (обратите внимание на тот
факт, что если касательная к кривой образует острый угол, то производная
положительная, тупой угол – отрицательная), выучить правила дифференцирования и
таблицу производных. Производится устный опрос:
Что такое производная? В чем ее геометрический и физический смысл?
Что такое односторонняя производная?
Может ли функция иметь одностороннюю производную и не являться
дифференцируемой?
Правила дифференцирования (записать на доске).
С помощью определения производной найдите производную следующих функций:
y=lnx, y=x2+2x+2.
Решите примеры: Сборник задач по математике для втузов. В ; частях. Ч. 2.:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во
Физико-математической литературы, 2004. Гл. 6,№№ 6.15, 6.16.
Для отработки практических навыков на вычисление производной желательно
решить следующие примеры: Сборник задач по математике для втузов. В ; частях. Ч. 2.:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во
Физико-математической литературы, 2004. Гл. 6,№№ 6.21, 6.24, 6.28, 6.38, 6.48, 6.50, 6.68,
6.70,стр. 54-55.
Домашнее задание. 1. Решить примеры:
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 767-774,
780-785.
43
2. Подготовка к самостоятельной работе по разделу «Дифференцируемые
функции».
Тема «Вычисление пределов, интегралов, значений функций с помощью степенных
рядов»
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
Вычислить: 2000 с точностью до 0,0001; sin27о с точностью до 0,001.
Вычислить предел, интеграл, пользуясь разложением функции в степенной ряд::
1
x cos x  sin x
arctgxdx
.
0 x с точностью до 0,01; lim
x 0
x 2 e x  1
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие. – СПб., издво Профессия, 2003. Т. 2, с. 266-269.
Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. – М.:
Просвещение, 1981. Ч.2. - с.79-84.
Тема «Разложение в ряд Фурье различных функций»
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
Разложить в ряд Фурье функцию y  x в интервале (  ; ) .
 x
в интервале (0; ) .
2
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие. –
СПб., изд-во Профессия, 2003. Т. 2. – С. 415, 422, 425.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. – М.: Наука, 1976. Кн. 2. – с. 615-647.
Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций.
– М.: Просвещение, 1981. Ч.2. - С. 93-100.
Разложить в ряд по синусам функцию y 
44
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
№
раздела
1
2
3
4
5
6
7
8
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Тема
Кол-во
Формы текущего контроля
часов
успеваемости
Введение в анализ
5
Домашняя работа № 1
Устный опрос
Дифференциальное исчисление для
8
Домашняя работа №2
функций одной переменной
Устный опрос
Интегральное исчисление для
5
Домашняя работа № 1
функций одной переменной
Письменный опрос
Ряды
2
Домашняя работа № 1,2
Устный и письменный опрос
Дифференциальное исчисление для
8
Домашняя работа № 1,2
функций нескольких переменных
Устный и письменный опрос
Тестирование
Интегральное исчисление для
6
Домашняя работа № 1
функций нескольких переменных
Устный опрос
Теория функций действительного
6
Домашняя работа № 1,2
переменного
Устный и письменный опрос
Тестирование
Теория функций комплексного
8
Домашняя работа № 1
переменного
Устный опрос
Раздел 1: «Множества. Функция. Классификация функций»
Тема 1 «Функции, основные характеристики функции».
Тема 2 «Элементарные функции и их графики»
Задание 1: Составить тезаурус основных элементарных функций
Методические указания: Законспектируйте свойства основных элементарных
функций. В конспекте по данному разделу необходимо указать: графики элементарных
функций (линейной, квадратичной, показательной, степенной, логарифмической,
тригонометрических, обратных тригонометрических);основные свойства элементарных
функций (область определения; множество значений; исследовать функцию на четность,
нечетность, периодичность; указать промежутки монотонности, выпуклости, вогнутости;
точки перегиба; асимптоты);
Литература:
1. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. –
М., Просвещение, 1979. Гл. 5, § 1-2.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-2. – Спб.: Лань, 2001.
Гл. 2, § 1, п. 45-51.
Задание 2: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 613(1-4), 614(2-3), 616, 623, 627.
Методические указания: При выполнении заданий внимательно прочитайте
материал лекции и изучите теоретическую часть по литературе:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов.
Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. § 6-10.
2. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл. 1, § 1-2.
Постарайтесь в устной или письменной форме ответить на вопросы:
1. Дайте определение функции одной переменной.
2. Что называется областью определения или областью задания функции?
45
3. Какие вы знаете способы задания функции?
4. Что называется графиком функции?
5. Дайте определение четной и нечетной функции.
6. Дайте определение периодической функции, приведите примеры.
7. Какие функции называются монотонными? Пример.
Предварительно просмотрите решение подобных примеров в учебнике Данко П.Е.,
Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб.
пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 609, 610. Выполните
рекомендованные номера.
Задание 3: Самостоятельное изучение тем: Алгебраические функции. Полярная
система координат.
Методические указания. Законспектируйте по учебнику Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. § 9, стр. 26-27 виды алгебраических функций: целая функция или многочлен,
рациональная, иррациональная. Приведите примеры указанных функций. Обратите
внимание на определение трансцендентной функции. Какие функции являются
трансцендентными?
Изучить тему «Полярная система координат» по учебнику Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. § 10, стр. 27-28 и решить примеры № 41, 42.
Литература а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. § 6-10.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 4, § 1.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл. 2, § 1-3.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл. 6, § 1-3.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. т. I-II.– Спб.: Лань, 2001.
Гл. 2, § 1, п. 45-51.
Дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 2, § 1-5.
Раздел 2. «Последовательности. Предел последовательности, предел функции»
Тема 1: «Числовая последовательность, предел последовательности»
Тема 2: «Предел функции»
Тема 3: «Бесконечно малые и бесконечно большие функции».
Теория пределов вместе с понятием функции составляет основу математического
анализа. С пределами придется встречаться не только при изучении всех разделов
математики, но и таких наук как физика, механика. Изучение этого раздела должно быть
тщательно продумано и проанализировано.
Тема 1: «Числовая последовательность, предел последовательности»
Задание 1. Повторить за школьный курс материал по геометрической и
арифметической прогрессии.
Методические указания. Законспектировать материал о геометрической и
арифметической прогрессии из школьного курса математики (определение
арифметической и геометрической прогрессии, основные формулы: формулу п-го члена,
суммы п членов прогрессии, характеристические свойства).
Задание 2. Изучить вывод числа е.
46
Методические указания. Законспектировать по учебнику Виленкин Н.Я. и др.
Математический анализ. Дифференциальное исчисление. - М., Просвещение, 1979. Гл. 3,
§ 7 вывод числа е и обратить внимание на доказательство монотонности
n
 1
последовательности xn  1   и ее ограниченности.
 n
Тема 2: «Предел функции»
Задание 3. Подобрать примеры на различные виды неопределенности и решить их.
