Задание №1. Найти производные ф ункций. ( x 1) 2 x 3 3 x 2 ; б). y 2 sin x ; в). xy 2 0 . x2 y 4 а). y ln Решение. 2 ( x 1) 2 ( x 1) 2 1 3 2 а). y ln 3 x ln 3 x 3 2 x2 x2 ( x 1) x2 1 ( x 1) 2 2 3 3 x 3 x2 1 1 ( x 1)2 2 ( x 1) ( x 2) ( x 1) ( x 1 2 ( x 2)) 3 2 x 3 2 x 2 x 2 ( x 1 ) x2 ( x 1)2 x 1 2x 4 x5 2 . 2 x 3 x 1 x 1 3 x 1 4 4 4 sin x sin4 x 4 4 ln 2 2 cos x 4 б). y 2 2 sin x ln 2 . 2 sin x ln 2 cos x 2 sin 2 x sin x sin x в). Для нахождения производной, заданной неявным образом ф ункции , использ уем соответствующую формулу: y Fx . Fy В нашем случае получим: x 1 1 y2 ; Fx xy 2 x y 0 y y y x x xy2 x ; Fy xy 2 y 2 x 0 y y2 y 1 y2 1 y2 y2 y ( y 2 1) y . y 2 2 xy x y xy x x ( y 2 1) y2 Ответ: а). б). x5 2 ; x 1 3 x 4 sin x 4 ln 2 2 cos x ; sin 2 x y ( y 2 1) в). . x ( y 2 1) Задание №2. Исследовать данные ф ункции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование ф ункции рекоменд уется проводить по следующей схеме: 1). найти область определения ф ункции; 2). исследовать ф ункцию на непрерывность; 3). определить, является ли данная ф ункция четной, нечетной; 4). найти интервалы монотонности ф ункции и точки её экстремума; 5). найти интервалы вып уклости и вогн утости графика функции и точки перегиба; 6). найти асимптоты графика ф ункции. ( x 2) 2 . y 2 x 4 Исследование. 1). Функция определена на всей числовой прямой: x (;) . 2). Функция непрерывна на всей области определения. 3). y ( x) ( x 2)2 ( x 2)2 2 y( x) y( x) , поэтому ф ун кция ни четная ни ( x) 2 4 x 4 нечетная. 4). Находим точки экстремума и промежутки роста и убывания ф ункции. ( x 2) 2 2 ( x 2) ( x 2 4) 2 x ( x 2) 2 2 ( x 2) ( x 2 4 x ( x 2)) y 2 2 2 x2 4 x2 4 x 4 2 ( x 2) ( x 2 4 x 2 2 x) x y 0 2 4 2 4 ( x 2) (2 x) x 2 4 2 4 ( x 2) (2 x) x 2 4 2 ; 0; 4 ( x 2) (2 x) 0 ; x1 2, x2 2 – стационарные точки. y ( 2) 0 , y (2) 2 . x ;2 -2 2;2 2 2; y – 0 + 0 – y убывает 0 растет 2 убывает минимум максимум 5). Находим точки перегиба и интервалы вып уклости и вогн утости ф ункции. 4 ( x 2) (2 x) 4 (4 x 2 ) 8 x x 2 4 2 16 x ( x 2 4)( 4 x 2 ) y 2 4 x2 4 2 x2 4 x2 4 8x ( x2 4 8 2 x2 ) x y 0 2 4 3 8 x ( x 2 12) x 2 4 3 8 x ( x 2 12) x 2 4 3 8 x ( x 2 12) x 2 4 3 ; 0 ; 8 x ( x 2 12) 0 , x1 12 3,5 , x2 0 , x3 12 3,5 . y ( 12 ) 0,13 , y ( 12) 1,87 , y (0) 1 . x ; 12 12 y – 0 + 0 y вып уклая 0,13 вогн утая 1 12 ;0 перегиб 0 перегиб 12 12 ; – 0 + вып уклая 1,87 вогн утая 0; 12 перегиб 6). Находим асимптоты ф ункции. Вертикальных асимптот не существует. ( x 2)2 x2 4x 4 1 , поэтому y 1 – горизонтальная асимптота. lim lim 2 x x 2 4 x x 4 ( x 2) 2 lim 2 x2 4x 4 x x 4 y lim lim lim x x ( x 2 4) 0 , поэтому наклонных асимптот x x x x не существует. Задание 3. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала. Решение. Введем обозначения: a – сторона квадратного дна; h – высота бассейна; S – площадь стен и дна бассейна; V – объем бассейна. Запишем выражение площади стен и дна бассейна: S a 2 4ah . Запишем выражен ие объема бассейна: V a 2h . Тогда, получим: h V ; a2 S ( a ) a 2 4a V V a2 4 . 2 a a Находим первую производн ую для полученной ф ункции: V 4V 2a 3 4V 2 . S (a) a 4 2a 2 a a a2 Приравниваем первую производн ую к нулю и находим стационарные точки: S ( a ) 0 ; 2a 3 4V 0; a2 2a 3 4V 0 ; 2a 3 4V ; a 3 2V , a 3 2V . Пол ученн ую экстремальн ую точк у можно считать точкой минимума. Следовательно, сторона квадратного a 3 2 32 3 64 4 , а высота – h дна должн а быть равной 32 2. 