Документ 944654

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ С.М.КИРОВА
Физико-математический факультет
кафедра алгебры и геометрии
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан физико-математического факультета
_______________И.Н. Медведева
«_____»_____________200__г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ДДС.06. ГЕОМЕТРИЯ
ООП: Специальность 030100.00 Информатика
с дополнительной специальностью математика (код ОКСО 050202)
Факультет: физико-математический
Форма обучения: дневная
III курс, 6 семестр
Всего (часов по учебному плану в трудоемкости): 54
Лекции (часов по учебному плану): 20
Практические (лабораторные) работы (часов по учебному плану):12
Самостоятельная работа (часов по учебному плану): 22
Зачет, 6 семестр
ПСКОВ
2007
Рабочая программа составлена на основании Государственного
образовательного
стандарта
высшего
профессионального
образования
по
специальности 032100.00 Математика с дополнительной специальностью физика.
Номер государственной регистрации
№ 692 пед/сп (новый)
«31» января 2005 г.
ДДС.06.
ГЕОМЕТРИЯ
Рабочая программа принята на заседании кафедры алгебры и геометрии.
Протокол № ____ заседания кафедры
«____»____________ 200 __ г.
Программу разработала кандидат физико-математических наук, доцент
__________________________ И.Н. Медведева
Заведующий кафедрой алгебры и геометрии
________________________ И.Н. Медведева
2
1.Пояснительная записка
Требования к содержанию учебной дисциплины из Государственного
образовательного стандарта
Специальность 032100.00 Математика
с дополнительной специальностью
Квалификация учитель математики и ___
(в соответствии с дополнительной специальностью)
ДПП.Ф.06
Геометрия
398
Векторы и операции над ними. Метод координат на плоскости и в
пространстве. Прямая линия на плоскости, прямые и плоскости в
пространстве. Линии второго порядка, поверхности второго порядка.
Преобразования плоскости и пространства. Аффинные и евклидовы
n-мерные
пространства.
Проективные
Квадратичные
пространства
и
их
формы
модели.
и
квадрики.
Основные
факты
проективной геометрии. Изображения плоских и пространственных
фигур при параллельном проектировании. Аксонометрия. Элементы
топологии. Понятия гладкой линии и гладкой поверхности.
Формулы
Френе.
Первая
и
вторая
квадратичные
формы
поверхности. Внутренняя геометрия поверхности. Исторический
обзор
обоснований
геометрии.
“Начала”
Евклида.
Элементы
геометрии Лобачевского. Общие вопросы аксиоматики. Системы
аксиом Вейля евклидова пространства. Неевклидовы пространства.
Длина отрезка. Площадь многоугольника. Теорема существования и
единственности.
В данном семестре продолжается систематическое изучение курса
«Геометрия», в рамках которого осуществляется фундаментальная подготовка
будущего учителя математики.
Рабочая программа составлена в соответствии с государственным
образовательным стандартом высшего профессионального образования по
специальности 032100.00 – Информатика с дополнительной специальностью
математика.
Целью курса является формирование системы знаний, отражающей состояние
современной геометрической науки.
Логика последовательности изучения учебного материала определена
государственным образовательным стандартом.
В шестом семестре изучается дифференциальная геометрия.
3
В разделе «Дифференциальная геометрия» изучаются линии и поверхности в
евклидовом пространстве, а также некоторые вопросы внутренней геометрии
поверхности.
После изучения этого раздела студенты должны освоить следующие базовые
понятия: линия, касательная к кривой, кривизна и кручение кривой, поверхность,
первая и вторая квадратичная форма поверхности, средняя и гауссова кривизна
поверхности.
2. Учебно-тематический план
Для специальности 032100 – Информатика
с дополнительной специальностью математика.
№ Раздел, тема
п/
п
в том числе аудиторных
Всего всего лекци
практ.
часов
й
занятия
Дифференциальная
геометрия
1 Линии в евклидовом
пространстве
2 Поверхности в
евклидовом
3 пространстве
Внутренняя геометрия
поверхности
ИТОГО
54
54
32
20
12
14
8
6
14
8
6
4
4
32
20
12
самост
.
