Содержание - Физико-математический факультет

ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет
им. И. Я. Яковлева»
Курсовая работа
Тема: Использование МП Maple для решения
нелинейных уравнений и их систем
Выполнила: студентка
физико-математического факультета
4 курса группы ИМ-4
Гаврилова Екатерина
Руководитель: доцент
Горский А. В.
Чебоксары 2009
2
Содержание
Введение……………………………………………………………………………….………3
Глава 1. Исследование уравнений в математическом анализе……………………………4
§1. Общие свойства функции……………………………………………………..…….4
§2. Графический метод исследования уравнений ……………………………..……...5
§3. Пример исследования уравнения с графической иллюстрацией………….…….13
Глава 2. Математическая система Maple …………………………………………..……...16
§4. Общая характеристика системы………………………………………………...…16
1.
Функции, используемые для решения уравнения…………………….…16
2. Функции, используемые для проверки решения уравнения………..……18
3. Функции, используемые для построения графиков………………………19
§5. Методика решения уравнений……………………………………………………..22
Глава 3. Исследование уравнений в системе Maple ………………………………….…..24
Заключение………………………………………………………………………….……….35
Литература……………………………………………………………………….…………..36
3
Введение
Актуальность темы. Сравнительный анализ уровня решаемости алгебраических и
трансцендентных уравнений в системе Maple обусловлен практической потребностью в
разрешении вопросов, определяющих границы применяемости системы Maple для
использования в учебном процессе. Несмотря на направленность Maple на серьезные
математические расчеты, системы класса Maple необходимы широкой категории
пользователей – студентам, преподавателям ВУЗов, инженерам, аспирантам, научным
работникам и учащимся математических классов общеобразовательных и специальных
школ.
Применение
системы
Maple
в
образовании
способствует
повышению
фундаментальности математического образования, сближает нашу образовательную
систему с западной.
Цель исследования – выявить три уровня решаемости уравнений в системе Maple
(полное решение, частичное решение, нет решения).
Объект исследования – реализация возможностей математического пакета Maple при
решении алгебраических и трансцендентных уравнений.
Предмет исследования – возможности математического пакета при решении
алгебраических
и
трансцендентных
уравнений
(рациональных,
иррациональных,
показательных, логарифмических, содержащих неизвестное под знаком абсолютной
величины), а так же систем уравнений.
Задачи исследования: Исследование решаемости уравнений в математическом
анализе. Исследование возможностей математической системы Maple при решении
уравнений. Исследование решаемости уравнений в системе Maple
Методы исследования – эмпирические методы изучения продуктов деятельности
(решения уравнений), статистическая обработка как качественный и количественный
анализ трех уровней решаемости уравнений в системе Maple.
4
Глава I. Исследование уравнений в математическом анализе
§1. Общие свойства функции
1. Задание области определения и области значений функции
Область определения и область значений функции могут состоять из отрезков,
интервалов и отдельных числовых значений.
Интервал — множество действительных значений х, заключенных между двумя не
совпадающими значениями х = а и х = b (а < b), исключая сами эти значения а и b:
x
(а, b), а < х < b,
где значения а и b называются концами интервала, а значения x ∈ (а, b)— внутренними
точками интервала.
Если x ∈ R, т. е. областью определения являются все действительные числа, то иногда
пишут x ∈ (-∞, +∞).
Аналогичной записью пользуются, когда интервал не ограничен с одной стороны: x ∈
(-∞, b), x ∈ (a, +∞).
Если к интервалу присоединим его концы а и b, то получим отрезок:
a ≤ x ≤ b, или x ∈ [a, b]
Отрезок и интервал называются промежутками.
Если к интервалу присоединим один из его концов (левый или правый), то получим
полуоткрытый промежуток:
[a, b), или (a, b].
Зная аналитическое представление функции и свойства тех операций, которые его
составляют, мы можем исследовать нашу функцию, в частности найти ее область
определения.
Окрестностью точки х = х0 называется всякий интервал, для которого точка х0 является
внутренней.
Если областью определения функции являются все действительные числа, то говорят,