Методические указания. Внимательно прочитайте лекционный материал, изучите
материал по литературе: Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление:
Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл 2, § 1-8 и ответьте на вопросы:
1. Что называется пределом последовательности?
2. Может ли быть последовательность ограниченная, но не иметь предела?
Приведите пример.
0 
3. Раскройте смысл неопределенностей вида , , 0   ,    .
0 
4. Какие еще знаете неопределенности и как они раскрываются?
Каждому студенту предлагается из сборника задач Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник
задач по математическому анализу. Т.1. предел, непрерывность, дифференцируемость.:
Учеб.пособие.-М.: Физмат, 2003. Гл. 2, § 8-9 подобрать примеры на различные виды
0 
неопределенностей: , , 0   ,    и решить их.
0 
Задание 4. Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.:
Высш. школа, 1980. № 653-660, 664, 677, 690, 696, 695.
Методические указания. При подготовке к выполнению заданий № 2
предварительно просмотрите решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 634-648.
Тема 3: «Бесконечно малые и бесконечно большие функции».
Задание 5. Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.:
Высш. школа, 1980. № 706, 710, 712, 716, 718.
Методические указания. При подготовке к выполнению заданий упражнения № 3
предварительно прочитайте Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное
исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 11 и ответьте на
вопросы:
1. Какая функция называется бесконечно малой и бесконечно большой?
2. Какая существует связь между бесконечно малой и бесконечно большой
функцией?
3. Какие бесконечно малые функции называются бесконечно малыми одного
порядка? Какие из них называются эквивалентными?
4. Как определяется порядок одной бесконечно малой по отношению к другой.
5. Запишите и выучите таблицу эквивалентных функций.
Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 700-703 и выполните указанные номера.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 1-11.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 2, § 1-4, гл 4, § 2-6.
47
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл. 2, § 3, гл. 3, § 1-4.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 3, § 1-13.
Раздел 3 «Непрерывные и разрывные функции»
Тема 1: «Непрерывные функции. Точки разрыва, их классификация».
Тема 2: «Свойства функций, непрерывных на отрезке».
Тема 1: «Непрерывные функции. Точки разрыва, их классификация».
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 723, 727, 730.
Методические указания. При подготовке к выполнению заданий необходимо:
Изучить лекционный материал и Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 9-10.
Ответить на вопросы:
1. Как определяется непрерывность функции в точке?
2. В каком случае говорят о разрыве функции в точке?
3. Как классифицируются разрывы?
Проанализируйте решение заданий Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.М.: Высш. школа, 1980. № 719-721 и выполните домашнее задание.
Тема 2: «Свойства функций, непрерывных на отрезке».
Задание: Изучение и анализ учебного материала по теме: Непрерывные функции.
Методические указания. Понятие непрерывности функции является весьма важным
в математическом анализе. Так как это понятие опирается на понятие предела функции, то
особой трудности для самостоятельного изучения не представляет. В теоретическом
отношении самым важным в этом разделе является изучение различных определений
непрерывной функции и доказательство их равносильности. С точки зрения практической
полезности для будущего учителя информатики важны следующие вопросы:
1. Свойства непрерывных функций;
2. Существование и непрерывность обратной функции;
3. Существование и непрерывность обратно-тригонометрических функций,
показательной, логарифмической, степенной функции.
Изучите вопросы 1-3 и законспектируйте материал по вопросу 3 по учебнику
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 – СПб: Издво «Лань», 1997. Гл 4, § 10, 11, стр. 100-103 или Виленкин Н.Я. и др. Математический
анализ. Дифференциальное исчисление. - М., Просвещение, 1979. Гл. 4, § 11, стр. 149-154.
Литература: а) основная
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 9-10.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 4, § 7-12.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл 4. § 1-2.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 719-730.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 3, § 1-13.
48
Подготовка к коллоквиуму № 1 по разделу «Введение в анализ»
Методические указания. Первое контрольное мероприятие – это подготовка и сдача
коллоквиума № 1, причем сначала проводится коллоквиум, а затем студенты выполняют
аудиторную контрольную работу № 1.
Коллоквиум проводится в следующей последовательности. Сначала студенты
проходят тестирование, на которое отводится 45 мин., а затем преподаватель
осуществляет устный опрос каждого студента по основным вопросам раздела «Введение в
анализ»:
1. Что такое функция? Привести примеры.
2. Что такое числовая последовательность? Что является ее графиком и как ее
можно задать?
3. Дать определение понятию «предел числовой последовательности», записать с
помощью математических символов и объяснить геометрический смысл этого понятия.
4. Что такое предел функции? Записать определение на математическом языке.
Геометрическая интерпретация предела функции.
5. Основные свойства пределов функции.
6. Теорема о единственности предела функции (доказать).
7. Неопределенные
выражения
(уметь
раскрывать
различные
типы
неопределенностей с помощью рекомендаций и «замечательных» пределов).
8. Различные определения непрерывной функции в точке.
9. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
10. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.
11. Дать определение понятию «точка разрыва».
12. Какие виды точек разрыва вы знаете? (Уметь приводить примеры функций,
имеющих точки разрыва и уметь определять род точек разрыва).
Центральным вопросом всего математического анализа является понятие функции.
Поэтому необходимо, чтобы первоначальные сведения о функциях были правильно
восприняты и прочно усвоены.
Теория пределов вместе с понятием функции составляет основу математического
анализа. С пределами придется встречаться не только при изучении всех разделов курса
математического анализа, но и при изучении других наук, таких, например, как геометрия
и физика. Кроме того, пределы составляют важную часть школьной программы по
математике. Поэтому студент должен не только усвоить этот материал, но и понимать.
В теоретическом отношении важным в понятии непрерывности функции является
изучение различных определений непрерывности функции и выяснение их
равносильности. Понятие равномерной непрерывности функции является более тонким
математическим понятием и труднее усваивается студентами, поэтому при подготовке
необходимо тщательно продумать и осмыслить все понятия и определения.
Подготовка к контрольной работе № 1
Методические указания. После сдачи коллоквиума № 1, студенты готовятся к
выполнению контрольной работы № 1.При подготовке к контрольной работе необходимо
обратить внимание на решение уравнений и неравенств с модулем, построение графиков
функций (повторить основные свойства и графики элементарных функций), уметь строить
графики функций путем деформации: растяжения, сжатия и параллельного переноса
графика элементарной функции. Уметь находить область определения функции. Особенно
тщательно проработать материал по раскрытию различного рода неопределенностей при
вычислении пределов функции и последовательностей. Уметь доказывать непрерывность
функции, находить точки разрыва и знать их классификацию.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 1-10.
49
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 4, § 1-12.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл. 2-3,; гл. 4, § 1-2.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II.