работа
22
22
3.Содержание учебной дисциплины.
I.
Дифференциальная геометрия
Линии в евклидовом пространстве
Лекция №1
Векторная
функция
скалярного
аргумента
(непрерывность
и
дифференцируемость в точке, необходимое и достаточное условие
дифференцируемости, правила дифференцирования). Простейшие и элементарные
линии. Понятие о линии (кривой). Примеры. Понятие об обыкновенной и особой
точках линии. Гладкие линии. Примеры.). Теорема о существовании касательной.
Уравнения касательной для различных способов задания кривой. Длина дуги.
Естественная параметризация
Лекция № 2
Теорема о существовании касательной к кривой. Уравнения касательной для
различных способов задания кривой. Длина дуги. Естественная параметризация.
Вектор кривизны. Кривизна линии. Радиус кривизны. Необходимое и достаточное условие линии быть простейшей. Элементы сопровождающего
трехгранника Френе. Понятие о кручении линии. Формулы Френе.
Лекция № 3
4
Плоская кривая. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации. Винтовая линия. Кривизна и кручение винтовой линии.
Поверхности в евклидовом пространстве
Лекция № 4
Векторная функция двух скалярных аргументов (обзор). Простейшая и
элементарная поверхности. Понятие об обыкновенной и особой точках
поверхности. Понятие о простой поверхности. Гладкие поверхности. Система
криволинейных координат на поверхности. Примеры.
Лекция № 5
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Уравнения касательной
плоскости и нормали к некоторым поверхностям.
Определение первой квадратичной формы поверхности. Примеры.
Метрические задачи: 1) вычисление длины дуги гладкой линии, лежащей на
поверхности; 2) вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащими на
поверхности и имеющими общую точку; 3) вычисление площади гладкой
компактной поверхности.
Лекция № 6
Понятие о второй квадратичной форме поверхности. Нормальная кривизна,
нормальное сечение поверхности. Индикатриса кривизны поверхности. Понятие
об эллиптической, параболической, гиперболической точках.
Лекция № 7
Главные направления поверхности в точке. Теорема Родрига. Главные
кривизны поверхности. Понятие о линии кривизны. Средняя и гауссова кривизны
поверхности.
Примеры поверхностей вращения постоянной полной кривизны. Частные
случаи (сфера, псевдосфера). Прямой геликоид.
Внутренняя геометрия поверхности
Лекция № 8
Внутренняя геометрия поверхности. Деривационные формулы. Теорема
Гаусса (гауссова кривизна как объект внутренней геометрии).
Лекция № 9
Изометрические поверхности. Основная теорема в геометрии изометрических
поверхностей. Примеры изометрических поверхностей. Понятие о изгибании
поверхности. Пример изгибания поверхности.
Геодезическая кривизна на поверхности. Геодезические линии. Теорема
Гаусса - Бонне.
.
Практические занятия по геометрии
 Занятие № 1. Элементы сопровождающего трехгранника.
Занятие начинается с входного контроля.
Необходимо знать определение всех элементов сопровождающего
трехгранника Френе и их уравнения.
 Занятие № 2. Кривизна и кручение кривой.
Занятие начинается с входного контроля.
5
Необходимо знать определение кривизны и кручения, вывод формулы для
вычисления кривизны и кручения в естественной и произвольной параметризации
Понимать геометрический смысл кривизны, кручения. Формулы Френе.
 Занятие № 3. Контрольная работа № 1.
 Занятие № 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Вычисление коэффициентов первой квадратичной формы поверхности.
Занятие начинается с входного контроля.
Необходимо знать определение поверхности, способы задания. Уравнения
касательной плоскости и нормали к поверхности. Знать определение первой
квадратичной формы поверхности, формулы для вычисления коэффициентов
первой квадратичной формы. Необходимо знать три задачи: 1) вычисление длины
дуги на поверхности, 2) нахождение угла между кривыми на поверхности,
3)вычисление площади области поверхности.
 Занятие №5. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная
кривизна.
