XII Международная олимпиада «Эрудит» Математика 9 класс 1

XII Международная олимпиада «Эрудит»
Математика
9 класс
1 тур
Ответы
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Задание №1. Ответ: 2009. Из первого уравнения выразим
уравнения
, а из второго
, подставим их в выражение,
получим
.
Задание №2. Ответ: зеленых клеток не больше девяти. Рисунок требуемой
покраски с девятью зелеными клетками
Задание №3. Ответ:
Преобразуем второе уравнение системы
, т.к.
, то получаем, что
, тогда второе уравнение системы примет вид
или
переменную, пусть
, тогда получим уравнение
имеет корни
уравнений
. Ведем новую
. Сделаем обратную подстановку и получим две системы
и
, первая система имеет две пары решений
Задание №4. Введем обозначения – пусть
, так же
, которое
, тогда
(как центральный и вписанный угол, опирающиеся на
одну и ту же дугу). Треугольник COB –
равнобедренный, так как СО=ОВ – как
радиусы окружности, следовательно
,
значит, что
.
Получаем, что точки O, B, N и C лежат на
одной окружности. Следовательно, четырехугольник OBNC – вписан в окружность.
Задание №5. Ответ: 16 груздей, 11 лисичек, 9 подосиновиков. Из того, что среди
любых 25 из этих грибов не меньше 5 груздей, следует, что количество лисичек и
подосиновиков вместе не превосходит 20, значит, груздей не меньше 16. Аналогично,
из того, что среди любых 27 – не меньше 2 лисичек, следует, что груздей и
подосиновиков вместе не больше 25, а лисичек – не меньше 11. Наконец, из того, что
среди любых 31 гриба не меньше 4 подосиновиков, следует, что груздей и лисичек
вместе не больше 27, а подосиновиков – не меньше 9. Ввиду того, что 16+11+9=36 –
общему числу грибов, получим везде точное равенство.
Задание №6. Ответ: были задуманы числа -7; -4; 6. Чтобы получить именно такое
количество чисел в наборе, необходимо было загадать девятикласснику Вове всего три
числа, проверяем, -7+(-4)=-11, -7+6=-1, -4+6=2, -7+(-4)+6=5.
Задание №7. Ответ:
,
.
Рассмотрим два случая
1) Пусть CD=16, а AB=12. Проведем высоту MH, тогда ABMH - прямоугольник и
MH=AB=12, MB=AH. Так как треугольник KMH – прямоугольный, то по теореме
Пифагора найдем
. CMKD –
параллелограмм, MK=DC. Пусть MB=x, в трапецию KMBA можно вписать
окружность, если MB+AK=KM+AB , следовательно,
,
В параллелограмм CDMK тоже можно вписать окружность, следовательно,
CM=CD=16. Значит меньшее основание CB=CM+MB=
.
.
2) Пусть CD=12, AB=16 . MCDK – прямоугольник, в него можно вписать окружность
тогда и только тогда, когда он является квадратом, MC=CD=12 . Проведем высоту
BH, тогда AH=4
, пусть BM=x , тогда
меньшее основание
. Тогда
,
.