Раздел 4 «Дифференцируемые функции»
Тема 1: «Производная»
Задание. Вывод формул производных элементарных функций.
Методические указания. Выучите определение производной функции. Уточните
что такое приращение функции и каков геометрический смысл приращения функции и
производной. Сформулируйте теорему о производной обратной функции. Используя
определение производной, выведите формулы для производной следующих элементарных
функций: y  cos x , y  ctgx , y  arcsin x , y  log a x .
Тема 2: «Производная сложной обратной функций и функции, заданной
параметрически».
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 767-774, 780-785.
Методические указания. Приступая к выполнению заданий необходимо:
- выучить таблицу производных и правила дифференцирования;
- предварительно проанализировать решение примеров Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 735-736.
- Выполнить домашнее задание.
Подготовка к самостоятельной работе по разделу «Дифференцируемые
функции»
Методические указания. Самостоятельная работа будет проводиться на
практическом занятии индивидуально, по карточкам, рассчитана на 15-20 минут. При
подготовке к самостоятельной работе необходимо повторить таблицу производных,
правила вычисления производных и дифференциала, вычисление производной от
показательно-степенной функции и функции, заданной параметрически. На
самостоятельной работе будет предложено 4 задания, например:
sin x  cos x
1. Вычислить производную функции: 1) y 
, 2) y  x cos x .
sin x  cos x
2. Найти производную от функции, заданной параметрически: y=cos2t, x=sin2t.
Найти y .
3. Найти dy, еси y  e x arcsin x .
Тема 4: «Производные и дифференциалы высших порядков»
Домашнее задание: Балк М. Б. и др. Математический анализ: Теория
аналитических функций. – М.: Просвещение, 1985. №№ 809, 831, 834, 842, 859, 968, 972.
Методические указания. Приступая к выполнению заданий, необходимо: вывести
формулу второй производной, функции, заданной параметрически; повторить по
лекционному материалу или по учебнику Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 3, § 20-26
определение производной и дифференциалы высших порядков; проанализировать
решение примеров: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
50
1980. № 904, 909, 932, 961-964, 966, 967. Особенно обратить внимание на применение
дифференциала к приближенным вычислениям.
Литература а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 3, § 1-26.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 5, § 1-12.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 706, 710,
712, 716, 718.
б) дополнительная:
1. Балк М. Б. и др. Математический анализ: Теория аналитических функций. – М.:
Просвещение, 1985.
Раздел 5. «Приложение дифференциального исчисления функции одной
переменной».
Тема 1: «Основные теоремы дифференциального исчисления».
Тема 2: «Теорема Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций по
формуле Тейлора и их применение к приближенным вычислениям».
Домашнее задание. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. №№ 996, 998, 1010, 1019, 1024, 1029.
Методические указания. При подготовке к выполнению задания необходимо:
- прочитать и изучить материал по учебнику Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 4, § 1-7.
- выучить основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Роля,
Лагранжа, Коши и правило Лопиталя(теоремы Лопиталя);
- выучить разложение в ряд Маклорена элементарных функций;
Проанализировать решение заданий в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 990, 991, 1001, 1003, 1007, 1009 и выполнить
домашнее задание.
Тема 3. «Применение дифференциального исчисления к исследованию функции».
Домашнее задание. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 1043, 1052, 1056, 1069-1071, 1077.
Методические указания. Предварительно изучите материал по учебнику: Пискунов
Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.:
Интеграл-Пресс, 2002. Гл 5, § 1-12. Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко
П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II:
Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1031, 1036, 1037, 1039,
1082 и выполните домашнее задание.
Тема 4. «Полное исследование функции и построения графика».
Задание Индивидуальное домашнее задание на исследование функции и
построение графика.
Методические указания. Требуется провести полное исследование функции по
схеме, и, используя это исследование, построить график функции. Каждому студенту
дается функция, он выполняет это задание на двойном листе и сдает на проверку. Задания
выполняются индивидуально на карточках, повторяющихся функций нет.
Схема полного исследования функции:
1. Найти область определения и множество значений функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
51
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Найти экстремумы функции и промежутки возрастания, убывания.
5. Найти точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.
6. Найти асимптоты.
7. Построить график функции, используя исследование.
Это задание выполняется дома и сдается на проверку перед коллоквиумом. В
процессе сдачи коллоквиума преподаватель может попросить прокомментировать
отдельные этапы исследования функции.
Подготовка к коллоквиуму по теме «Дифференциальное исчисление функции
одной и нескольких переменных
Методические указания. По всем темам разделов 4-5 будет проходить в конце
семестра коллоквиум № 2. На коллоквиуме студенту предлагается два вопроса: первый по
дифференцированию функции одной переменной и второй по дифференцированию
функции нескольких переменных. Студент должен знать основные определения и
теоремы теории дифференциального исчисления. Знать таблицу производных и умело ее
применять. Знать геометрический и физический смысл производных и дифференциала,
уметь находить наибольшее и наименьшее значение функции. Коллоквиум проводится в
виде индивидуального собеседования.
После сдачи коллоквиума студенты выполняют контрольную работу № 2.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 3, § 1-26; гл. 4, § 1-7; гл. 5; гл.6.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 6, § 1-6.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 5, § 1-9; гл. 6; гл. 7.
Раздел 6. «Функции нескольких переменных»
Методические указания. Основным содержанием этого раздела является:
1) предел и непрерывность функции нескольких переменных;
2) дифференцирование функции нескольких переменных, в том числе сложных
функций и заданных неявно;
3) различные приложения дифференциального исчисления.
Из-за трудоемкости материала наибольшее количество времени потребует работа
над пунктами 2 и 3.
Тема 1: «Основные понятия функции нескольких переменных».
Тема 2: «Частные производные, дифференциал, дифференцируемость сложной
функции».
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 1161, 1171, 1186, 1193, 1236, 1239.
Методические указания. При подготовке к выполнению домашнего задания
повторите лекционный материал или по литературе: Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 8, № 1-8.
Ответьте на вопросы:
1. Что называется областью определения функции?
2. Что называется пределом функции f(x, y) в точке?
3. Дайте определение непрерывности.
4. Дайте определение частной производной и в чем ее геометрический смысл?
52
Проанализируйте решение примеров по учебнику Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1155-1159, 1179-1182. Выполните домашнее
задание.
Тема 3: «Приложение дифференциального исчисления функции нескольких
переменных».
Задание. Самостоятельное изучение тем «Производная по направлению. Градиент».
«Касательная плоскость и нормаль».
Методические указания. Изучите материал по литературе: Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. Гл. 8, § 14-15.
В письменном виде ответьте на вопросы:
1. Что называется градиентом функции?
2. Выведите формулу для нахождения производной по направлению.
3. Какая плоскость называется касательной к поверхности?