что функция определена на всей числовой оси, или в интервале «от минус бесконечности
до плюс бесконечности»:
-∞ < x < +∞ или (- ∞, + ∞).
5
§2. Графический метод исследования уравнений
1. Монотонность. Четность. Периодичность. Ограниченность.
Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух
значений х1, х2 аргумента из этого интервала значения функции удовлетворяют условию:
f (x2) > f (x1) при x2 > x1.
Функция называется убывающей в некотором интервале, если f (x2) < f (x1) при x2 > x1
Функция либо только возрастающая, либо только убывающая называется монотонной.
Четной называется функция, удовлетворяющая условию f(-х) = f (х), если х и -х
принадлежат области определения функции f (х).
Нечетной называется функция, удовлетворяющая условию f(-х) = - f (х), если х и - х
принадлежат области определения функции f (х).
Периодической называется функция, удовлетворяющая условию f(х+T)= f (х) для
любого х. Наименьшее значение Т > 0, удовлетворяющее этому условию, называется
периодом функции.
Функция f (х) называется ограниченной, если существует такая постоянная величина А,
что | f(х) | ≤ A при любом значении аргумента х. В противном случае функция f(х)
называется неограниченной.
2. Возрастание и убывание функции одной переменной
Определение. Говорят, что функция f (x) возрастает в промежутке (а, b), если любому
большому значению аргумента х в этом промежутке соответствует большее значение
функции; иными словами, f(х) есть возрастающая функция (рис 1,а) в промежутке (а, b),
если, каковы бы ни были значения x1 и х2 из этого промежутка, из неравенства
x2 > x1 вытекает неравенство f (x2) > f (x1)
Аналогично, говорят, что функция f(x) убывает в промежутке (a, b), если любому
большему значению аргумента х в этом промежутке соответствует меньшее значение
функции; иными словами, f(х) есть убывающая функция (рис.1,б) в промежутке (а, b),
если каковы бы ни были значения x1 и х2 из этого промежутка, из неравенства
x2 > x1 вытекает неравенство f (x2) < f (x1)
6
Рис.1
Теорема 1. Необходимый признак возрастания (убывания) функции
1) Если дифференцируемая функция возрастает в некотором промежутке, то
производная этой функции неотрицательна в этом промежутке.
2) Если дифференцируемая функция убывает в некотором промежутке, то ее
производная и не положительна в этом промежутке.
Теорема 2. Достаточный признак возрастания (убывания) функции
1) Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого
промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.
2) Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого
промежутка, то функция убывает на этом промежутке.
Функция, возрастающая (или убывающая), называется монотонной. Промежутки, в
которых
данная
функция
возрастает
или
убывает,
называются
промежутками
монотонности этой функции.
3. Максимумы и минимумы функции
Точка х =х0 называется точкой (относительного) максимума функции f (х) (рис. 2), если
существует такая окрестность точки х0, что для всех значений х из этой окрестности
выполняется неравенство
Рис. 2
f (x ) < f (x0)
Рис. 3
7
Точка х = х0 называется точкой (относительного) минимума функции f(х) (рис. 3), если
существует такая окрестность точки х0, что для всех значений х из этой окрестности
выполняется неравенство
f (x ) > f (x0)
Максимум или минимум функции называется экстремумом функции, а те значения
аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками
экстремума функции (соответственно: точками максимума или точками, минимума
функции).
Из определения следует, что экстремум функции, вообще говоря, имеет локальный
характер — это наибольшее или наименьшее значение функции по сравнению с
близлежащими значениями ее. Поэтому наличие экстремума функции при некотором
значении аргумента нисколько не зависит от того, как ведет себя функция вдали от этого
значения.
Необходимое условие экстремума функции
Теорема. В точке экстремума дифференцируемой функции производная данной
функции равна нулю.
Геометрическая иллюстрация. Геометрически условие f ' (x0)=0 обозначает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции у = f (х) касательная к ее графику параллельна
оси Ох (рис. 4, а).
Рис.4
Следствие. Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где
производная функции равна нулю или не существует.
8
