Финалы России, 11 класс 1999

Финалы России, 11 класс
1999
1. Существуют ли 19 попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр таких, что их сумма равна
1999?
2. Во всех рациональных точках вещественной прямой расставлены целые числа. Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.
3. Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC , CD в точках K , L , M , N соответственно. Пусть S1 , S2 , S3 , S4 - соответственно окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM, CMN,
DNK . К окружностям S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 проведены общие внешние касательные, отличные от сторон
четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными - ромб.
4. В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n2 фишек, по одной фишке в каждой клетке.
Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через фишку, непосредственно за которой следует свободная
клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой
дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через ходов  n 
3
Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся. Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.
Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда,
когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по её разные стороны).
Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что
линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и
только тогда, когда AB×CD=AC× BD=AD× BC .
В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы
Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя - либо
два, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них
выигрывает при правильной игре?
2
5.
6.
7.
8.
2000
1. Найдите все функции f : R  R, которые для всех x, y, z R удовлетворяют неравенству f(x+y) + f(y+z) + f(z+x) >
3f(x+2y+3z)
2. Докажите, что можно разбить всё множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c такой что a+99b=c нашлись два числа из одного подмножества.
3. На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что
внутри или на границе пятиугольника A1B1C1D1E1 (пятиугольник образуется в результате пересечения диагоналей)
есть хотя бы одна целая точка.
4. Дана последовательность неотрицательных целых чисел a1, a2, ..., an. Для любого k от 1 до n обозначим через mk
ak i 1  ak i  2  ...ak
. Докажите, что при любом >0 число тех k, для которых mk>, меньше, чем
i 1, 2,... k
i
(a1+a2+...+an)/
величину max
5. Докажите неравенство sinn(2x) + (sinnx - cosnx)2 ≤1 .
6. Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49. (Натуральное число называется
совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа, например 6=1+2+3.)
7. Четырёхугольник ABCD описан около окружности . Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O.
Окружность 1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD, окружность 2 касается стороны
AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K, L лежат на одной прямой. Докажите, что
середины сторон BC, AD и центр окружности  лежат на одной прямой.
8. Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в любой строке и в любом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета. Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.
Финалы России, 11 класс
2001
1. Пусть 2S - суммарный вес некоторого набора гирь. Назовем натуральное число k средним, если в наборе можно
выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее число средних чисел может иметь набор из
100 гирек?
2. Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N. Касательная к внутренней окружности, проведенная в точке K, пересекает внешнюю окружность в точках A и B. Пусть M - середина дуги AB, не содержащей
точку N. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK, не зависит от выбора точки K на
внутренней окружности.
3. На плоскости даны два таких конечных набора выпуклых многоугольников P1 и P2, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку, и в каждом из двух наборов P1 и P2 есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.
4. Участникам тестовой олимпиады было предложено n вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое число баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участниками баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими
ответами, оказалось, что жюри может так определять сложность вопросов, чтобы места между участниками распределялись любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?
5. Приведенные квадратные трехчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах. Докажите, что найдутся такие положительные числа a и b, что для любого действительного х будет выполняться неравенство af(x)+bg(x)>0
6. a и b - различные натуральные числа такие, что ab(a+b) делится на a2+ab+b2. Докажите, что a  b  3 ab .
7. В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит хотя бы
одна дорога и нет города, соединенного дорогами со всеми остальными. Назовем множество городов D доминирующим, если любой не входящий в D город соединен дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в
любом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на 2001-k республик
так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.
8. Сфера с центром в плоскости ABC основания тетраэдра SABC проходит через вершины A, B и C и вторично пересекает ребра SA, SB и SC в точках A1, B1и C1 соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A1, B1и C1,
пересекаются в точке O. Докажите, что O - центр сферы, описанной около тетраэдра SA1B1C1.
2002
1. Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству P2+Q2=R2. Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени - действительные.
