

(11 класс, модуль III, урок 5)
Урок 5. Некоторые применения монотонности и непрерывности
План урока





5.1. Нахождение корня уравнения с помощью подбора
5.2. Теорема о знакопостоянстве непрерывной функции
5.3. Обобщение метода интервалов
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
Приводится пример, показывающий метод подбора корней уравнения
можно превратить в строгий, используя монотонность и непрерывность.
Формулируется и доказывается теорема о знакопостоянстве непрерывной
функции, позволяющая расширить применение метода интервалов для
решения неравенств.
5.1. Нахождение корня уравнения с помощью подбора
Иногда уравнение составляется таким образом, что один из его
корней нетрудно получить путем подбора. Например, глядя на уравнение
2
2 x  3x1  2 , можно быстро заметить, что x  1 является его корнем. Однако,
такой способ нельзя считать полным решением, потому что указанное
уравнение имеет еще один корень. Способ решения уравнения методом
подбора можно считать полноценным решением, если приводится
доказательство, что найдены все корни. В этом иногда помогает свойство
монотонности функций.
Пример 1. Докажем, что уравнение x  2 x  8 имеет единственный
корень x  2 .
Доказательство. Рассмотрим функцию f ( x)  x  2x . При x  0
значения f ( x) отрицательны, а поэтому уравнение f ( x)  8 не может иметь
отрицательных корней. Докажем, что при x  0 функция f ( x) строго
возрастает. Пусть 0  x1  x2 . Тогда, так как функция 2 x строго возрастает,
то 2 x1  2 x2 . Почленно перемножая неравенства
x1  x2 и 2 x1  2 x2
с
неотрицательными частями, получаем неравенство x1  2  x2  2 , то есть
x1
x2
f ( x1 )  f ( x2 ) .
Из возрастания функции f ( x)  x  2x при x  0 следует, что каждое
значение может получаться не более, чем в одной точке. В частности, если
x  2 , то f (2)  2  22  8 , а при других неотрицательных значениях x
значение f ( x) отлично от 8 .
Доказав, что уравнение x  2 x  8 не имеет отрицательных корней и
имеет единственный неотрицательный корень x  2 , мы получаем полное
решение данного уравнения.
Вопрос. Какие корни имеет уравнение
2x 3x1  2
2
5.2. Теорема о знакопостоянстве непрерывной функции
Теорема 11 из пункта 4.1 предыдущего урока позволяет доказать
следующее свойство непрерывных функций.
Теорема 14. Пусть функция f ( x) непрерывна на промежутке D и
ни в одной точке этого промежутка не обращается в нуль. Тогда на
этом промежутке либо все значения функции положительны, либо
все значения функции отрицательны.
Доказательство. Предположим, что найдутся такие числа x1  D ,
x2  D , что f ( x1 )  0 , f ( x2 )  0 . Тогда на отрезке с концами x1 и x2
функция f ( x) также непрерывна и в концах принимает значения разных
знаков. Поэтому по теореме 11 внутри отрезка найдется число c , такое что
f (c)  0 . Так как множество D промежуток, то число c также принадлежит
D , но по условию f (c )  0 .
Таким образом, предположение о существовании у функции f ( x) на
промежутке D значении разных знаков приводит к противоречию.
Следовательно, предположение неверно и тем самым теорема доказана.
Вопрос. Как доказать, что уравнение x  cos x имеет единственный
корень?
5.3. Обобщение метода интервалов
Свойство непрерывных функций, доказанное в предыдущем пункте,
позволяет обобщить метод интервалов решения неравенств. Обобщенный
метод интервалов можно использовать для решения неравенств вида
f ( x)  0 , f ( x)  0 , f ( x)  0 , f ( x)  0 , где f ( x ) — функция, непрерывная в
своей естественной области определения. При обобщенном методе
интервалов сначала составляют и решают уравнения f ( x)  0 , затем
определяют промежутки знакопостоянства функции f ( x) , после чего в
ответ отбирают нужные промежутки и точки.
2 x2  5x  2  x  1 .
область определения неравенства.
2 x 2  5 x  2  0 , 2x  5x  2  0 , x1  5  25  16  5  3  2 , x2  5  3  1 ,
22
4
4
2
Пример 2. Решим неравенство
Решение. Сначала найдем
откуда множество корней квадратного неравенства есть множество
 1  [2) , которое и является областью определения заданного
2
неравенства.