Те значения аргумента х, которые для данной функции f (х) обращают в нуль ее
производную f '(х) или для которых производная f '(х) не существует (например,
обращается в бесконечность), называются критическими значениями аргумента.
Достаточные условия экстремума функции
Из того обстоятельства, что f '(x0) = 0, вовсе не следует, что функция f (x) имеет
экстремум при х = х0.
Не для всякого критического значения аргумента функции f (х) имеет место экстремум
этой функции.
Теорема. Если дифференцируемая функция f (x) такова, что для некоторого значения х0
ее аргумента х производная f ' (х) равна нулю и меняет свой знак при переходе через это
значение, то число f (x0) является экстремумом функции f (x) причем:
1) функция f (x) имеет максимум при х = х0, если изменение знака производной f ' (х)
происходит с плюса на минус;
2) функция f (x) имеет минимум при х = х0, если изменение знака производной f ' (х)
происходит с минуса на плюс.
Отыскание точек максимума или минимума
Для отыскания точек (относительных) максимума и минимума переменной величины
поступают так:
1. Выразив сообразно условию задачи данную переменную величину как функцию
независимой переменной, находят производную этой функции (пусть (а, b) —область
определения этой функции).
2. Приравнивают производную нулю, решают полученное уравнение f '(х) = 0 и находят
его корни (стационарные точки). Кроме них находят еще и точки разрыва производной
f '(х) = 0 .
3. Каждую из стационарных точек, а также точек разрыва производной исследуют на
максимум и минимум одним из следующих двух способов.
Первый способ.
Допустим, что c1 ,c2 ,…, ck — корни уравнения f '(х) = 0 . В таком случае определяем знаки
производной f '(х) в каждом из интервалов (а, с1), (с1, с2), ..., (сk, b).
Тем самым будет выяснено, изменяет ли и как именно производная знак при переходе
(слева направо) через каждую из точек c1 ,c2 ,…, ck. Если при переходе, например, через
точку c1 производная меняет знак с «—» на «+», то в точке с1 функция имеет минимум,
9
если с «+» на «—» — то максимум. Если же знак производной при переходе, например,
через точку с2 не меняется, то в этой точке функция не имеет экстремума.
Второй способ.
Пусть c1 ,c2 ,…, ck — корни уравнения f '(х) = 0. Находим вторую производную f " (х) и
определяем знак второй производной при каждом из значений c1 , c2 ,…, ck .
Если, например, в точке c1 f " (c1) < 0 то в этой точке функция имеет максимум;
если например, в точке с2 f " (c2) > 0 то в этой точке функция имеет минимум;
если же, например, в точке с3 f " (c3) = 0 то ничего определенного сказать нельзя.
В последнем случае следует обратиться к первому способу отыскания экстремума
функции.
4. Наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на этом отрезке функция
достигает наибольшего значения. Будем предполагать, что на данном отрезке функция
f(x) имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается
внутри отрезка [a, b] ,то очевидно, что это значение будет одним из максимумов функции,
а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет
достигаться на одном из концов отрезка.
Итак, функция на отрезке [a, b] достигает своего наибольшего значения либо на одном
из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является
точкой максимума. То же можно сказать и о наименьшем значении функции: оно
достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке,
которая является точкой минимума.
Тогда можно вывести следующее правило: если требуется найти наибольше значение
непрерывной функции на отрезке [a, b], то надо:
1. найти все максимумы функции на отрезке [a, b];
2. определить значения функции на концах отрезка, т.е. вычислить f(a)и f(b);
3. из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее; оно и будет
представлять собой наибольшее значение функции на отрезке.
Аналогично образом следует поступать и при определении наименьшего значения
функции на отрезке.
5. Выпуклость и вогнутость графика функции
Определение. График дифференцируемой функции у = f (х) называется вогнутым вверх
(или выпуклым вниз) в промежутке (а, b), если соответствующая часть кривой
10
у = f (х), (x ∈ (a,b))
(1)
расположена выше касательной, проведенной в любой ее точке М( х, f (х)) (рис.5, а).
Рис. 5
Аналогично, график дифференцируемой функции у = f (х) называется выпуклым вверх
