Олимпиада "Ищем Ломоносовых" (2015 г., 1 тур) математика 9 класс

Олимпиада "Ищем Ломоносовых"
(2015 г., 1 тур)
математика
9 класс
1. Пусть a1, a2, ..., a7 – целые числа, b1, b2, ... b7 – те же самые числа, но взятые в другом
порядке. Может ли произведение
(a1 – b1)(a2 – b2)...(a7 – b7)
оказаться нечетным? (10 баллов)
2. Расставить числа
x = (a + b)(c + d)
y = (a + c)(b + d)
z = (a + d)(b + c)
в порядке возрастания, если известно, что a < b < c < d. (10 баллов)
3. Можно ли натуральные числа от 1 до 2016 разбить на пары так, чтобы разность между
числами в каждой паре была равна трем? (5 баллов)
4. Разность квадратов двух чисел равна 4, а если увеличить каждое из этих чисел на 2, то
разность их квадратов станет равна 8. Чему равна сумма этих чисел? (5 баллов)
5. Семь точек в круге единичного радиуса расположены так, что расстояние между
любыми двумя из них не меньше 1. Доказать, что одна из точек совпадает с центром
круга. (15 баллов)
6. Вычислить:
√5 + 2√6 − √5 − 2√6.
(10 баллов)
7. Упростите выражение f 4  x  f 4  x , если  2  x  0 и
f ( x) 
( x  2)0.5  (6  x)0.5 ( x  2)0.5  (6  x)0.5
.

( x  2)0.5  (6  x)0.5 ( x  2)0.5  (6  x)0.5
(10 баллов)
8. Два всадника выезжают одновременно из пунктов А и В навстречу один другому.
Первый всадник прибывает в пункт В через 27 минут, а второй в пункт А через 12 минут
после встречи. За сколько минут первый всадник проедет весь путь от А до В? (10 баллов)
9. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Известно, что АМ : BC  7 : 12 , а
разность углов ABC и ACB равна 60 . Найти угол ВАС . (10 баллов)
10. На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности.
Определите длину их общей хорды, если катеты равны 6 и 8 единиц длины. (15 баллов)
Требование к оформлению решений:
Решения задач нужно приводить подробно. Ответ без обоснования (даже если он
правильный) будет оцениваться минимально возможным количеством баллов.
Олимпиада "Ищем Ломоносовых"
(2015 г., 1 тур)
математика
10 класс
1. Доказать, что из любых 52 целых чисел можно выбрать 2 числа, сумма или разность
которых делится на 100. (10 баллов)
2. Решить в натуральных числах уравнение
2x + 1 = y2.
(10 баллов)
3. Решить уравнение
(sin(x – y) + 1)(2cos(2x – y) + 1) = 6.
(10 баллов)
4. На доске была написана несократимая дробь. Петя увеличил ее числитель на 1, а
знаменатель на 2. Вася уменьшил числитель на 2, а знаменатель на 1. Оказалось, что в
результате мальчики получили одинаковые значения. Какой именно результат у них мог
получиться? (5 баллов)
5. В остроугольном неравностороннем треугольнике через одну вершину проведена
высота, через другую – медиана, а через третью – биссектриса. Доказать, что если
проведенные линии, пересекаясь, образуют треугольник, то он не может быть
равносторонним. (15 баллов)
6. Найти наименьшее натуральное число, большее 10, которое при делении на 24, 45 и 56
давало бы в остатке 1. (10 баллов)
7. Вычислить:
√17 − 12√2 + √17 + 12√2.
(10 баллов)
8. Решить уравнение
cos 𝑥 + cos 2𝑥 + cos 3𝑥 + cos 4𝑥 = 0
(10 баллов)
9. Решить уравнение в натуральных числах (n! – произведение всех натуральных чисел от
1 до n):
x! + y! + z! = u!
(10 баллов)
10. Найти высоту равнобедренного треугольника, проведенную его боковой стороне,
равной 2, если синус одного его угла равен косинусу другого. (10 баллов)
Требование к оформлению решений:
Решения задач нужно приводить подробно. Ответ без обоснования (даже если он
правильный) будет оцениваться минимально возможным количеством баллов.
Олимпиада "Ищем Ломоносовых"
(2015 г., 1 тур)
математика
11 класс
1. Существуют ли положительные иррациональные числа a и b, для которых число ab
является натуральным? (10 баллов)
2. Доказать, что при всех значениях x выполняется неравенство
sin(cos x) < cos(sin x).
(10 баллов)
3. Доказать, что все точки окружности можно разбить на два множества так, чтобы среди
вершин любого вписанного прямоугольного треугольника присутствовали точки обоих
множеств. (10 баллов)
4. Дан треугольник АВС, где ВА = 5, ВС = 8. В треугольник вписана окружность,
касающаяся стороны ВС в точке Р. Известно, что ВР = 3. Найдите площадь треугольника
ВМР, где М – точка касания окружности со стороной треугольника АВС. (10 баллов)
5. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков
процент воды в свежих грибах? (5 баллов)
6. Вычислить:
1
sin2(arccos ).
3
(10 баллов)
7. Решить уравнение
cos 4𝑥 cos 5𝑥 = cos 6𝑥 cos 7𝑥
(10 баллов)
8. По кругу написаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. Над ними
производится следующая операция: между одинаковыми цифрами пишется нуль, а между
разными – единица, после чего первоначальные цифры стираются. Затем такая же
операция производится над полученными цифрами и т.д. Доказать, что после нескольких
таких операций невозможно получить 9 нулей. (15 баллов)
9. Функция f определена и строго убывает на R . Решите неравенство
f  x  1  1  f 5x  2  .
(10 баллов)
10. При каких значениях параметра с уравнение
x2  2c sin(cos x)  2  0
имеет единственное решение? (10 баллов)
Требование к оформлению решений:
Решения задач нужно приводить подробно. Ответ без обоснования (даже если он
правильный) будет оцениваться минимально возможным количеством баллов.