Занятие начинается с входного контроля.
Необходимо знать определение второй квадратичной формы, вычисление
коэффициентов второй квадратичной формы; определение нормальной кривизны
поверхности в данной точке и ее вычисление.
 Занятие № 6. Контрольная работа №2.
4. Методические указания преподавателю
Основным методом изучения тем, вынесенных в лекционный курс, является
информационно-объяснительный метод с элементами проблемных ситуаций и
заданий студентам. На практических занятиях основным является поисковый
метод, связанный с решением различных типов задач.
Средствами обучения является базовый учебник, дополнительные пособия
для организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные
материалы, компьютерные обучающие программы, сборники задач.
Приемами организации учебно-познавательной деятельности студентов
являются приемы, направленные на осмысление и углубление предлагаемого
содержания, и приемы, направленные на развитие аналитико-поисковой и
исследовательской деятельности.
Критерии оценок
В основе оценки знаний по предмету лежат следующие основные
требования:
 освоение всех разделов теоретического курса Программы;
 умение применять полученные знания к решению конкретных задач.
Ответ заслуживает отличной оценки, если экзаменуемый показывает знания,
в полной степени, отвечающие предъявляемым к ответу требованиям: это
требование основных понятий и приемов решения задач. Отличная оценка
6
характеризует свободную ориентацию экзаменуемого в предмете. Ответы на
вопросы, в том числе и дополнительные, должны обнаруживать уверенное
владение терминологией, основными умениями и навыками.
Хорошая оценка характеризует тот ответ, который не в полной степени
удовлетворяет
вышеперечисленным
критериям,
однако,
экзаменуемый
обнаруживает прочные знания в объеме курса. Ответ должен быть достаточно
аргументирован, вопросы глубоко и осмысленно изложены.
Оценка «удовлетворительно» выставляется за то, что ответ экзаменуемого
соотносится с основными требованиями, т.е. имеются в виду твердые знания в
объеме
учебной
программы
и
умение
владеть
терминологией.
Удовлетворительная оценка выставляется за знание в целом, однако, отдельные
детали могут быть упущены.
Материалы по модульно-рейтинговой системе оценки знаний по
дисциплине
Общие положения
1. Дисциплина разбита на 4 модуля (блока).
2. По каждому модулю проводится текущий и блочный контроль.
Максимально возможное число баллов по каждому виду контроля указано в
технологической карте.
3. Студент, пропустивший текущий рейтинг по уважительной причине может
сдать его в часы самостоятельной работы. Пропуск текущего рейтинга без
уважительной причины пересдать не разрешается.
4. При повторной сдаче коллоквиума, сдаче его не по графику максимальный
балл понижается до 7.
5. По результатам рейтинга студент может получить максимальное число
баллов – 100.
6. Уровень успеваемости задается от 60%:
 студент, набравший от 60 до 75 баллов, автоматом получает оценку
«удовлетворительно»
 студент, набравший от 75 до 90 баллов, автоматом получает оценку
«хорошо»
 студент, набравший от 90 баллов и выше, автоматом получает оценку
«отлично».
7. Если студент не имеет уровня успеваемости от 35 до 60 баллов или хочет
повысить рейтинговую оценку, он сдает экзамен. На экзамен предлагается
два теоретических вопроса и задача. Каждое задание оценивается в 10
баллов. Итого (с учетом рейтинга) максимальное число баллов становиться
130.
Если студент набрал:
 65 баллов (50%) – оценка «удовлетворительно»
 91 балл (70%) – оценка «хорошо»
 110 баллов (85%) оценка «отлично».
8. Если студент набрал менее 35 баллов по итогам рейтинга, он на экзамене
проходит дополнительное собеседование по всему курсу (на уровне базовых
понятий, простейших упражнений). Вопросы задаются в количестве,
7
необходимом для получения 35 баллов. После этого получает билет и
задачу (см. п.7).
9. Если студенту не удается набрать 35 баллов, ему записывается
заработанный
балл
и
в
ведомость
ставиться
оценка
«неудовлетворительно».