2 x2  5x  2  x  1 . Для его корней имеем
Затем решаем уравнение
условие x 1  0 . Тогда 2 x 2  5x  2  ( x  1)2 , x 2  3x  1  0 , x3  3  5 ,
2
x4  3  5 . Число x3  3 5 не удовлетворяет условию x3  1  0 и не
2
2
является корнем рассматриваемого уравнения. Число x4  3  5 является
2
корнем, так как удовлетворяет условию x4  1  0 .
После этого изобразим на числовой прямой число x4  3  5 и
2


 
рассмотрим промежутки  1 ,  2 3  5  ,  3  5   (рисунок 1).
2 
2   2





Для числа x  1 из промежутка  1 равность 2 x1  5x  2  x  1
2
2
равна 0  1  1 и больше нуля. Поэтому при всех x из рассматриваемого
2
промежутка разность положительна.
 3 5 
Для
числа
из
промежутка
разность
x2
 2 2 


2 x2  5x  2  x  1 равна 0  2 1 и меньше нуля. Поэтому при всех x из
рассматриваемого промежутка разность отрицательна.


Из промежутка  3  5   выберем, например x  5 . Тогда разность
 2

2 x2  5x  2  x  1 равна 27  5  1  27  4 и больше нуля. Поэтому при
всех x из рассматриваемого промежутка разность положительна.
Выбирая все x , для которых
(рисунок 2).


Ответ:  1    3  5   .
2  2

2 x2  5x  2  x  1  0 , получаем ответ

Пример 3. Решим неравенство
(3x  9)  log x  4 ( x 2  1)  0
Решение. Обозначим левую часть неравенства f ( x) . Сначала найдем
область определения функции f ( x) , которая задается условиями: x 2  1  0 ,
x  4  0 , x  4  1 . Учитывая все условия, получаем множество
D  (43)  (31)  (1) .
Затем решим уравнение (3x  9)  log x  4 ( x 2  1)  0 .
I. (3x  9)  0 . Отсюда x1  2 — входит в множество D , а поэтому
является корнем уравнения f ( x)  0 .
II. log x  4 ( x 2  1)  0 . Отсюда x 2  1  1 , x 3  2 , x2  2 , x1   2 . Оба
числа входят в множество D , а поэтому также являются корнями уравнения
f ( x)  0 .
После этого изобразим на числовой прямой числа x3  2 , x2  2 ,
x1   2 (рисунок 3) и рассмотрим получившиеся промежутки.
На интервале ( 4 3) для числа x  7 имеем 3x  9  0 ,
2
log x4 ( x 2  1)  log 1 45  0 . Отсюда f  7  0 , а поэтому f ( x)  0 при всех
2 4
2
x из рассматриваемого промежутка.
На интервале ( 3  2) для числа x  2 имеем 3x  9  0 ,
log x  4 ( x 2  1)  log 2 3  0 . Отсюда f (2)  0 , а потому f ( x)  0 при всех x из
рассматриваемого промежутка.
На интервале (  2  1) для числа x   5 имеем 3x  9  0 ,
4
log x 4 ( x 2  1)  log 11 5  0 . Отсюда f  5  0 , а поэтому f ( x)  0 при всех x
2 4
4
из рассматриваемого промежутка.
На интервале ( 2  2) для числа x  3
имеем 3x  9  0 ,
2
log x 4 ( x 2  1)  log 11 5  0 . Отсюда f 3  0 , а поэтому f ( x)  0 при всех x
2 4
2
из рассматриваемого промежутка.
На промежутке (2) для числа x  3 имеем 3x  9  0 ,
log x  4 ( x 2  1)  log 7 8  0 . Отсюда f (3)  0 , а поэтому f ( x)  0 при всех x из
рассматриваемого промежутка.
Выбирая все x , для которых f ( x)  0 или f ( x)  0 , получаем ответ
(рисунок 4).
Ответ: (43)  [ 2 1)  (1 2]  [2) .
 