(или вогнутым в низ) в промежутке (а, b), если соответствующая часть кривой (1) расположена ниже касательной, проведенной в любой ее точке М(х , f (х)) (рис 5, б).
Кривая у = f (х) называется выпуклой (вогнутой) кверху, если ее произвольная дуга
лежит над (под) хордой, стягивающей эту дугу. На рис. 6 дуга АС выпукла кверху, а дуга
CB вогнута кверху. Выпуклая дуга лежит под любой своей касательной, а вогнутая — над
любой своей касательной.
Рис.6
Достаточное условие вогнутости (выпуклости) графика функции
Теорема. Если для дважды дифференцируемой функции у = f (х), вторая ее производная
f " (х) положительна внутри промежутка (а, b), то график этой функции вогнут вверх в
данном промежутке. Если же вторая производная f " (х) отрицательна внутри промежутка
(а,b), то график функции у = f (х) вогнут вниз в этом промежутке.
6. Точки перегиба
Определение. Точкой перегиба графика дифференцируемой функции у = f (х)
называется его точка, при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на
выпуклость или наоборот (рис 7).
11
Рис. 7
Теорема. Если для функции у = f (х) вторая производная ее f " (х ) в некоторой точке х0
обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет свой знак на обратный, то точка
М(х0, f (х0)) является точкой перегиба графика функции.
Точкой перегиба называется такая точка, в которой кривая расположена по разные
стороны своей касательной. Точка перегиба отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой
ее части.
Замечание. В точке перегиба х0 функции у = f (х) вторая производная f " (х0) может
также не существовать( например, обращаться в бесконечность).
Необходимый признак существования точки перегиба
В точках перегиба графика функции у = f (х) ее вторая производная f " (х) обращается в
нуль
f " (х)=0.
Замечание 1. Однако не при всяком значении х0, для которого вторая производная
обращается в нуль (f " (х0)=0), функция f (х) имеет точку перегиба.
Замечание 2. Функция у = f (х) может иметь точку перегиба и в точках разрыва второй
производной f " (х).
Отыскание точек перегиба
Для отыскания точек перегиба графика функции у = f (х) необходимо:
1. Вычислить вторую производную f " (х) данной функции.
2. Найти те значения х в интервале (а, b), при которых f " (х) обращается в нуль
(т. е. решить уравнение f " (х)=0) или имеет точку разрыва; пусть эти значения будут:
x1, x2, …, xk.
3. Определить знак второй производной f " (х) в каждом из интервалов
(а, x1), (х1,x2, ... , хk, b). Тем самым будет выяснено, изменяет ли вторая производная f
(х) знак при переходе через каждую из точек x1, x2, …, xk . Изменение знака f " (х),
например, в точке x1, указывает, что при х = х1 функция имеет точку перегиба. Если знак f
12
" (х) не изменяется, например, при переходе через точку х2, то при х = х2 функция не
имеет точки перегиба.
4. Если при х = х1 функция f (х) имеет точку перегиба, то, определив значение функции
в этой точке f (х1), мы найдем координаты точки перегиба (x1, f (x1)).
7. Асимптоты графика функции
Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функций, если хотя бы одно
из предельных значений
или
равно + или –.
Замечание 1. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.
Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при
,если f(x)=kx+b+a(x), где
или
Теорема. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x)
при, тогда и только тогда, когда существуют
,
,
причем наклонная асимптота называется правой (левой).
Доказательство: Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b
при
т.е. имеет место равенство
, получаем
Переходя к пределу при
. Тогда переходя к пределу при
. Далее из f(x)=kx+b+a(x) следует b=f(x)-kx-a(x).
получаем
Докажем обратное утверждение. Пусть пределы, указанные в теореме, существуют и
конечны. Следовательно, f(x)-kx=b+a(x), при
. Отсюда и получаем представление
f(x)=kx+b+a(x). Теорема доказана.
Замечание 2. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при
– правой (левой).
8. Схема построения графика функции
В данном пункте познакомимся с примерной схемой, по которой целесообразно
исследовать повеление функции и строить ее график. Для иллюстрации приведем
примеры.
Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в
следующем порядке:

найти область определения функции;

найти точки пересечения графика функции с осями координат;

найти асимптоты;
13

найти точки возможного экстремума;

найти критические точки;

определить участки возрастания и убывания функции, найти направление
выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба;

построить график, учитывая исследование, проведенное ранее.
При этом в начале исследования полезно проверить, является данная функция четной
или нечетной, чтобы при построении использовать симметрию графика относительно оси
ординат или начала координат.
§3. Пример исследования уравнения с графической иллюстрацией
Пример. Построить график функции
Исследовать функцию
и построить ее график.
Решение:

Область существования функции – интервал
. Сразу отметим,
что при x < 0 имеем y < 0, а при x > 0 имеем y > 0.

Функция всюду непрерывна.

Исследуем функцию на максимум и минимум: из равенства
находим
критические
точки:
критических точек:
при
имеем
;
при
имеем
.
Следовательно, что при x =-1 функция имеет минимум:
.
Далее
при
при
имеем
имеем
Следовательно, при
функция имеет максимум:
.

Определим области возрастания и убывания функции:
Исследуем
характер
14
при
при
при

имеем
имеем
–функция убывает ,
- функция возрастает,
имеем
- функция убывает.
Определим области выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба:
получаем
.
Исследуя
как функцию от , находим
при
- кривая выпуклая,
при
- кривая вогнутая,
при
- кривая выпуклая,
при
- кривая вогнутая.
Следовательно, точка с координатами
перегиба; точно же точки (0,0) и (

,
есть точка
) суть точки перегиба.
Определим асимптоты кривой:
при
при
Следовательно, прямая
.
есть единственная наклонная асимптота.
Вертикальных асимптот кривая не имеет, так как ни для одного конечного
значения x функция не стремится к бесконечности.

По результатам, полученным в предыдущих пунктах, построим график функции
(рис.8).
15
0.4
0.2
-1.5
-1
-0.5
0.5
-0.2
-0.4
Рис.8
1
1.5
16
Математическая среда Maple
§4. Общая характеристика мат. пакета Maple
Система Maple для Windows была создана группой «The Symbolic Group»,
организованной Кейтом Геддом (Keith Geddes) и Гастоном Гоне (Gaston Gonnet) в 1980
году в университете Waterloo, Канада.
Простота задания опций, легкость подготовки графических процедур позволяет
осуществлять визуализацию решения математических задач.
В математической системе Maple 12 есть несколько средств для решения линейных и
нелинейных уравнений и неравенств. Разделим их на 3 группы:
4. Функции, используемые для решения уравнения

Solve

Fsolve

Allvalues
5. Функции, используемые для проверки решения уравнения

Subs

Eval

Simplify

Evalf

convert
6. Функции, используемые для построения графиков.

Plot

Implicitplot

Plot3d
1. Так, для решения линейных и нелинейных уравнений в аналитическом виде
используется функция
solve(eqn, var) или so1ve({eqnl,eqn2,.. .}.{varl,var2,...}),
где eqn — уравнение, содержащее функцию ряда переменных, var — переменная, по
которой ищется решение. Если при записи eqn не используются знак равенства или знаки
отношения, считается, что solve ищет корни уравнения eqn=0.
Характер решений можно изменить с помощью глобальных переменных:

_SolutionsMayBeLost — при значении true дает решение, которое при обычном
применении функции solve возвращает значения NULL;
17

_MaxSols — задает максимальное число решений;

_EnvAllSolutions — при значении true задает выдачу всех решений.
В решениях могут встречаться следующие обозначения:

_NN — указывает на неотрицательные решения;

_В — указывает на решения в бинарной форме;

_Z — указывает на то, что решение содержит целые числа;

