РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И ИНФОРМАЦИОНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
ПЛАТОНОВ М. Л.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ.
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ – 010500.62 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И
АДМИНИСТРИРОВАНИЕ
ИНФОРМАЦИОННЫХ
СИСТЕМ»
ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ – ТЕХНОЛОГИИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОГРАМИРОВАНИЕ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2011
ПЛАТОНОВ М. Л. «АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ». Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа дисциплины «Алгебра и теория чисел» для студентов очной формы обучения по
направлению подготовки 010500.62 «Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем» и профилям подготовки «Технологии программирования»,
«Параллельное программирование». Тюмень, 2011, 40 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра и теория чисел» составлена в соответствии с
требованиями федерального государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования и основной образовательной программы по направлению
подготовки 010500.62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных
систем» и профилям подготовки «Технологии программирования», «Параллельное
программирование».
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: «Алгебра и теория чисел»
[электронный ресурс]/Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к электронному изданию кафедрой алгебры и математической
логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой алгебры и математической
логики Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2011
© Платонов М.Л., 2011
2
1.
Пояснительная записка.
1.1. Цели и задачи изучения дисциплины.
Предметом изучения дисциплины являются основные понятия и методы алгебры и
теории чисел.
Работа над материалом учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел» позволяет
реализовать следующие цели и задачи:
1.1.1. Цели преподавания дисциплины.
Цели преподавания учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел»
можно сформулировать следующим образом:






Обеспечение базовой математической подготовки специалистов в
соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования и учебному плану по направлению
010500.62
«Математическое
обеспечение
и
администрирование
информационных систем».
Обучение студентов фундаментальным понятиям и основным методам общей
и линейной алгебры, теории чисел;
Формирование теоретических знаний и практических навыков решения задач,
необходимых в дальнейшей учебной и последующей профессиональной
деятельности;
Формирование и развитие логического и аналитического мышления, опыта
творческой и исследовательской деятельности, необходимого для решения
научных задач теоретического и прикладного характера;
Повышение интеллектуального уровня;
Формирование научного мировоззрения, математического мышления,
представлений о значимости математики как части современной человеческой
культуры, в развитии цивилизации, о математике как форме описания и
методе познания действительности.
1.1.2. Задачи изучения дисциплины.
Основными задачами изучения дисциплины являются:






Изучить материал учебной дисциплины;
Усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения
материала учебной дисциплины;
Приобрести навыки самостоятельного решения теоретических и практических
задач различного уровня сложности;
Выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов
и результатов;
Освоить средства приобретения, накопления и преобразование знаний,
широкому их использованию в практической и будущей профессиональной
деятельности.
Обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки;
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Алгебра и теория чисел» принадлежит к числу дисциплин
фундаментальной математики базовой части математического и естественнонаучного
цикла ООП ВПО подготовки по направлению 010500.62 «Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем».
Материал дисциплины «Алгебра и теория чисел» является обязательным
материалом для изучения при подготовке бакалавров по направлению 010500.62
«Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и
непосредственно связан с материалами других дисциплин математического и
естественнонаучного, профессионального циклов таких, как математический анализ,
геометрия и топология, физика, информатика и программирование, методы вычислений,
дифференциальные уравнения, функциональный анализ, теория вероятностей и
математическая статистика, дискретная математика, математическая логика.
3
Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате усвоения
материала учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел», могут быть использованы во
всех видах деятельности в соответствии с федеральным государственным
образовательным стандартом и основной образовательной программой высшего
профессионального
образования
по
направлению
подготовки
010500.62
«Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в
результате освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины “Алгебра и теория чисел” цикла М и ЕН по
направлению подготовки 010500.62 “Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем” с квалификацией (степенью) “бакалавр” в соответствии с
целями основной образовательной программы и задачами профессиональной
деятельности, указанными в ФГОС ВПО, должен обладать следующими компетенциями:
Общекультурными компетенциями:
 Способность применять знания на практике (ОК-5);
 Исследовательские навыки (ОК-6);
 Способность учиться (ОК-7);
 Умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать научнотехническую информацию (ОК-9);
 Способность к анализу и синтезу (ОК-14).
Профессиональными компетенциями:
 Определение общих форм, закономерностей, инструментальных
средств для данной дисциплины (ПК-1)
 Умение понять поставленную задачу (ПК-2)
 Умение формулировать результат (ПК-3)
 Умение строго доказать математическое утверждение (ПК-4)
 Умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать
математически точный результат (ПК-5)
 Умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного
результата (ПК-6)
 Умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7)
 Умение ориентироваться в постановках задач (ПК-8)
 Знание корректных постановок классических задач (ПК-9)
 Понимание корректности постановок задач (ПК-10)
 Самостоятельное построение алгоритма и его анализ (ПК-11)
 Понимание того, что фундаментальное математическое знание
является основой компьютерных наук (ПК-12)
 Глубокое понимание сути точности фундаментального знания (ПК-13)
 Контекстную обработку информации (ПК-14)
 Способность
передавать
результат
проведённых
физикоматематических и прикладных исследований, выраженных в
терминах предметной области изучавшегося явления (ПК-15)
 Выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16)
 Умение извлекать научно-техническую информацию из электронных
библиотек, реферативных журналов, сети Интернет (ПК-17)
 Умение публично представить собственные и известные научные
результаты (ПК-18)
4
Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате освоения материала учебной дисциплины «Алгебра и теория
чисел» студент должен
знать:
 сущность основных понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
 основные формулировки понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
 основные методы решения задач алгебры и теории чисел.
уметь:
 самостоятельно использовать теоретические и практические знания для решения
задач различного уровня сложности и характера, как в рамках изучаемой
дисциплины, так и в других дисциплинах, использующих материалы данного курса;
анализировать полученные результаты.

владеть:
 символикой изучаемой дисциплины;
 терминологией изучаемой дисциплины;
 навыками построения математических


2.
моделей и умения произвести
соответствующие численные расчеты;
навыками применения понятий и методов дисциплины для решения различных
задач, используемых в дальнейшей учебной и профессиональной деятельности;
навыками научного творчества.
Трудоёмкость дисциплины.
Таблица 1.
Виды занятий
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации
Общая трудоёмкость дисциплины
Всего (часов)
194
88
106
202
часов
зач. ед.
396
11
1
54
Семестр
2
68
3
72
18
36
54
зачёт
108
3
34
34
112
экзамен
180
5
36
36
36
зачёт
108
3
5
3.
Тематический план.
Таблица 2.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
2.1.2.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
3.
3.1.
3.1.1.
3.1.2.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.3.
3.3.1.
3.3.2.
Из них в активной
интерактивной формах
Итого количество
баллов
4
1 семестр
5
7
8
9
10
Модуль 1.1.
Матрицы
Детерминанты
Всего по модулю 1.1.
Модуль 1.2.
Системы линейных уравнений
Системы линейных однородных уравнений
Всего по модулю 1.2.
Модуль 1.3.
Основные алгебраические структуры
Поле комплексных чисел
Кольцо полиномов
Всего по модулю 1.3.
Итого (часов, баллов) по 1 семестру:
Из них часов в интерактивной форме:
2.
2.1.
2.1.1.
3
Итого часов по теме
2
Самостоятельная
работа
1
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
Практические
занятия
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в час.
Лекционные занятия
№
недели семестра
Тематический план дисциплины.
Модуль 2.1.
Линейные пространства
Линейные отображения
и преобразования
линейных пространств
Всего по модулю 2.1.
Модуль 2.2.
Евклидовы и унитарные пространства
Линейные преобразования евклидовых и
унитарных пространств
Функции на линейных пространствах
Всего по модулю 2
Модуль 2.3.
Аффинные и точечные пространства
Преобразования аффинных пространств
Всего по модулю 3
Итого (часов, баллов) по 2 семестру:
Из них часов в интерактивной форме:
Модуль 3.1.
Теория делимости
Важнейшие функции в теории чисел
Всего по модулю 1
Модуль 3.2.
Сравнения первой степени
Сравнения второй степени
Всего по модулю 2
Модуль 3.3.
Первообразные корни и индексы
Характеры
Всего по модулю 3
Итого (часов, баллов) по 3 семестру:
Из них часов в интерактивной форме:
1 -2
3–4
2
2
4
4
4
8
6
6
12
12
12
24
2
2
4
0-7
0-12
0-19
5-6
7-8
2
2
4
4
4
8
6
6
12
12
12
24
2
2
4
0-12
0-19
0-31
9-12
13-14
15-18
4
2
4
10
8
4
8
20
12
6
12
30
24
12
24
60
4
2
4
10
0-9
0-15
0-26
0-50
18
6
2 семестр
36
12
54
108
18
0-100
24-25
4
4
14
22
4
0-7
26-28
6
6
20
32
6
0-12
10
10
34
54
10
0-19
29-30
4
4
12
20
4
0-7
31-33
6
6
20
32
6
0-10
34-36
6
16
6
16
20
52
32
84
6
16
0-14
0-31
4
4
8
34
12
3 семестр
4
4
8
34
22
12
14
26
112
20
22
42
180
4
4
8
34
0-9
0-15
0-50
0-100
37-38
39-40
1 -3
4-6
6
6
12
6
6
12
6
6
12
18
18
36
6
6
12
0-7
0-12
0-19
7-9
10-12
6
6
12
6
6
12
6
6
12
18
18
36
6
6
12
0-12
0-19
0-31
13-15
16-18
6
6
12
36
12
6
6
12
36
24
6
6
12
36
18
18
36
108
6
6
12
36
0-19
0-31
0-50
0-100
6
Таблица 3.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля. 1 семестр.
