Математика - Байкальский гуманитарный институт

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ДИСЦИПЛИНЫ
«Математика»
Рекомендуется для специальности
080105.65 Финансы и кредит
Квалификация выпускника
«экономист»
1.1. ЦЕЛИ ДИСЦИПЛИНЫ
Профессиональный уровень экономиста в значительной степени зависит от того,
освоил ли он современный математический аппарат и умеет ли использовать его при
анализе сложных экономических процессов и принятии решений. В подготовке
экономистов изучение математики обоснованно занимает значительное место.
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и
универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому
математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую
фундаментальной подготовки специалиста. Изучение математики способствует
формированию личности обучаемого как специалиста в экономике и управлении,
развивает его интеллект и способность к логическому и конструктивному мышлению.
Основной целью дисциплины является обеспечение студентов достаточно глубокой
фундаментальной математической подготовкой и развитие у них навыков
математического мышления, необходимых для анализа и моделирования систем,
процессов и структур в экономике. Необходимо вооружить студентов конкретными
знаниями, умениями и навыками, позволяющими в дальнейшем согласовать
фундаментальность
математического
курса
с
прикладной
экономической
направленностью.
Именно
фундаментальность
математической
подготовки
предопределяет высокую квалификацию специалистов, овладевших математическими
методами анализа экономических систем и поиска оптимальных решений практических
задач.
1.2.
ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Задачи изучения дисциплины:
- понимание тех разделов общепрофессиональных и специальных дисциплин,
фундаментальное изложение которых требует использования математического языка,
аппарата и методов;
- применение математических методов при анализе заданных экономических,
финансовых и управленческих моделей;
- выбор математических моделей экономических и организационных систем,
анализу их адекватности, проведению элементов адаптации моделей к конкретным
содержательным задачам;
- использование комплекса средств математической поддержки
оптимальных управленческих, экономических и других решений.
принятия
1.3.ЗНАНИЯ И УМЕНИЯ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Математика» студент должен:
знать основные определения основных понятий, формулировку аксиом и теорем в
соответствии с программой курса, в следующих областях и разделах высшей математики:
аналитическая геометрия;
линейная алгебра;
последовательности и ряды;
дифференциальное и интегральное исчисления;
векторный анализ и элементы теории поля;
гармонический анализ;
дифференциальные уравнения;
численные методы;
функции комплексного переменного;
элементы функционального анализа;
теория вероятностей,
случайные процессы,
статистическое оценивание и проверка гипотез,
статистические методы обработки экспериментальных данных;
уметь
самостоятельно
электронными
работать
учебно-методическими
с
учебно-методической
комплексами;
литературой
употреблять
и
формальный
математический язык и символику для выражения количественных и качественных
отношений объектов; применять изученные математические методы при решении
типовых задач в пределах основного программного материала, а также решении
практические задач математическими методами,
иметь представления о месте и роли математики в современном мире; об основных
этапах развития изучаемых разделов математики; особенностях современной математики;
основных
математических
структурах
и
методах;
принципах
математических
рассуждений и математических доказательств; основных приемах математического
моделирования, методах создания и анализа математических моделей экономических
задач.
Осваивая дисциплину, студент приобретает умения и навыки, позволяющие ему:
− выполнять операции над множествами, векторами и матрицами;
− вычислять определители, решать системы линейных уравнений различными способами;
− оперировать с комплексными числами;
− решать задачи на различные способы задания прямой и плоскости;
− вычислять пределы числовых последовательностей и функций;
− исследовать функции с применением аппарата дифференциального исчисления;
− вычислять интегралы различными методами;
− решать дифференциальные уравнения различных типов;
− исследовать числовые ряды на сходимость;
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП
Необходимый предшествующий уровень образования студента, приступающего к
изучению дисциплины «Математика» – среднее (полное) общее образование.
Перспективные учебные дисциплины, при изучении которых может быть
востребована часть знаний и навыков, приобретенных студентами в процессе изучения
дисциплины «Математика»: экономическая теория, информационные системы в
экономике, теория систем и системный анализ, концепции современного естествознания,
информационный менеджмент, математическая экономика, статистика, эконометрика,
бухгалтерский учет, финансы и кредит, мировая экономика, маркетинг, налогообложение.
3.
СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Общая трудоемкость дисциплины составляет 600 часов.
Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы (по учебному плану)
Количество часов
очная форма обучения
Общая трудоемкость
600
Переаттестация
0
Аудиторные занятия
306
Семинарские (практические) занятия
136
Самостоятельная работа
294
НИРС
Форма итогового контроля
4.
зачет, экзамен
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Тематический план
форма обучения: очная, 5 лет
Раздел дисциплины
Семестр
№
п/п
1.
2.
3.
1. Теоретико-множественный подход в
математике. Элементы теории множеств.
2. Аксиоматический подход в математике.
Метод координат.
3. Векторы. Линейные операции над
векторами.
4. Направляющие косинусы и длина
вектора. Векторные диаграммы.
5. Скалярное произведение векторов и его
свойства. Длина вектора и угол между
двумя векторами в координатной форме.
6. Условие ортогональности двух
векторов. Механический смысл скалярного
произведения.
7. Понятие определителя. Определители
второго и третьего порядков, их свойства.
8. Определители n-го порядка. Свойства
определителей.
9. Алгебраические дополнения и миноры.
Разложение определителя по строке
(столбцу).
10. Условие коллинеарности двух векторов.
Геометрический смысл определителя
второго порядка.
11. Матрицы. Виды матриц и действия над
ними.
12. Понятие обратной матрицы.
13. Системы из двух линейных уравнений и
методы их решения.
14. Системы из трех линейных уравнений.
Матричная запись системы.
15. Система n линейных уравнений с n
неизвестными. Правило Крамера.
16. Система m линейных уравнений с n
неизвестными. Метод Гаусса.
17. Нахождение обратной матрицы методом
Гаусса.
18. Метод Гаусса в приближенной
арифметике. Теорема Кронекера −
Капелли.
19. Пространство Rn. Линейные операции
над векторами.
20. Различные нормы в Rn. Скалярное
произведение в Rn.
21. Линейные и квадратичные формы в Rn.
1,
2,
3,
4
Виды учебной работы,
включая
самостоятельную работу
студентов и трудоемкость
(в часах)
лекци практ. самост.
и
заняти работа
я
10
8
14
10
8
20
10
8
20
Форма
промежуто
чной
аттестации
4.
5.
6.
22. Линейное (векторное) пространство.
23. Вектор как элемент линейного
пространства.
24. Отображения линейных пространств.
25. Линейные отображения, их матрицы.
26. Принцип сжимающих отображений.
27. Норма оператора.
28. Евклидово пространство.
29. Неравенство Коши − Буняковского.
30. Ортогональный базис. Процесс
ортогонали-зации. Разложение вектора по
ортогональному базису.
31. Собственные векторы и собственные
значения линейных операторов.
32. Свойства собственных векторов и
собственных значений симметрических
операторов.
33. Преобразование матрицы линейного
оператора при переходе к новому базису.
Канонический вид симметрического
оператора.
34. Уравнение линий на плоскости.
Различные формы уравнения прямой на
плоскости.
35. Угол между прямыми. Расстояние от
точки до прямой.
36. Кривые второго порядка: окружность,
эллипс, гипербола, парабола, их уравнения
и геометрические свойства.
37. Уравнения плоскости и прямой в
простран-стве. Угол между плоскостями.
38. Угол между прямыми. Угол между
прямой и плоскостью.
39. Поверхности второго порядка.
Геометрические свойства этих
поверхностей, исследование их формы
методом сечений.