 

Вопрос. Как доказать непрерывность функции f ( x) из примера 2 на
всей области определения?
Проверь себя. Некоторые применения монотонности и непрерывности
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Какой из указанных промежутков входит в множество решений неравенства
( x  1)( x  3)
0:
( x  2)( x  4)
 1. [1; 2) ;  2. (2;3] ;  3. (3; 4] ;  4. [4; ) ?
(Правильный вариант: 2)
Какой из указанных промежутков входит в множество решений неравенства
( x  1)( x  3)
0:
( x  2)( x  4)
 1. (1; 2) ;  2. (2;3) ;  3. (3; 4] ;  4. (4; ) ?
(Правильный вариант: 1)
Какой из указанных промежутков входит в множество решений неравенства
( x  1)( x  3)
 0:
( x  2) 2 ( x  4)
 1. [1; 2) ;  2. [2;3) ;  3. (3; 4] ;  4. [4; ) ?
(Правильный вариант: 1)
Какой из указанных промежутков входит в множество решений неравенства
( x  1)( x  3)
 0:
( x  2) 2 ( x  4)
 1. (1; 2) ;  2. (2;3) ;  3. (3; 4] ;  4. [3; 4) ?
(Правильный вариант: 4)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какому из неравенств равносильно неравенство
 1. g ( x)  0 ;  2. f ( x)  g ( x)  0 ;  3.
f ( x)
(Правильный вариант: 3)
f ( x)
1
 0?
 0 ;  4.
f ( x)  g ( x)
g ( x)
Какому из неравенств равносильно неравенство
 1. g ( x)  0 ;  2. f ( x)  g ( x)  0 ;  3.
f ( x)
(Правильные варианты: 1, 2, 4)
f ( x)
 0:
g ( x)
f ( x)
 0:
g ( x)
f ( x)
1
 0?
 0 ;  4.
f ( x)  g ( x)
g ( x)
Пусть функция f ( x) строго монотонна в области определения. Докажите,
что при любом значении c уравнение f ( x )  c может иметь
 1. ни одного корня;
 2. один корень;
 3. два корня;
 4. бесконечно много корней.
(Правильные варианты: 1, 2)
Выберите правильные утверждения.
 1. Пусть функция f ( x) непрерывна на промежутке  a; b и ни в одной
точке этого промежутка не обращается в нуль. Тогда на этом промежутке
либо все значения функции положительны, либо все значения функции
отрицательны.
 2. Пусть функция f ( x) непрерывна на промежутке  a; b  и ни в одной
точке этого промежутка не обращается в нуль. Тогда на этом промежутке
либо все значения функции положительны, либо все значения функции
отрицательны.
 3. Пусть функция f ( x) непрерывна на отрезке [a b] и принимает в концах
значения разных знаков. Тогда найдется такое число c из отрезка (a b) , что
f (c )  0 .
 4. Пусть функция f ( x) непрерывна на отрезке [a b] и принимает в концах
значения одного знака. Тогда на этом промежутке либо все значения
функции положительны, либо все значения функции отрицательны.
(Правильные варианты: 1, 2, 3)
Домашнее задание
1.** Пусть функции f ( x) и g ( x ) строго возрастают на промежутке D .
Докажите, что функция f ( x)  g ( x) также строго возрастает на D .
2.** Приведите пример строго возрастающей на промежутке D функции
f ( x ) и g ( x ) таких, что разность f ( x)  g ( x ) :
а) возрастает на D ;
б) убывает на D ;
в) не является монотонной на D .
3.** Пусть функции f ( x) и g ( x ) положительны и строго убывают на
промежутке D . Докажите, что функция f ( x) g ( x) также строго убывает на
D.
4.** Приведите пример положительных и строго убывающих на промежутке
f ( x)
D функций f ( x ) и g ( x ) таких, что отношение
:
g ( x)
а) возрастает на D ;
б) убывает на D ;
в) не является монотонной на D .
5.** Пусть функции f ( x) и g ( x ) строго возрастают на промежутке D .
Докажите, что:
а) если f ( x)  0 , g ( x)  0 на D , то f ( x) g ( x) возрастает на D ;
б) если f ( x)  0 , g ( x)  0 на D , то f ( x) g ( x) убывает на D .
6.** Пусть f ( x)  0 , g ( x)  0 и f ( x) , g ( x ) строго возрастают на
промежутке D . Приведите пример таких функций f ( x) и g ( x ) , что
функция f ( x) g ( x) :
а) возрастает на D ;
б) убывает на D ;
в) не является монотонной на D .
7.** Пусть функция f ( x) строго убывает на промежутке D . Как ведет себя
функция 1 на множестве D , если:
f ( x)
а) f ( x)  0 на D ;
б) f ( x)  0 на D ?
8.** Докажите, что:
а) f ( x)  x3  x возрастает на [1 7) ;
б) f ( x)  1  1x убывает на (0) ;
x 2
в) f ( x)  ( x  1)  2 x 1 возрастает на [1) ;
г) f ( x)  x 2 sin x возрастает на 0   .
 2
9.** Докажите, что:
а) f ( x)  x  1 возрастает на [1) ;
x
б) f ( x)  x x  1 возрастает на [1) ;
x
в) f ( x)  x  sin x возрастает на всей числовой прямой;