4. Что называется нормалью к поверхности?
5. Выведите уравнение касательной к поверхности.
Решите следующие примеры: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.:
Высш. школа, 1980. № 1246, 1249, 1275, 1276, предварительно проанализировав примеры
гл. 8. №№ 1242-1244, 1273, 1274.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 8, § 1-12, 17-18.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 11, § 1-4; гл. 12, § 8.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл.8.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 14-16.
Контрольная работа № 1
После сдачи коллоквиума № 2, студенты готовятся к выполнению контрольной
работы № 1.
Раздел 7. «Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования»
Методические указания. Основным содержанием этого раздела является:
1) понятие неопределенного интеграла, его свойство;
2) различные способы и приемы интегрирования.
Наибольшее количество времени потребуется работа над пунктом 2, так как
необходимо хорошо отработать технику интегрирования.
Тема 1: «Первообразная, неопределенный интеграл»
Задание 1. Выполнить упражнения:
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для
втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во физикоматематической литературы, 2004. №№ 7.83, 7.88, 7.93, 7.98, 7.95, 7.103.
Методические указания. Изучение материала необходимо начать с проработки
теоретического материала, причем усвоение данного материала должно быть доведено до
такого состояния, чтобы можно было безошибочно ответить на вопросы:
1. Что такое первообразная?
2. Что называется неопределенным интегралом?
3. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
4. Выведите формулы таблицы интегралов.
53
Проанализируйте решение заданий: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.М.: Высш. школа, 1980. № 1308-1310.
Задание 2. Подготовка к математическому диктанту по таблице интегралов.
Методические указания. Выучите все формулы из таблицы интегралов. На
математическом диктанте будут предлагаться задания, в которых требуется записать
первообразную некоторой функции из таблицы или, наоборот, указать функцию,
первообразная которой дана. Математический диктант проводится по двум вариантам и
рассчитан на 10 минут.
Тема 2: «Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной.
Интегрирование по частям».
Тема 3: «Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.
Задание 3. Выполнить упражнения:
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для
втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во физикоматематической литературы, 2004. №№ 7.163, 7.167, 7.177, 7.184, 7.187, 7.189.
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал и
ответьте на вопросы:
1. В чем состоит метод интегрирования заменой переменной?
2. Когда пользуются методом интегрирования по частям?
3. Как вычисляются интегралы от рациональной функции?
4. Запишите 4 типа интегралов, к которым приходим при вычислении интеграла
от правильной дроби.
Проанализируйте решение подобных примеров из учебника. Решите следующие
примеры: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1330-1334,
1380-1385, 1396, 1397.
Тема 4. «Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций»
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал и
ответьте на вопросы:
1. Как вычисляются интегралы от иррациональной функции.
2. Какие тригонометрические формулы используются при вычислении
интегралов от тригонометрических функций, выпишите их.
3. Как вычисляются интегралы от радикалов и какие тригонометрические
подстановки, в каких случаях применяются.
Проанализируйте решение подобных примеров из учебника. Решите следующие
примеры: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1146-1461.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 10, § 1-10.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.
шк., 1990. Гл. 7, § 1-6.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 8, 1-8.
Раздел 8. «Определенный интеграл. Несобственные интегралы»
Методические указания. Основным содержанием этого раздела является:
1) определение, существование и свойства определенного интеграла;
2) методы вычисления определенного интеграла;
54
3) Понятие несобственного интеграла и его вычисление.
Особенно тщательно проанализируйте пункт 1, который требует глубокого
осмысления.
Тема 1: «Определенный интеграл. Интегрирование по частям и заменой
переменной в определенном интеграле».
Домашнее задание: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2004. №№ 7.332, 7.340, 7.343, 7.392,
7.395, 7.405, 7.408.
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал по теме
и ответьте на вопросы:
1. Что такое определенный интеграл?
2. Сформулируйте и докажите основные свойства определенного интеграла.
3. Чем отличается метод замены переменной определенного интеграла от
неопределенного?
4. Какие условия должны выполняться для функции, чтобы метод замены
переменной не привел к ложному результату.
5. В чем геометрический смысл идеи приближенного вычисления определенных
интегралов?
Проанализируйте решение подобных примеров из учебника: Данко П.Е., Попов
А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб.
пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. №1512-1519.
Тема 2: «Несобственные интегралы»
Задание: решить упражнения: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях.
Ч. 2: Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2004. №№ 7.417, 7.422, 7.434, 7.4737,
7.447.
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал по теме
и ответьте на вопросы:
1. Дайте определение несобственного интеграла 1-го рода.
2. Дайте определение несобственного интеграла 2-го рода.
3. Какая точка называется особой?
Раздел 9. «Приложения интегрального исчисления функции одной
переменной»
Тема 1. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Домашнее задание: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2004. №№ 7.457, 7.464, 7.480, 7.484,
7.491.
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал по теме.
Обратите внимание на широкие возможности использования аппарата интегрирования
при решении большого числа задач практического значения, универсальность
интегрального метода; ответьте на вопросы:
1. Как определяется площадь плоской фигуры.
2. Как вычисляется площадь плоской фигуры, в случае, если функция,
ограничивающая фигуру, задана в параметрическом виде?
3. Как вычисляется площадь криволинейного сектора?
4. Что понимается под длиной дуги?
5. Получите формулу для вычисления длины дуги, заданной в прямоугольных и
полярных координатах.
6.
Что понимается под площадью поверхности вращения?
55
Домашнее задание: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2004. №№ 7.494, 7.509, 7.520, 7.525.
Методические указания. Предварительно самостоятельно изучите тему
«Механические приложения определенного интеграла по учебнику: Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. Гл. 12, § 7-9. В письменном виде ответьте на вопросы:
1. Выведите формулу для вычисления работы переменной силы.
2. Получите формулу для вычисления координат центра тяжести плоской
материальной фигуры.
3. Как вычисляется момент инерции линии, круга и цилиндра?
Проанализируйте решение примеров в конце гл. 12 § 7-9 учебника Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. И решите домашнее задание.
Раздел 10. «Интегральное исчисление функции нескольких переменных»
Тема 1. Двойной интеграл и его вычисление.
Задание: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное
пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Издательство
Физико-математической литературы, 2004. №№ 9.31, 9.36, 9.47, 9.57.
Методические указания. При подготовке к выполнению упражнений необходимо
прочитать материал лекции или по учебнику Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 14, § 110.И ответить на вопросы:
1. Что такое двойной интеграл?
2. В чем состоит правило замены переменной в двойном интеграле?
3. Как преобразуется двойной интеграл в прямоугольных координатах к
полярным координатам?
4. Как используется двойной интеграл для вычисления площади плоской фигуры?
Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1-5, стр. 23-25 и выполните указанные
задания.