%N — при текстовом формате вывода задает общие члены решения и
обеспечивает более компактную форму его представления.
При решении систем, уравнения и список переменных задаются как множества, то есть в
фигурных скобках. При этом и результат решения получается в виде множества. Чтобы
преобразовать его к обычному решению, нужно использовать функцию assign, которая
обеспечивает присваивание переменным значений, взятых из множества.
Функция solve может использоваться для решения тригонометрических уравнений, но она
находит только одно (главное) решение. Периодичность тригонометрических функций и
связанная с этим множественность решений оказались проигнорированы. Однако можно
попытаться найти все периодические решения, выполнив следующую команду:
_EnvAllSolutions:=true;
Указанная в ней системная переменная отвечает за поиск всех периодических решений,
когда ее значение равно true, и дает поиск только главных решений при значении false,
принятом по умолчанию.
Функция solve старается дать решение в аналитическом виде. Это не означает, что ее
нельзя использовать для получения корней уравнений в численном виде. Просто для этого
придется использовать функции evalf или convert. Если результат решения представлен
через функцию RootOf, то зачастую можно получить все корни с помощью функции
allvalues.
В решениях уравнений нередко появляется функция RootOf, означающая, что корни
нельзя выразить в радикалах. Для получения решений вида RootOf в явном виде может
использоваться функция allvalues.
18
Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных
уравнений в форме вещественных чисел удобно использовать функцию fsolve( eqns. vars.
options )
Эта функция может быть использована со следующими параметрами:


complex — находит один или все корни полинома в комплексной форме;
full digits — задает вычисления для полного числа цифр, заданного функцией
Digits;

maxsols=n — задает нахождение только n корней;

interval — задается в виде а. .b или х=а. .b, или (х=а. .b, y=c. .d, ...} и обеспечивает
поиск корней в указанном интервале.
Функция fsolve дает решения сразу в форме вещественных или комплексных чисел.
Заметим, что локализация поиска корней в заданном интервале позволяет отыскивать
такие решения, которые не удается получить с помощью функций solve и fsolve в
обычном применении.
2. Также важной операцией при работе с выражениями являются подстановки.
Подстановки в общем случае служат для замены одной части выражения на другую.
Частным видом является операция замены символьного значения переменной её
численным значением.
subs(x=a,e) - в выражении e заменяет x на a.
Функция simplify — предназначена для упрощения математических выражений. В системе
Maple используется в следующем виде:

simplify(expr) — возвращает упрощенное выражение ехрr или повторяет его, если
упрощение в рамках правил Maple невозможно;

simplify(expr, nl, n2, ...) —возвращает упрощенное выражение ехрr с учетом
параметров с именами nl, n2, ... (в том числе заданных списком или множеством);

simplify(ехрг,assume=prop) — возвращает упрощенное выражение ехpr с учетом
всех условий.
Функция simplify — многоцелевая. Она обеспечивает упрощение математических
выражений, выполняя следующие типовые действия:
19

комбинируя цифровые подвыражения (3*х*5->15*х, 10*х/5->2*х);

приводя подобные множители в произведениях (х^3*а*х->а*х^4);

приводя подобные члены в суммах (5*х+2+3*х->8*х+2);

используя тождества, содержащие ноль (а+0->а, х-0->х);

используя тождества, содержащие единицу (1*х->х);

распределяя целочисленные показатели степени в произведениях ((3*x*y^3)^2 >9*х^2*у^6);

сокращая ехрr на наибольший общий полиномиальный или иной множитель;

понижая степень полиномов там, где это возможно;

