Институт Кибернетики НАН Азербайджана

УПРАВЛЕНИЕ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ В НАБЛЮДАЕМЫХ ТОЧКАХ
В.М.АБДУЛЛАЕВ
Институт Кибернетики НАН Азербайджана (Азербайджан, Баку)
[email protected]
Пусть однородные стержни длиной l последовательно (или одновременно, но независимо друг от
друга) обогреваются в печи за счет создаваемой в ней внешним источником одинаковой во всей печи
температуры  (t ) . Тогда процесс нагрева каждого стержня будет описываться следующим
дифференциальным уравнением параболического типа:
ut ( x, t )  a 2u xx ( x, t )    (t )  u ( x, t ), ( x, t )    (0, l )  [0, T ] ,
(1)
с краевыми условиями:
(2)
u x (0, t )   u(0, t )   (t ) , t  (0,T ],
ux (l , t )   u(l , t )   (t ) , t  (0, T ],
где a 2 
k
h
 const  0  коэффициент температуропроводности;  
c
c
(3)
и 
h
приведенные
k
коэффициенты теплообмена между средой и стержнем в печи, соответственно по длине и на концах
стержня; h  коэффициент теплообмена; k  коэффициент теплопроводности; c  коэффициент
удельной теплоемкости,   плотность материала.
Начальную температуру стержней для простоты будем считать постоянной по их длине, но
различными для разных стержней при этом задано некоторые допустимое множество(интервал)
возможных значений температур B  [ B, B ] :
u ( x,0)  b  const  B , x  [0, l ],
причем задана функция плотности начальных температур  B (b) такая, что

B
(b)db  1,  B (b)  0, b  B .
(4)
(5)
B
xi [0, l ] всех стержней с помощью датчиков измеряется текущая температура
u( xi , t ) , i  1,2..., L , в зависимости от значений которых назначается текущая температура  (t ) в печи.
Пусть  i , i  1,2,..., L  весовые коэффициенты, характеризующие важность учета значения
В L точках
температуры в замеренных точках, причем
L

i 1
i
 1, 0  i  1, i  1,2,..., L .
(6)
Значение
L
u~ (t )    i u ( xi , t ) , t  [0, T ] ,
i 1
является текущей “усредненной” температурой стержня по замеренным данным. Это значение
используется для формирования синтезируемого управления печи:
L
 (t )   (t ; K ,  )  K (t )u~(t )  K (t )  i u ( xi , t ) ,
(7)
i 1
где K (t ) -управляющий параметр, определяющий температуру печи. Вектор   ( 1 ,  2 ,...,  L ) в общим
случае может быть функций времени, но для простоты будем считать его значение неизменным и
неизвестным.
Подставляя (7) в (1)-(3), получим краевую задачу вида:
L


ut ( x, t )  a 2u xx ( x, t )    K (t )  i u ( xi , t )  u ( x, t ) , ( x, t )    (0, l )  [0, T ] ,
i 1


L


u x (0, t )   u (0, t )  K (t )  iu ( xi , t ) , t  (0, T ] ,
i 1


(8)
(9)
1
L


u x (l , t )   u (l , t )  K (t )  iu ( xi , t ) , t  (0, T ] ,
i 1


(10)
Задачу (8)-(10) называют точечно нагруженной, т.к. в ее правых участвуют неизвестные значения
фазовый переменной в отдельных точках пространственной переменной [1].
В практических приложениях на параметр регулирования K (t ) могут быть наложены
определенные технологическим требованиям вида
t  [0, T ] ,
(11)
K  K (t )  K ,
где K , K -заданные соответственно верхнее и нижнее допустимые значения коэффициента усиления.
Пусть критерий качества управления процессом нагрева определяется следующим функционалом :
J ( K ,  )   I (K ,  ; b)  B (b)db   1 K (t )  K 0
2
L2 [ 0,T ]
2  0
2
RL
,
(12)
B
l
I ( K ,  ; b)    ( x)u ( x, T ; K ,  , b)  U ( x) dx ,
2
где
U (x)  заданная
задачи
(8)-(10)
(13)
0
функция;  ( x)  0 -заданная весовая функция, u ( x, t ; K ,  ; b)  решение краевой
при
управляющих
параметрах
K  K (t ), 
u ( x,0)  b , x  [0, l ] ;  1  0,  2  0, K 0  R ,  0  R -параметры
1
L
и
начальном
регуляризации,
условии
удовлетворяющие
(6),(11).
Представляет практический интерес случай, когда наблюдение за процессом нагрева в точках
стержня xi [0, l ], i  1,2..., Lx ведется не непрерывно, а в заданные дискретные моменты времени
t j  [0, T ] , j  0,1,..., Lt , t 0  0, t Lt  T . Температура в печи назначается по результатам наблюдения и
постоянна на интервале времени между двумя наблюдениями, и определяется, например, по формуле
Lx
 (t )  K j   i u( xi , t j 1 )  const , K j  const , t  [t j 1 , t j ) j  1,2,..., Lt .
(14)
i 1
Возможно использование “памяти” для замеров значений температуры во времени, использовав
формулу:
Lx
j 1
 (t )  K j   ij1u( xi , t j 1 )  const , t  [t j 1 , t j ) ,
(15)
i 1  1
где
 i  весовые коэффициенты важности учета на ( j  1) -ом интервале времени значения температуры
в i -той точке xi при  -том замере т.е. в моменты времени t ,   0,..., j  1 .
В случаях (14) и (15) задача управления приводит к отысканию конечномерного вектора
параметров: K  ( K 1 ,..., K Lt ) ,   ( 1 ,...,  Lx ) в случае (14) и матрицы   (( ij )), i  1,..., Lx , j  1,..., L t
в случае (15).
Для обоих случаев нижеприводимые выкладки существенно не изменяются, поэтому будет
рассмотрено только управление вида (7).
Для численного решения поставленной задачи параметрического оптимального управления (8)(13), т.е. определения функции k (t ) и конечномерного вектора параметров  предлагается использовать
методы оптимизации первого порядка.
Из (8)-(13), учитывая независимость начальных условий друг от друг, а следовательно
независимость решений краевых задач (8)-(10) для различных начальных условий u ( x,0)  b  B следует
справедливость
 grad K I ( K ,  ; b)  B (b)db 

