Правительство Российской Федерации Национальный исследовательский университет - Высшая школа экономики Программа дисциплины Численные методы для IV курса отделения Прикладной математики и информатики Автор программы: И.Л. Кривцун Рекомендована секцией УМС Математические и статистические методы в экономике Председатель __________________А.С. Шведов ________________________________ «_____» __________________ 20 г. Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров «____»_____________________ 20 Москва г Тематический план учебной дисциплины № Всего часов Название темы Аудиторные часы лекции семинары Самост. работа 1 Элементы теории погрешностей 8 2 2 4 2 Приближенные методы поиска корней алгебраических многочленов 16 2 2 12 3 Общая задача интерполирования и аппроксимация функций 22 6 4 12 4 Вычислительные основы линейной алгебры 34 6 8 20 6 Разностные схемы 28 6 6 16 Итого 108 22 22 64 Формы контроля знаний студентов: текущий контроль: контрольная работа в компьютерном классе во 2-м модуле: итоговый контроль: зачет в конце 3-го модуля. Итоговая оценка по учебной дисциплине определяется на основе оценок за следующие виды работ: - контрольная работа в компьютерном классе, зачет. Оценки за контрольную работу О К , и зачетную работу О З ставятся в десятибалльной шкале. Итоговая десятибалльная оценка успеваемости студента по дисциплине в целом О И определяется на основе всех этих оценок по формуле O И 0,3 O К 0,7 O З . Оценки за все виды работ и итоговая оценка округляются до целого числа баллов; при этом учитываются выполнения домашних работ и активность студента на практических занятиях. Перевод итоговой десятибалльной оценки в пятибалльную осуществляется по правилу: 0 ОИ 3 – неудовлетворительно, 4 ОИ 5 – удовлетворительно, 6 ОИ 7– хорошо, 8 ОИ 10 – отлично. 2 Содержание программы Тема 1. Элементы теории погрешностей. Общие сведения об источниках погрешностей, их классификация. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. Вычислительная погрешность. Понятие о погрешности машинных вычислений. Значащая цифра, число верных знаков. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа. Погрешности суммы, разности, произведения и частного. Число верных знаков произведения и частного. Общая формула для погрешности. Обратная задача теории погрешностей. Базовые учебники Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций (с использованием MATLAB). СПб.: «БХВПетербург», 2004 (лекция 1). Деминович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1968 г. (гл. I). Дополнительная литература Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 1). Тема 2. Приближенные методы поиска корней алгебраических многочленов Отделение корней при решении уравнений с одной неизвестной. Общая формула оценки погрешностей приближенного корня. Простейшие способы решения уравнений: метод половинного деления, пропорциональных частей, Ньютона-Рафсона, комбинированный; скорость сходимости, оценки возникающих погрешностей. Метод Ньютона для случая комплексных корней. Метод итераций как пример применения принципа сжимающих отображений в метрическом пространстве. Преобразование уравнения к итерационному виду. Оценки погрешностей метода итераций. Границы действительных корней алгебраических уравнений; теорема Лагранжа; метод знакопеременных сумм. Число действительных корней полинома. Базовые учебники Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 2). Деминович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1968 г. (гл. IV-V). Дополнительная литература Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций (с использованием MATLAB). СПб.: «БХВ-Петербург», 2004 (лекция 2). 3 Тема 3. Общая задача интерполирования и аппроксимация функций. Постановка общей задачи интерполирования. Частный случай базисной системы степенных функций с целым неотрицательным показателем. Полином Эрмита для заданной функции; его существование и единственность. Явный вид полинома Эрмита в частном случае задания значений функции и ее производной в узлах интерполяции. Интерполяционная формула Эрмита и ее остаточный член. Полиномы Чебышева и их основные свойства. Узлы Чебышева. Феномен Рунге. Теорема Файера о равномерной сходимости полиномов Эрмита в случае, когда узлами интерполяции являются корни многочлена Чебышева. Использование полиномов Эрмита для оценки погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса. Рациональное приближение функций. Метод Паде. Базовые учебники Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. - М., «Высшая школа», 1990. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. Дополнительная литература Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 4). Тема 4. Вычислительные основы линейной алгебры. Метод простых итераций решения системы линейных уравнений крамеровского типа как пример применения принципа сжимающих отображений в метрическом пространстве. Нормы линейных операторов в конечномерном пространстве. Приведение системы к виду удобному для итераций. Метод Зейделя. Достаточные условия сходимости метода Зейделя для трех простейших норм конечномерного линейного пространства. Оценки погрешности приближений процесса Зейделя по || || -норме. Нормальные системы линейных уравнений. Приведение системы к нормальному виду. Метод релаксаций. Треугольные матрицы. Представление квадратной матрицы в виде произведения треугольных матриц различных структур. Обращение матрицы, разложенной в произведение треугольных матриц. Метод квадратных корней. Схема Халецкого. Метод прогонки для трехдиагональной системы. Вращение плоскости. Подобные и ортогональные преобразования. Метод Якоби нахождения собственных пар симметричной матрицы. Отражение Хаусхольдера. Преобразование Хаусхольдера. Метод Хаусхольдера. QR-метод. Базовые учебники Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 3, 11). Деминович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1968 г. (гл. VIII-IX). Дополнительная литература Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: «Наука», любое изд., начиная с 1977 г. (гл. IVVI). 4 Тема 5. Разностные схемы. Постановка задачи численного решения краевой задачи для уравнения с частными производными. Устойчивость численного решения. Построение разностной схемы простейшей задачи для уравнения гиперболического типа; явная и неявная схемы. Необходимое условие устойчивости явной схемы. Решение Даламбера. Построение явной разностной схемы простейшей задачи для уравнения параболического типа. Необходимое и достаточное условие устойчивости явной схемы. Метод Кранка-Николсона. Дискретный вид оператора Лапласа. Сборка разностных схем простейших краевых задач для уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца. Итеративные методы. Базовые учебники Годунов С.К., Рябенький. В.С. Разностные схемы. - М.: «Наука», 1973 (гл. 7). Дополнительная литература Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 10). Типовой вариант контрольной работы (в компьютерном классе) З а д а н и е 1 . Определите границы действительных корней уравнения 2 x 5 100 x 2 2 x 1 0 . Задание 2. Определите количество положительных корней уравнения x 4 x 1 0 и, отделив их, найдите с точностью до 10-6, предварительно приведя уравнение к виду, удобному для итераций. Сравните решения, полученные по методу итераций и комбинированному методу. Все вычисления необходимо реализовать в среде MATLAB, написав для этого соответствующие программы. 4 З а д а н и е 3 . Найдите максимальное и минимальное значения полинома Чебышева T3 ( x) . З а д а н и е 4 . Постройте полином Эрмита, который в точках x0 1 , x1 0 , x2 1 принимает значения 2; -1; 0, соответственно, а его производная в точках x1 0 , x2 1 – значения 0; 1, соответственно. 5 Типовой вариант зачетной работы (в компьютерном классе) З а д а н и е 1 . Пусть A : R n R n - невырожденный линейный оператор. Выразите || A|| через элементы матрицы оператора A в стандартном базисе. Докажите, что достаточным условием сходимости по норме || || последовательности приближений к точному решению системы Ax b в процессе Зейделя является выполнение неравенства || A|| 1 . З а д а н и е 2 . Напишите в среде MATLAB программу обращения матрицы методом разбиения ее на произведение двух треугольных матриц. Проверьте работу программы на примере матрицы 4 1 1 3 1 0 3 2 . A 2 2 2 3 1 2 1 1 З а д а н и е 3 . Напишите в среде MATLAB программу решения с помощью схемы Халецкого системы линейных уравнений крамеровского типа. Проверьте работу программы на примере решения системы 3x1 x2 x3 2 x4 6 5 x x 3x 4 x 12 1 2 3 4 . 2 x x x 1 1 3 4 x1 5 x2 3x3 3x4 3 З а д а н и е 4 . Напишите в среде MATLAB программы приведения симметричной матрицы к трехдиагональному виду с использованием преобразований Хаусхольдера и и приближенного вычисления собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы с использованием QR-метода. Проверьте работу программы на примере матрицы 1,25 2,75 0,25 0,75 2,75 1,25 0,75 0,25 A . 0,75 1,25 2,75 0,25 1,25 0,75 0,25 2,75 З а д а н и е 5 . С помощью явной схемы решите следующую краевую задачу u ( x,0) sin( x) sin( 2x) u ( x,0) 0 t 2u 2u 4 t 2 x 2 u (0, t ) u (1, t ) 0 0 t 0,5 , 0 x 1 выбрав шаги по x и t, равные h = 0,1 и k = 0,05, соответственно. 6