40. Множество вещественных чисел.
Функция. Область ее определения.
Способы задания.
41. Основные элементарные функции, их
свойства и графики.
42. Числовые последовательности, их роль
в вычислительных процессах.
43. Предел числовой последовательности.
44. Стабилизация десятичных знаков у
членов последовательности, имеющей
предел. Существование предела
монотонной ограниченной
последовательности.
45. Сложные функции, их графики.
46. Обратные функции, их графики. Класс
элементарных функций.
47. Предел функции в точке. Предел
функции в бесконечности. Пределы
монотонных функций.
48. Непрерывность функций в точке.
10
8
20
10
8
20
10
8
20
7.
8.
9.
Непрерывность основных элементарных
функций.
49. Бесконечно малые в точке функции, их
свойства. Сравнение бесконечно малых.
50. Свойства функций, непрерывных на
отрезке: ограниченность, существование
наибольшего и наименьшего значений,
существование промежуточных значений.
51. Понятие функции, дифференцируемой в
точке, дифференциал функции и его
геометрический смысл. Общее
представление о методах линеаризации.
52. Производная функция, ее смысл в
прикладных задачах (скорость, плотность).
53. Правила нахождения производной и
дифференциала.
54. Производная сложной и обратной
функции.
55. Производная обратной функции.
56. Дифференцирование функций, заданных
параметрически.
57. Точки экстремума. Теорема Ферма.
58. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
59. Производные высших порядков.
60. Правило Лопиталя.
61. Формула Тейлора. Представление
функций exp(x), sin(x), cos(x), 1n(1+x),
(1+x)а по формуле Тейлора.
62. Условия монотонности функции.
Экстремумы функции, необходимое
условие. Достаточные условия.
63. Исследование выпуклости функции.
Точки перегиба.
64. Вертикальные и горизонтальные
асимптоты функций.
65. Общая схема исследования функции и
построения ее графика.
66. Понятие кривой. Уравнение касательной
и кривой в данной точке.
67. Первообразная.
68. Неопределенный интеграл и его
свойства.
69. Методы интегрирования.
70. Использование таблиц интегралов.
71. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла. Определенный
интеграл, его свойства.
72. Формула Ньютона-Лейбница.
73. Двойной и тройной интегралы, их
свойства. Вычисление кратных интегралов
повторным интегрированием.
74. Комплексные числа, действия с ними.
Изображение комплексных чисел на пл-ти.
75. Модуль и аргумент комплексного числа.
76. Алгебраическая и тригонометрическая
формы записи комплексного числа.
77. Формула Эйлера. Показательная форма
10
8
20
10
8
10
10
8
10
10.
11.
12.
записи комплексного числа.
78. Корни из комплексных чисел.
79. Функции нескольких переменных.
Область определения.
80. Предел функции нескольких
переменных.
81. Непрерывность функции нескольких
переменных.
82. Некоторые понятия топологии.
83. Частные производные.
84. Полный дифференциал, его связь с
частными производными.
85. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
86. Частные производные высших
порядков.
87. Экстремумы функции нескольких
переменных.
88. Необходимое условие экстремума.
89. Условный экстремум.
90. Метод множителей Лагранжа.
Применение при поиске оптимальных
решений.
91. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям.
92. Дифференциальные уравнения первого
порядка.
93. Задача Коши.
94. Основные классы уравнений,
интегрируемых в квадратурах.
95. Однородные линейные
дифференциальные уравнения.
96. Неоднородные линейные
дифференциальные уравнения. Понятие
общего решения.
97. Линейные дифференциальные
уравнения с постоянными
коэффициентами.
98. Уравнения с правой частью
специального вида.
99. Приложение к описанию линейных
моделей в экономике.
100. Нормальная система
дифференциальных уравнений.
101. Автономные системы.
102. Векторная запись нормальной
системы. Геометрический смысл решения.
103. Фазовое пространство (плоскость),
фазовая кривая.
104. Приложения в моделировании
экономических процессов.
105. Задача Коши для нормальной
системы дифференциальных уравнений.
106. Системы линейных
дифференциальных уравнений.
107. Свойства решений систем
линейных дифференциальных уравнений.
10
8
10
10
8
10
10
8
10
13.
14.
15.
108. Решение систем линейных
дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
109. Предмет теории вероятностей.
Понятие случайного события.
Относительная частота. Эмпирический
закон устойчивости относительных частот.
110. Пространство элементарных
исходов. Случайные события и операции
над ними.
111. Классическое и геометрическое
определение вероятности случайного
события.
112. Аксиомы А.Н. Колмогорова.
Свойства вероятностей.
113. Условная вероятность. Формула
умножения.
114. Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
115. Независимость событий. Повторные
независимые испытания. Схема Бернулли.
Формула Бернулли.
116. Предельные теоремы Пуассона и
Муавра-Лапласа.
117. Понятие случайной величины.
Дискретные случайные величины. Ряд
распределения. Функция распределения и
ее свойства.
118. Непрерывные случайные величины.
Плотность вероятностей и ее свойства.
Связь с функцией распределения.
119. Числовые характеристики
случайных величин. Математические
ожидание и дисперсия случайных величин
и их свойства. Моменты случайных
величин.
120. Важнейшие стандартные
распределения и их характеристики:
биноминальное, Пуассона, геометрическое,
равномерное, показательное.
121. Нормальное распределение и его
свойства. Логарифмически нормальное
распределение.
122. Распределения, связанные с
нормальным: Х2, Стьюдента, Фишера.
123. Системы случайных величин.
124. Совместное распределение
случайных величин. Функция
распределения и плотность двумерной
случайной величины.
125. Независимость случайных величин.
Критерии независимости случайных
величин.
126. Распределение суммы независимых
случайных величин. Формула свертки.
127. Условные распределения. Условная
ф.р. и плотность. Условное математическое
10
8
10
10
8
10
10
8
10
16.
17.
ожидание и его свойства.
128. Зависимые случайные величины.
Ковариация и коэффициент корреляции.
Регрессия.
129. Неравенства Чебышева. Закон
больших чисел. Закон больших чисел в
форме Чебышева и Бернулли. Центральная
предельная теорема.
130. Генеральная совокупность и
выборка. Вариационный ряд.
Эмпирическая функция распределения.
Статистика. Полигон частот и гистограмма.
Теорема Гливенко (без док-ва).
131. Выборочные характеристики и их
распределение. Распределение выборочной
средней и выборочной дисперсии из
нормально распределенной генеральной
совокупности.
132. Статистики, имеющие
распределения Х2, Стьюдента, Фишера.
Лемма Фищера.
133. Точечные оценки неизвестных
параметров распределений.
Несмещенность, состоятельность,
эффективность точечных оценок.
134. Выборочные среднее и дисперсия
как оценки. Метод моментов и метод
максимального правдоподобия.
135. Интервальные оценки.
Доверительные интервалы для
математического ожидания и дисперсии
нормально распределенной генеральной
совокупности.
136. Основы регрессионного анализа.
Кривые регрессии.
137. Линейная регрессия. Оценка
остаточной дисперсии.
138. Выборочный коэффициент
корреляции.
139. Выборочное уравнение линейной
регрессии.
140. Множественная линейная
регрессия.
141. Нелинейная регрессия.
142. Корреляционное отношение и его
свойства.
143. Определение коэффициентов
нелинейных регресссий методом
наименьших квадратов и с помощью
линеаризации.
Итого
10
8
10
10
8
10
170
136
294
Тематический план
форма обучения: заочная, 6 лет
зачет,
экзамен
1.
2.
3.
