1) Законы коммутации : в цепях с реактивными элементами

Переходные процессы - классический подход (продолжение)
1) Законы коммутации : в цепях с реактивными элементами соблюдается принцип
непрерывности во времени потокосцепления в индуктивности и электрического заряда в
емкости.
iL (0)  iL (0) , uC (0)  uC (0)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Но: разумная идеализация цепи
i
WC 
CU 2 CE 2

2
2
Но: Q  CU  CE
 WE  CE 2

W  WE / 2  WRi
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент коммутации независимые начальные условия
Нулевые начальные условия (
iL (0)  iL (0)  0 , uC (0)  uC (0)  0 ) - в 0+
соответствие индуктивности разрыву, емкости - перемычке
Ненулевые начальные условия → в момент времени 0+
индуктивность = генератор тока i  iL (0)
емкость = генератор напряжения
e  uC (0)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Пример :
Дано E, R1, R2, L, C ;
Определить
1) i1 i2 i3 (t=0+),
2)
2 запасателя энергии → 2 независимых условия для уравнения 2-го порядка
dii
dt
t 0
До коммутации ( t=0- ) :
i1 (0 ) 
E
 i2 ( 0  )
R1  R2
1) i1 (0 ) 
E
R1
i 2 ( 0  )  i2 ( 0  ) 
E
R1  R2
i3 (0 )  i1 (0 )  i2 (0 )  E
R2
R1 ( R1  R2 )
2) uC (0 )  0  i2 (0 )  R2  L
duC
dt
3)
i3 (0 )  C
но
E  i1 R1  uC ;
4)
di3
dt
di3
dt


t 0
di1
dt
d

dt
 E
t 0 

t 0
di2
dt
di2
dt
di2
dt

t 0
 E
t 0 
R2
L( R1  R2 )
duC i3 (0 )

dt
C
duC i3 (0 )
, то

dt
C
и т.к.
u c ( 0 )  0 →
и

dii
dt

t 0
0  R1
di1 duC

dt
dt
 E
R2
R ( R1  R2 )C
t 0 
2
1
 ER2
 ER2

R ( R1  R2 )C L( R1  R2 )
2
1

 1
R2
R 

 1 
R1 ( R1  R2 )  R1C L 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Принужденный и свободный режимы
1) Составление уравнений на основе законов Киркгофа
Пример - RLC-контур (последовательный колебательный контур)
di 1

idt  e(t )
dt C 
Ri i  L
2) Переход к дифференциальным уравнениям
d

dt
di
d 2i 1
de(t )
Ri  L 2  i 
dt
dt
C
dt
3) решение - как сумма принужденного (частное) и свободного (общего) решений
Y (t )  YПРИНУЖДЕННОЕ (t )  YСВОБОДНОЕ (t )
Y ПРИНУЖДЕННОЕ (t ) - поведение под воздействием вынуждающей силы (источников)
YСВОБОДНОЕ (t ) - внутренние процессы системы (т.е. для нулевой правой части); выбирается из
начальных условий :
Y (0 )  YПРИНУЖДЕННОЕ (0 )  YСВОБОДНОЕ (0 )
dY
dt

dYПРИНУЖДЕННОЕ
t 0
dt

dYСВОБОДНОЕ
dt
0
0
Если воздействующая (вынуждающая) сила - постоянная или периодическая - то
Y ПРИНУЖДЕННОЕ (t ) - так же и установившееся решение
Функции, описывающие YСВОБОДНОЕ (t ) называют свободными составляющими
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Пример:
Ri
di
d 2i 1
L 2  i0
dt
dt
C
Характеристическое уравнение :
Корни
Lp 2  Rp 
1
0
C
p1 / 2 ; если p1  p2 , то общее решение :
iСВОБОДНОЕ (t )  A1e p1t  A2 e p2t
 полное решение
i(t )  iПРИНУЖДЕННОЕ (t )  A1e p1t  A2 e p2t
В момент
t  0  имеем
i (0 )  iПРИНУЖДЕННОЕ (0)  A1  A2
di
di
 ПРИНУЖДЕННОЕ
dt 0
dt
 находятся
 A1 p1  A2 p2
t 0
A1 / 2
Т.о. процедура : 1) частное решение (поведение при
2) n корней характеристического уравнения
3) постоянные интегрирования
t )
p1 ... pn
A1 ... An (из 1,2 и начальных условий)
Переходной процесс (полное решение) :
i(t )  iПРИНУЖДЕННОЕ (t )  A1e p1t  A2 e p2t  ...  An e pnt