Технологическая карта
Название
блока (модуля)
1. Элементы
топологии.
Вид контроля,
Воз
содержание
можное
количеств
о баллов
Текущий
1. Математический
0-3
диктант
2. Связность,
отделимость,
компактность
3. Гомеоморфизм.
Многообразия.
Макси
Контр
мальное
ольные
количество
сроки
баллов
по
блоку
15.03
0-3
22.03
0-3
29.03
32
Блочный
1. Коллоквиум №1
2. Реферат
0-10
0-4
3. Творческое задание
(сочинение, эссе)
0-4
4. Тест
0-5
1.04
0-3
0-3
8.04
15.04
0-3
22.04
0-6
0-5
6.05
29.04
0-3
0-3
0-3
10.05
13.05
20.05
4-7.04
до
11.04
2. Линии в
евклидовом
пространстве
.
до
11.04
Текущий
1. Формулы Френе
2. Кривизна, кручение в
произвольной
параметризации
3. Решение домашних
задач
20
Блочный
1. Контрольная работа №1
2. Тест
3. Поверхности
в евклидовом
пространстве
.
Текущий
1. I квадратичная форма
2. I квадратичная форма
3. Решение домашних
задач
30
Блочный
1. Тест
2. Контрольная работа №2
3. Коллоквиум №1
0-5
0-6
0-10
20.05
27.05
1618.05
4. Внутренняя
геометрия
поверхности
Текущий
1. Гауссова кривизна –
как объект внутренней
геометрии
2
0-3
3.06
3
8
5. 1-4.
Итого
6. 1-4.
Итого
Семестровый
контроль
0-15
6-8.06
15
100
Семестровый
контроль
0-15
4.06 6.06
15
100
Тематика творческих заданий для подготовки
презентаций и буклетов
1. Ты живешь в неориентируемом мире. Что это значит?
2. Топология с детского сада, возможно ли это?
(Как придумать фигуру,
которую можно нарисовать одним росчерком?)
3. Говорят, что топология – это наука-нахалка. Справедливо ли обвинение?
4. Каким минимальным числом красок можно раскрасить политическую карту
мира?
5. Почему тополог путает кофейную чашку с бубликом?
6. Топологический Колобок. Какая у него сказка? (Топологические
приключения Колобка)
7. Сфера с ручкой – это прозвище или топологический объект?
8. Удивительные превращения сферы с ручкой.
9. Что ты знаешь о гипотезе Пуанкаре?
10.Если бы река Великая была лентой Мебиуса?
11.Эйлерова характеристика объектов реального мира.
12.Топологический узел – он похож на морской?
13.Хорошо ли знают топологию научные фантасты?
14.Математические образы в реальном мире (топологический анализ) (рисунки
А.Т. Фоменко)
15.Топологические полиэдры и роман М. Булгакова «Мастер и Маргарита».
16.Бутылка Клейна как предмет вдохновения научных фантастов.
17.Как можно применить односторонность ленты Мебиуса в реальной жизни?
(Что в ленте Мебиуса привлекает изобретателей?)
18.Почему топологию называют геометрией на резиновой поверхности?
19.Лента Мебиуса в научной фантастике.
20.Топологические фокусы.
21.Что вы знаете про задачу о семи мостах?
22.Существует ли бутылка, из которой нельзя выпить и в которую нельзя
налить?
23.Граф в топологии – это титул?
24.Топология и гипотезы об устройстве Вселенной.
9
5.Рекомендации к проведению и организации самостоятельной
работы студентов.
Задание
1. Изучение теоретического материала по
теме: «Линии в евклидовом пространстве»
2. Изучение теоретического материала по
теме: «Поверхности в евклидовом
пространстве»
3. Изучение теоретического материала по
теме: «Внутренняя геометрия поверхности»
Вид контроля
Теоретический вопрос на
контрольной работе №1
Теоретический вопрос на
контрольной работе №2
Срок
Выборочное
собеседование
6.Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.