Раздел дисциплины
1. Теоретико-множественный подход в
математике. Элементы теории множеств.
2. Аксиоматический подход в математике.
Метод координат.
3. Векторы. Линейные операции над
векторами.
4. Направляющие косинусы и длина
вектора. Векторные диаграммы.
5. Скалярное произведение векторов и его
свойства. Длина вектора и угол между
двумя векторами в координатной форме.
6. Условие ортогональности двух
векторов. Механический смысл скалярного
произведения.
7. Понятие определителя. Определители
второго и третьего порядков, их свойства.
8. Определители n-го порядка. Свойства
определителей.
9. Алгебраические дополнения и миноры.
Разложение определителя по строке
(столбцу).
10. Условие коллинеарности двух векторов.
Геометрический смысл определителя
второго порядка.
11. Матрицы. Виды матриц и действия над
ними.
12. Понятие обратной матрицы.
13. Системы из двух линейных уравнений и
методы их решения.
14. Системы из трех линейных уравнений.
Матричная запись системы.
15. Система n линейных уравнений с n
неизвестными. Правило Крамера.
16. Система m линейных уравнений с n
неизвестными. Метод Гаусса.
17. Нахождение обратной матрицы методом
Гаусса.
18. Метод Гаусса в приближенной
арифметике. Теорема Кронекера −
Капелли.
19. Пространство Rn. Линейные операции
над векторами.
20. Различные нормы в Rn. Скалярное
произведение в Rn.
21. Линейные и квадратичные формы в Rn.
22. Линейное (векторное) пространство.
23. Вектор как элемент линейного
пространства.
24. Отображения линейных пространств.
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Семестр
№
п/п
лекции
практ.
занятия
3
4
2
самост.
работа
30
30
2
30
Форма
промежуточн
ой
аттестации
4.
5.
6.
25. Линейные отображения, их матрицы.
26. Принцип сжимающих отображений.
27. Норма оператора.
28. Евклидово пространство.
29. Неравенство Коши − Буняковского.
30. Ортогональный базис. Процесс
ортогонали-зации. Разложение вектора по
ортогональному базису.
31. Собственные векторы и собственные
значения линейных операторов.
32. Свойства собственных векторов и
собственных значений симметрических
операторов.
33. Преобразование матрицы линейного
оператора при переходе к новому базису.
Канонический вид симметрического
оператора.
34. Уравнение линий на плоскости.
Различные формы уравнения прямой на
плоскости.
35. Угол между прямыми. Расстояние от
точки до прямой.
36. Кривые второго порядка: окружность,
эллипс, гипербола, парабола, их уравнения
и геометрические свойства.
37. Уравнения плоскости и прямой в
простран-стве. Угол между плоскостями.
38. Угол между прямыми. Угол между
прямой и плоскостью.
39. Поверхности второго порядка.
Геометрические свойства этих
поверхностей, исследование их формы
методом сечений.
40. Множество вещественных чисел.
Функция. Область ее определения.
Способы задания.
41. Основные элементарные функции, их
свойства и графики.
42. Числовые последовательности, их роль
в вычислительных процессах.
43. Предел числовой последовательности.
44. Стабилизация десятичных знаков у
членов последовательности, имеющей
предел. Существование предела
монотонной ограниченной
последовательности.
45. Сложные функции, их графики.
46. Обратные функции, их графики. Класс
элементарных функций.
47. Предел функции в точке. Предел
функции в бесконечности. Пределы
монотонных функций.
48. Непрерывность функций в точке.
Непрерывность основных элементарных
функций.
49. Бесконечно малые в точке функции, их
свойства. Сравнение бесконечно малых.
30
2
2
30
30
7.
8.
9.
50. Свойства функций, непрерывных на
отрезке: ограниченность, существование
наибольшего и наименьшего значений,
существование промежуточных значений.
51. Понятие функции, дифференцируемой в
точке, дифференциал функции и его
геометрический смысл. Общее
представление о методах линеаризации.
52. Производная функция, ее смысл в
прикладных задачах (скорость, плотность).
53. Правила нахождения производной и
дифференциала.
54. Производная сложной и обратной
функции.
55. Производная обратной функции.
56. Дифференцирование функций, заданных
параметрически.
57. Точки экстремума. Теорема Ферма.
58. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
59. Производные высших порядков.
60. Правило Лопиталя.
61. Формула Тейлора. Представление
функций exp(x), sin(x), cos(x), 1n(1+x),
(1+x)а по формуле Тейлора.
62. Условия монотонности функции.
Экстремумы функции, необходимое
условие. Достаточные условия.
63. Исследование выпуклости функции.
Точки перегиба.
64. Вертикальные и горизонтальные
асимптоты функций.
65. Общая схема исследования функции и
построения ее графика.
66. Понятие кривой. Уравнение касательной
и кривой в данной точке.
67. Первообразная.
68. Неопределенный интеграл и его
свойства.
69. Методы интегрирования.
70. Использование таблиц интегралов.
71. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла. Определенный
интеграл, его свойства.
72. Формула Ньютона-Лейбница.
73. Двойной и тройной интегралы, их
свойства. Вычисление кратных интегралов
повторным интегрированием.
74. Комплексные числа, действия с ними.
Изображение комплексных чисел на пл-ти.
75. Модуль и аргумент комплексного числа.
76. Алгебраическая и тригонометрическая
формы записи комплексного числа.
77. Формула Эйлера. Показательная форма
записи комплексного числа.
78. Корни из комплексных чисел.
79. Функции нескольких переменных.
Область определения.
30
4
2
30
30
10.
11.
12.
13.
80. Предел функции нескольких
переменных.
81. Непрерывность функции нескольких
переменных.
82. Некоторые понятия топологии.
83. Частные производные.
84. Полный дифференциал, его связь с
частными производными.
85. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
86. Частные производные высших
порядков.
87. Экстремумы функции нескольких
переменных.
88. Необходимое условие экстремума.
89. Условный экстремум.
90. Метод множителей Лагранжа.
Применение при поиске оптимальных
решений.
91. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям.
92. Дифференциальные уравнения первого
порядка.
93. Задача Коши.
94. Основные классы уравнений,
интегрируемых в квадратурах.
95. Однородные линейные
дифференциальные уравнения.
96. Неоднородные линейные
дифференциальные уравнения. Понятие
общего решения.
97. Линейные дифференциальные
уравнения с постоянными
коэффициентами.
98. Уравнения с правой частью
специального вида.
99. Приложение к описанию линейных
моделей в экономике.
100. Нормальная система
дифференциальных уравнений.
101. Автономные системы.
102. Векторная запись нормальной
системы. Геометрический смысл решения.
103. Фазовое пространство (плоскость),
фазовая кривая.
104. Приложения в моделировании
экономических процессов.
105. Задача Коши для нормальной
системы дифференциальных уравнений.
106. Системы линейных
дифференциальных уравнений.
107. Свойства решений систем
линейных дифференциальных уравнений.
108. Решение систем линейных
дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
109. Предмет теории вероятностей.
4
2
30
30
4
2
30
40
14.
15.
Понятие случайного события.
Относительная частота. Эмпирический
закон устойчивости относительных частот.
110. Пространство элементарных
исходов. Случайные события и операции
над ними.
111. Классическое и геометрическое
определение вероятности случайного
события.
112. Аксиомы А.Н. Колмогорова.
Свойства вероятностей.
113. Условная вероятность. Формула
умножения.
114. Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
115. Независимость событий. Повторные
независимые испытания. Схема Бернулли.
Формула Бернулли.
116. Предельные теоремы Пуассона и
Муавра-Лапласа.
117. Понятие случайной величины.