2. На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трёх из них существует декартова система координат (то есть
перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
3. Докажите, что для всех x(0; /2) при n>m, где n, m - натуральные, справедливо неравенство 2|sinnx-cosnx|<3|sinmxcosmx|;
4. В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей соединены улицами с односторонним движением так,
что с каждой площади можно выехать ровно по двум улицам. Докажите, что город можно разделить на 1014 районов так, чтобы улицами соединялись только площади из разных районов, и для любых двух районов все соединяющие их улицы были направлены одинаково (либо все из первого района во второй, либо наоборот).
5. Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой
суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.
6. Пусть ABCD - вписанный четырёхугольник. O - точка пересечения диагоналей AC и BD. Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD, пересекаются в точке K. Точка L такова, что треугольник BLC соответственно подобен треугольнику AKD. Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он является описанным.
7. На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через
любую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
8. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной
1
1
1     , не является степенью простого числа с натуральным показателем.
2
n
Финалы России, 11 класс
2003
1. Пусть α, β, γ, τ – такие положительны числа, что при всех x sin x  sin x  sin x  sin x. . Докажите, что α=γ или
α=τ.
2. Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть S1 и S2 – соответственно окружности, описанные около треугольников ABO и CDO, O и K - точки пересечения окружностей S1 и S2. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S1 и S2 в точках L и M соответственно. На отрезках OL И OM выбраны соответственно точки P и Q так, что OP:PL=MQ:QO. Докажите, что точки O,
K, P, Q лежат на одной окружности.
3. Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a<b имеют место равенства f(a)=g(a) и f(b)=g(b). Докажите, что если b>m, то многочлены f и g совпадают.
4. Изначально у Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б.
Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей бумажке
слово с бумажки другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полоски можно будет разрезать на 2 части и
переставить их местами так, что получится то же слово задом наперед.
5. Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами. Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.
6. Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых
натуральных m,n>100 сумма чисел в любом прямоугольнике m×n делилась на m+n?
7. В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Для любых четырех городов существует хотя бы
две дороги между ними. Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно один раз. Докажите, что можно выбрать два города таким образом, чтобы любой из оставшихся городов был соединен дорогой хотя
бы с одним из двух выбранных городов.
8. Вписанная в тетраэдр ABCD сфера касается его граней ABC, ABD, ACD и BCD в точках D1, C1, B1 и A1 соответственно.
Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки A и плоскости B1C1D1 и три плоскости, аналогичные ей. Докажите,
что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр ABCD.
2004
1. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов
2. Пусть IA и IB – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P – точка на окружности ω, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников IACP и IBCP, совпадает с центром окружности ω.
3. Даны многочлены P(x), Q(x). Известно, что для некоторого многочлена R(x, y) выполняется равенство P(x) –P(y) =
R(x, y)(Q(x) –Q(y)). Докажите, что существует многочлен S(x) такой, что P(x) =S(Q(x)).
4. В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В ее клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз.
При этом в любом столбце числа различаются не более чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел
в первой строке.
5. Пусть M = {x1, …,x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; An (1 ≤ n ≤ 30) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M. Докажите, что если A15 > A10, то A1 >1.
6. Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N (N > 3) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами:
1) для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех
2N-1 векторов равна нулю;
2) для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N
векторов равна нулю.
7. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями,
принадлежащими k компаниям. Известно, что любые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на k+2 группы так, что никакие два города из одной группы не соединены
авиалинией.
8. В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение, являющееся шестиугольником. Известно, что этот шестиугольник можно поместить в некоторый прямоугольник П. Докажите, что в прямоугольник П можно поместить
одну из граней параллелепипеда.
Финалы России, 11 класс
2005
1. Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение x  a1    x  a50  x  b1    x  b50 , где
a1, a2, …, a50, b, b2, …, b50 – различные числа?
2. На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число
вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?
3. Пусть A1, B1 и C1 – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A1B1C, A1BC1 и AB1C1 пересекают второй раз описанную окружность треугольника
ABC в точках C’, A’ и B’ соответственно. Докажите, что треугольник A’B’C’ подобен треугольнику, образованному
точками касания вписанной окружности треугольника ABC с его сторонами.