16 Ответ: открытый бассейн должен иметь дно со стороной 4 м и высот у 2м. Задание 4. Найти наименьшее и наибольшее значения ф ункции z x 2 4 xy y 2 в треугольнике, ограниченном осями Ox и Oy и прямой y 2 x . Решение. Сделаем чертеж треугольника. Находим стационарные точки вн утри треугольника OAB и на линиях, которые его ограничивают. 1). zx 2 x 4 y , z y 4 x 2 y ; z x 0; 2 x 4 y 0; x 0; z y 0; 4 x 2 y 0; y 0. Следовательно, O (0;0) – стационарная точка, которая принадлежит заданному треугольнику. 2). x 0 z y 2 ; z 2 y , z 0 , то y 0 . Получили стационарн ую точк у O (0;0) . 3). y 0 z x 2 ; z 2x , z 0 , то x 0 . Получили стационарн ую точк у O (0;0) . 4). y 2 x z x 2 4 x (2 x) (2 x) 2 x 2 8x 4 x 2 4 4 x x 2 4 x 2 12 x 4 ; z 8x 12 , z 0 , то x 3 1 3 1 1 . Тогда, y 2 . Получили стационарн ую 2 2 2 2 3 1 точк у C ; , которая принадлежит замкн утому треугольник у. 2 2 Подсчитаем значения функции в точках (стационарные и концы отрезков), обозначенных на рисунке: z ( A) z(0;2) 4 ; z ( B) z(2;0) 4 ; 3 1 1 3 1 9 z (C ) z ; 4 5 ; 2 2 4 2 2 4 z (O) z(0;0) 0 . Сравнивая теперь между собой все вычисленные значения функции, видим, что само большое из них: 5 и самое маленькое: -4. Ответ: -4 и 5. Задание 5. Найти указанные неопределенные интегралы и рез ультаты интегрирования проверить дифференцирован ием: а). sec 2 x dx tg 2 x 9 ; б). x3 1 x2 7 x 10 dx ; в). xe 4 x dx . Решение. t tgx sec2 x dx dx dx cos2 x dt dt 1 3t а). 2 dt 2 ln 2 2 2 2 2 tg x 9 cos x (tg x 9) cos x cos x (t 9) t 9 23 3 t 2 dx cos x dt 1 3t 1 3 tgx ln ln C. 6 3t 6 3 tgx Проверим рез ультат интегрирования дифференцированием: 1 1 ( 3 tgx ) (3 tgx) 2 2 1 3 tgx 1 1 cos x cos x ln C 0 3 tgx 6 3 tgx 3 tgx2 6 3 tgx 3 1 3 1 6 tgx tgx 2 2 2 1 3 tgx cos 2 x 1 3 tgx cos x cos x cos x cos 2 x 6 3 tgx 6 3 tgx 3 tgx2 3 tgx2 1 2 sec 2 x sec 2 x cos x . 3 tgx3 tgx (tgx 3)(tgx 3) tg 2 x 9 б). x3 1 39 x 69 x2 7 x 10 dx x 7 x2 7 x 10 dx . Разложим дробь 39 x 69 на сумму простейших дробей использ уя общий x 7 x 10 2 метод разложения: 39 x 69 39 x 69 A B ; x 7 x 10 ( x 2)( x 5) x 2 x 5 2 A( x 5) B( x 2) 39 x 69 ; Ax 5 A Bx 2B 39x 69 ; A 39 B; A 39 B; A B 39; A 39 B; A 3; 5 A 2 B 69; 5 (39 B) 2 B 69; 195 5B 2 B 69; 3B 126; B 42. Тогда, получим: x3 1 3 42 x2 dx x 7 dx 7 x 3 ln( x 2) 42 ln( x 5) C . x2 7 x 10 x 2 x 5 2 Проверим рез ультат интегрирования дифференцированием: x2 2x 3( x 5) 42( x 2) 3 42 7 x 3 ln( x 2) 42 ln( x 5) C 7 0 x 7 2 x2 x5 ( x 2)( x 5) 2 3x 15 42 x 84 39 x 69 ( x 7)( x 2 7 x 10) 39 x 69 x 7 2 x 7 x 7 x 10 x 2 7 x 10 ( x 2)( x 5) x3 7 x 2 7 x 2 49 x 10 x 70 39 x 69 x3 1 . x 2 7 x 10 x 2 7 x 10 в). u x; du dx x 4x 1 4x xe dx e e 4 x dx 1 4x 4 x uv vdu dv e dx ; v e 4 4 4 x 1 e 4 x e 4 x C . 4 16 Проверим рез ультат интегрирования дифференцированием: 1 4x 4x 4 x 4 4 x x 4 x 1 4x e e 0 x e 4 x . e e C e 4 16 4 4 16 1 3 tgx Ответ: а). ln C ; 6 3 tgx б). x2 7 x 3 ln( x 2) 42 ln( x 5) C ; 2 x 1 в). e 4 x e 4 x C . 4 16 Задание 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж. y 3x 2 1 ; y 3 x 7 . Решение. Находим точки пересечения заданны линий: y 3x 2 1; y 3x 7; 3x 2 1 3x 7 ; 3x 2 3x 6 0 ; x2 x 2 0 ; x1 1, x2 2 y1 3 7 4 , y2 6 7 13 . Следовательно, (1;4) и (2;13) – точки пересечения линий. Сделаем схематический чертеж: указанными Для нахождения площади фигуры закрашенной на чертеже, использ уем соответствующую формулу (Ньютона -Лейбница): 2 3x 2 3 S ( f ( x) g ( x)) dx 3x 7 3x 1 dx 3x 6 3x dx 6x x 2 1 x1 1 1 x2 2 2 3 1 3 6 12 8 6 1 15 13 . 2 2 2 Ответ: 13 1 кв. ед. 2 2 2