Задача 1 использованы только две различные цифры. Приведите пример таких чисел.

Задача 1
На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были
использованы только две различные цифры. Приведите пример таких чисел.
Решение.
Первый способ. 2012 = 503 + 503 + 503 + 503. Заменив ноль пятёркой, мы увеличим сумму на 200;
для компенсации заменим одну из пятёрок в разряде сотен на тройку: 2012 = 353 + 553 + 553 +
553.
Второй способ .Попытаемся найти два числа, записывающихся двумя цифрами и в сумме дающих
2012 : 2 = 1006. Из разряда десятков должен происходить перенос, поэтому сумма цифр в разряде
сотен без этого переноса должна равняться 9. Значит, в этом разряде присутствуют обе
неизвестные цифры, и их сумма равна 9. С другой стороны, сумма цифр в разряде единиц
оканчивается на 6. Поэтому либо эта сумма равна 6 и получена как 3 + 3 при второй цифре 6 (но
тогда мы не сможем получить сумму 10 в разряде десятков), либо равна 16 и получена как 8 + 8
при второй цифре 1. Отсюда получаем представления 1006 = 118 + 888 = 188 + 818;
2012 = 118 + 888 + 118 + 888 = 188 + 818 + 188 + 818 = 118 + 888 + 188 + 818.
Полное решение. Пусть в записи наших чисел использовались цифры a и b, причём a < b. Вычтем
из каждого из наших чисел число 111·a. Получившиеся числа будут состоять тоже только из двух
цифр - 0 и c = b – a. Тем самым, их можно представить как произведение c на число,
записывающееся только цифрами 0 и 1. Сумма получившихся чисел равна 2012 – 444·a; деля эту
сумму на c, мы видим, что каждая цифра частного
не превосходит 4.
Теперь решение можно найти перебором: подходят только пары a = 3, c = 2 (q = 340,
b = 5) и a = 1, c = 7 (q = 224, b = 8). Всевозможными способами расставляя по разрядам
найденные цифры в задаваемом q количестве, мы приходим к четырём указанным в ответе
представлениям.
Ответ
2012 = 353 + 553 + 553 + 553 = 118 + 118 + 888 + 888 = 118 + 188 + 818 + 888 = 188 + 188 + 818 + 818.
Задача2
Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке
(сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать?
(Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и
заканчивать можно в любых точках.)
Рис. А
рис. Б
За 8 прыжков кузнечик может посетить все отмеченные точки: маршрут FABGQEDCH
изображен на рис. а (Q – вершина равнобедренного треугольника с основанием GE и стороной 50
см). 7 прыжками он обойтись не может. Действительно, чтобы за семь прыжков посетить все
восемь отмеченных точек, он должен был бы начать в одной из отмеченных точек и каждым
прыжком попадать в новую отмеченную точку. Все точки E, F, G, H не могут быть концами
маршрута. Однако на расстоянии 5 от каждой из точек E, F, G, H есть только одна отмеченная
точка (D, A, B, C соответственно, см. рис. б).
Ответ: 8 прыжков.
Задача 3
На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша
разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он
может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?
Решение
Есть несколько конфигураций точек, для которых Саша не сможет добиться своего. Приведем два
примера.
Конструкция 1. Поместим на окружности три маленькие дуги, полученные друг из друга
поворотами на 120°, отметим по 33 точки на каждой дуге и ещё центр окружности (рис. а).
Отрезок из центра соединён с точкой на некоторой дуге. Он не пересечётся с отрезками, чьи
концы лежат на других дугах. А такие отрезки есть, так как на двух дугах точек больше, чем на
одной и в центре.
Рис. А
рис. Б
Конструкция 2. Возьмём квадрат ABCD и расположим 99 точек Q1, ..., Q99 на дуге BD окружности с
центром A и радиусом, равным стороне квадрата. В качестве 100-й точки возьмём точку C (см. рис.
б). С какой бы точкой Qn Саша ни соединил отрезком точку С, из оставшихся
49 отрезков QiQj отрезок CQn не будет пересекать вообще ни один: все отрезки QiQj лежат внутри
круга с центром A и радиусом AB, а отрезок CQn – вне его.
Ответ: Не всегда.
Задача 4 Школьник, 3й уровень, 1999 год
В каждом из пяти стаканов кофе, какао или молоко. Общий объём кофе вдвое больше объёма
какао. Известно, что ни в каких трёх стаканах нет одинакового напитка. В каком стакане какао?
Решение. Вопрос звучит «В каком стакане какао?», значит, стакан с какао один. Тогда в двух из
остальных четырёх стаканов кофе, и в двух – молоко.
В первом стакане какао быть не может, т.к. его объём максимальный и 2 других стакана не смогут
занимать вдвое больший объём. А второй стакан (750г) подходит, тогда кофе будет в первом и
третьем стаканах (950+550). Поскольку тест предполагает однозначный ответ, на этом можно и
остановиться, сэкономив драгоценное время на решение других задач. Нам же с вами можно
спокойно посидеть и убедиться, что действительно ни для какого из оставшихся стаканов нельзя
найти двух других таких, чтобы они занимали вдвое больший объём. Ответ Б.
Задача 5. Малыш, 3й уровень, 2006 год
Детская игрушка подвешена к потолку и находится в равновесии. Одинаковые фигурки весят
одинаково. Шарик весит 30 граммов. Сколько весит кубик, отмеченный знаком вопроса?
А:10г; Б:20г; В:30г; Г:40г; Д:50г;
Решение
Обратим внимание, что в формулировке задачи не говорится стандартная фраза «весом самой
конструкции можно пренебречь». А ведь она и действительно не нужна – все перекладины
уравновешивают друг друга и на решение не влияют.
Из правой части заметим, что трапеция равна по весу двум шарикам.
Из левой части одно сердечко равно по весу двум кубикам.
Значит, 6 кубиков равны четырём шарикам. 6 кубиков весят 120г, значит 1 кубик весит 20г.
Ответ Б.