Прикладные проблемы геометрии

ПРИКЛАДНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
спецкурс стественно-научного содержания
проф. Е.В. Троицкий
1/2 года, 5 курс
1. Теорема о гомотопности близких отображений.
2. Степень отображения. Корректность определения и гомотопическая инвариантность.
3. Гомотопическая классификация отображений в сферу.
4. Теорема о связи степени отображения и интеграла от обратного образа дифференциальной формы.
5. Степень векторного поля на гиперповерхности. Интегральная формула в координатах.
6. Степень нормального поля на двумерной гиперповерхности. Теорема Гаусса-Бонне.
7. Особые точки векторного поля и их индексы. Связь между индексом НОТ и ее индексом как ЙОТ.
8. Теорема о сумме индексов особых точек векторного поля.
9. Степень трансверсального векторного поля.
10. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
11. Индекс пересечения. Его связь с суммой индексов особых точек.
12. Эйлерова характеристика. Случай поверхностей.
13. Число Лефшеца и его связь с индексом пересечения.
14. Теорема Брауэра.
15. Вращение вполне непрерывного векторного поля (ВНВП).
16. Индекс неподвижной точки ВНВП и теорема о сумме индексов.
17. Классификационная теорема.
18. Принцип Лере-Шаудера.
19. Теорема о произведении вращений.
20. Теорема о слабо связанных уравнениях.
21. Теорема о вращении сильно несимметричного поля.
22. Теорема о нулевом векторе поля, близкого к линейному.
23. Лемма о стабилизации ядер и образов.
24. Спектральные свойства компактных линейных операторов в банаховом пространстве.
25. Теорема Лере и Шаудера о вращении линейного поля.
26. Дифференцируемые поля. Теорема Лере-Шаудера о неподвижной точке дифференцируемого поля.
27. Теорема о неподвижной точке возмущенного непрерывно дифференцируемого поля.
Литература
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М., Наука, 1979.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
М., Наука, 1981.
3. Красносельский М.А. Топологические методы теории нелинейных интегральных уравнений. М., ГИТТЛ, 1956.
4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., Высшая
школа, 1982.
5. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М., издво МГУ, 1980.
6. Троицкий Е.В. Степень отображения и ее применения. Учебное пособие по курсу "Прикладные проблемы геометрии". М., изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 1996.
7. Хирш М. Дифференциальная топология. М., Мир, 1979.
8. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М., Мир, 1969.