§ 3. ПОМОГАЮТ ВЕКТОРЫ. 36.Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям a2+b2=1, c2+d2=1. Доказать, что |ac bd| 1. 1 1 1 1 1 1 для положительных чисел. a b c ab bc ca 1 1 3 3 3 1 2 38.Доказать неравенство ( a b c )( ) ( a b c ) для положительных чисел. a b c 37.Доказать неравенство 39.Доказать для любых x, y, z неравенство sin x sin y sin z + cos x cos y cos z 1. 40.Решить уравнение 2 x 1 5 x ( x 2 4)( x 24) . 41.Известно, что x2+3y2+z2=2. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения 2x+y-z . 42.Решить уравнение x 2 4 x x 2 6 x 11 . 43.Дано 8 действительных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac+bd, ae+bf, ag+bh, ce+df, cg+dh, eg+fh неотрицательно. 44.Доказать неравенство a12 b12 a22 b22 ... an2 bn2 ( a1 a2 ... an )2 ( b1 b2 ... bn )2 . 45.На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены параллелограммы АА1В1В, ВВ2С1С, СС2А2А. Могут ли отрезки А1А2, В1В2, С1С2 быть сторонами некоторого треугольника? 46.Доказать неравенство cos A + cos B + cos C 3/2, где А, В, С – углы треугольника. 47.Доказать, что если А, В, С – углы треугольника, то cos 2A + cos 2B + cos 2C 3/2. 48.Пусть , , плоские углы некоторого трехгранного угла. Доказать, что cos + cos + cos > 3/2. 49.Доказать, что углы между биссектрисами плоских углов трехгранного угла или все острые, или все прямые, или все тупые.