4. Натуральные числа x, y, z (x > 2, y > 1) таковы, что xy + 1 = z2. Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q – количество различных простых делителей числа y. Докажите, что p ≥ q+2.
5. Существует ли ограниченная функция f: R→R такая, что f(1) > 0 и f(x) удовлетворяет при всех x, y  R неравенству
f2(x+y) ≥ f2(x) + 2f(xy) + f2(y) ?
6. Можно расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов P1, P2, …, P12, ребра которых параллельны
координатным осям Ox, Oy, Oz так, чтобы P2 пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме P1 и P3, P3 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P2 и P4, и т.д., P12 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P11 и P1, P1 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P12 и P2? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему).
7. Четырехугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что
точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырехугольника ABCD тогда и только тогда, когда
OA·OC = OB·OD.
8. За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой страны. Докажите, что их можно
разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие
двое из одной группы не сидят за столом рядом.
2006
1. Докажите, что sin
x  sin x при 0  x   .
2
2. сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T.
Докажите, что исходные дроби имели периоды не больше T.
3. В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все 50·70 вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым
своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух
проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки поводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех
полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выиграет при
правильной игре?
4. Биссектрисы BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B1C1 пересекает описанную окружность
треугольника ABC в точках M и N. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше
радиуса описанной окружности треугольника ABC.
5. Последовательности положительных чисел (xn) и (yn) удовлетворяют условиям xn+2 = xn + x n21 , yn+2 = yn + y n21 при
всех натуральных n. Докажите, что если все числа x1, x2, y1, y2 больше 1, то xn > yn при каком-нибудь натуральном
n.
6. Окружность с центром I, вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC, касается отрезков AB, BC, CA в
точках D, E, F соответственно. На отрезках SA, SB, SC отмечены соответственно точки A1, B1, C1 так, что AA1 = AD,
BB1 = BE, CC1 = CF; S1 – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S. Известно,
что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S1 равноудалена от точек A1, B1, C1.
7. Известно, что многочлен (x+1)n – 1 делится на некоторый многочлен P(x) = xk + ck–1xk–1 + ck–2xk–2+…+c1x + с0 четной
степени kб у которого все коэффициенты c0, c1, …, ck–1 – целые нечетные числа. Докажите, что n делится на k+1.
В лагерь приехало несколько пионеров, каждый из них имеет от 50 до 100 знакомых среди остальных. Докажите, что
пионерам можно выдать пилотки, покрашенные в 1331 цвет так, чтобы у знакомых каждого пионера были пилотки
хотя бы 20 различных цветов.
Финалы России, 11 класс
2007
1. Докажите, что при k>10 в произведении f(x) = cos x∙cos2x∙cos 3x∙…cos2kx можно заменить один cos на sin так, что
получится функция f1(x), удовлетворяющая при всех действительных x неравенству f1 ( x) 
3
2 k 1
.
2. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Отрезок
AA1 вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна BC и проходит через A. Прямые
A1C1 и A1B1 пересекают l в точках P иR соответственно. Докажите, что PQR = B1QC1.
3. Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N
цифр. Помощник фокусника закрывает две соседние цифры черным кружком. Затем входит фокусник. Его задача
– отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник
может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?
4. В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn+1/[xn] при
всех натуральных n. Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
5. В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа. Докажите, что можно вычеркнуть
по одному числу в каждой вершине так, чтобы оставшиеся числа в любых двух соседних вершинах были различными.
6. Существуют ли ненулевые числа a, b, c такие , что при любом n>3 можно найти многочлен вида
Pn(x) =xn+...+ax2+bx+c, имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?
7. Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих
шаров?
8. В стране N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонными авиалиниями. Оказалось,
что для любого k (2≤k≤N) при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет
превосходить 2k–2. Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не
будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.
2008
1. Числа a, b, c таковы, что уравнение x3+ax2+bx+c=0 имеет три действительных корня. Докажите, что если –
2  a+b+c  0, то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку [0,2].
2. Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь отличаются не более чем
в 1, 25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить
все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.
3. Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдется натуральное число x такое, что оно представимо в виде x = ap+bp (с натуральными a и b) при всех pP и нее представляется в таком виде для любого простого
pP.
4. Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1. Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар
радиуса
3
2 2
.
5. Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 1010. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в
соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x2–ax+b = 0 и x2–bx+a = 0 имеет два целых корня?
6. Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A1A2…A2008, находящегося за ширмой. Он называет две
точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им
численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
7. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD, BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ. Докажите, что четырехугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когад вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.
8. В блицтурнире принимали участие 2n+3 шахматистов. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.
Финалы России, 11 класс
2009
1. В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом
городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого
города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и необязательно возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два
числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.
k
2. Последовательность a1, a2, …, такова, что a1(1,2) и ak+1 = ak+
при любом натуральном k. Докажите, что
ak
в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
3. В треугольной пирамиде ABCD все плоские углы при вершинах – не прямые. А точки пересечения высот в треугольниках ABC, ABD, ACD лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в
плоскости, проходящей через середины ребер AB, AD, AC.
4. На плоскости отмечены все пары точек с целыми координатами (x, y) такие, что x2+y21010. Двое играют в игру
(ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает её. Затем
очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает её. При этом длины
ходов должны все время увеличиваться; кроме того. Запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как
бы ни играл его соперник?
5. Пусть 1<abc. Докажите, что log a b  log b c  log c a  log b a  log c b  log a c .
6. В некоторых клетках доски 1010 поставили k ладей, и затем отметили все клетки, которые бьет хотя бы одна ладья (считается, что ладья бьет клетку, на которой стоит). При каком наибольшем k может оказаться, что после
удаления с доски любой ладьи хотя бы одна отмеченная клетка окажется не под боем?
7. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCDвыбраны точки A1 и C1 соответственно. Отрезки AC1 и CA1
пересекаются в точке P. Описанные окружности треугольников AA1P и CC1P вторично пересекаются в
точке Q, лежащей внутри треугольника ACD. Докажите, что  PDA = QBA.
n
n
8. Даны натуральные числа x и y из отрезка [2, 100]. Докажите, что при некотором натуральном n число x 2  y 2 составное.
2010
1. Существуют
ли
такие
ненулевые
действительные
числа
a1,
a2,
…,
a10,
что

1 
1  
1 
1 
   a1   a10 
 ?
 a1   a10 
a
a
a
a
1 
10 
1 
10 




2. В клетчатой таблице nn (n4) поставлены n знаков «+» в клетках одной диагонали и знаки «–» во всех
остальных клетках. Разрешается в некоторой строке или в некотором столбце поменять все знаки на
противоположные. Докажите, что после любого количества таких операций в таблице останется не менее n плюсов.
3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность S, а его диагонали пересекаются в точке K. Точки M1, M2, M3, M4 –
середины дуг AB, BC, CD, DA (не содержащих других вершин четырехугольника) соответственно. Точки I1, I2, I3,
I4 – центры окружностей, вписанных в треугольники ABK, BCK, CDK, DAK соответственно. Докажите, что прямые
M1I1, M2I2, M3I3, M4I4 пересекаются в одной точке.
4. Дано натуральное число n3. При каком наименьшем k верно следующее утверждение? Для любых n точек Ai=(xi,
yi) на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и любых вещественных чисел ci (1in) существует такой многочлен P(x,y), степень которого не больше k, что P(xi, yi) = ci при всех i = 1, ….n.
(Многочленом от двух переменных называется функция вида P(x,y) = a0,0+a1,0x+ a0,1y+ a2,0x2 +a1,1xy+ a0,2y2+…
ak,0xk + ak–1,1xk–1,y+…+a0,kyk. Степенью ненулевого одночлена ai,jxiyj называется число i+j; степенью многочлена P(x,y) называется наибольшая степень входящего в него одночлена).
5. Дано натуральное число n>1. Докажите, что найдутся такие n последовательных натуральных чисел, что их произведение делится на все простые числа, не превосходящие 2n+1, и не делится ни на одно другое простое число.