Информационные системы и
технологии
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-7
0-12
0-19
Всего
0-2
0-2
0-4
0-3
0-8
0-11
0-2
0-2
0-4
0-2
0-4
0-6
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-12
0-19
0-31
Всего
Итого за 1 семестр
0-1
0-2
0-4
0-7
0-14
0-2
0-3
0-5
0-10
0-25
0-2
0-2
0-4
0-8
0-17
0-1
0-2
0-3
0-6
0-10
0-1
0-2
0-3
0-6
0-10
0-1
0-2
0-3
0-6
0-10
0-9
0-15
0-26
0-50
0-100
Всего
0-1
0-2
0-3
0-1
0-3
0-4
0-1
0-2
0-3
0-1
0-2
0-3
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-7
0-12
0-19
Всего
0-1
0-1
0-2
0-4
0-1
0-2
0-2
0-5
0-1
0-2
0-2
0-5
0-1
0-2
0-2
0-5
0-1
0-1
0-2
0-4
0-1
0-1
0-2
0-4
0-1
0-1
0-2
0-4
0-7
0-10
0-14
0-31
Всего
Итого за 2 семестр
0-3
0-4
0-7
0-14
0-4
0-7
0-11
0-20
0-3
0-4
0-7
0-15
0-2
0-4
0-6
0-12
0-2
0-4
0-6
0-12
0-2
0-4
0-6
0-12
0-19
0-31
0-50
0-100
Всего
0-1
0-2
0-3
0-1
0-3
0-4
0-1
0-2
0-3
0-1
0-2
0-3
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-7
0-12
0-19
Всего
0-2
0-2
0-4
0-3
0-8
0-11
0-2
0-2
0-4
0-2
0-4
0-6
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-1
0-1
0-2
0-12
0-19
0-31
Всего
Итого за 3 семестр
0-3
0-4
0-7
0-14
0-4
0-7
0-11
0-25
0-3
0-4
0-7
0-14
0-3
0-4
0-7
0-17
0-2
0-4
0-6
0-10
0-2
0-4
0-6
0-10
0-2
0-4
0-6
0-10
0-19
0-31
0-50
0-100
Электронные
аттестующие
тесты
0-1
0-1
0-2
Электронные
обучающие
тесты
0-1
0-2
0-3
контрольная
работа
0-1
0-2
0-3
тест
0-1
0-3
0-4
коллоквиум
Всего
0-1
0-2
0-3
№ семестра, модуля, темы
собеседование
Итого количество
баллов
Письменные работы
Электронный
практикум
Устный опрос
1 семестр
Модуль 1.1.
1.1.1.
1.1.2.
Модуль 1.2.
1.2.1.
1.2.2.
Модуль 1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
Модуль 2.1.
2.1.1.
2.1.2.
Модуль 2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
Модуль 3
3.3.1.
3.3.2.
Модуль 3.1.
3.1.1.
3.1.2.
Модуль 3.2.
3.2.1.
3.2.2.
Модуль 3.3.
3.3.1.
3.3.2.
0-1
0-2
0-4
0-7
0-14
2 семестр
0-3
0-4
0-7
0-15
3 семестр
7
Таблица 4.
Модули и темы
1.
1.1.
1.1.1.
Модуль 1.1.
Матрицы
1.1.2.
Детерминанты
1.2.
1.2.1
1.2.2.
обязательные
дополнительные
1.3.1.
1.3.2.
3.3
2.
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
Модуль 1.2.
Системы линейных
уравнений.
Системы линейных
однородных уравнений
Проработка лекций
Работа с основной литературой
Решение типовых задач
Всего по модулю 1.1.:
Работа с дополнительной
литературой
Работа с интернет-ресурсами
Проработка лекций
Работа с основной литературой
Решение типовых задач
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
1–2
3–4
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
6
0-12
0-19
5-6
6
0-12
7-8
6
0-19
Модуль 1.3.
Основные алгебраические
структуры
Поле комплексных чисел.
Кольцо полиномов
12
0-31
Проработка лекций, работа с
литературой, решение
типовых задач
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернкт-ресурсами
9–12
12
0-20
13–14
15-18
6
12
30
54
0-10
0-20
0-50
0-100
24-25
14
0-7
26-28
20
0-12
34
0-19
29-30
12
0-7
31-33
20
0-10
34-36
20
0-14
52
0-31
37-38
12
0-19
39-40
14
0-31
26
112
0-50
0-100
1-3
6
0-7
4-6
6
0-12
12
0-19
Всего по модулю 1.3.:
Итого по 1 семестру:
2 семестр
Модуль 2.1.
Линейные пространства
Линейные отображения и
преобразования линейных
пространств
Проработка лекций, работа с
основной литературой, решение
типовых задач
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
Модуль 2.2.
Евклидовы и унитарные
пространства
Линейные преобразования
евклидовых и унитарных
пространств
Функции на линейных
пространствах
Проработка лекций, работа с
основной литературой, решение
типовых задач
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет ресурсами
Всего по модулю 2.2.:
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
Модуль 2.3.
Аффинные и точечные
пространства
Преобразования аффинных
пространств
Проработка лекций, работа с
литературой, решение
типовых задач
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
Всего по модулю 2.3.:
Итого по 2 семестру:
3 семестр
3.
3.1.
Модуль 3.1.
3.1.1.
Теория делимости
3.1.2.
Важнейшие функции в
теории чисел
3.2.
Модуль 3.2.
3.2.1.
Сравнения первой степени
3.2.2.
Сравнения второй степени
3.3.
Модуль 3.3.
Первообразные корни и
индексы
Характеры
Проработка лекций, работа с
основной литературой, решение
типовых задач
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
Всего по модулю 1:
3.3.1.
3.3.2.
0-7
12
Всего по модулю 2.1.:
2.2.
6
1 семестр
Всего по модулю 1.2.:
1.3.
Количество
баллов
№
Объём часов
Виды СРС
Неделя семестра
Планирование самостоятельной работы студентов.
Проработка лекций, работа с
основной литературой, решение
типовых задач
Всего по модулю 2:
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
Проработка лекций, работа с
литературой, решение
типовых задач
Всего по модулю 3:
Итого по 3 семестру:
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
7-9
6
0-121
10-12
6
12
0-19
0-31
13-15
6
0-19
16-18
6
12
36
0-31
0-50
0-100
8
5.
2.1.1.
2.1.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.3.1.
2.3.2.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.3.1.
1.3.3.
+
3.2.1.
1.3.2.
+
3.1.1.
1.3.1.
Геометрия и топология
Функциональный анализ
Дифференциальные уравнения
Теория вероятностей и
математическая статистика
Дискретная математика
Математическая логика
Методы вычислений
Физика
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1.2.1.
Наименование дисциплины
1.1.2.
№
п/
п
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
1.1.1.
4.
+
+
+
+
Содержание дисциплины.
ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
МОДУЛЬ 1.1.
Тема № 1.1.1. Матрицы.
Матрица. Квадратная матрица. Диагональная матрица. Единичная
матрица. Нулевая матрица. Вектор-строка. Вектор-столбец. Клеточные и
клеточно-диагональные матрицы. Равенство матриц.
Основные операции над матрицами: сложение матриц, умножение
матрицы на число, произведение матриц, транспонирование, возведение в
целую неотрицательную степень. Основные свойства операций над
матрицами.
Линейная комбинация строк или столбцов матрицы. Элементарные
преобразования матриц. Матрицы элементарных преобразований.
Ранг матрицы по строкам или столбцам. Минорный ранг матрицы.
Свойства ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы. Связь минорного ранга
матрицы с линейной независимостью или линейной зависимостью строк
(столбцов) матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно ее
элементарных преобразований. Вычисление ранга. Эквивалентные
матрицы.
Тема № 1.1.2. Детерминанты.
Перестановки и подстановки. Инверсии. Правильные произведения
элементов матрицы. Определитель квадратной матрицы порядка n.
Определители 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические
дополнения. Теорема Лапласа. Следствия из теоремы Лапласа.
Разложение определителя по теореме Лапласа. Свойства определителей.
Теоремы об определителях суммы и произведения матриц.
Вырожденные и невырожденные матрицы.
След квадратной матрицы и его свойства.
Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
Выражение элементов обратной матрицы через алгебраические
дополнения элементов исходной матрицы. Свойства обратной матрицы.
Вычисление
обратной
матрицы
с
помощью
элементарных
преобразований. Матричные уравнения.
9
МОДУЛЬ 1.2.
Тема № 1.2.1. Системы линейных уравнений.
Понятие системы линейных уравнений. Решение системы линейных
уравнений. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений.
Элементарные
преобразования
системы
линейных
уравнений.
Эквивалентные системы линейных уравнений. Совместные и несовместные
системы линейных уравнений. Определенные и неопределенные системы
линейных уравнений. Основная и расширенная матрица системы линейных
уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий определенности
системы линейных уравнений.
Система линейных уравнений с квадратной невырожденной основной
матрицей. Теорема Крамера.
Исследование и решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Общее решение системы линейных уравнений. Частные решения системы
линейных уравнений.
Тема № 1.2.2. Системы линейных однородных уравнений.
Однородные системы линейных уравнений. Нетривиальные (ненулевые)
решения однородной системы линейных уравнений. Свойства
нетривиальных решений однородной системы линейных уравнений.
Фундаментальные решения системы линейных уравнений. Система
фундаментальных решений однородной системы линейных уравнений.
Теорема о фундаментальных решениях однородной системы линейных
уравнений. Линейное подпространство решений однородной системы
линейных уравнений. Теорема о связи решений неоднородной и
соответствующей однородной систем линейных уравнений. Линейное
многообразие решений неоднородной системы линейных уравнений.
МОДУЛЬ 1.3.
Тема № 1.3.1. Основные алгебраические структуры.
Множество. Элемент множества. Пустое множество. Принадлежность к
множеству. Подмножество. Равенство множеств. Основные операции над
множествами: пересечение, объединение, разность, дополнение.