Дискретные случайные величины. Ряд
распределения. Функция распределения и
ее свойства.
118. Непрерывные случайные величины.
Плотность вероятностей и ее свойства.
Связь с функцией распределения.
119. Числовые характеристики
случайных величин. Математические
ожидание и дисперсия случайных величин
и их свойства. Моменты случайных
величин.
120. Важнейшие стандартные
распределения и их характеристики:
биноминальное, Пуассона, геометрическое,
равномерное, показательное.
121. Нормальное распределение и его
свойства. Логарифмически нормальное
распределение.
122. Распределения, связанные с
нормальным: Х2, Стьюдента, Фишера.
123. Системы случайных величин.
124. Совместное распределение
случайных величин. Функция
распределения и плотность двумерной
случайной величины.
125. Независимость случайных величин.
Критерии независимости случайных
величин.
126. Распределение суммы независимых
случайных величин. Формула свертки.
127. Условные распределения. Условная
ф.р. и плотность. Условное математическое
ожидание и его свойства.
128. Зависимые случайные величины.
Ковариация и коэффициент корреляции.
Регрессия.
4
2
40
40
16.
17.
129. Неравенства Чебышева. Закон
больших чисел. Закон больших чисел в
форме Чебышева и Бернулли. Центральная
предельная теорема.
130. Генеральная совокупность и
выборка. Вариационный ряд.
Эмпирическая функция распределения.
Статистика. Полигон частот и гистограмма.
Теорема Гливенко (без док-ва).
131. Выборочные характеристики и их
распределение. Распределение выборочной
средней и выборочной дисперсии из
нормально распределенной генеральной
совокупности.
132. Статистики, имеющие
распределения Х2, Стьюдента, Фишера.
Лемма Фищера.
133. Точечные оценки неизвестных
параметров распределений.
Несмещенность, состоятельность,
эффективность точечных оценок.
134. Выборочные среднее и дисперсия
как оценки. Метод моментов и метод
максимального правдоподобия.
135. Интервальные оценки.
Доверительные интервалы для
математического ожидания и дисперсии
нормально распределенной генеральной
совокупности.
136. Основы регрессионного анализа.
Кривые регрессии.
137. Линейная регрессия. Оценка
остаточной дисперсии.
138. Выборочный коэффициент
корреляции.
139. Выборочное уравнение линейной
регрессии.
140. Множественная линейная
регрессия.
141. Нелинейная регрессия.
142. Корреляционное отношение и его
свойства.
143. Определение коэффициентов
нелинейных регресссий методом
наименьших квадратов и с помощью
линеаризации.
Итого
4
2
40
38
26
16
Тематический план
форма обучения: заочная сокращенная, 4 года
558
зачет,
экзамен
1.
2.
3.
Раздел дисциплины
1. Теоретико-множественный подход в
математике. Элементы теории множеств.
2. Аксиоматический подход в математике.
Метод координат.
3. Векторы. Линейные операции над
векторами.
4. Направляющие косинусы и длина
вектора. Векторные диаграммы.
5. Скалярное произведение векторов и его
свойства. Длина вектора и угол между
двумя векторами в координатной форме.
6. Условие ортогональности двух
векторов. Механический смысл скалярного
произведения.
7. Понятие определителя. Определители
второго и третьего порядков, их свойства.
8. Определители n-го порядка. Свойства
определителей.
9. Алгебраические дополнения и миноры.
Разложение определителя по строке
(столбцу).
10. Условие коллинеарности двух векторов.
Геометрический смысл определителя
второго порядка.
11. Матрицы. Виды матриц и действия над
ними.
12. Понятие обратной матрицы.
13. Системы из двух линейных уравнений и
методы их решения.
14. Системы из трех линейных уравнений.
Матричная запись системы.
15. Система n линейных уравнений с n
неизвестными. Правило Крамера.
16. Система m линейных уравнений с n
неизвестными. Метод Гаусса.
17. Нахождение обратной матрицы методом
Гаусса.
18. Метод Гаусса в приближенной
арифметике. Теорема Кронекера −
Капелли.
19. Пространство Rn. Линейные операции
над векторами.
20. Различные нормы в Rn. Скалярное
произведение в Rn.
21. Линейные и квадратичные формы в Rn.
22. Линейное (векторное) пространство.
23. Вектор как элемент линейного
пространства.
24. Отображения линейных пространств.
25. Линейные отображения, их матрицы.
26. Принцип сжимающих отображений.
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Семестр
№
п/п
лекции
практ.
занятия
3
4
2
самост.
работа
20
20
2
20
Форма
промежуточн
ой
аттестации
4.
5.
6.
27. Норма оператора.
28. Евклидово пространство.
29. Неравенство Коши − Буняковского.
30. Ортогональный базис. Процесс
ортогонали-зации. Разложение вектора по
ортогональному базису.
31. Собственные векторы и собственные
значения линейных операторов.
32. Свойства собственных векторов и
собственных значений симметрических
операторов.
33. Преобразование матрицы линейного
оператора при переходе к новому базису.
Канонический вид симметрического
оператора.
34. Уравнение линий на плоскости.
Различные формы уравнения прямой на
плоскости.
35. Угол между прямыми. Расстояние от
точки до прямой.
36. Кривые второго порядка: окружность,
эллипс, гипербола, парабола, их уравнения
и геометрические свойства.
37. Уравнения плоскости и прямой в
простран-стве. Угол между плоскостями.
38. Угол между прямыми. Угол между
прямой и плоскостью.
39. Поверхности второго порядка.
Геометрические свойства этих
поверхностей, исследование их формы
методом сечений.
40. Множество вещественных чисел.
Функция. Область ее определения.
Способы задания.
41. Основные элементарные функции, их
свойства и графики.
42. Числовые последовательности, их роль
в вычислительных процессах.
43. Предел числовой последовательности.
44. Стабилизация десятичных знаков у
членов последовательности, имеющей
предел. Существование предела
монотонной ограниченной
последовательности.
45. Сложные функции, их графики.
46. Обратные функции, их графики. Класс
элементарных функций.
47. Предел функции в точке. Предел
функции в бесконечности. Пределы
монотонных функций.
48. Непрерывность функций в точке.
Непрерывность основных элементарных
функций.
49. Бесконечно малые в точке функции, их
свойства. Сравнение бесконечно малых.
50. Свойства функций, непрерывных на
отрезке: ограниченность, существование
20
2
2
20
20
7.
8.
9.
наибольшего и наименьшего значений,
существование промежуточных значений.
51. Понятие функции, дифференцируемой в
точке, дифференциал функции и его
геометрический смысл. Общее
представление о методах линеаризации.
52. Производная функция, ее смысл в
прикладных задачах (скорость, плотность).
53. Правила нахождения производной и
дифференциала.
54. Производная сложной и обратной
функции.
55. Производная обратной функции.
56. Дифференцирование функций, заданных
параметрически.
57. Точки экстремума. Теорема Ферма.
58. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
59. Производные высших порядков.
60. Правило Лопиталя.
61. Формула Тейлора. Представление
функций exp(x), sin(x), cos(x), 1n(1+x),
(1+x)а по формуле Тейлора.
62. Условия монотонности функции.
Экстремумы функции, необходимое
условие. Достаточные условия.
63. Исследование выпуклости функции.
Точки перегиба.
64. Вертикальные и горизонтальные
асимптоты функций.
65. Общая схема исследования функции и
построения ее графика.
66. Понятие кривой. Уравнение касательной
и кривой в данной точке.
67. Первообразная.
68. Неопределенный интеграл и его
свойства.
69. Методы интегрирования.
70. Использование таблиц интегралов.
71. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла. Определенный
интеграл, его свойства.
72. Формула Ньютона-Лейбница.
73. Двойной и тройной интегралы, их
свойства. Вычисление кратных интегралов
повторным интегрированием.
74. Комплексные числа, действия с ними.
Изображение комплексных чисел на пл-ти.
75. Модуль и аргумент комплексного числа.
76. Алгебраическая и тригонометрическая
формы записи комплексного числа.
77. Формула Эйлера. Показательная форма
записи комплексного числа.
78. Корни из комплексных чисел.
79. Функции нескольких переменных.
Область определения.
80. Предел функции нескольких
переменных.
20
4
2
20
20
10.
11.
12.
13.
81. Непрерывность функции нескольких
переменных.
82. Некоторые понятия топологии.
83. Частные производные.
84. Полный дифференциал, его связь с
частными производными.
85. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
86. Частные производные высших
порядков.
87. Экстремумы функции нескольких
переменных.
88. Необходимое условие экстремума.
89. Условный экстремум.
90. Метод множителей Лагранжа.
Применение при поиске оптимальных
решений.
91. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям.
92. Дифференциальные уравнения первого
порядка.
93. Задача Коши.
94. Основные классы уравнений,
интегрируемых в квадратурах.
95. Однородные линейные
дифференциальные уравнения.
96. Неоднородные линейные
дифференциальные уравнения. Понятие
общего решения.
97. Линейные дифференциальные
уравнения с постоянными
коэффициентами.
98. Уравнения с правой частью
специального вида.
99. Приложение к описанию линейных
моделей в экономике.
100. Нормальная система
дифференциальных уравнений.
101. Автономные системы.
102. Векторная запись нормальной
системы. Геометрический смысл решения.
103. Фазовое пространство (плоскость),
фазовая кривая.
104. Приложения в моделировании
экономических процессов.
105. Задача Коши для нормальной
системы дифференциальных уравнений.
106. Системы линейных
дифференциальных уравнений.
107. Свойства решений систем
линейных дифференциальных уравнений.
108. Решение систем линейных
дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
109. Предмет теории вероятностей.
Понятие случайного события.
Относительная частота. Эмпирический
4
2
20
20
4
2
20
20
14.
15.
закон устойчивости относительных частот.
110. Пространство элементарных
исходов. Случайные события и операции
над ними.
111. Классическое и геометрическое
определение вероятности случайного
события.
112. Аксиомы А.Н. Колмогорова.
Свойства вероятностей.
113. Условная вероятность. Формула
умножения.
114. Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
115. Независимость событий. Повторные
независимые испытания. Схема Бернулли.
Формула Бернулли.
116. Предельные теоремы Пуассона и
Муавра-Лапласа.
117. Понятие случайной величины.
Дискретные случайные величины. Ряд
распределения. Функция распределения и
ее свойства.
118. Непрерывные случайные величины.
Плотность вероятностей и ее свойства.
Связь с функцией распределения.
119. Числовые характеристики
случайных величин. Математические
ожидание и дисперсия случайных величин
и их свойства. Моменты случайных
величин.
120. Важнейшие стандартные
распределения и их характеристики:
биноминальное, Пуассона, геометрическое,
равномерное, показательное.
121. Нормальное распределение и его
свойства. Логарифмически нормальное
распределение.
122. Распределения, связанные с
нормальным: Х2, Стьюдента, Фишера.
123. Системы случайных величин.
124. Совместное распределение
случайных величин. Функция
распределения и плотность двумерной
случайной величины.
125. Независимость случайных величин.
Критерии независимости случайных
величин.
126. Распределение суммы независимых
случайных величин. Формула свертки.
127. Условные распределения. Условная
ф.р. и плотность. Условное математическое
ожидание и его свойства.
128. Зависимые случайные величины.
Ковариация и коэффициент корреляции.
Регрессия.
129. Неравенства Чебышева. Закон
больших чисел. Закон больших чисел в
4
2
20
20
16.
17.
форме Чебышева и Бернулли. Центральная
предельная теорема.
130. Генеральная совокупность и
выборка. Вариационный ряд.
Эмпирическая функция распределения.
Статистика. Полигон частот и гистограмма.
Теорема Гливенко (без док-ва).
131. Выборочные характеристики и их
распределение. Распределение выборочной
средней и выборочной дисперсии из
нормально распределенной генеральной
совокупности.
132. Статистики, имеющие
распределения Х2, Стьюдента, Фишера.
Лемма Фищера.
133. Точечные оценки неизвестных
параметров распределений.
Несмещенность, состоятельность,
эффективность точечных оценок.
134. Выборочные среднее и дисперсия
как оценки. Метод моментов и метод
максимального правдоподобия.
135. Интервальные оценки.
Доверительные интервалы для
математического ожидания и дисперсии
нормально распределенной генеральной
совокупности.
136. Основы регрессионного анализа.
Кривые регрессии.
137. Линейная регрессия. Оценка
остаточной дисперсии.
138. Выборочный коэффициент
корреляции.
139. Выборочное уравнение линейной
регрессии.
140. Множественная линейная
регрессия.
141. Нелинейная регрессия.
142. Корреляционное отношение и его
свойства.
143. Определение коэффициентов
нелинейных регресссий методом
наименьших квадратов и с помощью
линеаризации.
Итого
4
2
20
38
26
16
358
зачет,
экзамен
Программа курса
Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Теоретико-множественный подход в математике. Элементы теории множеств.
2. Аксиоматический подход в математике. Метод координат.
3. Векторы. Линейные операции над векторами.
4. Направляющие косинусы и длина вектора. Векторные диаграммы.
5. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между
двумя векторами в координатной форме.
6. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного
произведения.
7. Понятие определителя. Определители второго и третьего порядков, их свойства.
8. Определители n-го порядка. Свойства определителей.
9. Алгебраические дополнения и миноры. Разложение определителя по строке
(столбцу).
10. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя
второго порядка.
11. Матрицы. Виды матриц и действия над ними.
12. Понятие обратной матрицы.
13. Системы из двух линейных уравнений и методы их решения.
14. Системы из трех линейных уравнений. Матричная запись системы линейных
уравнений.
15. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера.
16. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.
17. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.
18. Метод Гаусса в приближенной арифметике. Теорема Кронекера − Капелли.
19. Пространство Rn. Линейные операции над векторами.
20. Различные нормы в Rn. Скалярное произведение в Rn.
21. Линейные и квадратичные формы в Rn.
22.
Линейное
(векторное)
пространство.
Вектор
как
элемент
линейного
пространства.
23. Отображения линейных пространств. Линейные отображения, их матрицы.
Принцип сжимающих отображений.
24. Норма оператора.
25. Евклидово пространство. Неравенство Коши − Буняковского.
26. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации. Разложение вектора по
ортогональному базису.
27. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
28. Свойства собственных векторов и собственных значений симметрических
операторов.
29. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Канонический вид симметрического оператора.
30. Уравнение линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на
плоскости.
31. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
32. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения
и геометрические свойства.
33. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями.
34. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
35. Поверхности второго порядка. Геометрические свойства этих поверхностей,
исследование их формы методом сечений.
Раздел 2. Введение в математический анализ
36. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Способы
задания.
37. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
38. Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах.
39. Предел числовой последовательности.
40. Стабилизация десятичных знаков у членов последовательности, имеющей
предел. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.
41. Сложные функции, их графики.
42. Обратные функции, их графики. Класс элементарных функций.
43. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы
монотонных функций.
44. Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных
функций.
45. Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.
46. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование
наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
47. Понятие функции, дифференцируемой в точке, дифференциал функции и его
геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации.