Тема 2. Криволинейные интегралы и их вычисление.
Задание: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное
пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Издательство
Физико-математической литературы, 2004. №№ 9.60, 9.63, 9.84.
Методические указания. При подготовке к выполнению упражнений необходимо
прочитать материал лекции или по учебнику Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 15, § 1-4.
И ответить на вопросы:
1. Как определяется криволинейный интеграл по длине дуги?
2. Как определяется криволинейный интеграл по координатам?
3. Сформулируйте правило для вычисления криволинейного интеграла по
координатам.
4. Сформулируйте и докажите теорему Грина?
5. Что означает факт независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования?
Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 173-176, стр. 192-194, 204 и выполните
указанные задания.
56
Задание: Подготовка к коллоквиуму № 3 по теме «Интегральное исчисление
функции одной и нескольких переменных».
Методические указания: Коллоквиум будет проходить в форме индивидуальной
беседы по интегральному исчислению функции одной и нескольких переменных. Из
данного раздела особо следует уделить внимание на практику вычисления двойных,
перехода к полярным координатам при вычислении двойного интеграла и вычисление
криволинейных
Применение двойного интеграла в геометрии (для вычисления площади плоской
фигуры, объема тела) и физике, при вычислении массы пластины, координаты центра
тяжести. На коллоквиуме студенту будет предложен пример на вычисление двойного или
криволинейного интеграла с пояснениями его вычисления.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 14, § 1-10, гл. 15, § 1-4.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.
шк., 1990. Гл. 13, § 1-7.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл 1, § 1-3.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 17, § 1-10.
Раздел 11. «Числовые ряды»
Методические указания. Основным содержанием этого раздела является вопрос о
сходимости ряда, будь то с положительными или отрицательными членами. Сходимость
ряда имеет важное теоретическое значение, поэтому при изучении данного материала
следует не только постараться запомнить признаки сходимости, но и хорошо осмыслить
все понятия и теоремы, изучаемые в этом разделе.
Тема 1. «Ряд. Сумма ряда. Свойства сходящихся рядов.
Тема 2. « Признаки сходимости числовых рядов».
Задание. Самостоятельное изучение тем: «Теорема Коши (ее доказательство)»,
«Гармонический ряд, его расходимость».
Методические указания.
1. Законспектируйте доказательство теоремы Коши по учебнику Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. Гл. 16, § 3-4, стр. 240-246. Особенно обратить внимание на сделанные в
конце параграфа замечания, проверка будет на экзамене.
2. Законспектируйте расходимость гармонического ряда по учебнику Пискунов
Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.:
Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 16, § 2, стр. 238-239.
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. №№ 274, 276, 284, 285.
Методические указания. При подготовке к выполнению упражнений необходимо:
прочитать материал лекции или учебник Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. II: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 16, § 1-6
и ответить на вопросы:
1. Что называется числовым рядом?
2. Что означает сходимость и расходимость числового ряда?
3. Как ведет себя ряд, составленный из членов геометрической прогрессии?
4. Сформулируйте признаки сходимости положительных рядов.
57
Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. №№ 246-260 и выполните указанные задания.
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. №№ 299, 302, 305, 307, 311, 313.
Методические указания. При подготовке к выполнению домашнего задания
повторите материал лекций или учебника Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. II: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 16, § 7-8
и ответьте на вопросы:
1. Какой ряд называется знакочередующимся?
2. Сформулируйте теорему Лейбница и ее следствия.
3. Что значит, ряд сходится абсолютно и условно?
Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. №№ 266-270 и выполните указанные задания.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. II: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 16, § 1-9.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.
шк., 1990. Гл. 14, § 1-4.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл 3, § 1-2.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 20, § 1-5.
Раздел 12. «Степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена»
Тема 1. «Степенные ряды. Разложение элементарных функций в степенной ряд».
Задание. Самостоятельное изучение темы «Функциональные ряды».
Методические указания. Изучить теоретический материал по учебнику Пискунов
Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. II: - М.:
Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 16, § 9-12. Обратить особое внимание на понятие
непрерывности суммы ряда, осмыслить понятия равномерной сходимости ряда, которое
имеет важное теоретическое значение.
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. №№ 347, 350, 353, 354, 356.
Методические указания. При подготовке к выполнению домашнего задания
необходимо: повторить основные признаки сходимости положительных рядов и теорему
Лейбница; проанализировать решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл. 3, § 3, №№ 316-321, 335-345 и решите
домашнее задание..
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. №№ 324, 327, 366, 367.
Методические указания. Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко
П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II:
Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл. 16, § 4, №№ 362-364 и
решите примеры домашнего задания.
Тема 2. «Приложения рядов к приближенным вычислениям».
58
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. №№ 385, 388, 391, 400, 402.
Методические указания. При выполнении заданий необходимо:
- повторить формулы разложения функций y  e x ; y  ln( 1  x) ; y  sin x ;
y  cos x ; y  (1  x) m ; y  arctgx в ряд, эти формулы лучше всего выучить наизусть;
- проанализируйте решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл. 3, § 5, № 372-383 и обратите внимание на
оценку погрешности остаточного члена;
- дайте ответ на вопрос: Как используют ряды для приближенных вычислений;
- выполните домашнее задание.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. II: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 16, § 1-21.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.
шк., 1990. Гл. 14, § 1-4.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл 3, § 1-6.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 21, § 1-5.
59
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
4.1. Технологическая карта
Наименование
образовательной
программы,
профиль:
дисциплина
«Основы
математической обработки информации»
Год обучения, группа: 2013-14 уч. год, 1 курс
Семестр: II
Статус дисциплины:
Количество часов на дисциплину:
Количество аудиторных часов на дисциплину: IV семестр – 40
ФИО преподавателей: Т.И. Кушнир
Утверждено на заседании кафедры математики, ТиМОМ от 11 сентября 2013 г., протокол
№1
№ Дисциплина
№
1 Математиче 1
ский анализ 2
3
4.
5
6
7
7
8
9
10
11
12
13
14
Контрольное мероприятие
Ауд.или
Внеауд.
Баллы
Неделя
Вводное тестирование
Конспектирование
Домашняя работа № 1 «Введение в
анализ»
Решение задач
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Конспектирование
Домашняя работа № 2 «Предел и
непрерывность функции»
Решение задач
Домашняя работа № 3 «Таблицы,
графики»
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Конспектирование
Опрос по теме
«Дифференцирование»
Тестирование по теме «Таблица
производных основных
элементарных функций»
Решение задач
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Ауд.
Ауд.
Внеауд.
0-4
0-6
0-3
1
1-6
4
Ауд.
Ауд.
0-6
0-2
0-4
1-6
1-6
Ауд.
Внеауд.
0-25
0-6
0-3
7-12
10
Ауд.
Внеауд.