Основные свойства операций над множествами.
Декартово произведение множеств. Декартова степень множества.
Предикаты. Тождественно истинные и тождественно ложные предикаты.
Характеристический предикат. Бинарные и n-арные отношения. Основные
свойства бинарных отношений: рефлективность, транзитивность,
симметричность, антисимметричность. Основные виды бинарных
отношений.
Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Теорема о классах
эквивалентности. Фактор-множество.
Отображения. Образ и прообраз отображения. Основные виды
отображений: инъективные, сюръективные, биективные. Композиция
отображений.
Обратное
отображение.
Критерий
обратимости
отображения. Свойства обратимых отображений.
Алгебры. Алгебраическая операция (внутренний закон композиции).
Основные свойства алгебраических операций. Обратные операции.
Группоид. Полугруппа. Моноид. Правый и левый нулевой элемент. Правый
и левый нейтральный элемент. Правый и левый обратный элемент. Группа.
Аддитивные и мультипликативн ые группы. Коммутативные группы.
Существование и единственность нулевого элемента в группе.
Существование и единственность нейтрального элемента в группе.
Существование и единственность обратного элемента в группе. Критерии
группы.
Алгебра Буля.
Подгруппа. Критерий подгруппы. Смежные классы. Критерий равенства
смежных классов.
Конечные группы. Теорема Лагранжа.
10
Циклические группы. Модулярная арифметика. Группа вычетов. Сравнения
по натуральному модулю. Признаки делимости. Системы вычетов. Полная
система вычетов. Приведенная система вычетов. Кольца вычетов по
целому и простому модулю. Поле вычетов по простому модулю. Сравнение
с одним неизвестным. Эквивалентные сравнения. Количество решений.
Линейные сравнения. Критерий разрешимости. Количество решений.
Конечные и бесконечные группы. Группа обратимых элементов в кольце
вычетов. Индексы: определения и свойства.
Нормальный делитель. Фактор-группа. Гомоморфизмы и изоморфизмы
групп. Свойства гомоморфизмов и изоморфизмов групп. Ядро и образ
гомоморфизма.
Кольца и тела. Свойства колец и тел. Делители нуля. Кольцо вычетов.
Поля. Свойства полей. Характеристика поля. Поле вычетов. Расширения
полей.
Тема № 1.3.2. Поле комплексных чисел.
Комплексное число как упорядоченная пара действительных чисел.
Сложение и умножение упорядоченных пар действительных чисел.
Единичная и нулевая упорядоченная пара действительных чисел.
Равенство упорядоченных пар действительных чисел. Противоположная и
обратная упорядоченная пара действительных чисел. Мнимая единица.
Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, произведение и
деление комплексных чисел в алгебраической форме. Сопряженные
комплексные числа. Обратное комплексное число в алгебраической
форме.
Модуль комплексного числа. Комплексная плоскость. Тригонометрическая
форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа и формулы
нахождения аргумента комплексного числа. Умножение, деление и
комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Извлечение корней из комплексного числа в тригонометрической форме.
Корни из единицы.
Тема № 1.3.3. Кольцо полиномов.
Операции над полиномами. Полиномы от одного неизвестного над полями
действительных и комплексных чисел. Степень полинома. Равенство
полиномов. Сложение и произведение полиномов. Степень суммы и
произведения полиномов и ее свойства. Свойства сложения и
произведения полиномов. Единичный и нулевой полиномы.
Деление полиномов с остатком. Теорема о делении многочлена на
многочлен с остатком.
Делители полиномов. Основные свойства делимости полиномов.
Наибольший общий делитель двух полиномов. Алгоритм Евклида. Взаимно
простые полиномы. Теорема о наибольшем общем делителе многочленов.
Следствие о взаимно простых полиномах. Теоремы о взаимно простых
полиномах. Теорема о наибольшем общем делителе конечной
совокупности полиномов.
Корни полиномов. Теорема Безу. Следствие из теоремы Безу. Схема
Горнера. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
Основная теорема. Следствия из основной теоремы. Формулы Виета.
Интерполяционная формула Лагранжа. Полиномы с действительными
коэффициентами.
Рациональные дроби. Теорема о разложении рациональных дробей.
Теорема о разложении правильных рациональных дробей на простейшие
дроби.
Алгебра полиномов над произвольным полем. Кольцо полиномов от
одного неизвестного. Разложение полиномов на неприводимые
множители. Свойства неприводимых полиномов. Кратные множители.
Выделение кратных множителей. Теорема существования корня. Кратные
корни. Поле рациональных дробей.
Полиномы от нескольких неизвестных.
11
Приводимость многочленов над полем рациональных чисел. Лемма Гаусса
о примитивных полиномах. Критерий Эйзенштейна. Рациональные корни
целочисленных полиномов.
Алгебраические уравнения. Уравнения 2, 3 и 4 степеней. Границы корней.
Теорема Штурма. Другие теоремы о действительных корнях.
Приближенные вычисления корней.
ВТОРОЙ СЕМЕСТР
МОДУЛЬ 2.1.
Тема № 2.1.1. Линейные пространства.
Определение линейного пространства. Примеры. Свойства линейных
пространств.
Размерность. Базис. Координаты.
Теорема об изоморфизме между любыми двумя линейными
пространствами одной и той же размерности.
Подпространства линейного пространства.
Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств.
Теорема о ранге матрицы.
Системы линейных однородных уравнений.
Комплексификация и овеществление.
Тема № 2.1.2. Линейные отображения и преобразования линейных
пространств.
Определение и свойства линейных отображений и преобразований.
Матрица линейного отображения.
Действия с линейными операторами.
Ядро и образ линейного оператора.
Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного
оператора.
МОДУЛЬ 2.2.
Тема № 2.2.1. Евклидовы и унитарные пространства.
Положительно определенные эрмитовы функции в линейных
пространствах.Евклидовы и унитарные пространства и их простейшие
свойства.
Подпространства
евклидовых
и
унитарных
пространств.
Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция.
Линейные операторы в унитарном пространстве.
Структура линейного оператора в евклидовом пространстве.
Тема № 2.2.2. Линейные преобразования евклидовых и унитарных
пространств.
Основные определения. Сопряженные преобразования.
Самосопряженные и ортогональные преобразования.
Линейные преобразования унитарных пространств.
Тема № 2.2.3. Функции на линейных пространствах.
Линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных
пространствах.
Линейные функции.
Билинейные функции и билинейные формы.
Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при
переходе к новому базису.
Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной
функций).
12
Существование канонического базиса для всякой квадратичной и
билинейной функций (“приведение квадратичной формы к каноническому
виду”).
Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции для вещественных
квадратичных форм.
Положительно определенные квадратичные функции и формы.
Каноническая форма линейного оператора.
Жорданова форма.
Ламбда-матрицы. Элементарные преобразования ламбда-матриц.
Нормальная форма ламбда-матриц.
Теорема о приведении матрицы оператора к канонической форме.
МОДУЛЬ 2.3.
Тема № 2.3.1. Аффинные и точечные евклидовы пространства.
Аффинное n-мерное пространство.
Определение аффинного n-мерного пространства.
Системы
координат.
Арифметическое
аффинное
пространство.
Изоморфизм всех n-мерных пространств между собой.
R-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства. R-мерные
параллелепипеды.
Геометрически
независимые
системы
точек.
Барицентрические
координаты. Симплексы.
Системы линейных уравнений.
Точечные евклидовы пространства.
Тема № 2.3.2. Преобразования аффинных пространств.
Аффинные преобразования.
Движения аффинного евклидова пространства.
Классификация движений.
ТРЕТИЙ СЕМЕСТР
МОДУЛЬ 3.1.
Тема № 3.1.1. Основные понятия теории чисел.
Теория делимости: основные понятия и теоремы, наибольший общий
делитель,
наименьшее
общее
кратное,
простые
числа,
единственность разложения на простые множители, непрерывные
дроби и их связь с алгоритмом Евклида.
Тема № 3.1.2. Важнейшие функции в теории чисел.
Важнейшие функции в теории чисел: функции [x] и {x},
мультипликативные функции, количество делителей и сумма
делителей, функция Мёбиуса, функция Эйлера.
МОДУЛЬ 3.2.
Тема № 3.2.1. Сравнения первой степени.
Сравнения: основные понятия, основные и дополнительные свойства
сравнений, полная система вычетов, приведенная система вычетов,
теоремы Эйлера и Ферма.
Сравнения с одним неизвестным: основные понятия, сравнения
первой степени, сравнения высших степеней по простому модулю,
сравнения высших степеней по составному модулю.
Тема № 3.2.2. Сравнения второй степени.
Сравнения второй степени: общие теоремы, символ Лежандра,
символ Якоби, случай составного модуля.
13
МОДУЛЬ 3
Тема № 3.3.1. Первообразные корни и индексы.
Первообразные корни и индексы: общие теоремы, первообразные
корни по модулям p и 2p, вычисление первообразных корней по
модулям p и 2p, индексы по модулям p и 2p, следствия из
предыдущих теорий, индексы по модулю 2, индексы по
произвольному составному модулю.
Тема № 3.3.2. Характеры.
Характеристики: определения, важнейшие свойства характеров.
6.
Перечень тем практических занятий.
6.1.
Матрицы. Решение практических и теоретических
различных типов и уровней сложности по теме № 1.1.1.
задач
Матрицы. Основные операции над матрицами. Свойства операций над
матрицами. Ранг матрицы.
6.2.
Детерминанты. Решение практических и теоретических задач
различных типов и уровней сложности по теме № 1.1.2.
Детерминанты. Основные свойства детерминантов. Миноры и алгебраические
дополнения. Теорема Лапласа. Обратная матрица.
6.3.
Системы линейных уравнений. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности по
теме № 1.2.1.
Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема Крамера.
Метод последовательного исключения неизвестных.
6.4.
Системы
линейных
однородных
уравнений.
Решение
практических и теоретических задач различных типов и уровней
сложности по теме № 1.2.2.
Фундаментальная система решений. Присоединённые системы.
6.5.
Основные алгебраические структуры. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности по
теме № 1.3.1.
Множества. Предикаты. Отображения. Основные алгебраические структуры.
6.6.
Поле комплексных чисел. Решение практических и теоретических
задач различных типов и уровней сложности по теме № 1.3.2.
Комплексные числа в алгебраической форме. Операции над комплексными
числами в алгебраической форме. Комплексные числа в тригонометрической
форме. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
6.7.
Кольцо многочленов. Решение практических и теоретических
задач различных типов и уровней сложности по теме № 1.3.3.
Полиномы. Операции над полиномами. Теорема о делении полиномов с
остатком. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Теорема Безу.
Схема Горнера. Теорема о разложении на простейшие дроби. Критерий
Эйзенштейна. Теорема Штурма.
6.8.
Линейные пространства. Решение практических и теоретических
задач различных типов и уровней сложности по теме № 2.1.1.
14
Линейные пространства. Свойства линейных пространств. Базис и размерность.
Изоморфизм линейных пространств. Подпространства линейных пространств.
6.9.
Линейные отображения и преобразования линейных пространств.
Решение практических и теоретических задач различных типов и
уровней сложности по теме № 2.1.2.
Определение и свойства линейных отображений и преобразований. Матрица
линейного отображения. Действия с линейными операторами. Ядро и образ
линейного оператора. Инвариантные подпространства и собственные векторы
линейного оператора.
6.10. Евклидовы и унитарные пространства. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности по
теме № 2.2.1.
Положительно определенные эрмитовы функции в линейных пространствах.
Евклидовы и унитарные пространства и их простейшие свойства.
Подпространства евклидовых и унитарных пространств. Ортогональное
дополнение. Ортогональная проекция. Линейные операторы в унитарном
пространстве. Структура линейного оператора в евклидовом пространстве.
6.11. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств.
Решение практических и теоретических задач различных типов и
уровней сложности по теме № 2.2.2.
Основные определения. Сопряженные преобразования. Самосопряженные и
ортогональные преобразования. Линейные преобразования унитарных
пространств.
6.12. Функции на линейных пространствах. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности по
теме № 2.2.3.
Линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.
Матрица преобразования. Ранг билинейной и квадратичной форм. Закон
инерции квадратичных форм. Жорданова форма.
6.13. Аффинные и точечные пространства. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности по
теме № 2.3.1.
Аффинное
n-мерное
пространство.
Изоморфизм
всех
n-мерных
арифметических пространств. Плоскости в n-мерном аффинном пространстве.
Геометрически независимые системы точек. Евклидовы точечные
пространства.
6.14. Преобразования аффинных пространств. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности по
теме № 2.3.2.
Аффинные преобразования. Движения аффинного евклидова пространства.
Классификация движений.
6.15. Теория делимости. Решение практических и теоретических задач
различных типов и уровней сложности по теме № 3.1.1.
Теория делимости.
15
6.16. Важнейшие функции в теории чисел. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности по
теме № 3.1.2.
Важнейшие функции теории чисел.
6.17. Сравнения
первой
степени.
Решение
практических
и
теоретических задач различных типов и уровней сложности по
теме № 3.2.1.
Сравнения первой степени.
6.18. Сравнения второй степени. Решение практических и теоретических
задач различных типов и уровней сложности по теме № 3.2.2.
Сравнения второй степеней
6.19. Первообразные корни и индексы. Решение практических и
теоретических задач различных типов и уровней сложности по
теме № 3.3.1.
Первообразные корни. Индексы.
6.20. Характеры. Решение практических и теоретических
различных типов и уровней сложности по теме № 3.3.2.
задач
Характеры. Важнейшие свойства характеров.
16
7. Темы лабораторных работ (лабораторный практикум).
Учебным планом не предусмотрены.
8. Темы курсовых работ.
Учебным планом не предусмотрены.
9. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины (модуля).
a. Текущая аттестация:

Контрольные работы. По завершении каждого модуля проводятся
контрольные работы, содержащие задания различных типов и уровней
сложности и способствующие контролю практической составляющей
материала дисциплины (во время аудиторных занятий).

Коллоквиумы.
По
завершении
каждого
модуля
проводятся
коллоквиумы, содержащие вопросы различных типов и уровней
сложности и способствующие контролю теоретической составляющей
материала дисциплины (во время внеаудиторных занятий).

Тестирование (письменное или компьютерное) по темам и модулям
дисциплины.
b. Промежуточная аттестация:

Тестирование по дисциплине;

Зачёты и экзамен (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после
решения всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной
работы. Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно,
удовлетворительно, хорошо, отлично в соответствии с интервальной
шкалой перевода 100-балловой системы.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балловой) и традиционной (4-балловой)
систем оценок.
Темы контрольных работ:
Контрольная работа № 1.
1. Решить систему линейных уравнений.
2. Найти обратную матрицу.
3. Вычислить определитель.
17
4. Найти наибольших общий делитель многочленов.
5. Разложить многочлен по степеням одночлена.
6. Найти все корни заданной степени из указанного комплексного числа.
7. Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей.
Контрольная работа № 2.
1. Привести билинейную функцию к диагональному виду.
2. Найти угол и расстояние между вектором и плоскостью.
3. Найти жорданову форму матрицы линейного оператора.
4. Найти собственный ортонормированный для симметрического (унитарного)
оператора.
5. Найти канонический базис матрицы ортогонального оператора.
6. Найти каноническую форму уравнения квадрики.
7. Определить вид движения в трехмерном пространстве.
Контрольная работа № 3.
1. Найти порядок элемента группы.
2. Найти классы сопряженных элементов в группе.
3. Найти все абелевы группы заданного порядка.
4. Найти идеалы в заданном кольце.
5. Установить изоморфизм факторгруппы (факторкольца) с заданной (группой)
кольцом.
6. Построить расширение полей, в которой заданный многочлен имеет
корень.
7. Определить
все
неприводимые
представления
заданной
конечной
абелевой группы.
Контрольная работа № 4.
1. Задать системой неравенств выпуклую оболочку конечного множества точек
в аффинном пространстве.
2. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
3. Решить транспортную задачу методом потенциалов.
4. Решить задачу о распределении кредита.
Контрольная работа № 5.
1. Доказать делимость чисел.
2. Решить сравнение или систему сравнений.
18
3. Определить первообразные корни и индексы.
Перечень типовых вариантов контрольных работ, тестовых заданий и
упражнений:
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Матрицы и детерминанты»
Выполнить указанные действия над матрицами и найти:
a) Матрицу, получившуюся в результате выполнения арифметических
действий;
b) Значение детерминанта этой матрицы, пользуясь теоремой Лапласа или
следствием из неё;
c) При помощи элементарных преобразований привести определитель
результирующей матрицы к треугольному виду.
𝑻
−6
6 −3
0
– 2 −2 −5
0
5
4 −6 −5
−1 −6 −4 −1
7
3 −1 −4
−3 −6
5
2
(‖
‖−‖
‖) × ‖
‖
−1 −2 −1
6
0 −6
5
0
−6
4 −6
2
−6
6 −2
4
6 −3
7
7
−6
1
7
2
(
d) Найти матрицу, обратную к данной матрице:
−4 −4 −3
‖−6 −5 −1‖
1
6 −3
)
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Системы линейных уравнений»
a) Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера:
−𝑥 + 5𝑦 − 5𝑧 = −5
−7𝑥
+ 3𝑦 + 5𝑧 =
8
{
𝑥 − 7𝑦 − 9𝑧 = −3
b) Найти решение матричного уравнения:
2 −3
4
−2 −3 −1
𝑋 × ‖−9 −9 −3‖ = ‖ 3
6 −2‖
4 −5 −6
1 −8 −5
c) Найти общее и частное решения системы неоднородных линейных
уравнений методом последовательного исключения неизвестных.
Найти общее и фундаментальные решения системы однородных линейных
уравнений, соответствующей неоднородной исходной системе.
Выразить общее решение неоднородной системы через общее решение
однородной системы.