используя преобразования, способные упростить выражения
3. Для построения графиков служит функция plot. Она задается в виде:
plot(eqn, var, v, о)
где eqn — визуализируемая функция (или функции), var — переменная с указанием
области ее изменения, v — необязательная переменная с указанием области изменения, о
— параметр или набор параметров, задающих стиль построения графика (толщину и цвет
кривых, тип кривых, метки на них и т. д.).
Самыми простыми формами задания этой функции являются следующие:

plot(f ,xmin,xmax) — построение графика функции f, заданной только своим
именем;

plot(f(x),x=xmin..xmax) — построение графика функции f(x),
Диапазон изменения независимой переменной х задается как xmin. xmax, где xmin и xmax
— минимальное и максимальное значение х, .. (две точки) — составной символ,
указывающий на изменение независимой переменной.
Помимо построения самой кривой у(х) или f(x) можно также задать ряд других свойств
графиков, например вывод координатных осей, тип и цвет линий графика и др. Это
достигается применением параметров графика. Графики обычно (хотя и не всегда)
строятся сразу в достаточно приемлемом виде. В Maple 7 можно задавать управляющие
параметры в явном виде.
Для двумерного графика возможны следующие параметры:
20

adaptive — включение адаптивного алгоритма построения графиков

axes — вывод различных типов координат (axes=NORMAL — обычные оси,
выводятся по умолчанию, axes=BOXES — график заключается в рамку с осямишкалами, axes=FRAME — оси в виде перекрещенных линий, axes=NONE — оси не
выводятся);

color — задает цвет кривых;

coords — задание типа координатной системы;

discont — задает построение непрерывного графика (значения true или false);


font — задание шрифта в виде [семейство, стиль, размер];
labels — задание надписей по координатным осям в виде [X, Y], где X и Y —
надписи по осям х и у графика;

legend — задает вывод легенды (обозначения кривых);

scaling — задает масштаб графика: CONSTRAINED (сжатый) или
UNCONSTRAINED (несжатый — по умолчанию);


title — задает построение заголовка графика (title="string", где string — строка);
view=[A, В] — определяет максимальные и минимальные координаты, в пределах
которых график будет отображаться на экране, А = [xmin. .xmax], B=[ymin. .ymax]
(по умолчанию отображается вся кривая);
Для задания двумерного графика неявного вида служит функция импликативной
графики:
implicitplot (eqn,x=a..b,y=c..d,options)
где eqn — визуализируемая функция (или функции), x=a..b, y=c..d – минимальные
и максимальные значения переменных
Для построения графиков трехмерных поверхностей Maple имеет встроенную в ядро
функцию plot3d. Она может использоваться в следующих форматах:

plot3d(exprl. x=a..b. y=c..d,p)

plot3d(f, a..b. c..d.p)

plot3d([exprf,exprg,exprh]. s=a..b, t=c..d.p)