 grad K J ( K ,  )   B
.


 grad J ( K ,  )  


   grad  I ( K ,  ; b)  B (b)db 
B

Поэтому для применения методов оптимизации первого порядка получим формулы градиента
функционала (13) с учетом краевой задачи (8)-(10) при каком-либо одном допустимом начальном
условии:
u ( x,0)  b, x  [0, l ], b  B .
(16)
2
При численном решении задачи (8)-(13) с применением стандартных процедур оптимизации
первого порядка на каждом шаге итерационной процедуры используется градиент функционала. С этой
целью при текущем управлении необходимо решить нагруженную краевую задачу (8)-(10) и следующее
сопряженное интегро-дифференциальное уравнение:

l

0
L

 t ( x, t )  a 2 xx ( x, t )    K (t )  ( , t )d   i  ( x  xi )   ( x, t ),

x  ( xi 1 , xi ), t  [0, T ], i  1,2,.., L ,
i 1
(17)
с начально-краевыми условиями
 ( x,T )  2 ( x)u( x,T )  U ( x), x [0, l ] ,
 x (0, t )   (0, t ) , x  [0,T ] ,
 x (l , t )   (l , t ) , x  [0, T ] ,
(18)
(19)
и нелокальными условия типа скачка в промежуточных точках наблюдения xi , i  1,2,..., L
  ( xi , t )    ( xi , t ), i  1,..., L ,
 x ( xi , t )   x ( xi , t )  K (t ) i ( (l , t )   (0, t )), i  1,..., L .
(20)
Теорема 1. Градиент функционала в задаче (8)-(13) для допустимых управляющих параметров
K  K (t ),  определяется следующими формулами:
L
 l
grad K J ( K ,  )     ( x, t )dx   i u ( xi , t ) 
i 1
B 0

 a    i u ( xi , t ) (0, t )   (l , t )   B (b)db  2 1 ( K (t )  K 0 ), t  [0, T ] ,
i 1

T
 
 l
 
grad  J ( K ,  )     K (t )u ( x , t )  ( x, t )dx  a 2 ( (0, t )   (l , t )) dt  B (b)db 
 0 
B
 0
 
(21)
L
2
(22)
 2 2 (   0 ),
где u ( x, t )  u ( x, t ; K ,  ; b),  ( x, t )   ( x, t ; K ,  ; b) -соответственно решение прямой и сопряженной
краевой задач (8)-(13) и (17)-(20) при заданном начальном допустимом условии u ( x,0)  b .
Приведенные выше формулы (17)-(20) для градиента функционала задачи (8)-(13) можно получить
используя метод прямых по времени для сведения исходной задачи к задаче оптимального управления
системой нагруженных дифференциальных уравнений с обыкновенными производными с нелокальными
краевыми условиями [4]. Далее, применяя полученные в работе [5], необходимые условия оптимальности
для этих задач и переходя обратно к пределу шага дискретизации по времени к нулю, можно получить
формулы (17)-(20). Ниже метод прямых предлагается использовать для численной реализации
итерационный метод проекции градиента, а именно для решения краевых задач: прямой (8)-(11) и
сопряженной (17)-(20). Для решения же задачи оптимального управления полученной нагруженной
системой дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями используем численный
метод, предложенный в работах [2,3].