42𝑥1 + 18𝑥2 − 28𝑥3 =
118
−21𝑥1 −
9𝑥2 − 14𝑥3 =
95
{
33𝑥1 + 21𝑥2 + 22𝑥3 = −163
3𝑥1 + 27𝑥2 +
2𝑥3 =
−65
19
(демонстрационная версия)
Тестовые задания для самопроверки по темам «Матрицы и детерминанты» и
«Системы линейных уравнений»
Линейная алгебра - Матрицы
1 2 3
В результате выполнения арифметического действия над матрицами ‖
‖+
−2 4 −5
−2 1 −4
‖
‖ получится матрица …
2 1 3
Варианты ответов:
1
−1 3 −1
a)
b)
‖ ‖
‖
‖
3
0 5 −2
c)
‖−1 8 −3‖
d)
‖4‖
Линейная алгебра - Матрицы
1 −2
В результате выполнения арифметического действия над матрицами ‖2
4‖ −
3 −5
−2 2
‖ 1 1‖ получится матрица …
−4 3
Варианты ответов:
a)
3 −4
‖1
3‖
7 −8
b)
−1 −4
‖ 1
3‖
−1 −2
c)
0
‖ 4‖
−1
d)
‖2‖
Линейная алгебра - Матрицы
3
В результате выполнения арифметического действия над матрицами ‖
2
получится матрица …
Варианты ответов:
3 1
3 −3
a)
b)
‖
‖
‖
‖
2 27
2 27
c)
‖
−9 −3
‖
2 −9
d)
1
‖ × (−3)
−9
−9 −3
‖
‖
−6 27
Линейная алгебра - Матрицы
2
1 −3
2
Выполните указанное действие и укажите результат ‖
‖ × ‖4
−4
1 −2
1
Варианты ответов:
a)
c)
0
‖
−35
0
‖
−30
‖−45‖
b)
d)
‖
1
3‖
2
−8 −4
‖
−6 −5
2 −12
‖
−4
3
2
‖
−4
20
Линейная алгебра - Детерминанты
3 −5
Значение детерминанта |
| равно …
2 −3
Варианты ответов:
a)
3
b)
−3
c)
−90
d)
1
Линейная алгебра - Детерминанты
1 −2
3
Значение детерминанта | 3
1 −2| равно …
−1
3
2
Варианты ответов:
a)
46
b)
−46
c)
0
d)
8
Линейная алгебра - Детерминанты
1
3 −1 −2
2
2 −1 −2
Значение детерминанта |
| равно …
−4 −3
2
4
−4 −3
3
3
Варианты ответов:
a)
8
b)
−3
c)
0
d)
3
Линейная алгебра – Матрицы – Обратные матрицы
1
2
К матрице ‖3 −1
3
1
−2
4‖ обратной является матрица …
1
Варианты ответов:
a)
−1 −2
2
‖−3
1 −4‖
−3 −1 −1
c)
1
3 3
‖ 2 −1 1‖
−2
4 1
b)
−5 −4
6
‖ 9
7 −10‖
6
5
−7
d)
−2
2 1
‖ 4 −1 3‖
1
1 3
21
Линейная алгебра – Системы линейных уравнений
2 1 2
4
Решением матричного уравнения ‖3 2 4‖ × 𝑋 = ‖6
2 1 3
4
2 4
4 8‖ является …
2 6
Варианты ответов:
a)
2 2 2
‖2 2 2 ‖
2 2 2
2
b)
‖2‖
c)
2
‖0
0
d)
0 0
2 0‖
0 2
Линейная алгебра – Системы линейных уравнений
−𝑥
Решением системы линейных уравнений {−7𝑥
𝑥
+ 5𝑦
+ 3𝑦
− 7𝑦
− 5𝑧
+ 5𝑧
− 9𝑧
= −5
= 8 является …
= −3
Варианты ответов:
a)
(−2, 1, 3)
c)
(4, 1, −1)
b)
(1, 4, 3)
d)
(1, 1, 1)
Линейная алгебра – Системы линейных уравнений
−𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = −2
2𝑥 + 3𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 5
Общее решение системы линейных уравнений { 1
имеет
4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 − 3𝑥4 = 1
6𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 − 5𝑥4 = −3
вид …
Варианты ответов:
{𝑐1 ; 𝑐2 ; 4 − 2𝑐1 − 𝑐2 ; 5 − 3𝑐1 − 𝑐2 }
{𝑐1 ; 6 − 3𝑐1 − 2𝑐2 ; 𝑐3 ; 5 − 3𝑐1 − 𝑐2 }
a)
c)
𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℝ
𝑐1 , 𝑐3 ∈ ℝ
{7 − 4𝑐2 − 2𝑐3 ; 𝑐2 ; 𝑐3 ; 9 − 5𝑐2 − 𝑐3 }
{3 − 𝑐3 − 𝑐4 ; 9 − 5𝑐2 − 𝑐3 ; 𝑐3 ; 𝑐4 }
b)
d)
𝑐2 , 𝑐3 ∈ ℝ
𝑐3 , 𝑐4 ∈ ℝ
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Основные понятия теории чисел»
a) Найдите a и b, если при любом целом n имеет место: n3+an+b ⋮ n2+1.
b) Найдите все числа большие 25000, но меньшие 30000, у которых как при
делении на 131, так и при делении на 1965 остаток равен 125.
c) Было 7 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 7 кусков каждый.
Затем некоторые из получившихся кусков снова разрезали на 7 кусков и так
сделали несколько раз. Могло ли в результате получиться 1973 куска?
22
𝑎𝑏
d) Докажите, что НОК(𝑎, 𝑏) = НОД(𝑎,𝑏).
Перечень теоретических вопросов к зачёту по алгебре.
1. Что называется матрицей размера m×n?
2. Что называется элементами матрицы?
3. Как обозначается элемент, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце
матрицы?
4. Какая матрица называется квадратной?
5. Что называется порядком квадратной матрицы?
6. Какая матрица называется нулевой?
7. Какая матрица называется диагональной?
8. Какая матрица называется единичной?
9. Какие матрицы называются равными?
10. Что называется суммой двух матриц?
11. Можно ли складывать матрицы разных размеров?
12. Что называется суммой k матриц, k∈ℕ, k≥2?
13. Что называется произведением числа на матрицу?
14. Какая матрица называется противоположной к данной матрице?
15. Что называется разностью двух матриц?
16. Какие операции над матрицами называются линейными?
17. Каковы свойства линейных операций над матрицами?
18. В каком случае можно одну матрицу умножить на другую?
19. Что называется произведением одной матрицы на другую?
20. Каковы должны быть размеры матриц A, B и C, чтобы существовало
произведение (AB)C?
21. Что называется произведением k матриц, k∈ℕ, k>2?
22. В каком случае существуют произведения AB и BA?
23. Пусть существуют произведения AB и BA. Справедливо ли равенство AB=BA?
24. Возможно ли равенство AB=O, если A и B – ненулевые матрицы?
25. Каковы свойства произведения матриц?
26. В каком случае существует произведение AA?
27. Что называется целой положительной степенью квадратной матрицы?
28. Что называется нулевой степенью квадратной матрицы?
29. Что называется первой степенью квадратной матрицы?
30. Что называется многочленом от квадратной матрицы?
31. В каком случае квадратная матрица называется корнем многочлена 𝑃(𝑥) =
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ?
32. Какая матрица называется транспонированной к данной матрице?
33. Какая операция называется транспонированием матрицы?
34. Пусть матрица имеет размер m×n. Каков будет размер матрицы
транспонированной к ней?
35. Пусть A=(aij). Указать номера строки и столбца на пересечении которых
стоит элемент aij матрицы A в матрице AT?
36. Какими свойствами обладает операция транспонирования?
37. Что называется детерминантом (определителем) матрицы n-ого порядка?
38. Перечислить основные свойства детерминантов?
39. Доказать
свойство
detA=detAT
непосредственным
вычислением
детерминантов, если A – матрица третьего порядка?
23
40. Что называется минором порядка k матрицы Am×n?
41. Какие значения может принимать число k – порядок минора матрицы Am×n?
42. Что называется минором, дополнительным к данному минору?
43. Каких размеров должна быть матрица, существует понятие минора?
44. Для любого ли минора порядка k в матрице Am×n существует
дополнительный к нему минор?
45. Что называется алгебраическим дополнением манора матрицы?
46. Что называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы прядка
n?
47. Сформулировать теорему Лапласа.
48. Сформулировать следствия из теоремы Лапласа.
49. Какая матрица называется обратной к данной матрице?
50. Какая матрица называется невырожденной (неособенной)?
51. Какая матрица называется вырожденной (особенной)?
52. Доказать, что произведение двух невырожденных матриц есть
невырожденная матрица.
53. Пусть AB — вырожденная матрица. Всегда ли можно утверждать, что хотя
бы одна из перемножаемых матриц вырожденная?
54. Для какой матрицы существует обратная матрица?
55. Доказать, что для невырожденной матрицы обратная матрица
единственная?
56. Пусть detA0. Записать формулу, по которой находиться матрица, обратная
матрице A=(aij), i,j=1,2,…,n.
57. Пусть A и B — невырожденные матрицы и α0. Доказать справедливость
следующих свойств:
1
a) 𝑑𝑒𝑡𝐴−1 = 𝑑𝑒𝑡𝐴;
b) (𝐴−1 )−1 = 𝐴;
c) (𝐴𝑘 )−1 = (𝐴−1 )𝑘 ;
d) (𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1 .
58. Что называется рангом матрицы?
59. В каком случае ранг квадратной матрицы порядка n равен n?
60. Ранг матрицы равен r. Чему равен ранг матрицы транспонированной к
данной?
61. Какие преобразования матрицы называют элементарными?
62. Матрица B получена из матрицы A при помощи элементарных
преобразований. Чему равен ранг:
a) Матрицы B, если ранг матрицы A равен r;
b) Матрицы A, если ранг матрицы B равен r?
63. Что называется базисным минором матрицы?В каком случае некоторая
строка является ли
64. нейной комбинацией других k строк этой матрицы?
65. В каком случае k (k>1) строк матрицы называются линейно независимыми?
66. Какие строки и столбцы матрицы называются базисными?
67. Сформулировать теорему о базисном миноре матрицы.
68. Что можно сказать о числе базисных миноров матрицы ранга r?
69. Какой минор матрицы называется минором, окаймляющим ее минор
порядка k?
70. Чему равно максимальное число линейно независимых строк (столбцов)
матрицы?
24
71. Какая система уравнений называется линейной?
72. Что называется основной матрицей системы и расширенной матрицей
системы m линейных уравнений с n неизвестными?
73. Пусть дана система линейных уравнений
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
{ 21 1
.
… … … … … …
…
… …
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Записать ее в матричном виде
74. .Что называется решением m линейных уравнений с n неизвестными?
75. Какая система линейных уравнений называется совместной?
76. Какая система линейных уравнений называется несовместной?
77. Какая система линейных уравнений называется определенной?
78. Какая система линейных уравнений называется неопределенной?
79. Написать формулы Крамера.
80. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли (критерий совместности
системы).
81. В каком случае система линейных уравнений имеет единственное решение?
82. Пусть AX=B — система n линейных уравнений с n неизвестными и detA=0.