48. Производная функция, ее смысл в прикладных задачах (скорость, плотность).
49. Правила нахождения производной и дифференциала.
50. Производная сложной и обратной функции.
51. Производная обратной функции.
52. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
53. Точки экстремума. Теорема Ферма.
54. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
55. Производные высших порядков.
56. Правило Лопиталя.
57. Формула Тейлора. Представление функций exp(x), sin(x), cos(x), 1n(1+x), (1+x)а
по формуле Тейлора.
58. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие.
Достаточные условия.
59. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой
на отрезке.
60. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
61. Вертикальные и горизонтальные асимптоты функций.
62. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
63. Понятие кривой. Уравнение касательной и кривой в данной точке.
64. Первообразная.
65. Неопределенный интеграл и его свойства.
66. Методы интегрирования.
67. Использование таблиц интегралов.
68. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный
интеграл, его свойства.
69. Формула Ньютона-Лейбница.
70. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов
повторным интегрированием.
Раздел III. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные
уравнения и их системы
71. Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на
плоскости.
72. Модуль и аргумент комплексного числа.
73. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа.
74. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа.
75. Корни из комплексных чисел.
76. Функции нескольких переменных. Область определения.
77. Предел функции нескольких переменных.
78. Непрерывность функции нескольких переменных.
79. Некоторые понятия топологии.
80. Частные производные.
81. Полный дифференциал, его связь с частными производными.
82. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
83. Частные производные высших порядков.
84. Экстремумы функции нескольких переменных.
85. Необходимое условие экстремума.
86. Условный экстремум.
87. Метод множителей Лагранжа. Применение при поиске оптимальных решений.
88. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
89. Дифференциальные уравнения первого порядка.
90. Задача Коши.
91. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
92. Однородные линейные дифференциальные уравнения.
93. Неднородные линейные дифференциальные уравнения. Понятие общего
решения.
94. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
95. Уравнения с правой частью специального вида.
96. Приложение к описанию линейных моделей в экономике.
97. Нормальная система дифференциальных уравнений.
98. Автономные системы.
99. Векторная запись нормальной системы. Геометрический смысл решения.
100. Фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая.
101. Приложения в моделировании экономических процессов.
102. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
103. Системы линейных дифференциальных уравнений.
104. Свойства решений систем линейных дифференциальных уравнений.
105. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
Раздел IV. Теория вероятностей
106. Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Относительная
частота. Эмпирический закон устойчивости относительных частот.
107. Пространство элементарных исходов. Случайные события и операции над ними.
108. Классическое и геометрическое определение вероятности случайного события.
109. Аксиомы А.Н. Колмогорова. Свойства вероятностей.
110. Условная вероятность. Формула умножения.
111. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
112. Независимость событий. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли.
Формула Бернулли.
113. Предельные теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.
114. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Ряд
распределения. Функция распределения и ее свойства.
115. . Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей и ее свойства.
Связь с функцией распределения.
116. Числовые характеристики случайных величин. Математические ожидание и
дисперсия случайных величин и их свойства. Моменты случайных величин.
117. Важнейшие стандартные распределения и их характеристики: биноминальное,
Пуассона, геометрическое, равномерное, показательное.
118. Нормальное распределение и его свойства. Логарифмически нормальное
распределение.
119. Распределения, связанные с нормальным: Х2, Стьюдента, Фишера.
120. Системы случайных величин.
121. Совместное распределение случайных величин. Функция распределения и
плотность двумерной случайной величины.
122. Независимость случайных величин. Критерии независимости случайных
величин.
123. Распределение суммы независимых случайных величин. Формула свертки.
124. Условные распределения. Условная ф.р. и плотность. Условное математическое
ожидание и его свойства.
125. Зависимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции.
Регрессия.
126. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел. Закон больших чисел в форме
Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема.
127. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Эмпирическая
функция распределения. Статистика. Полигон частот и гистограмма. Теорема Гливенко
(без док-ва).
128. Выборочные характеристики и их распределение. Распределение выборочной
средней
и
выборочной
дисперсии
из
нормально
распределенной
генеральной
совокупности.
129. Статистики, имеющие распределения Х2, Стьюдента, Фишера. Лемма Фищера.
130. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Несмещенность,
состоятельность, эффективность точечных оценок.
131. Выборочные среднее и дисперсия как оценки. Метод моментов и метод
максимального правдоподобия.
132. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для математического
ожидания и дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.
133. Основы регрессионного анализа. Кривые регрессии.
134. Линейная регрессия. Оценка остаточной дисперсии.
135. Выборочный коэффициент корреляции.
136. Выборочное уравнение линейной регрессии.
137. Множественная линейная регрессия.
138. Нелинейная регрессия.
139. Корреляционное отношение и его свойства.
140. Определение коэффициентов нелинейных регресссий методом наименьших
квадратов и с помощью линеаризации.
5. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Планы семинарских занятий
Семинарское занятие №1
Вопросы для обсуждения:
1. Теоретико-множественный подход в математике. Элементы теории множеств.
2. Аксиоматический подход в математике. Метод координат.
3. Векторы. Линейные операции над векторами.
4. Направляющие косинусы и длина вектора. Векторные диаграммы.
5. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя
векторами в координатной форме.
6. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.
7. Понятие определителя. Определители второго и третьего порядков, их свойства.
8. Определители n-го порядка. Свойства определителей.
Алгебраические дополнения и миноры. Разложение определителя по строке (столбцу).
Семинарское занятие №2
Вопросы для обсуждения:
1. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка.
2. Матрицы. Виды матриц и действия над ними.
3. Понятие обратной матрицы.
4. Системы из двух линейных уравнений и методы их решения.
5. Системы из трех линейных уравнений. Матричная запись системы.
6. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера.
7. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.
8. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Метод Гаусса в приближенной арифметике.
Теорема Кронекера − Капелли.
Семинарское занятие №3
Вопросы для обсуждения:
1. Пространство Rn. Линейные операции над векторами.
2. Различные нормы в Rn. Скалярное произведение в Rn.
3. Линейные и квадратичные формы в Rn.
4. Линейное (векторное) пространство.
5. Вектор как элемент линейного пространства.
6. Отображения линейных пространств.
7. Линейные отображения, их матрицы.
8. Принцип сжимающих отображений. Норма оператора.
Семинарское занятие №4
Вопросы для обсуждения:
1. Евклидово пространство.
2. Неравенство Коши − Буняковского.
3. Ортогональный базис. Процесс ортогонали-зации. Разложение вектора по ортогональному
базису.
4. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
5. Свойства собственных векторов и собственных значений симметрических операторов.
6. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Канонический
вид симметрического оператора.
7. Уравнение линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости.
8. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность,
эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрические свойства.
Семинарское занятие №5
Вопросы для обсуждения:
1. Уравнения плоскости и прямой в простран-стве. Угол между плоскостями.
2. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
3. Поверхности второго порядка. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их
формы методом сечений.
4. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Способы задания.
5. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
6. Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах.
7. Предел числовой последовательности.
8. Стабилизация
десятичных
знаков
у
членов
последовательности,
имеющей
предел.
Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Сложные функции, их
графики.
Семинарское занятие №6
Вопросы для обсуждения:
1. Обратные функции, их графики. Класс элементарных функций.
2. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций.
3. Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных функций.
4. Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.
5. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и
наименьшего значений, существование промежуточных значений.
6. Понятие функции, дифференцируемой в точке, дифференциал функции и его геометрический
смысл. Общее представление о методах линеаризации.