г) f ( x)  x3  x возрастает на  1   .
 3 
10.** Решите неравенство:
а) 5 x  6  x  1  4 ;
б) 1  1  13  6 ;
x
x
в) x2  4 x  x2  3x  4  1 .
11.** Решите неравенство:
log 2 ( x 2  x  1)
2
1 
а)
;
log 2 ( x  1)
log 2 ( x  1)
2
б) log x2 1  x  x  1   1 .
 2 4 2
12.** Решите неравенство:
15  11  2cos x ;
а)
cos x  1
б) sin x  ( x  4)2  | sin x | 0 .
13.** Решите неравенство:
 x4  x
 0;
а) log x2  2 x 3
x 1
б) log2 x2  x ( x  2    x )  log 2 x2  x 2  x2 ;
в) log x2  x1  x  3  log x2  x1 ( x2 1  x) ;
 x 3   x 
 1
2 x
14.** Решите неравенство:
1
1
а)
;

 log 4 2 x  1  log 2 x  1
1
1

б)
;
 log 4 x  1  log 2 2 x  2
1
1

в)
.
 log 4 4 x 2  1  log 4 4 x  2
14. Решите неравенство:
x 3
а)
0;
( x  1)  log 5 x 2  5 x  13
2
x 1
б)
 0;
( x  2)  log 4 x 2  3 x  5
2
г) logx




в)  5x  2 x 1  52 x  5x 1  2 x 1  5  22 x  2  0 ;
г)  3x  2 x  32 x  3x 1  2 x 1  3  22 x  2  0 .
Словарь терминов
Монотонная функция. Монотонные – общее названии для функций,
изменяющихся в одном направлении, то есть для возрастающих, строго
возрастающих, убывающих, строго убывающих. Функция f ( x) называется
возрастающей на множестве M , если для любых чисел x1 и x2 из M
неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция f ( x)
называется строго возрастающей на множестве M , если для любых чисел x1
и x2 из M неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция
f ( x ) называется убывающей на множестве M , если для любых чисел x1 и
x2 из M неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция
f ( x ) называется строго убывающей на множестве M , если для любых
чисел x1 и x2 из M неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
Непрерывность функции в точке. Функция f ( x) называется непрерывной
в предельной точке a области определения, если lim f ( x)  f (a) . Часто
x a
дают немного отличное от приведенного определение непрерывности
функции в точке – функция f ( x) называется непрерывной в точке a из
области определения D , если для каждого положительного числа 
найдется   0 такое, что при всех x , удовлетворяющих условиям x  D и
 x  a   , выполняется неравенство  f ( x)  f (a)   . Это определение
позволяет считать функцию непрерывной во всякой изолированной точке
своей области определения.
Непрерывность функции на множестве. Функция f ( x) называется
непрерывной на множестве M , если f ( x) непрерывна в каждой точке
множества M .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. –
Рисунок 2. –
Рисунок 3. –
Рисунок 4. –
11-3-06.cdr
11-3-07.cdr
11-3-08.cdr
11-3-09.cdr