Текущий контроль:
- Самостоятельные работы
- Экспресс-опросы на занятиях (устно)
- Письменные летучки
- Индивидуальные задания по школьным учебникам
Промежуточный контроль:
- Коллоквиумы
- Тестирование
-Защита презентаций,буклетов
Итоговый контроль:
- Экзамен (в случае несогласия с рейтинговой оценкой)
Типовые формы контроля.
По теме "Дифференциальная геометрия" планируется проведение двух
контрольных работ.
Контрольная работа №1. Линии в евклидовом пространстве
1. Найти элементы сопровождающего трехгранника, кривизну и кручение кривой:
 х  cos 3 t

3
 y  sin t
 z  cos 2t

,
t0   / 4
(базовая задача)
10
Контрольная работа № 2
1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали в точке Mo(u=0, v=0), I
и II квадратичные формы, гауссову и среднюю кривизны поверхности
 x  a  b cos u  cos v

 y  a  b cos u  sin v
 z  b sin u

(базовая задача)
Контроль знаний
Тест №2 (по дифференциальной геометрии: №1 и №2)
Вопросы для подготовки к зачету:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Простейшие элементарные линии. Понятие о линии (кривой). Примеры.
Понятие об обыкновенной и особой точках линии. Гладкие линии. Примеры.
Теорема о существовании касательной. Уравнения касательной для
различных способов задания кривой.
Длина дуги. Естественная параметризация.
Кривизна кривой. Трехгранник Френе.
Кручение кривой (определение, вычисление в естественной параметризации).
Формулы Френе.
Плоская линия.
Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.
Винтовая линия. Кривизна и кручение винтовой линии.
Векторная функция двух скалярных аргументов (обзор). Простейшая и
элементарная поверхности. Понятие об обыкновенной и особой точках
поверхности. Понятие о простой поверхности. Гладкие поверхности. Система
криволинейных координат на поверхности. Примеры.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Уравнения касательной
плоскости и нормали к некоторым поверхностям.
0пределение первой квадратичной формы поверхности. Примеры.
Вычисление длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности.
Вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащими на поверхности
и имеющими общую точку. Вычисление площади гладкой компактной
поверхности.
Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна, нормальное
сечение поверхности.
Индикатриса кривизны поверхности. Понятие об эллиптической,
параболической, гиперболической точках.
Главные направления поверхности в точке. Теорема Родрига.
Главные кривизны поверхности. Понятие о линии кривизны. Средняя и
гауссова кривизны поверхности.
Примеры поверхности вращения постоянной полной кривизны. Частные
случаи (сфера, псевдосфера). Прямой геликоид.
Неудовлетворительная оценка выставляется, если ответ не удовлетворяет
хотя бы одному из требований или отсутствуют знания основных понятий и
методов решения задач.
11
7.Списки основной и дополнительной литературы
1.
2.
3.
4.
Основная литература:
Атанасян Л.С. и др. Сборник задач по геометрии, ч. II. - М.: Просвещение,
1975.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. II. - М,: Просвещение, 1987.
Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А., Геометрия, ч. II. - М.: Просвещение,
2001.
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М: Просвещение,1983.
Дополнительная литература:
1. Бляшке Дифференциальная геометрия.
2. Дж. Милнор, А. Уоллес Дифференциальная топология.
3. Гарднер Мартин. Математические головоломки и развлечения. – М., 1971.
4.Гарднер Мартин. Математические новеллы. – М., 1974.
5.Колягин Ю.М. Сборник научно-фантастических произведений. – М., Мир,
1992.
6.Оре О. Графы и их применение. – 1965.
7.Саркисян А.А. Познакомьтесь с топологией. – Просвещение, 1976.
8.Фоменко А.Т. Математические образы в реальном мире. – М., 1998.
9.Делоне Б.Н., Ефремович В.А. Что такое топология? // «Наука и жизнь»,
1970г., №8.
1. Саати Т. Вариации на тему четырех красок. // В сб. Проблемы современной
математики, 1975.
2. Журнал «В мире науки» - октябрь, 2004.
Сайты
http // www.lentamebiusa.spb.ru/about
http // www.arbuz.uz _progulri.html
http // school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_bb.htm
12