Определенный интеграл.

Тема курсовой работы (III курс)
Определенный интеграл
В первой части курсовой работы привести определение интеграла
Римана с помощью интегральных сумм как предела интегральных сумм.
Рассмотреть необходимые и достаточные условия интегрируемости. Указать
основные классы интегрируемых функций и привести соответствующие
примеры. Привести пример монотонной интегрируемой на [a, b] функции,
имеющей бесконечно много точек разрыва. Рассмотреть примеры
неинтегрируемых функций.
Во второй части работы докажите следующие утверждения:
1) Функция Дирихле не интегрируема на отрезке [a, b].
2) Функция Римана интегрируема на любом отрезке [a, b].
3) Сумма (произведение, частное) двух неинтегрируемых функций может
оказаться интегрируемой.
2
dx
Исходя из определения интеграла, вычислить  2 .
1 x
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. 2-е изд., перер. и доп.–
Т.2.–М.: Высш. шк., 1988.–576 с.: ил.
2. Гусак А.А. Высшая математика.–Минск: Тетра Системс, 2001.
3. Математический анализ в вопросах и задачах./Под ред. В.Ф. Бутузова.–
М.: Высшая школа, 1984.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
4. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч I.–Новосибирск: Изд-во
Ин-та Мат., 2000.
Кандидат физ-мат. наук,
доцент
/Пендина Т.П./
Тема курсовой работы (IV курс)
Определенный интеграл.
Формула Ньютона-Лейбница
В первой части курсовой работы привести определение и основные
свойства: а) интеграла Римана; б) определенного интеграла с переменным
верхним пределом. Рассмотреть примеры на отыскание первообразной
непрерывной
(кусочно-непрерывной)
функции,
привести
пример,
показывающий, что интегрируемая функция может не иметь первообразной.
Во второй части работы рассмотреть понятие обобщенной

cos xdx
первообразной [1] и вычислить 
. В этой же части работы найти:
2
0 1  sin x
х
 cos(t
lim
x 0
0
x
2
)dt
1
. Показать, что интеграл
dx
2
0
x
не существует.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. 2-е изд., перер. и доп.–
Т.2.–М.: Высш. шк., 1988.–576 с.: ил.
2. Гусак А.А. Высшая математика.–Минск: Тетра Системс, 2001.
3. Математический анализ в вопросах и задачах./Под ред. В.Ф. Бутузова.–М.:
Высшая школа, 1984.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
4. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч I.–Новосибирск: Изд-во
Ин-та Мат., 2000.
Кандидат физ-мат. наук,
доцент
/Пендина Т.П./
Тема выпускной квалификационной работы
Определенный интеграл.
Формула Ньютона-Лейбница
В первой части работы рассмотреть различные подходы к понятию
определенного интеграла. Рассмотреть основные классы интегрируемых
функций и соответствующие примеры. Привести понятие интеграла с
переменным верхним пределом. Рассмотреть понятие обобщенной
первообразной [1], привести соответствующие примеры.
Во второй части работы привести доказательство следующего
утверждения:
1. Пусть функция f непрерывна на [-l, l], тогда
l
а) если f(x) – четная функция, то
l
 f ( x)dx  2 f ( x)dx ;
l
0
l
б) если f(x) – нечетная функция, то
 f ( x)dx  0 .
l
Дайте геометрическую интерпретацию этих равенств. Справедливы ли
эти равенства, если f(x) интегрируемая на [-l, l], но не обязательно
непрерывная функция?
2. Вычислите, используя первообразную для кусочно-непрерывной
функции:


1
1
d 
1
d  1 
а)   arctg dx ; б)  
dx .
1 
dx
x
dx


1
1


1  2 x 
Почему формальное применение формулы Ньютона-Лейбница приводит
к неверным результатам?
2
 2
3. Вычислить  f ( x ) dx , где f ( x)   x , если 0  x  1 двумя способами:
2  x, если 1  x  2
0
а) используя первообразную для f(x), построенную на всем отрезке [0; 2];
б) разбивая промежуток [0; 2] на отрезки [0; 1] и [1; 2].
2
dx
I

4. Вычислить
 1  0,5 cos x .
0
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. 2-е изд., перер. и доп.–
Т.2.–М.: Высш. шк., 1988.–576 с.: ил.
2. Гусак А.А. Высшая математика.–Минск: Тетра Системс, 2001.
3. Математический анализ в вопросах и задачах./Под ред. В.Ф. Бутузова.–М.:
Высшая школа, 1984.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
4. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч I.–Новосибирск: Изд-во
Ин-та Мат., 2000.
Кандидат физ-мат. наук,
доцент
/Пендина Т.П./