Что можно сказать о решении такой системы?
83. Какие неизвестные совместной системы линейных уравнений называются
базисными и какие – свободными?
84. Сколько базисных неизвестных может иметь система линейных уравнений?
85. Сколько свободных неизвестных может иметь совместная система
линейных уравнений?
86. Какая система линейных уравнений называется однородной?
87. Какое решение однородной системы называется тривиальным?
88. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместной?
89. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтобы
однородная система линейных уравнений имела только тривиальное
решение.
90. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтобы
однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение.
91. Что называется фундаментальной системой решений однородной системы
линейных уравнений?
92. При каком условии однородная система линейных уравнений имеет
фундаментальную систему решений?
93. Сколько решений содержит фундаментальная система решений
однородной системы линейных уравнений?
94. Сколько фундаментальных систем решений может иметь однородная
система линейных уравнений?
95. Какая система фундаментальных решений называется нормированной?
96. Что называется прямым ходом метода Гаусса?
97. Что называется обратным ходом метода Гаусса?
98. Каково множество решений системы, если прямой ход метода Гаусса
приводит матрицу системы к треугольному виду, и все элементы главной
диагонали отличны от нуля?
25
99. Совместна или несовместна система, если расширенная матрица системы
после k-ого хода метода Гаусса содержит строку, все элементы которой,
кроме последнего, равны нулю?
100.
Совместна или несовместна система, если расширенная матрица
системы после k-ого хода метода Гаусса содержит строку, в которой имеется
ненулевой элемент, а все остальные элементы, включая последний, равны
нулю?
101.
Аргумент комплексного числа
102.
Аффикс комплексного числа
103.
Действительная часть комплексного числа
104.
Комплексная плоскость
105.
Комплексные числа
106.
Корни из единицы
107.
Мнимая единица
108.
Мнимая ось
109.
Мнимая часть комплексного числа
110.
Модуль комплексного числа
111.
Сформулировать Основная теорема алгебры комплексных чисел
112.
Первообразный корень из единицы
113.
Сопряженные комплексные числа
114.
Тригонометрическая форма комплексного числа
115.
Формула Муавра
116.
Абсолютно неприводимый многочлен
117.
Алгебраическое число
118.
Алгоритм деления с остатком
119.
Алгоритм Евклида
120.
Вес члена многочлена
121.
Взаимно простые многочлены
122.
Высший член многочлена
123.
Границы корней многочлена
124.
Делитель многочлена
125.
Дискриминант
126.
Значение многочлена
127.
Интерполяционная формула Лагранжа
128.
Квадратное уравнение
129.
Кольцо многочленов
130.
Кольцо многочленов над кольцом
131.
Корень многочлена
132.
Кратный корень многочлена
133.
Критерий Эйзенштейна
134.
Кубическое уравнение
135.
Лексикографическая запись многочлена
136.
Лемма Гаусса
137.
Лемма Даламбера
138.
Лемма о возрастании модуля многочлена
139.
Лемма Гаусса о модуле старшего члена
140.
Многочлен
141.
Многочлен нулевой степени
142.
Многочлен от нескольких неизвестных
26
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
Наибольший общий делитель
Неприводимый многочлен
Несократимая рациональная дробь
Общий делитель многочленов
Однородный многочлен
Основная теорема о рациональных дробях
Основная теорема о симметрических многочленах
Остаток от деления многочленов
Отделение корней многочлена
Поле рациональных дробей
Правильная рациональная дробь
Приводимый многочлен
Примитивный многочлен
Произведение многочленов
Производная многочлена
Простейшая рациональная дробь
Простой корень многочлена
Простой множитель многочлена
Равенство многочленов
Разложение многочлена на линейные множители
Рациональная дробь
Степень многочлена от нескольких неизвестных
Сумма многочленов
Теорема единственности для рациональных дробей
Формула Кардано
Формулы Виета
Перечень теоретических вопросов к экзамену по алгебре.
1. Абелева группа
2. Аддитивная группа кольца
3. Алгебраическая операция
4. Алгебраическое дополнение
5. Аффинное пространство
6. База пространства
7. Вектор
8. Векторное пространство
9. Вырожденная матрица
10. Вырожденное линейное преобразование неизвестных
11. Главная диагональ матрицы
12. Главные миноры квадратной формы
13. Гомоморфизм
14. Группа
15. Движение
16. Двойная сумма
17. Действительная квадратичная форма
18. Действительные числа
19. Деление матриц
20. Делитель единицы
21. Делитель нуля
27
22. Детерминант
23. Дефект линейного преобразования
24. Диагональная форма числовой матрицы
25. Дополнительный минор
26. Евклидово пространство
27. Единица группы
28. Единица поля
29. Единичная матрица
30. Единичный вектор
31. Задание линейного преобразования матрицей
32. Закон инерции
33. Изоморфизм групп
34. Изоморфизм евклидовых пространств
35. Изоморфизм колец
36. Изоморфизм линейных пространств
37. Инвариантность подпространства
38. Инварианты
39. Инверсия
40. Исключение неизвестного из системы уравнений
41. Канонический вид квадратичной формы
42. Квадратичная форма
43. Квадратная матрица
44. Кватернионы
45. Кольцо
46. Комплексная квадратичная форма
47. Коммутативная группа
48. Комплексное линейное пространство
49. Компоненты вектора
50. Конечная группа
51. Конечное кольцо (поле)
52. Конечномерное пространство
53. Кососимметрический определитель
54. Кососимметрическая функция
55. Кратное элемента аддитивной группы
56. Кратное элемента кольца
57. Линейная зависимость векторов
58. Линейная комбинация векторов
59. Линейная комбинация строк матрицы
60. Линейная форма
61. Линейное подпространство
62. Линейное преобразование линейного пространства
63. Линейное преобразование неизвестных
64. Линейное пространство
65. Линейное уравнение
66. Максимальная линейно независимая система векторов
67. Матрица
68. Матрица квадратичной формы
69. Матрица линейного преобразования
70. Матрица перехода
28
71. Матричный корень уравнения
72. Матричный полином
73. Метод Гаусса
74. Метод Горнера
75. Метод линейной интерполяции
76. Минимальный многочлен линейного преобразования
77. Минор
78. Мультипликативная группа поля
79. Невырожденная квадратная матрица
80. Невырожденная квадратичная форма
81. Невырожденное линейное преобразование неизвестных
82. Невырожденное линейное преобразование пространства
83. Некоммутативная группа
84. Некоммутативное кольцо
85. Неопределенная квадратичная форма
86. Неопределенная система линейных уравнений
87. Несовместная система линейных уравнений
88. Несчетное множество
89. Нечетная перестановка
90. Нечетная подстановка
91. Нормальный вид квадратичной формы
92. Нормированный вектор
93. Нулевая матрица
94. Нулевая степень элемента группы
95. Нулевое кратное элемента кольца
96. Нулевое подпространство
97. Нулевое преобразование линейного пространства
98. Нулевое решение
99. Нулевой вектор
100.
Нуль кольца
101.
Область значений линейного преобразования
102.
Образ вектора при преобразовании
103.
Образ пространства
104.
Обратная матрица
105.
Обратная операция
106.
Обратное линейное преобразование
107.
Обратный элемент в группе
108.
Обратный элемент в поле
109.
Общее решение системы линейных уравнений
110.
Однородное уравнение
111.
Определенная система линейных уравнений
112.
Определитель
113.
Определитель системы линейных уравнений
114.
Ортогональная база
115.
Ортогональная матрица
116.
Ортогональное преобразование евклидова пространства
117.
Ортогональное преобразование неизвестных
118.
Ортогональные векторы
119.
Ортонормированная база
29
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
Основная теорема о квадратичных формах
Основная теорема о линейной зависимости
Отрицательно определенная квадратичная форма
Отрицательные кратные элемента кольца
Отрицательные степени элемента группы
Отрицательные степени элемента поля
Отрицательный индекс инерции
Пара квадратичных форм
Пересечение подпространств
Перестановка
Подгруппа
Подполе
Подстановка
Поле
Поле разложения многочлена
Полиномиальные матрицы
Положительно определенная квадратичная форма
Положительный индекс инерции
Полуопределенная квадратичная форма
Порождение подгруппы элементами
Порядок конечной группы
Порядок элемента группы
Правила вычисления ранга матрицы
Правило Крамера
Преобразование пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Приведенная система линейных уравнений
Присоединение элемента к полю
Присоединенная матрица
Произведение вектора на число
Произведение линейного преобразования на число
Произведение линейных преобразований
Произведение матриц
Произведение матрицы на число
Пропорциональные векторы
Простой спектр линейного преобразования
Простой элемент кольца
Противоположный вектор
Противоположный элемент в кольце
Процесс ортогонализации
Прямоугольная матрица
Разложение определителя по строке
Размерность линейного пространства
Ранг квадратичной формы
Ранг линейного преобразования
Ранг матрицы
Ранг произведения матриц
Ранг системы векторов
Распадающаяся квадратичная форма
30
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
Расширенная матрица системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений
Свободные неизвестные
Симметрическая матриц
Симметрическое преобразование евклидова пространства
Система линейных уравнений
Система чисел Кэли
Скалярная матрица
Скалярное произведение
Сложение матриц
Собственное значение
Собственный вектор
Совместная система линейных уравнений
Спектр линейного преобразования
Степень элемента группы
Степень элемента кольца
Степенные суммы
Сумма векторов
Сумма линейных преобразований
Сумма матриц
Счетное множеств
Теорема Гамильтона-Кэли
Теорема Кронекера-Капелли
Теорема Лапласа
Теорема об умножении определителей
Тождественная подстановка
Тождественное линейное преобразование неизвестных
Тождественное линейное преобразование пространства
Транспозиция
Транспонирование матрицы
Умножение матриц
Унитарное пространство
Формула Тейлора
Фундаментальная система решений
Характеристика поля
Характеристическая матрица
Характеристические корни линейного преобразования
Характеристические корни матрицы
Характеристический определитель
Характеристический многочлен
Целые числа
Цикл
Циклическая группа
Частное от деления многочленов
Частное элементов поля
Четная перестановка
Четная подстановка
Числовая матрица
Числовое кольцо
31
218.