6. Могут ли 4 центра вписанных в грани тетраэдра окружностей лежать в одной плоскости?
7. Многочлен P(x) степени n3 имеет n вещественных корней x1<x2<…<xn, причем x2–x1<x3–x2<…<xn–xn-1. Докажите,
что максимум функции y=|P(x)| на отрезке [x1, xn] достигается в точке, принадлежащей отрезку [xn–1, xn].
8. В школе-интернате преподается 9 предметов и учатся 512 детей, расселенных в 256 двухместных номерах (детей,
живущих в одном номере, назовем соседями). Известно, что у любых двух детей наборы предметов, которые им
интересны, различны (в частности, ровно одному ребенку не интересно ничего). Докажите, что всех детей можно
построить по кругу так, чтобы любые два соседа стояли рядом, а для любых двух несоседей. Стоящих рядом, одному из них интересны все предметы, интересные другому, и еще ровно один предмет.
Финалы России, 11 класс
2011
1. Натуральные числа d и d’, d'>d – делители натурального числа n. Докажите, что d'>d+d2/n.
2. На стороне BC параллелограмма ABCD ( A < 90) отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O1, O2 и O3 – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно.
Докажите, что точка пересечения высот треугольника O1O2O3 лежит на прямой AD.
3. В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух
академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более, чем одной из них.
4.На шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населенных пунктов.
Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянно скоростью в населенных пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населенных пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль
шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проезжал мимо каждого флажка, причем
около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.
5. Даны два различных кубических многочлена F(t) и G(t) с единичными старшими коэффициентами. Выписали
все корни уравнений F(t) = 0, G(t)= 0, F(t) = G(t). Оказалось, что выписаны 8 различных чисел. Докажите, что
наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена F(t).
6. На столе лежит куча из более чем n2 камней. Петя и Вася по очереди берут камни из кучи, первым берет Петя.
За один ход можно брать любое простое число камней, меньшее n, либо любое кратное n число камней, либо один
камень. Докажите, что Петя может действовать так, чтобы взять последний камень независимо от действий Васи.
7. Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа a2+1. Докажите, что существует
бесконечно много троек различных натуральных чисел a, b, c таких, что P(a) = P(b) = P(c).
8. Дан неравнобедренный треугольник ABC. Пусть N – середина дуги BAC его описанной окружности, а M – середина стороны BC. Обозначим через I1 и I2 центры вписанных окружностей треугольников ABM и ACM соответственно. Докажите, что точки I1, I2, A, N лежат на одной окружности.
2012
1. Пусть a1, a2, …a10 – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Могло ли оказаться,
что сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 20 чисел a1, a2, …a10, 4 a1, 4a2, …4a10 равна 2012?
2. Окружность S, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D.
Пусть точка I – центр окружности S, а O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна
радиусу окружности S.
3. Любые два из действительных чисел a1, a2, a3, a4, a5 отличаются не менее, чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства a1+a2+a3+a4+a5=2k и a12+a22+a32+a42+a52 = 2k2. Докажите, что k2 ≥ 25/3.
4. Изначально на доске были написаны n+1 многочленов 1, x, x2, …,xn. Договорившись заранее, k мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат
дописывали на доску. Через m минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены S1 = 1+x, S2 = 1+x+x2,
S3 = 1+x+x2+x3, … Sn = 1+x+x2+…+xn. Докажите, что m ≥ 2n/(k+1).
5. По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает,
что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу
после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют.
Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.
6. Существуют ли натуральные числа a, b, c, большие 1010 и такие, что их произведение делится на любое из них,
увеличенное на 2012?
7. На координатной плоскости нарисовано n парабол, являющихся графиками квадратных трехчленов; никакие две
из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более 2(n–1) углов ( то есть точек пересечения пары парабол).
8. Точка E - середина отрезка, соединяющего точку пересечения высот неравнобедренного остроугольного треугольника ABC с его вершиной A. Окружность, вписанная в этот треугольник, касается сторон AB и AC в точках C1 и
B1 соответственно. Докажите, что точка F, симметричная точке E относительно прямой B1C1, лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.