XII Международная олимпиада «Эрудит» Математика 9 класс 1
реклама
XII Международная олимпиада «Эрудит» Математика 9 класс 1 тур Ответы Максимальное количество баллов – 30 баллов Задание №1. Ответ: 2009. Из первого уравнения выразим уравнения , а из второго , подставим их в выражение, получим . Задание №2. Ответ: зеленых клеток не больше девяти. Рисунок требуемой покраски с девятью зелеными клетками Задание №3. Ответ: Преобразуем второе уравнение системы , т.к. , то получаем, что , тогда второе уравнение системы примет вид или переменную, пусть , тогда получим уравнение имеет корни уравнений . Ведем новую . Сделаем обратную подстановку и получим две системы и , первая система имеет две пары решений Задание №4. Введем обозначения – пусть , так же , которое , тогда (как центральный и вписанный угол, опирающиеся на одну и ту же дугу). Треугольник COB – равнобедренный, так как СО=ОВ – как радиусы окружности, следовательно , значит, что . Получаем, что точки O, B, N и C лежат на одной окружности. Следовательно, четырехугольник OBNC – вписан в окружность. Задание №5. Ответ: 16 груздей, 11 лисичек, 9 подосиновиков. Из того, что среди любых 25 из этих грибов не меньше 5 груздей, следует, что количество лисичек и подосиновиков вместе не превосходит 20, значит, груздей не меньше 16. Аналогично, из того, что среди любых 27 – не меньше 2 лисичек, следует, что груздей и подосиновиков вместе не больше 25, а лисичек – не меньше 11. Наконец, из того, что среди любых 31 гриба не меньше 4 подосиновиков, следует, что груздей и лисичек вместе не больше 27, а подосиновиков – не меньше 9. Ввиду того, что 16+11+9=36 – общему числу грибов, получим везде точное равенство. Задание №6. Ответ: были задуманы числа -7; -4; 6. Чтобы получить именно такое количество чисел в наборе, необходимо было загадать девятикласснику Вове всего три числа, проверяем, -7+(-4)=-11, -7+6=-1, -4+6=2, -7+(-4)+6=5. Задание №7. Ответ: , . Рассмотрим два случая 1) Пусть CD=16, а AB=12. Проведем высоту MH, тогда ABMH - прямоугольник и MH=AB=12, MB=AH. Так как треугольник KMH – прямоугольный, то по теореме Пифагора найдем . CMKD – параллелограмм, MK=DC. Пусть MB=x, в трапецию KMBA можно вписать окружность, если MB+AK=KM+AB , следовательно, , В параллелограмм CDMK тоже можно вписать окружность, следовательно, CM=CD=16. Значит меньшее основание CB=CM+MB= . . 2) Пусть CD=12, AB=16 . MCDK – прямоугольник, в него можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом, MC=CD=12 . Проведем высоту BH, тогда AH=4 , пусть BM=x , тогда меньшее основание . Тогда , .