t s  sht , s  0,..., N t , ht  T N t
В
области
введем
прямые:
и
обозначим
us ( x)  u( x, sht ) , K s  K ( sht ), s  0,1,..., Nt .
Аппроксимируем краевую задачу (8)-(10) краевой задачей относительно следующей нагруженной
системы N t обыкновенных дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями:
a 2us( x)  (
L
1
1
  )us ( x)  us 1  K s   ius ( xi )  0 ,
ht
ht
i 1
L
L




u s (0)   u s (0)  K s   i u s ( xi ) , u s (l )   u s (l )  K s   i u s ( xi ) , s  1,..., N t ,
i 1
i 1




u0 ( x)  b  B , x [0, l ] .
(23)
(24)
(25)
Целевой функционал (13) аппроксимируем, например, формулой
3

l

Nt 1
L
s 0
i 1
I ( K ,  ; b)    ( x) u Nt ( x)  U ( x) dx   1 ht  ( K s  K 0 ) 2   2  ( i   oi ) 2
0
2
(26)
Полученная задача оптимального управления заключается в определении ( N t  L) -мерного
вектора параметров ( K ,  )  ( K1 ,..., K N t ,  1 ,...,  L ) . Для ее решения с применением метода проекции
градиента приведем формулы вектора градиента функционала (26):
 I
I
I
I
grad I ( K ,  ; b)  
,...,
,
,...,
 K1
K Nt  1
 L


.


Сопряженную краевую задачу (17)-(20) также аппроксимируем с применением метода прямых
нагруженными дифференциальными уравнениями второго порядка с обыкновенными производными с
нелокальными краевыми условиями:
l
L
1
1
  ) s ( x)   s 1 ( x)  K s  s ( x)dx  i ( x  xi )  0 ,
ht
ht
i 1
0
 s (0)   s (0) ,
 s (l )   s (l ) ,
a 2 s( x)  (
 s ( xi )   s ( xi )   K s ( s (l )   s (0)), i  1,..., L ,
решаемых последовательно от s  Nt  1 до s  1 при условии
 N ( x)  2 ( x)u N ( x)  U ( x) , x  (0, l ) ,

t

t
(27)
(28)
(29)
(30)
Тогда компоненты градиента функционала задачи (23)-(26) определяются аппроксимаций формул
(21),(22) следующим образом:
L

 l

dJ
 ht   i  u s ( xi )   s ( x)dx  a 2  s (0)   s (l )   db  2 1 ( K s  K 0 ), s  1,.., N t , (31)
dK s
i 1

B
 0
 
N
 l

dJ
 ht  K s  u s ( xi )   s ( x)dx  a 2  s (0)   s (l )  db  2  1 (   0 ) , i  1,..., L . (32)
d i
s 1
B
 0

Другой спецификой этих краевых задач является точечная нагруженность уравнений (23) и
интегральная нагруженность уравнений (27), а также наличие нелокальных краевых условий (24),(29). В
работе [3], для решения подобных краевых задач был предложен численный метод решения . Он основан
на сдвиге краевых условий, например, слева направо последовательно из точки x  0 в точки
x1 ,...., xL , x  l и в результате получении ( L  1)n ( n  порядок системы) алгебраических уравнений
относительно (u s ( x1 ),..., u s ( x L ), u s (l )) . После решения этой системы, исходная краевая задача
приводится к задаче Коши, решаемую уже справа налево. Аналогичный подход в [4] предложен для
интегрально нагруженных дифференциальных уравнений с обыкновенными производными с
нелокальными краевыми условиями.
Отметим, что предложенная выше постановка оптимального управления с обратной связью и
подход к ее численному решению можно распространить на другие классы задач оптимального
управления
системами с распределенными параметрами, описываемых
другими типами
дифференциальных уравнений с частными производными.
В докладе приводятся результаты проведенных численных экспериментов, полученных при решении
задач оптимального управления вида (8) –(13).
Литературы
1. Нахушев А.М. Задачи со смешением для уравнений в частных производных. М.Наука, 2005.
2. Айда-заде К.Р. О численном решении систем дифференциальных уравнений с нелокальными условиями. //
Вычислительные технологии, Новосибирск. 2004, т.9, №1. с.11-25.
3. Абдуллаев В.М. О применении метода прямых для краевой задачи с нелокальными условиями относительно
нагруженного параболического уравнения //Известия НАНА, серия ФТМН, T.XXVIII , №3 , 2008
4. Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. О численном решении нагруженных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений // Ж. вычисл. матем. и математической физики. Москва. 2004, т.44, №9. с.1585-1595.
5. Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. Численное решение задач оптимального управления нагруженными
сосредоточенными системами // Ж. вычисл. матем. и математической физики. Москва. 2006, т.46, №9.
4