2.Матрицы

Матрицы
Продолжение лекции 2
Определение
Матрицей размера m  n называется
прямоугольная таблица из чисел
,
i,  1,2,.., m j,  1,2,..,n
где a ij
 a11 a12

 a 21 a 22
A
...
...

a
 m1 a m 2
состоящая из
... a1n 

... a 2n 

... ...

... a mn 
m строк и n столбцов.
Краткое обозначение матрицы
А  aij mn
Матрица размера mm называется
квадратной.
Матрица , имеющая только одну строку,
называется матрицей-строкой.
Матрица, имеющая только один
столбец, называется матрицей-столбцом.
Две матрицы считаются равными,
если равны их размеры и равны
элементы, стоящие на одинаковых
местах.
Квадратная матрица называется
невырожденной (неособенной),
если
её определитель отличен от нуля, и
вырожденной (особенной) , если
определитель её равен нулю.
Квадратная матрица вида
1

0
 ...

0

0
1
...
...
...
0
...
...
наз. единичной
0

0
...

1

и обозначается Е
Матрица, все элементы которой
равны нулю, называется нулевой.
Определитель, составленный из
элементов квадратной матрицы,
называется определителем
матрицы.
Очевидно,
Е 1
Матрица
 a11

T
A   a12
a
 13
a21
a22
a23
a31 

a32 
a33 
называется транспонированной по
отношению к матрице
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
Действия над матрицами.
Суммой двух матриц одинаковой
размерности А и В называется
матрица С той же размерности,
элементы которой равны суммам
элементов матриц A и B с
одинаковыми индексами.
Произведением матрицы
на
число  называется матрица ,
получающаяся из матрицы A
умножением всех её элементов
на число  .
Разностью двух
матриц А и В
одинаковой
размерности
называется матрица С=A+(-B).
Произведением матрицы A  (aij )
размера m n на матрицу B  (bij )
размера n  k
называется матрица C  (cij )
размера
m  k , элемент cij которой , стоящий в
i-ой строке и j-ом столбце, равен
сумме произведений элементов i-ой
строки матрицы A и соответствующих
элементов j-го столбца матрицы B.
Так как строки и столбцы матриц
участвуют в произведении АВ
неравноправно, то АВ≠ВА,
т.е.произведение матриц не обладает
свойством перестановочности
сомножителей.
Пример
Вычислить
 5 8  4  3 2 



 6 9  5  4  1
 4 7  3  9 6 



Свойства операций над
матрицами
1.A+B=B+A
2.(A+B)+C=A+(B+C)
3.(A+B)k=kA+kB
4. (AB)C=A(BC)
5. A(B+C)=AB+AC
6. A+O=A
7. AE=EA=A
Если A и B две квадратные
матрицы одного порядка, то
A B  A  B
Обратная матрица
A
Пусть
- квадратная матрица.
Обратной для неё матрицей
называется квадратная матрица того
1
же размера,обозначаемая
Aи
удовлетворяющая условию
A A  A  A  E
1
1
Теорема. Если А – невырожденная
матрица, то существует и при этом
единственная матрица, обратная к
матрице А. При этом
А
1
 А11
1
  А12

 А13
А21
А22
А23
А31 

А32 

А33 
,
где Аij - алгебраические дополнения к
элементам исходной матрицы.
Замечание
Следует обратить внимание на то, что
алгебраические дополнения к
элементам строк матрицы А
располагают в столбцах с теми же
номерами, что и строки данной матрицы
А.
Пример
Найти матрицу, обратную к матрице
1
1 2


А  3  5 3 
 2 7  1