0-6
0-4
7-12
12
Ауд.
0-2
0-4
7-12
Ауд.
Ауд.
0-25
0-6
0-4
13-18
17
Ауд.
0-8
18
Внеауд.
Ауд.
0-6
0-2
0-4
13-18
7-12
0-30
60
Итоговый контроль
Всего: минимум – 0, максимум –100
0-20
4.2. Тестовые задания для текущего контроля
1. Пределы
1.1. Среди графиков, приведенных на рис. 1.1, указать ВСЕ, соответствующие формуле
1.2. Среди графиков, приведенных на рис. 1.1, указать ВСЕ, соответствующие формуле
1.3. Среди графиков, приведенных на рис. 1.1, указать ВСЕ, соответствующие формуле
Рисунок 1
1.4. Указать ВСЕ утверждения, справедливые для графика функции, изображенного на
рис. 1.2:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
1.5. Если
а) 3; б) – 3; в) 0; г)
, то
равен
; д) не существует.
1.6. Если
а) 3; б) – 3; в) 0;г)
, то
равен
; д) не существует.
1.7. Если
а) 3; б) – 3; в) 0; г)
, то
равен
; д) не существует.
1.8. Если
а) 3; б) – 3; в) 0; г)
и f(x) –четная, то
; д) не существует.
равен
61
1.9. Вычислить
а) 1; б) – 1; в) 0; г)
.
; д) не существует.
1.10. Вычислить.
а) 1; б) – 1; в) 0; г)
; д) не существует.
1.11. Вычислить
а) 1; б) – 1; в) 0; г)
.
; д) не существует.
1.12. Дано
Укажите ВСЕ верные утверждения:
а)
ограничена в окрестности точки
б)
– бесконечно большая при
в)
г)
;
при
– бесконечно малая при
;
;
.
1.13. Известно, что при
и
– бесконечно малые и
Какое из следующих утверждений верно при
?
а) (х) и (х) эквивалентны;
б) (х) более высокого порядка малости, чем (х);
в) (х) более низкого порядка малости, чем (х);
г) (х) и (х) одного порядка малости.
1.14. Известно, что при
бесконечно малые
), Какое из следующих утверждений верно при
(
а)
более высокого порядка малости, чем
б)
более низкого порядка малости, чем
в)
и
г)
и
1.15. При
а)
;
эквивалентны
?
;
;
одного порядка малости;
нельзя сравнивать.
укажите ВСЕ верные утверждения:
б)
;
в)
;
г)
и
.
.
62
1.16. Вычислить
.
а) 1; б) – 1; в) 0; г) ; д) 1/2.
2. Непрерывность
2.1. Среди графиков, приведенных на рис. 2.1, укажите ВСЕ, на которых функция
имеет в точке а разрыв второго рода.
2.2. Среди графиков, приведенных на рис. 2.1, укажите ВСЕ, на которых функция
имеет в точке а разрыв первого рода.
2.3. Среди графиков, приведенных на рис. 2.1, укажите ВСЕ, на которых функция
непрерывна в точке а:
Рисунок 2.1
2.4. Известно, что
;
. Какое из утверждений
верно?
а) с – точка неустранимого разрыва первого рода;
б) с – точка устранимого разрыва первого рода;
в) с –точка разрыва второго рода;
г) с – точка непрерывности.
2.5. Известно, что
;
; f(c) = – 5. Какое из
утверждений верно?
а) с – точка неустранимого разрыва первого рода;
б) с – точка устранимого разрыва первого рода;
в) с –точка разрыва второго рода;
г) с – точка непрерывности.
2.6. Укажите, в каком случае в точке с функция f(x) имеет устранимый разрыв:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
; f(c) = 0;
; f(c) = 5;
;
;
; f(c) = – 5.
2.7. Известно, что f(x) – непрерывная функция. Какое из следующих утверждений
верно?
а)
;
б)
;
в)
г)
;
.
63
2.8. Функция f(x) имеет устранимый разрыв в точке х = 2 и
равен
а) 1; б) –1; в) 0; г) ; д) другой ответ.
2.9. Известно, что f(x) и g(x) – непрерывны
f(1)  0; g(1) = 0. Укажите ВСЕ функции непрерывные в точке х = 1:
а) f(x)+g(x); б)
; в) f(x).g(x); г)
; д)
2.10. Укажите ВСЕ функции непрерывные в точке х = 1:
. Тогда
в
точке
х = 1;
.
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
2.11. Укажите, на каком из данных отрезков уравнение lg(х+2) + х = 0 имеет
действительный корень:
а) [-1; 0]; б) [0;1]; в) [1; 2]; г) [2; 3]; д) уравнение вообще не имеет действительных
решений
3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
3.1. Какое из ниже перечисленных предложений определяет производную функции
(когда приращение аргумента стремится к нулю)?
а) Отношение приращения функции к приращению аргумента;
б) Предел отношения функции к приращению аргумента;
в) Отношение функции к пределу аргумента;
г) Отношение предела функции к аргументу;
д) Предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
3.2. Первая производная функции показывает
а) скорость изменения функции;
б) направление функции;
в) приращение функции;
г) приращение аргумента функции.
3.3. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в
некоторой точке, равен
а) отношению значения функции к значению аргумента в этой точке;
б) значению производной функции в этой точке;
в) значению дифференциала функции в этой точке;
г) значению функции в этой точке;
д) значению тангенса производной функции в этой точке.
3.4. На рисунке 3.1 изображен график функции
это ...
. Тогда производная
64
Рисунок 3.1
а) TK/МК; б) NK/МК; в) NК; г) MK/ТК; д) MN/МК; е) MN.
3.5. На рисунке 3.2 изображен график функции
. Найдите значение f / (1,5).
Рисунок 3.2
3.6. Укажите функции, для которых существует конечная производная в каждой
точке числовой оси:
а) y = lnx; б) y = |sinx|; в) y = x3; г) y = 3x ; д)
.
3.7. Укажите ВСЕ верные утверждения: если функция дифференцируема в
некоторой точке, то в этой точке …
а) функция не определена;
б) можно провести касательную к графику функции;
в) нельзя провести касательную к графику функции;
г) функция непрерывна;
д) функция имеет экстремум.
3.8. Дифференциал функции равен
а) отношению приращения функции к приращению аргумента;
б) произведению приращения функции на приращение аргумента;
в) произведению производной на приращение аргумента;
г) приращению функции;
д) приращению аргумента.
3.9. Дифференциал постоянной равен…
а) этой постоянной;
б) произведению данной постоянной на величину x;
в) бесконечно большой величине;
г) нулю;
д) невозможно определить.
3.10. На рисунке 3.3 изображен график функции
рисунке соответствует дифференциалу dy?
. Какой отрезок на этом
65
Рисунок 3.3
а) TK; б) NK; в) NT; г) MK; д) MN; е) другой ответ.
