XI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит» Математика 9 класс 2 тур

XI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»
Математика
9 класс
2 тур
Ответы
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Задание №1. 15 лет и 20 лет. Пусть старшему брату – х лет, тогда младшему
– 35-х лет, а когда старшему было 35-х, то по условию младшему было . Так
как времени для обоих братьев прошло одинаково, то получим уравнение х(35-х)=(35-х)- .
Задание №2. х=±4, у=1 и х=±4, у=-3. Преобразуем исходное уравнение
у2+2у=х2-13 к виду у2+2у+1-х2=-12, (у+1)2-х2=-12, (у+1+х)(у+1-х)=-12. Чтобы
получить в произведении -12, одна из скобок должна быть равна ±1, ±2, ±3, а
другая - ±12, ±6, ±4 (или наоборот). Рассмотрев все варианты, получим, что
х=±4, у=1 и х=±4, у=-3.
Задание №3. 19 нулей. Так как трехзначное число не может начинаться с
нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц
одного
из
трехзначных
чисел
ряда.
Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа.
Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это
число
оканчивается
на
20.
Таких
чисел
9:
120,
220,
..........,
920.
Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то
соответствующее
трехзначное
число
начинается
на
20.
Таких
чисел
10:
200,
201,
..........,
209.
Таким образом, Коля сосчитал, что всего после двойки нуль будет
встречаться
19
раз.
Задание №4. ОТ=2 дм.
Отрезки MK, MT, NP и NT – являются касательными к окружности,
следовательно, MT=MK=6дм, а NT=NP=3 дм. Из подобия треугольников
MOK и NOP следует, что
. Следовательно, отрезок OT
параллелен основаниям исходной трапеции. Из подобия треугольников NTO
и MNK следует, что
Задание №5. 58 см. Для удобства вычислений введем обозначения - пусть
сторона малого квадрата (примыкающего к левой вертикальной стороне
прямоугольника) будет равна а, тогда длины остальных сторон квадратов
можно выразить так, как показано на рисунке. Для отрезка АВ несложно
будет составить уравнение а+а+4а-32=128-10а, откуда а=10. Тогда длина
вертикальной стороны прямоугольного ящика будет при а=10 равна
2а+а+128-10а=58 см.
Задание №6. 1 литр 12 % го раствора. Пусть х литров – количество
первоначального раствора, у % - концентрация этого раствора. 1) Добавим 1
литр 20 % го раствора к первоначальному раствору, получим следующее
соотношение
, упростив которое, получим уравнение ух+4=16х.
2) Добавим 2 литра 9 % го раствора к первоначальному, получим следующее
соотношение
Решая систему уравнений
, упростив которое, получим уравнение ух-2=10х.
получим, что х=1 литр, у=12 %.
Задание №7. В данной задаче была допущена опечатка. Максимальный балл
за задачу получили участники, которые нашли опечатку, и те участники,
которые решили задачу с предложенными данными.
Ответ: 10; 30. Рассмотрим два случая: 1. NP MK.
и
1)
и
, следовательно, треугольники
- подобны.
2) Пусть h – высота трапеции MNPK , тогда
.
Т.к.
и
, то
следовательно, треугольники NOM и POK – равны, а
равнобедренная трапеция и MP=NK= d.
,
MNPK –
3)
По условию
, следовательно, d=20.
4)В четырехугольнике NTPO:
,
,
,
следовательно,
Из треугольника NTK имеем, что
, следовательно,
.
5)
2. NP MK. Проводя аналогичные рассуждения, как и в п. 1) – 4), получим,
что
, тогда
.