7. Производная функция, ее смысл в прикладных задачах (скорость, плотность).
8. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной
функции.
Семинарское занятие №7
Вопросы для обсуждения:
1. Производная обратной функции.
2. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
3. Точки экстремума. Теорема Ферма.
4. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
5. Производные высших порядков.
6. Правило Лопиталя.
7. Формула Тейлора. Представление функций exp(x), sin(x), cos(x), 1n(1+x), (1+x)а по формуле
Тейлора.
8. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные
условия. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
Семинарское занятие №8
Вопросы для обсуждения:
1. Вертикальные и горизонтальные асимптоты функций.
2. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
3. Понятие кривой. Уравнение касательной и кривой в данной точке.
4. Первообразная.
5. Неопределенный интеграл и его свойства.
6. Методы интегрирования.
7. Использование таблиц интегралов.
8. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его
свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
Семинарское занятие №9
Вопросы для обсуждения:
1. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным
интегрированием.
2. Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на пл-ти.
3. Модуль и аргумент комплексного числа.
4. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа.
5. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа.
6. Корни из комплексных чисел.
7. Функции нескольких переменных. Область определения.
8. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных.
Семинарское занятие №10
Вопросы для обсуждения:
1. Некоторые понятия топологии.
2. Частные производные.
3. Полный дифференциал, его связь с частными производными.
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
5. Частные производные высших порядков.
6. Экстремумы функции нескольких переменных.
7. Необходимое условие экстремума.
8. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Применение при поиске оптимальных
решений.
Семинарское занятие №11
Вопросы для обсуждения:
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
3. Задача Коши.
4. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
5. Однородные линейные дифференциальные уравнения.
6. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Понятие общего решения.
7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
8. Уравнения с правой частью специального вида. Приложение к описанию линейных моделей в
экономике.
Семинарское занятие №12
Вопросы для обсуждения:
1. Нормальная система дифференциальных уравнений.
2. Автономные системы.
3. Векторная запись нормальной системы. Геометрический смысл решения.
4. Фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая.
5. Приложения в моделировании экономических процессов.
6. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
7. Системы линейных дифференциальных уравнений.
8. Свойства решений
систем линейных дифференциальных уравнений. Решение систем
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Семинарское занятие №13
Вопросы для обсуждения:
1. Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Относительная частота.
Эмпирический закон устойчивости относительных частот.
2. Пространство элементарных исходов. Случайные события и операции над ними.
3. Классическое и геометрическое определение вероятности случайного события.
4. Аксиомы А.Н. Колмогорова. Свойства вероятностей.
5. Условная вероятность. Формула умножения.
6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
7. Независимость событий. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли. Формула
Бернулли.
8. Предельные теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.
Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Ряд распределения.
Функция распределения и ее свойства.
Семинарское занятие №14
Вопросы для обсуждения:
1. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей и ее свойства. Связь с функцией
распределения.
2. Числовые характеристики случайных величин. Математические ожидание и дисперсия
случайных величин и их свойства. Моменты случайных величин.
3. Важнейшие стандартные распределения и их характеристики: биноминальное, Пуассона,
геометрическое, равномерное, показательное.
4. Нормальное распределение и его свойства. Логарифмически нормальное распределение.
5. Распределения, связанные с нормальным: Х2, Стьюдента, Фишера.
6. Системы случайных величин.
7. Совместное распределение случайных величин. Функция распределения и плотность
двумерной случайной величины. Независимость случайных величин. Критерии независимости
случайных величин.
Семинарское занятие №15
Вопросы для обсуждения:
1. Распределение суммы независимых случайных величин. Формула свертки.
2. Условные распределения. Условная ф.р. и плотность. Условное математическое ожидание и его
свойства.
3. Зависимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Регрессия.
4. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел. Закон больших чисел в форме Чебышева и
Бернулли. Центральная предельная теорема.
5. Генеральная
совокупность
и
выборка.
Вариационный
ряд.
Эмпирическая
функция
распределения. Статистика. Полигон частот и гистограмма. Теорема Гливенко (без док-ва).
Выборочные характеристики и их распределение. Распределение выборочной средней и
выборочной дисперсии из нормально распределенной генеральной совокупности.
Семинарское занятие №16
Вопросы для обсуждения:
1. Статистики, имеющие распределения Х2, Стьюдента, Фишера. Лемма Фищера.
2. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Несмещенность, состоятельность,
эффективность точечных оценок.
3. Выборочные среднее и дисперсия как оценки. Метод моментов и метод максимального
правдоподобия.
4. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии
нормально распределенной генеральной совокупности.
5. Основы регрессионного анализа. Кривые регрессии. Линейная регрессия. Оценка остаточной
дисперсии.
Семинарское занятие №17
Вопросы для обсуждения:
1. Выборочный коэффициент корреляции.
2. Выборочное уравнение линейной регрессии.
3. Множественная линейная регрессия.
4. Нелинейная регрессия.
5. Корреляционное отношение и его свойства. Определение коэффициентов нелинейных
регресссий методом наименьших квадратов и с помощью линеаризации.
1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ.
ОЦЕНОЧНЫЕ
УСПЕВАЕМОСТИ,
СРЕДСТВА
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ
ДЛЯ
ТЕКУЩЕГО
АТТЕСТАЦИИ
ПО
КОНТРОЛЯ
ИТОГАМ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1. Методические указания по изучению дисциплины
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и
универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому
математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую
фундаментальной подготовки специалиста-экономиста.
Целью математического образования является развитие:
1) навыков математического мышления;
2) навыков использования математических методов и основ математического
моделирования;
3) математической культуры у обучающегося.
Развитие математической культуры студента должно включать в себя ясное
понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке, выработку
представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой
культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно
использовать математические понятия и символы для выражения количественных и
качественных отношений.
Математическое образование бакалавра и специалиста должно основываться на
фундаментальных понятиях математики.
Фундаментальность математической подготовки включает в себя достаточную
общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их
применимости, точность формулировок математических свойств изучаемых объектов,
логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный
математический язык.
Программа
курса
определяет
общий
объем
знаний,
но
не
обязательно
последовательность изучения тем курса. Изложение соответствующих математических
разделов
проводится
таким
образом,
чтобы
у
студента
сложилось
целостное
представление об основных этапах становления современной математики и ее структуре,
об основных математических понятиях и методах, о роли и месте математики в различных
предметных областях.
Практика преподавания курса математики в целом показывает, что в нем должно
быть отражено следующее:
Становление современной математики.
Взгляды на математику «великих» (от античности до наших дней). Их оценка роли и
места математики и математических методов в решении интеллектуальных задач из
различных сфер человеческой деятельности.
Геометрия Евклида как первая (из дошедших до нас) естественнонаучных теорий.
Значение «Начал» Евклида для общечеловеческой культуры.
Основные этапы становления современной математики и ее структура.
Основные особенности математического мышления.
Аксиоматический
подход.
Математические
доказательства.
Примеры
«правдоподобных» рассуждений, приводящих к ложным результатам. Основные
математические понятия.
Множества, числа, фигуры и образы. Отношения и отображения.
Конечные и бесконечные множества. Основные структуры на множествах.
Метод координат. Его развитие и применения.
Математическая реализация идей непрерывности и дискретности.
Математические методы.
Общая постановка задачи о принятии решения.
Математические методы в целенаправленной деятельности.
Математика случайного. Статистические закономерности.
Анализ связей и факторов. Математические методы проверки гипотез.
Принципы построения математических моделей. Математические модели процессов.
Роль математики в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных
исследованиях. Методы решения интеллектуальных
задач в
различных
сферах
человеческой деятельности.