Числовое поле
219.
Член определителя
220.
Эквивалентные системы векторов
221.
Элементарные преобразования числовой матрицы
222.
Элементы матрицы
223.
Ядро гомоморфизма
224.
Ядро линейного преобразования
225.
Как определяется операция умножения элемента множества V на
число α∈ℝ (внешняя операция)? Что называется произведением числа α∈ℝ
на элемент x∈V?
226.
Что называется вещественным линейным пространством?
227.
Какое линейное пространство называется комплексным?
228.
Что называется арифметическим действительным пространством?
Как оно обозначается?
229.
Что называется разностью x-y элементов x и y пространства V?
230.
Какое множество V1 элементов линейного пространства называется
подпространством пространства V?
231.
Что называется линейной комбинацией векторов x1, x2, …, xn? Что
называется коэффициентами линейной комбинации векторов?
232.
Какая линейная комбинация векторов называется тривиальной и
какая — нетривиальной?
233.
Какая система векторов называется линейно независимой?
234.
Какая система векторов называется линейно зависимой?
235.
Что называется размерностью линейного пространства? Как
обозначается размерность линейного пространства?
236.
Что называется базисом n-мерного пространства?
237.
Указать размерность и базис линейного пространства, если известно,
что в этом пространстве существует n линейно независимых векторов e1, e2,
…, en и любой вектор этого пространства линейно выражается через e1, e2, …,
en.
238.
Что называется разложением вектора линейного пространства по
базису e1, e2, …, en этого пространства?
239.
Что называется координатами вектора линейного пространства в
базисе e1, e2, …, en этого пространства?
240.
Чему равны координаты нулевого вектора в произвольном базисе
линейного пространства?
241.
Пусть два вектора равны между собой. Как связаны их координаты в
одном и том же базисе?
242.
Даны координаты двух векторов в некотором базисе. Чему равны
координаты суммы векторов в этом же базисе?
243.
Даны координаты вектора в некотором базисе. Чему равны
координаты произведения вектора на число в том же базисе?
244.
Что называется матрицей системы векторов e1, e2, …, en?
245.
Как определить, является ли система m векторов n-мерного
линейного пространства линейно независимой, если известны координаты
векторов в некотором базисе?
246.
Как определить, образует ли система n векторов n-мерного
линейного пространства базис этого пространства, если известны
координаты векторов в некотором базисе?
32
247.
Что называется матрицей перехода от одного базиса к другому?
248.
Всякая ли матрица порядка n может быть матрицей перехода от
одного базиса к другому в n-мерном пространстве?
249.
Пусть T – матрица перехода от базиса e1, e2, …, en линейного
пространства V к базису e1´, e2´, …, en´ того же пространства. Какова матрица
перехода от базиса e1´, e2´, …, en´ к базису e1, e2, …, en?
250.
Записать формулы преобразования координат вектора, если известна
матрица T перехода от базиса e1, e2, …, en к базису e1´, e2´, …, en´.
251.
Что называется скалярным произведением векторов в вещественном
линейном пространстве?
252.
Что называется скалярным квадратом вектора?
253.
Что называется евклидовым пространством?
254.
Как определяются базис и размерность евклидова пространства?
255.
Записать в евклидовом пространстве неравенство КошиБуняковского. Для каких векторов неравенство Коши-Буняковского
превращается в равенство?
256.
Что называется нормой (длиной) вектора линейного пространства?
Какое линейное пространство называется нормированным?
257.
Каким равенством можно определить норму (длину) вектора в
евклидовом пространстве?
258.
Что называется углом между ненулевыми векторами евклидова
пространства?
259.
Какие два вектора евклидова пространства называются
ортогональными?
260.
Какая система векторов евклидова пространства называется
ортогональной?
261.
В каком случае ортогональная система векторов линейно
независима?
262.
Какой базис евклидова n-мерного пространства (n≥2) называется
ортогональным?
263.
Какой вектор евклидова пространства называется нормированным
или единичным?
264.
Что называется нормированием данного вектора?
265.
Какая система векторов называется ортонормированной?
266.
Какой базис евклидова n-мерного пространства (n≥2) называется
ортонормированным?
267.
Что называется ортогонализацией данного вектора?
268.
Записать формулу, по которой вычисляется скалярное произведение
векторов через их координаты в ортонормированном базисе.
269.
Записать формулу, по которой вычисляется норма (длина) вектора
через его координаты в ортонормированном базисе?
270.
Что называется скалярным произведением векторов в комплексном
линейном пространстве?
271.
Что называется унитарным пространством?
272.
Записать формулу, по которой вычисляется скалярное произведение
векторов через их координаты в ортонормированном базисе унитарного
пространства?
33
273.
Записать формулу, по которой вычисляется норма (длина) вектора
через его координаты в ортонормированном базисе унитарного
пространства?
274.
Что называется оператором, действующим из линейного
пространства V в линейное пространствоW (отображение пространства V в
пространство W)?
275.
Что называется оператором пространства V?
276.
Что называется образом и прообразом вектора?
277.
Какие операторы называются равными?
278.
Какой оператор называется линейным?
279.
Какой оператор пространства V называется тождественным?
280.
Что называется матрицей линейного оператора пространства V в
данном базисе?
281.
Записать формулу для определения в базисе e1, e2, …, en координат
образа вектора x, если известны координаты вектора x и матрица A
оператора в этом базисе?
282.
Что называется ядром линейного оператора?
283.
Как обозначается ядро линейного оператора?
284.
Что называется образом (областью значений) линейного оператора?
285.
Как обозначается образ линейного оператора?
286.
Что называется рангом оператора?
287.
Что называется дефектом оператора?
288.
Пусть A – матрица линейного оператора f:V→V, где V – линейное
вещественное пространство размерности n. Как найти:
a. Ранг и дефект оператора f?
b. Ядро и образ оператора f?
289.
Что называется суммой двух операторов?
290.
Является ли сумма двух линейных операторов линейным
оператором?
291.
Операторы f и g заданы в некотором базисе соответственно
матрицами A и B. Чему равна матрица оператора f+g в этом же базисе?
292.
Что называется произведением двух операторов?
293.
Является ли произведение двух линейных операторов линейным
оператором?
294.
Какой линейный оператор называется невырожденным?
295.
Какой линейный оператор называется вырожденным?
296.
Какие линейные операторы называются взаимно обратными?
297.
Какой линейный оператор называется обратным данному линейному
оператору?
298.
Какой линейный оператор имеет обратный?
299.
Невырожденный оператор в некотором базисе задан матрицей. Чему
равна в этом же базисе матрица обратного оператора к данному?
300.
Что называется собственным вектором и собственным значением
линейного оператора?
301.
Что называется характеристическим уравнением линейного
оператора?
302.
Что называется характеристическими числами линейного оператора?
303.
Что называется спектром линейного оператора?
304.
Какой спектр линейного оператора называется простым?
34
305.
Как найти собственные значения линейного оператора, если известна
матрица этого оператора в некотором базисе?
306.
Как найти собственные векторы линейного оператора, если известна
матрица этого оператора в некотором базисе?
307.
Пусть λ – собственное значение линейного оператора n-мерного
пространства, A – матрица данного линейного оператора в некотором
базисе. Чему равно максимальное число линейно независимых векторов
этого оператора с собственным числом λ?
308.
Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы в
пространстве размерности n существовал базис, состоящий из собственных
векторов линейного оператора?
309.
Пусть e1, e2, …, en – базис пространства, состоящий из собственных
векторов линейного оператора. Записать матрицу линейного оператора в
этом базисе.
310.
Какая вещественная матрица называется ортогональной?
311.
Каково необходимое и достаточное условие ортогональности
матрицы?
312.
Чему равен определитель ортогональной матрицы?
313.
Может ли невырожденная матрица быть ортогональной?
314.
Пусть матрицы A и B – ортогональные матрицы одинакового порядка.
Является ли матрица AB ортогональной?
315.
Пусть A – ортогональная матрица. Является ли ортогональной
матрица:
a. AT.
b. A-1.
316.
Является ли ортогональной матрица перехода от одного
ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису?
317.
Какой линейный оператор называется ортогональным?
318.
Каково необходимое и достаточное условие ортогональности
оператора?
319.
Перечислить основные свойства ортогональных операторов.
320.
Какой оператор называется сопряженным данному оператору?
321.
Какие операторы называются взаимно сопряженными?
322.
Как связаны между собой в ортонормированном базисе матрицы
взаимно сопряженных операторов евклидова пространства?
323.
Перечислить основные свойства сопряженного оператора евклидова
пространства.
324.
Какой оператор называется самосопряженным (симметрическим)?
325.
Какой вид имеет матрица самосопряженного оператора евклидова
пространства в ортонормированном базисе?
326.
Каким условием связаны собственные векторы самосопряженного
оператора евклидова пространства, соответствующие различным
собственным значениям?
327.
Может ли комплексное число быть характеристическим числом
самосопряженного оператора евклидова пространства?
328.
Сформулировать теорему о полноте собственных векторов
самосопряженного оператора евклидова пространства.
35
329.
Сформулировать свойства самосопряженного оператора, следующие
из теоремы о полноте собственных векторов самосопряженного оператора
евклидова пространства.
330.
Что называется квадратичной формой n переменных x1, x2, …, xn?
331.
Какая квадратичная форма называется вещественной?
332.
Что называется матрицей квадратичной формы?
333.
Что называется рангом квадратичной формы?