3.11. Какое из следующих утверждений верно для любой линейной функции?
а) дифференциал функции равен приращению функции;
б) дифференциал функции равен приращению аргумента;
в) дифференциал функции – это постоянная величина;
г) дифференциал функции равен производной этой функции.
3.12. Какое из следующих утверждений верно для нелинейной функции?
а) дифференциал функции равен производной этой функции;
б) дифференциал функции равен приращению аргумента;
в) дифференциал функции равен части приращения функции;
г) дифференциал функции – это постоянная величина.
3.13. Если функция у(х) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b) и y(a) = y(b),
то на (a;b) можно найти хотя бы одну точку, в которой
а) функция не определена;
б) производная функции не существует;
в) нельзя провести касательную к графику функции;
г) производная функции обращается в ноль.
3.14. Функция у = х3+х …
а) возрастает на ( – ∞; 0), убывает на (0; +∞);
б) убывает на ( – ∞; 0), возрастает на (0; +∞);
в) всюду убывает;
г) всюду возрастает;
д) другой ответ.
3.15. Функция
убывает на
а) (3; +∞); б) (0; 1/3); в) ( – ∞; 0)(0; +∞); г) ( – ∞; +∞); д) нигде; е) другой ответ.
3.16. Сколько точек перегиба имеет функция у = х4 + 4х?
а) ни одной; б) одну; в) две; г) три; д) больше трех.
3.17. Какой из графиков на рисунке 3.4 соответствует функции
удовлетворяющей условиям f '(x) < 0; f ''(x) > 0?
y = f(x),
Рисунок 3.4
66
3.18. Какому условию удовлетворяет функция, график которой изображен на
рисунке 3.5?
а) f '(x) > 0 и f ''(x) > 0 ;
б) f '(x) > 0 и f ''(x) < 0 ;
в) f '(x) < 0 и f ''(x) > 0 ;
г) f '(x) < 0 и f ''(x) < 0 .
Рисунок 3.5
3.19. Укажите точки экстремума непрерывной на всей числовой прямой функции
у(х), если
:
а) х = 2 – точка max; б) х = 2 – точка min; в) х = –1 – точка max; г) х = –1 – точка min; д)
точек экстремума нет.
3.20. Укажите точки на (a; b), в которых функция, изображенная на рисунке 3.6, не
дифференцируема.
3.21. Укажите точки, в которых функция, изображенная на рисунке 3.6, имеет
максимум.
3.22. Укажите точки на [a; b], в которых функция, изображенная на рисунке 3.6,
принимает наименьшее значение.
3.23. Укажите точки на (a; b) в которых производная функции, изображенной на
рисунке 3.6, обращается в ноль.
Рисунок 3.6
3.24. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите
достаточное условие убывания:
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
; е)
.
3.25. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите
достаточное условие выпуклости (выпуклости вверх):
а)
; б)
е)
.
; в)
; г)
; д)
;
67
3.26. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите
необходимое условие точки перегиба:
а)
; б)
; в)
; г)
3.27. Найти f (–1), если f(x) = x(x+1)(x+2)…(x+10).
; д)
; е)
.
а) 18; б) –18; в) 9!; г) –9!; д) 0.
4. Функции нескольких переменных
4.1.
На
каком
из
рисунков
функции
а)
изображена
область
определения
?
б)
в)
г)
д)
4.2. Функция нескольких переменных является дифференцируемой, если
а) существует полное приращение функции;
б) существует полный дифференциал функции;
в) функция непрерывна по всем аргументам;
г) частная производная по одной из переменных равна нулю;
д) частная производная по одной из переменных не существует.
4.3. Укажите полное приращение функции f(x; y) :
а) f(x+Δx;y) – f(x;y);
б) f(x;y+Δy) – f(x;y);
в) f(x+Δx;y+Δy) – f(x;y);
г) f(x+Δx;y+Δy) ;
д) f 'x Δx;
e) f 'yΔy .
4.4. Укажите частное приращение функции f(x; y) по переменной у:
а) f(x+Δx;y) – f(x;y);
б) f(x;y+Δy) – f(x;y);
в) f(x+Δx;y+Δy) – f(x;y);
г) f(x+Δx;y+Δy);
д) f 'x Δx;
e) f 'yΔy .
68
4.5. Найти
а)
, если
; б)
.
; в)
; г) 0; д)
; е) другой ответ.
4.6. Найти
, если
.
xy
xy
xy
xy
xy
а) ye ; б) e +xye ; в) xye ; г) e ; д) xexy; е) другой ответ.
4.7. Зная, что
, найти
.
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
; е) другой ответ.
4.8. Чтобы найти стационарную точку функции z = f(x,y), надо решить систему:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
4.9. Стационарной точкой функции z = x2+xy+y2+3y+4 является
а) (0; 0); б) (1; 2); в) (1; –2); г) (2; –1); д) (–2; 1); е) (2; 1); ж) другой ответ.
4.10. В стационарной точке Р функции нескольких переменных u = f(x1, …, xn) ее
полный первый дифференциал du удовлетворяет условию
а) du(Р) = 0; б) du(Р) > 0; в) du(Р) < 0; г) du(Р) не существует.
4.11. Если для функции f(x;y) справедливо f 'x (x0; y0) = f 'y (x0; y0) = 0, то можно
утверждать, что
а) (х0; у0) – точка экстремума функции;
б) (х0; у0) – стационарная точка функции;
в) (х0; у0) – точка разрыва функции;
г) (х0; у0) – граничная точка функции.
4.12. Если точка М0 (х0; у0) является точкой экстремума функции z = f(x,y), то верно
что
а) f 'x (x0, y0 ) = f 'y (x0, y0 ) = 0 ;
б) f 'x (x0, y0 ) = f 'y (x0, y0 ) = 1;
в) f 'x (x0, y0 ) < f 'y (x0, y0 ) < 0;
г) f 'x (x0, y0 ) > f 'y (x0, y0 ) > 0;
д) f 'x (x0, y0 )  f 'y (x0, y0 ).
69
4.13. Если непрерывная в замкнутой области D функция z=f(М) принимает в точке Р
наибольшее значение, но Р не является точкой максимума функции, то можно
утверждать, что
а) Р – точка экстремума функции;
б) Р – внутренняя точка функции;
в) Р – точка разрыва функции;
г) Р – граничная точка функции.
4.14. Для отыскания условного экстремума функции нескольких переменных можно
применять … (указать ВСЕ варианты)
а) правило Лопиталя;
б) метод множителей Лагранжа;
в) метод Рунге-Кутта;
г) метод логарифмического дифференцирования;
д) метод сведения к безусловному экстремуму (метод подстановки).
5. Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл и его свойства
5.1. Среди перечисленных функций укажите ВСЕ, которые являются первообразными для
функции
:
а) tg 2x ; б) ctg 2x ; в) – tg 2x ; г) – ctg 2x ; д) 2tg 2x ; е) 2ctg 2x ; ж) tg 2x + 2 ; з) 2 – ctg 2x ;
5.2. Среди перечисленных функций укажите ВСЕ, которые являются первообразными для
функции y = lnx:
а) 1/x ; б) xlnx – x ; в) xlnx + x ; г) xlnx + 3 ; д) 2 + xlnx – x ; е) (1/x) + C.
5.3. Если F(x) – первообразная для f(x) , то
равен
а) 2F(3x)+C ; б) 6F(3x)+C ; в) (2/3)F(3x)+C ; г) (3/2)F(3x)+C ; д) F(6x)+C .
5.4. Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ, которые вычисляются с помощью
формулы интегрирования по частям:
а)
;б)
e)
; ж)
; в)
; г)
; д)
;
.
5.5. Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ, которые вычисляются методом
«внесения под знак дифференциала»:
а)
; б)
e)
; ж)
; в)
; г)
; б)
;
.
5.6. К какому виду преобразуется интеграл
а)
; д)
; в)
5.7. Если f(x) – первообразная для g(x) , то
после подстановки
; г)
?
.
равен
70
а) f(x)g(x)+C ; б) f 2(x) +C ; в) (1/2)g2(x)+C ; г) g2(x)+C ; д) 0 .
Определенный интеграл и его свойства
5.8. Зная, что
=3, вычислить
5.9. Зная, что
5.10. Зная, что
, вычислить
,
=3 и f(x) – четная, вычислить
5.11. Вычислить 1)
.
.
;
2)
.
5.12. Вычислить
5.13.* Вычислить
.
.
.
5.14.* Вычислить
, если
а) π ; б) –π ; в) π/2 ; г) –π/2 ; д) π/8 ; е) –π/8 ; ж) другой ответ.
.
5.15. Найти Ф/(х), если
.
2
2
2
2
а) 2xsin(x ) ; б) 2xcos(x ) ; в) sin(x ) ; г) cos(x ) ; д) sin(x2)dx ; е) cos(x2) – 1 .
5.16. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из них имеет наибольшее значение:
71
а)
;
б)
; в)
; г)
.
5.17. Если на [1;4] 2 < f(x) < 3, то выполняется неравенство
а) 6 <
< 9 ; б) 2 <
< 3 ;в) 8 <
< 12 ; г) 0 <
< 12 ;
д) 10 <
< 15 ; е) другой ответ.
5.18. Функция f(x) непрерывна на [1;4] и на этом отрезке ее наибольшее значение fнаиб = 5
и наименьшее значение fнаим = 2. Из предложенных неравенств выберите ВСЕ верные:
а)
< 15 ; б)
д)
> 0.
> 6 ; в)
< 5 ; г)
> 20 ;
Геометрические приложения определенного интеграла
5.19. Если на рисунке 5.1 дуга АВ – это график функции y = f(x), то площадь
заштрихованной фигуры вычисляется по формуле
а)
; б)
д)
; в)
; е)
; г)
;
.
5.20. Если на рисунке 5.1 дуга АВ – это график параметрически заданной функции y = f(t);
x = g(t), t[ta; tc], то длина этой дуги вычисляется по формуле
а)
д)
; б)
; в)
; е)
; г)
;
.
72
Рисунок 5.1
Несобственные интегралы
5.21. Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ расходящиеся:
а)
; б)
; в)
; г)
5.22. Известно, что
; д)
.
. Выяснить, сходится ли интеграл
. Если, да, то вычислить его.
6. Кратные интегралы
6.1. Укажите ВСЕ формулы, которые применяют для вычисления объема тела V в
различных системах координат:
a)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
6.2. В какой системе координат при вычислении тройного интеграла элемент объема
dv =  d d dz ?
а) в декартовой; б) в цилиндрической; в) в сферической; г) в полярной;
д) в гармонической.
6.3. Как записывается уравнение сферы радиуса а с центром в начале координат в
сферической системе координат?
а) x2 + y2 + z2 = a2 ; б) r2 + z2 = a2 ; в) r = a ; г) r = a2 ; д) r2sin = a .
6.4. Если плотность  = x+y+z , то масса пирамиды, ограниченной координатными
плоскостями и плоскостью x+y+z = 4, вычисляется по формуле:
а)
в)
; б)
; г)
;
;д)
.
73
6.5. В цилиндрической системе координат
поверхностями z = x2+y2 и z = 4 , равен
а)
; б)
объем
; в)
параболоида,
ограниченного
;г)
.
6.6. Укажите ВСЕ формулы, которые применяют для вычисления площади плоской
фигуры в различных системах координат:
а)
; б)
; в)
; г)
;д)
.
6.7 На рисунке 6.1 заштрихована область D: x2+y2 < 4 ; y > –x ; y > 0.
Площадь области D (в полярной системе координат) равна
Рисунок 6.1
а)
; б)
д)
; в)
; е)
;г)
;
.
6.8. На рисунке 6.1 заштрихована область D: x2+y2 < 4 ; y > –x ; y > 0.
Если плотность плоской пластинки D задается формулой (х,у) = у, то масса этой
пластинки (в полярной системе координат) равна
а)
; б)
д)
; е)
6.9. Вычислить
; в)
; г)
;
.
, если область D: y > x2 ; y < 1.
а) 1 ; б) –1 ; в) 5 ; г) е ;
74
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ГЛОССАРИЙ
Понятие
Функция
Определение
Соответствие, по которому каждому х из множества
Х по некоторому правилу ставится в единственное
число у  У .
Предел функции в Число А называется пределом функции y  f (x) при
точке
x  a (в точке a ), если для каждого числа   0
можно найти такое число       0 , что f ( x)  A
будет меньше  , когда x  a   , при x  a .
Непрерывность
Функция y  f (x) называется непрерывной, в точке
функции
a ( x  a ), если для каждого числа   0 можно найти
такое число       0 , что из условия x  a  
вытекает неравенство f ( x)  f a    .
конечный предел отношения приращения функции к
Производная
вызвавшему его приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю, т.е.
f
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
 f ( x0 )
x
x
множество F x  всех первообразных для функции
f x  , т.е. F x   c , где c произвольная постоянная
lim
x0
Неопределенный
интеграл
Определенный
интеграл
Числовой ряд
предел интегральной суммы
n
S   f  i x i
для
i 1
функции f (x) на отрезке a, b при max xi  0 ,
который не зависит ни от способа разбиения отрезка
a, b на частичные отрезки, ни от выбора точек в них
ряд,
членами
которого
являются
числа:

a1  a 2  a 3  ...  a n  ...   a n
n 1
75