zadanie 15 EGE

Тема: Решение логарифмических неравенств и систем неравенств
(задание 15 из ЕГЭ)
Учителя математики высшей категории
информационно-технологического лицея №24
г. Нерюнгри
Веслополова Ольга Юрьевна – отличник образования Республики Саха(Я),
обладатель почетного знака «Учитель учителей»,
награждена Почетной грамотой Министерства образования РФ,
Козак Наталья Георгиевна – отличник образования Республики Саха (Я),
победитель ПНПО «Лучший учитель России»
На занятии рассматриваются методические приемы предупреждения ошибок
учащихся в решении логарифмических неравенств и систем неравенств. При решении
логарифмических неравенств, особенно при наличии функции, стоящих под логарифмами,
и функций, представляющих собой основания логарифмов, учащиеся рассматривают
решение нескольких систем неравенств, затрачивая при этом много времени на их
решение. Мы предлагаем решение логарифмических неравенств как традиционными
методами, согласно программного материала, так и более рациональными методами (не
изучаемые по программе в общеобразовательных школах).
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство. Оно равносильно системе:
Сделаем замену во втором неравенстве этой системы:
Получим,
Следовательно,
. Сделаем обратную замену:
При решении первого неравенства будем использовать утверждение: неравенство
*
равносильно системе неравенств
.
Тогда
Которая имеет решение при
.
Уравнение имеет единственное решение при x=5. Учитывая, что
,
решением первого неравенства данной системы будет:
.
Областью допустимых значений второго неравенства данной системы будет
. Следовательно, только x=5 может быть решением системы.
Для этого подставим во второе неравенство х=5 и убедимся, что оно верно.
Ответ: 5.
. «Особенности решения логарифмических неравенств»
*
Севрюкова П.Ф. (Ставрополь).
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Из первого неравенства получаем:
Решим второе неравенство. Сделаем замену:
Неравенство примет
вид
Сделаем обратную замену:
Учитывая решение первой системы получим, что
Ответ:
.
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Из первого неравенства находим:
Получаем:
Решим
второе
модули:
Решение системы:
Ответ:
.
неравенство.
Задача 15. Решите систему неравенств
Зная,
что
,
раскроем
Решение.
Решим первое неравенство.
Неравенство вида:
равносильно системе неравенств
Тогда первое неравенство равносильно системе:
Если
Если
и
и
то
то
.
Если
, то
и
Решим второе неравенство:
Решение системы:
Ответ:
;
.
Таким образом, первое неравенство выполняется, если
или
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
2x
x
x
4
4
4
Решим первое неравенство. 16 x  12 x  2  9 x 0,       20,0  1, x0.
3
3
3
Второе неравенство log x 2 x 2  10 x  26  log x 2 x 2  10 x  26  0 равносильна
1

2x

1


26
системе,
состоящей
из
2
2
2
2





x
x
x
x 
 11 
 1x 2  10 x  26  11 
 1     0,
1 
 26  26 
 26  26  
неравенств:
x2
x2
 0;1 
 1; x 2  10 x  26 0. Решением данной системы неравенств является х=-5
26
26
или х=5. С учетов решения первого неравенства имеем, что система имеет решение х=-5.
Ответ: -5.
1
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Первое неравенство равносильно системе неравенств, которая состоит из неравенств:
x  12  1 x 2  4 x  4  10; x 2  4 x  4 0; x  12  0. Данная система равносильна
неравенству xx  1x  2x  30 . Решением которого ятляется x  0;1  2;3 .


Второе неравенство системы равносильно неравенству x 2  3x  3 0 , которое имеет

3 5  3 5 


решение x    ;
  2 ; .
2

 

 3 5  3 5 


Тогда решением системы будет  0;
  2 ;3  .
2

 

 3 5  3 5 


Ответ:  0;
  2 ;3  .
2

 

Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
запишем в виде
1. Неравенство
Относительно t =
.
неравенство имеет вид:
- 9t - 22
2
-9
- 22
откуда получаем:
-2
Значит, - 2
2. Второе неравенство системы определено при
то есть при x
При допустимых значениях переменных получаем:
2С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго
неравенства системы: 2
3. Сравним
и2+
Так как
2+
.
Решение системы неравенств:
Ответ:
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство. Приведем второе слагаемое к основанию 3:
=
Неравенство принимает вид
2
;
Получаем: 0
или x
Решим второе неравенство как квадратное относительно
:
Получаем:
или х
или
Следовательно, 0
Чтобы получить решение системы, найдем общую часть решений неравенств:
0
Ответ: 0
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Из первого неравенства получаем:
х-1
х
Сделаем замену а = , b =
;
Сделаем обратную замену:
Из неравенства х
следует, что х
Учитывая это, перейдем к системе
Решение: х
или х
Ответ:
.
Задача 15. Решите систему неравенств
, получаем: х
Решение.
Решим первое неравенство.
Если 0
, то 0
Получаем: 0
Если
Тогда
.
Решений нет.
Если
Получаем:
Тогда
.
Таким образом, первое неравенство выполняется, если
,
Решим второе неравенство:
,
.
0
:
, 1
, 1
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Из первого неравенства находим:
,
:5
Зная, что 5
, раскроем модули:
,
Решение системы: 6,4
Ответ:
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство.
,
Получаем:
,
.
x
.
Сравним
и 1:
Сравним
и 2:
Если
то
Если
, то
=
,
2–
Ответ:
=
. Получим 0
. Получим
.
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство.
, разделим на
,
t
.
Решим неравенство, применяя утверждение:
неравенство
равносильно системе неравенств:
Решим первое неравенство:
, неравенство имеет решение, если x = 0 или x = 6.
шением последней системы является x = 6.
Ответ: 6
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Область определения входящих функций в неравенства: (
;
); (
Решим первое неравенство.
Заменим
, t
Учитывая область определения решение первого неравенства : x= 5.
Проверим данное решение подставив во второе неравенство системы x = 5 :
+
-1
получили верное неравенство.
81
Решение системы: x =5.
Ответ: 5.
Задача 15. Решите систему неравенств
Решение.
Решим второе неравенство методом замены. Заменим
x
,
.
Ответ:
.
Задачи для самостоятельного решения
1.
2.
3.
, t
;
).
4.
5.