334.
Какая квадратичная форма называется невырожденной?
335.
Как записать квадратичную форму n переменных x1, x2, …, xn в
матричном виде?
336.
Какая квадратичная форма называется канонической?
337.
Какой вид имеет матрица канонической квадратичной формы?
338.
В каком случае говорят, что квадратичная форма приводится к
каноническому виду?
339.
Всякая ли квадратичная форма приводится к каноническому виду?
340.
В чем суть метода Лагранжа приведения квадратичной формы к
каноническому виду?
341.
Какие миноры матрицы называются главными миноры матрицы?
342.
В каком случае применим метод Якоби приведения квадратичной
формы к каноническому виду?
343.
Какой вид имеет невырожденное преобразование (оператор),
приводящее методом Якоби к каноническому виду квадратичную форму,
главные миноры матрицы которой отличны от нуля?
344.
Единственным ли образом определяется канонической вид для
данной квадратичной формы?
345.
В чем заключается закон инерции квадратичных форм?
346.
Изменится ли ранг квадратичной формы при невырожденном
линейном преобразовании?
347.
Всякую ли квадратичную форму можно привести методом Лагранжа
к каноническому виду?
Перечень теоретических вопросов к зачёту по теории чисел.
1. Основные понятия и теоремы теории делимости.
2. Наибольший общий делитель.
3. Наименьшее общее кратное.
4. Связь алгоритма Евклида с неправильными дробями.
5. Простые числа.
6. Единственность разложения на простые сомножители.
7. Функции [x], {x}.
8. Суммы, распостранённые на делители числа.
9. Функция Мёбиуса.
10. Функция Эйлера.
11. Основные понятия о сравнениях.
12. Свойства сравнений, подобные свойствам равенств.
13. Дополнительные свойства сравнений.
14. Полная система вычетов.
15. Приведённая система вычетов.
16. Теоремы Эйлера и Ферма.
17. Основные понятия о сравнениях с одним неизвестным.
36
18. Сравнения первой степени.
19. Сравнения произвольной степени по простому модулю.
20. Сравнения произвольной степени по составному модулю.
21. Общие теоремы о сравнениях второй степени.
22. Символ Лежандра.
23. Символ Якоби.
24. Случай составного модуля.
25. Общие теоремы о первообразных корнях и индексах.
26. Первообразные корни по модулям pa и 2pa.
27. Разыскание первообразных корней по модулям pa и 2pa.
28. Индексы по модулям pa и 2pa.
29. Индексы по модулю 2а.
30. Индексы по любому составному модулю.
10. Образовательные технологии.
a. Аудиторные занятия:

лекционные
и
практические
занятия
(коллоквиумы,
семинары,
специализированные практикумы); на практических занятиях контроль
осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В
течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем
к каждому практическому занятию.

активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме,
компьютерные
симуляции,
практический
анализ
исследовательских
компьютерное
результатов,
групп,
моделирование
работа
вузовские
и
и
студенческих
межвузовские
видеоконференции).
b. Внеаудиторные занятия:

самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного
типа и уровня сложности, подготовка к аудиторным занятиям,
подготовка к коллоквиумам, изучение отдельных тем и вопросов
учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом,
составлении конспектов, подготовка индивидуальных заданий: решение
задач, выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка
ко
всем
видам
контрольных
испытаний:
текущему
контролю
успеваемости и промежуточной аттестации);

индивидуальные консультации.
При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и
проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями
37
обучения (различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного
оборудования).
При проведении практических занятий применяются технологии проблемного
обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также
современные информационные технологии обучения (самостоятельное изучение
студентами учебных материалов в электронной форме, выполнение студентами
электронных практикумов, различные демонстрации с использованием проекционного
мультимедийного оборудования).
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении части теоретического материала), дифференцированного обучения,
репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения
(системы поиска информации, работа с учебно-методическими материалами,
размещенными на сайте университета).
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное
практическое занятие, работа в малых группах, групповая дискуссия, практические
занятия в диалоговом режиме, самостоятельная работа с учебными материалами,
представленными в электронной форме.
11. Учебно-методическое
дисциплины.
и
информационное
обеспечение
11.1. Основная литература.
11.1.1.
11.1.2.
11.1.3.
11.1.4.
11.1.5.
11.1.6.
11.1.7.
11.1.8.
11.1.9.
11.1.10.
Виноградов И. М. Основы теории чисел - 10-е изд., стер. – СПб.: «Лань»,
2004. – 176. – (Учебники для вузов. Специальная литература).
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учебник для вузов – М.:
Физматлит, 2001.
Кострикин А. И. Введение в алгебру: учебник для ун-тов по
спец."Математика","Прикладная математика" / А. И. Кострикин. – М.:
Физматлит, 2000.
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. / Под ред. А.И. Кострикина:
Учебник для вузов. - изд. 3-е, испр. и доп. – М.: Физматлит, 2001.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры: учебник для студ. вузов, обуч. по спец.
«Математика», «Прикладная математика»./ А. Г. Курош – 17-е изд., стер.
– СПб.: «Лань», 2008.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры – 5-е изд., стер. – СПб.: «Лань»,
2009.
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре: учебное пособие
для вузов / И. В. Проскуряков – 10-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2007.
Фадеев Д. К., Лекции по алгебре – 5-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2010.
Фаддеев Д. К. Задачи по высшей алгебре: Учебное пособие для студ.
вузов, обуч. по мат. спец./. Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. – 16-е изд.,
стер.. –-СПб.: «Лань», 2007. – 288 с. – (Учебники для вузов Математика).
Шнеперман Л. Б., Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное
пособие. 3-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2008 – 224 с. – (Учебники для
вузов. Специальная литература).
38
11.2. Дополнительная литература
11.2.1.
11.2.2.
11.2.3.
11.2.4.
11.2.5.
11.2.6.
11.2.7.
11.2.8.
11.2.9.
11.2.10.
11.2.11.
11.2.12.
11.2.13.
11.2.14.
11.2.15.
11.2.16.
11.2.17.
11.2.18.
11.2.19.
11.2.20.
11.2.21.
11.2.22.
11.2.23.
11.2.24.
11.2.25.
11.2.26.
Апатенок Р. Ф, Маркина А. М., Попова Н. В., Хейнман В. Б. Элементы
линейной алгебры: учебное пособие для студ. инженерно-технических
спец-ей вузов / под общ. ред. Р. Ф. Апатенок – Минск: “Вышэйшая
школа”, 1977.
Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Cборник задач по
линейной алгебре и аналитической геометрии: учебное пособие для
студ. инженерно-технических спец-ей вузов / под ред. В. Т. Воднева –
Минск: «Вышейшая школа», 1990.
Александров П. С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
Алуксандров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –
М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. – М.: Наука, 1985.
Бутузов В. Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах: учеб. пособие для
студ. вузов / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, А. А. Шишкин; ред. В. Ф.
Бутузов. -2-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2002.
Бухштаб А. А. Теория чисел. – М.: «Просвещение», 1966.
ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976; СПб.: Лань, 2003.
Виленкин Н. Я. Алгебра и теория чисел, часть III. – М.: Просвещение,
1974.
Воеводин В. В. Линейная алгебра: учеб. пособие / В. В. Воеводин. – 4-е
изд., стер. – СПб.: «Лань», 2008.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: КДУ; Добросвет, 2007.
Грибанов В. У., Титов П. И. Сборник упражнений по теории чисел. – М.:
Просвещение, 1964.
Икрамов Х. Д. Задачник по линейной алгебре: учеб. пособие / Х. Д.
Икрамов; ред. В. В. Воеводин. – 2-е изд., испр. – СПб.: «Лань», 2006. –
230 с. – (Лучшие классические учебники. Математика).
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2001.
Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1995. – 160 с.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. – М.: «Наука», 1965.
Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная
геометрия. Учебник для вузов. – М.: Наука, 1970.
Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. – М.:
«Мир», 2000.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Учебник для вузов: в 3-х ч. – М.:
Физматлит, 2001.
Кострикин А. И. Введение в алгебру: учебник для ун-тов по
спец."Математика","Прикладная математика"/ А. И. Кострикин. – М.:
Физматлит, 2000.
Кудреватов Г. А. Сборник задач по теории чисел. – М: Просвещение,
1970.
Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
Курош А. Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967.
Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1978.
Ленг С. Алгебра. – М.: 1968.
39
11.2.27.
11.2.28.
11.2.29.
11.2.30.
11.2.31.
11.2.32.
11.2.33.
11.2.34.
11.2.35.
11.2.36.
11.2.37.
11.2.38.
11.2.39.
11.2.40.
11.2.41.
Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. – М.: 1974, 1978.
Михелович Ш. Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1967.
Скорняков Л. А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1986.
Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. – М.: «Наука», 1996.
Прасолов В. В. Многочлены. – М.: МЦНМО, 2000.
Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская
энциклопедия, 1988.
Окунев Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Просвещение, 1966.
Окунев Л. Я. Краткий курс теории чисел. – М.: Учпедгиз, 1956.
Трост Э. Простые числа. – М.: Фитматгиз, 1959.
Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. – М.: Мир, 1979.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства. – М.: Физматгиз,
1963.
Хассе Г. Лекции по теории чисел. – М.: «Иностранная литература», 1953.
Холл М. Теория групп. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – М.: «Мир», 1989.
Пакеты прикладных программ Mathematica, MathCad, Maple, MATLAB.
11.3. Программное обеспечение и интернет-ресурсы.
11.3.1.
11.3.2.
11.3.3.
http://www.tmnlib.ru
http://lib.mexmat.ru
http://tonbext.tonb.ru
12. Технические
средства
и
материально-техническое
обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том числе,
оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютерам с
пакетами прикладных программ Microsoft Office, Maple, Matlab, MathCad..
40