Вариант № 7

Вариант № 7

ax 2
 gx  bxy
x 
Nx

 y  cy  dxy

Задание:
1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров
системы.
2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики
в зависимости от параметров системы.
3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их
существование/несуществование.
4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных
параметрах системы.
5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.
1. Вводим новые переменные x  Ax, y  By, t  Tt и переписываем систему:
A
aA2 x 2
x

 gAx  bAxBy
 T
N  Ax

 B y  cBy  dAxBy
 T

aTAx 2
 gTx  bTBxy
x 
N  Ax

 y  cTy  dATxy

1
g
c
Пусть bTB=1, gT=1, dAT=cT  T= , B= , A=
g
b
d

aTAx 2
x

 x  xy

A
N (1  x)

N

 y  cTy  cTxy
aTA
A

,  
,   cT
N
N

 x

1 y 
x  x 

1  x

 y   y (1  x)

2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы
2.1
2.2
2.3
x=0,y=0
==> O(0,0)
x
y  0, x 
1  0
1  x
1
x
,  >
 
 1

P
, 0
   
 x
1 y  0

1   x
1  x  0

x  1, y 

1 
1
,    1
 

Q 1,
 1
 1 

3. Характеристики неподвижных точек
Запишем Якобиан нашей системы
 x x 
2
 x y   2 x  1  y   x
  1  x
A
(1   x) 2
 y y  
y
 x y  


3.1
3.2



 (1  x) 
x
 1 0 
AO  
1  1, 2  

 0  
Поскольку действительные части собственных значений отрицательны,
тогда по теореме Ляпунова точка О есть сток.
1
  


 
  
 
1

AP  
1 
, 2   (1 
)
1 


 
 (1 
)
 0
   

Здесь требуется исследование по параметрам
3.3



1
 (1   ) 2

AQ  



  (1    1) 0 


Tr ( AQ ) 

 0  Q  неустойчива.
(1   ) 2
Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом
портрете возможные области значений  и  (  - фиксировано ) .
а) точка О – сток, как было показано выше;
 1

б) точка Р 
, 0 :
   
 
1
   1
1 
, 2   (1 
)  

 
 
Область 1:    -- точка Р не существует
Область 2:    ,     1      1  0
отсюда 1  0, 2  0
Точка Р – исток (неуст. узел)
Область 3:    ,     1      1  0
отсюда 1  0, 2  0
Точка Р – седло
 

в) точка Q 1,
 1 :
 1 

    1
Область 1: 1,

1  

   точка Q не существует.
Область 2:    ,     1      1  0
точка Q - не существует
Область 3:     1
Tr ( AQ ) 

0
(1   ) 2
    1
det( AQ )   
0
 1  
Точка Q – исток ( неустойчивый узел)
Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана
возникает уравнение
 2  Tr ( AQ )  det( AQ )  0
D  Tr ( AQ ) 2  4 det( AQ )
Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку
аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для
этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном
значении  были рассмотрены точки (  ,  )области 3, для которых проверялось
неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области
появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3’ , где
вещественные части собственных значений будут положительны. В этой
области точка Q превращается в неустойчивый фокус.
Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:
\Область
Точка
O
P
Q
1
2
3
3 – 3’
сток
не сущ.
не сущ.
сток
исток
не сущ.
сток
седло
исток
сток
седло
неуст. фокус
4.1 Параметрические области системы
4.2 Область 1:   0.6,  2,   5
4.3 Область 2:   0.6,  1.2,   0.5
4.3 Область 3’ :   0.6,  1.2,   0.01
4.5 Область 3 – 3’ :   0.6,  4,   1
5. Биологическая интерпретация модели.

 x

1 y 
x  x 

1  x

 y   y (1  x)

Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе
двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой
системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y –
хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) –
функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв
(характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая
функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним
хищником, на изменение численности популяции хищников).
g ( x) 
lim g ( x) 
x 

1

lim g ( x)  1
x 0
x
1 ,
1  x
p( x)  x ,
q( x)   x
lim p ( x )  
lim q( x)  
lim p ( x )  0
lim q ( x )  0
x 
x 0
x 
x 0