plot3d([f.g.h]. a..b, c..d,p)
21

В двух первых формах plot3d применяется для построения обычного графика
одной поверхности, в других формах — для построения графика с
параметрической формой задания поверхности. В приведенных формах записи f, g
и h — функции; exprl — выражение, отражающее зависимость от -х и у; exprf,
exprg и exprh — выражения, задающие поверхность параметрически; s, t, а и b —
числовые константы действительного типа; end — числовые константы или
выражения действительного типа; х, у, s и t — имена независимых переменных; р
— управляющие параметры.
22
§6. Методика решения уравнений:
1. ввод данного уравнения;
2. предварительный анализ уравнения (определение вида, ожидаемого количество
корней);
3. построение графика функции с помощью Plot (проверка предположений о
количестве корней и периодичности функции);
4. для нахождения решения используем функцию solve. Если найдены:
 все корни (по предварительному исследованию и графику);
 не все корни, тогда используем _EnvAllSolution := true (для вывода
периодических решений);
 уравнение не решается символьными методами fsolve (численные методы
решения уравнений);
5. проверка полученных корней уравнений, подстановка с помощью subs и методом
пристального взгляда (на графике);
6. заключение по результатам полученного решения.
Методика решения систем уравнений:
1. ввод данной системы уравнений;
2. предварительный анализ системы уравнений (определение вида уравнений,
ожидаемого количество корней);
3. построение графика функции с помощью Plot3D (проверка предположений о
количестве корней и периодичности функций);
4. для нахождения решения используем функцию Solve. Если найдены:
 все корни (по предварительному исследованию и графику);
 не все корни, тогда используем _EnvAllSolution := true (для вывода
периодических решений)
 уравнение не решается символьными методами fsolve (численные методы
решения уравнений);
5. проверка полученных корней уравнений, подстановка с помощью subs;
6. заключение по результатам полученного решения.
23
Краткая методика решения уравнения( для нахождения верного решения в кратчайшие
сроки):
1. Ввод данного уравнения
2. Построение графика
3. Для нахождения решения используем оператор Solve
4. Получаем результат
5. Проверяем полученные корни уравнения с помощью subs
Пример:
24
Исследование уравнений в системе Maple
Здесь представлены примеры работы мат.пакета Maple при решении различных видов
уравнений и их систем.
1. Рациональные уравнения
>
>
>
>
>
>
>
25
2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
>
>
>
>
>
26
3. Иррациональные уравнения
>
>
>
>
>
27
4. Показательные уравнения
>
>
>
>
>
28
5. Логарифмические уравнения
>
>
>
>
>
>
29
6. Тригонометрические уравнения
>
>
>
>
>
30
7. Комбинированные уравнения
>
>
>
>
>
>
>
31
8. Системы рациональных уравнений
>
>
>
>
>
>
>
>
32
9. Системы показательных и логарифмических уравнений
>
>
>
>
33
10. Системы тригонометрических уравнений
>
>
>
>
>
>
34
Таблица 1
Статистика решаемости различных видов уравнений
Решаемость
Тип уравнения
Полностью
Частично
Рациональные
10
0
С модулем
10
0
Иррациональные
7
3
Показательные
10
0
Логарифмические
10
0
Тригонометрические
8
2
Комбинированные
8
2
Нет
0
0
0
0
0
0
0
Из 70 уравнений (100%), предложенных к решению, полностью решены 63 (90%),
частично 7 (10%), не решенных уравнений нет.
Таблица 2
Статистика решаемости различных видов систем уравнений
Решаемость
Тип уравнения
Полностью
Частично
Рациональные
9
1
Показательные
и
8
2
логарифмические
Тригонометрические
7
3
Нет
0
0
0
Из 30 систем (100%), предложенных к решению, полностью решены 25 (83%), частично
5 (17%), не решенных систем нет.
Вывод: мат пакет Maple позволяет получить решение (пусть не всегда полное) для
любых видов алгебраических и трансцендентных уравнений и их систем.
35
Заключение
Сравнительный анализ уровня решаемости алгебраических и трансцендентных
уравнений в системе Maple показал 90%-ую решаемость уравнений и 83%-ую решаемость
систем уравнений, что позволяет использовать в учебном процессе.
Цель исследования достигнута: выявлены три уровня решаемости уравнений и систем в
математическом пакте Maple (полное решение, частичное решение, нет решения),
статистические данные сведены в таблицы 1 и 2.
Не реализованы возможности математического пакета Maple при решении уравнений –
10%, и 17% при решении систем уравнений.
Таким образом, рассмотрены три метода поиска решений уравнений (символьное,
численное и графическое), входящих в состав математического пакета при решении
алгебраических
и
трансцендентных
уравнений
(рациональных,
иррациональных,
показательных, логарифмических, содержащих неизвестное под знаком абсолютной
величины), а так же систем уравнений.
Выполнены задачи исследования математическими методами.
.
36
Литература
1.
Бронштейн, И. Н., Семендяев, К. А. Справочник по математике для инженеров и
учащихся втузов. – М.: Наука, 1986 – 544 с.
2.
Горский, А. В., Горский, П. В. Практикум по информационным технологиям в
математике. – Чебоксары, 2008. – 98с.
3.
Корн,
Г., Корн, Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. – М.: Наука, 1970.- 720 с.
4.
Цыпкин, А. Г. Справочник по математике для средней школы. /Под ред. С. А.
Степанова / – М.: Наука, 1980.- 400 с.
5.
Энциклопедия для детей. / Под ред. М. Д. Аксенова / Том 11. Математика. – М.:
Аванта+, 1998. – 688 с.