Студент должен иметь представление о важнейших математических понятиях, на
основе которых возможны корректное применение математики в практической
деятельности, а также повышение им своей квалификации.
На групповых занятиях излагаются теоретические сведения, которые затем
закрепляются решением практических задач. Предпочтение оказывается изучению
содержательных примеров применения рассматриваемых математических методов в
экономической деятельности.
Каждое практическое занятие начинается с летучки – решения простой задачи по теме
прошлого занятия. Потом проверяется степень усвоения теоретических вопросов и решаются
задачи. В ходе самостоятельной работы могут задачи могут решаться студентами не только
на бумаге, но и с использованием компьютера (например, в среде компьютерной симуляции
Mathcad). Работа студента на практическом занятии оценивается преподавателем.
На каждые два часа аудиторных занятий отводится, как правило, два часа
самостоятельной
работы студента. В процессе самостоятельной
работы студент
руководствуется методическими рекомендациями по ее организации (см. ниже).
По каждой теме учебной программы предусматривается контрольное самотестирование
– самостоятельное выполнение на оценку домашнего контрольного задания (ДКЗ).
Поощряется выполнение ДКЗ не только дома на бумаге, но и в классе ПК в среде
компьютерной симуляции Mathcad.
6.2. Методические указания по организации самостоятельной работы
Самостоятельная работа под контролем преподавателя в значительной мере
определяется степенью ответственности студента. Без самостоятельной работы освоить
учебный материал и научиться решать задачи нельзя. Ниже приведено содержание
самостоятельной работы студентов по дисциплине на каждую неделю учебных семестров.
Работа студента по изучению дисциплины должна быть организована в соответствии
с методическими указаниями, которые сводятся к следующему.
Начинается работа студента над учебным материалом уже на групповом занятии
(лекции), когда преподаватель излагает теоретические сведения. Рекомендуется вести
подробный конспект теоретического материала с использованием своих сокращений и
приемов кодирования текстовой информации. В этот же день по окончании занятий следует
расшифровать свои записи и дополнить их материалом по изучаемой теме из учебника
пособия [1].
Для прочного усвоения материала по той или иной теме следует заучивать наизусть
основные понятия, определения и теоремы. Запоминать нужно не только словесные
формулировки, но и их символьные отображения – формулы. Только в этом случае
формализованные понятия и определения становятся инструментом решения задач на
практических занятиях, при выполнении домашних и зачётных контрольных заданий, а в
последующем могут быть активно использованы при изучении специальных дисциплин и
в профессиональной практике юриста.
В процессе подготовки к каждому практическому занятию студенту нужно выполнить
задание на самостоятельную работу, а именно, проработать учебный материал
соответствующей темы (главы) и решить указанную преподавателем задачу из учебника.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.
Понятие множества, операции над множествами, счетные и несчетные множества
2.
Числовые множества Числовая прямая, отрезок, интервал, ε-окрестность точки
3.
Метод математической индукции
4.
Понятие функции, способы задания функции
5.
Основные свойства функции, монотонность, ограниченность
6.
Основные свойства функции, ограниченность, периодичность
7.
Степенная функция, показательная функция
8.
Логарифмическая функция, тригонометрические функции
9.
Сложная функция
10.
Элементарные функции, алгебраические и трансцендентные функции
11.
Предел последовательности, геометрический смысл предела
12.
Предел функции в бесконечности, предел функции в точке
13.
Бесконечно малые величины, их свойства
14.
Бесконечно большие величины, их свойства
15.
Единственность предела
16.
Предел суммы, произведения, частного
17.
Предельный переход в неравенствах
18.
Достаточный признак существования предела
19.
Первый замечательный предел
20.
Эквивалентность бесконечно малых функций
21.
Второй замечательный предел, формула сложных процентов
22.
Непрерывность функции
23.
Первая и вторая теоремы Вейерштрасса
24.
Первая и вторая теоремы Больцано-Коши
25.
Производная функции, её геометрический и физический смысл
26.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
27.
Правила дифференцирования, производная сложной функции
28.
Производные основных элементарных функций (степенная, показательная,
логарифмическая, тригонометрические)
29.
Дифференциал, его геометрический смысл
30.
Теорема Ферма, её геометрический смысл
31.
Теорема Роля, её геометрический смысл
32.
Теорема Лагранжа, её геометрический смысл
33.
Правило Лопиталя для неопределенностей 0/0 и ∞/∞
34.
Формула Тейлора
35.
Формула Маклорена
36.
Признак монотонности функции, локальные экстремумы
37.
Необходимое и достаточное условия экстремума функции, критические точки
38.
Точка перегиба, выпуклость и вогнутость графика функции
39.
Необходимое и достаточное условия перегиба графика функции
40.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции
41.
Наклонные асимптоты графика функции
42.
Схема исследования функции с помощью второй производной
43.
Производные высших порядков
44.
Первообразная, неопределенный интеграл, его свойства
45.
Правила интегрирования
46.
Основные методы интегрирования: метод подстановки (метод замены переменной),
интегрирование по частям
47.
Интегрирование рациональных дробей
48.
Интегрирование иррациональных функций
49.
Интегрирование тригонометрических функций
50.
Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл
51.
Классы интегрируемых функций,
52.
Ограниченность интегрируемой функции
53.
Свойства определенного интеграла (с равенствами и с неравенствами)
54.
Формула Ньютона-Лейбница
55.
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
56.
Приближенное вычисление определенных интегралов
57.
Приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры
58.
Приложения определенного интеграла: Объем тела вращения
59.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
60.
Несобственные интегралы от неограниченных функций
7.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
И
ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
а) основная литература:
1.
Высшая математика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев;
Российская академия образования (РАО). - М.: Флинта: МПСИ, 2010 .
2.
Математика.: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум, 2010..
3.
Высшая математика: Учебник / Л.Т. Ячменёв. - М.: ИЦ РИОР: НИЦ Инфра-М, 2013.
4.
Финансовая математика: Учебное пособие / А.С. Чуйко, В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ
ИНФРА-М, 2013.
б) дополнительная литература:
1.
Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М., Высшая школа, 1986 г.
2.
Гмурман
В.Е.
Руководство
к
решению
задач
по
теории
вероятностей,
математической статистике и случайным функциям. – М., Высшая школа, 2001 г.
3.
Колемаев В.А., Староверов О.В. Теория вероятностей и математическая
статистика. М., Высшая школа, 1991 г.
4.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Юнита, 2001 г
5.
Коваленко И.Н., Филлипова А.А. Теория вероятностей и математическая
статистика. М., Высшая школа, 1982 г.
6.
Сборник задач по теории вероятностей, МС и теории случайных функций.- Под.
ред. А.А. Свешникова. – М. – Наука, 1975 г.
7.
Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш.2-е изд., перераб. и
доп. - М.: Юнити, 2004. — 471 с.
8.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей М., 2001 г.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1.
www.znanium.com – ЭБС ZNANIUM.COM.
2.
www.garant.ru – Справочная правовая система «Гарант».
3.
www.consultant.ru – Справочная правовая система «Консультант Плюс».
4.
www.law.edu.ru – Юридическая Россия. Федеральный правовой портал.
8.
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ
(МОДУЛЯ)
Технические средства:

Мультимедийное оборудование для презентаций в Power Point.

Компьютерное оборудование с доступом в Интернет
ДИСЦИПЛИНЫ
9. РАЗРАБОТЧИКИ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ
9.1. Разработчики:
НОУ ВПДО «Байкальский
гуманитарный институт»
(место работы)
__________________
_____________________
(занимаемая должность)
(инициалы, фамилия)