5.3. Содержание разделов дисциплины «Прикладная

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Майкопский государственный технологический университет»
Факультет
Кафедра
Инженерно-экономический
Высшей математики и системного анализа
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
______________ Л.И. Задорожная
«_____»__________ 20____г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
В.2.1. Прикладная математика
по направлению
подготовки бакалавров 262000.62 Технология изделий легкой промышленности
по профилю подготовки Технология швейных изделий
квалификация (степень)
выпускника
Бакалавр
Майкоп
Рабочая программа составлена на основе ФГОС ВПО и учебного плана МГТУ по
направлению (специальности) 262000.62 Технология изделий легкой промышленности
Составители рабочей программы:
доцент, канд. физ.-мат. наук, доцент
____________
доцент, канд. пед. наук
____________
Куижева С.К.
Мамадалиева Л.Н.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры
Высшей математики и системного анализа
(наименование кафедры)
Заведующая кафедрой
«___»________20 г.
_____________
(подпись)
Одобрено научно-методической комиссией факультета
(где осуществляется обучение)
Председатель
научно-методического
совета специальности
(где осуществляется обучение)
Декан факультета
(где осуществляется обучение)
«___»________20 г.
СОГЛАСОВАНО:
Начальник УМУ
«___»________20 г.
Зав. выпускающей кафедрой
по направлению (специальности)
Демина Т.И.
(Ф.И.О.)
«___»_______20 г.
_____________
(подпись)
_____________
(подпись)
___________
(подпись)
___________
(подпись)
______________
(Ф.И.О.)
Сухоруких Ю.И.
(Ф.И.О.)
Гук Г.А.
(Ф.И.О.)
Бжецева Н.Р.
(Ф.И.О.)
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Прикладная математика является формирование
личности студентов, обучение применению современного программного обеспечения,
применению и исследованию моделей объектов, систем, процессов и технологий,
предназначенных для проведения расчетов, анализа и подготовки решений во всех сферах
производственной деятельности.
Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных дисциплин,
определяющих уровень профессиональной подготовки современного инженера.
Цель преподавания дисциплины состоит в том, чтобы, используя теорию и методы
научного познания овладеть основными понятиями и методами разработки и расчета
вариантов решения проблемы, расчета экономической эффективности, необходимыми для
решения задач в области швейного производства; обучить студентов математическим
методам принятия решений, необходимым при решении задач оптимизации, математическим
методам организации производственного процесса.
Преподавание дисциплины состоит в том, чтобы на примерах математических понятий
и методов продемонстрировать специфику математики и её роль как способ познания мира,
общности её понятий и представлений в решении возникающих проблем. При этом студенты
обучаются:
 сбору и анализу исходных данных; подготовке исходных данных для выбора и
обоснования научно-технических и организационных решений на основе экономического
анализа;
 проведению экспериментов по заданной методике, составлению описания проводимых
исследований и анализу результатов;
 составлению отчета по выполненному заданию, участию во внедрении результатов
исследований и разработок.
2. Место дисциплины в структуре ОП по направлению подготовки 262000.62
Технология изделий легкой промышленности
Дисциплина Прикладная математика относится к учебным дисциплинам базовой части
математического и естественно-научного цикла основной образовательной программы (далее —
ООП) направления подготовки 262000 Технология изделий легкой промышленности,
квалификация (степень) – бакалавр.
Для успешного освоения данной дисциплины студент должен владеть знаниями, умениями и
навыками, сформированными в рамках дисциплины Математика.
Приобретенные в результате изучения дисциплины знания, умения и навыки используются
в прикладных естественнонаучных и инженерных дисциплинах, модулях и практиках ООП:
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Выпускник должен обладать следующими компетенциями:
 применять в профессиональной деятельности основные законы естественнонаучных
дисциплин, методы математического анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования, нормативные документы и элементы экономического
анализа (ПК-2);
 проводить анализ состояния и динамики показателей качества материалов и изделий
легкой промышленности с использованием необходимых методов и средств исследований
(ПК-4);
 подготавливать презентации, научно-технические отчеты и доклады по результатам
выполненных исследований (ПК-6);
 осуществлять проектирование производственного процесса изготовления изделий легкой
промышленности с учетом конкретных производственных ограничений (ПК-10).
В результате освоения программы студент должен:

знать: принципы логического и алгоритмического мышления, основные методы
математического моделирования;

уметь: самостоятельно расширять математические знания и проводить
математический анализ прикладных (инженерных) задач, реализовывать на ЭВМ основные
численные методы математики;

владеть: основными методами исследования и решения математических задач,
навыками систематической работы; навыками использования математических методов и
основ математического моделирования в практической деятельности с использованием
современных вычислительных машин.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы. Общая трудоемкость дисциплины.
4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы по очной форме обучения.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы (108 часов)
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа студентов (СРС)
(всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды СРС (если предусматриваются,
приводится перечень видов СРС)
Составление плана-конспекта
Форма промежуточной аттестации:
зачет
Общая трудоемкость
Всего
часов/з.е.
54/1,5
Семестр
3
54/1,5
36/1
18/0,5
36/1
18/0,5
54/1,5
54/1,5
18/0,5
18/0,5
36/1,0
36/1,0
+
+
108/3
108/3
4.2. Объем дисциплины и виды учебной работы по заочной форме обучения.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы (108 часов)
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа студентов (СРС) (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды СРС (если предусматриваются,
приводится перечень видов СРС)
Составление плана-конспекта
Решение и анализ профессионально
ориентированных задач
Форма промежуточной аттестации:
зачет
Общая трудоемкость
Всего
часов/з.е.
Семестр
3
10/0,28
10/0,28
4/0,11
6/0,17
4/0,11
6/0,17
98/2,72
98/2,72
26/0,72
26/0,72
36/1
36/1
36/1
36/1
+
+
108/3
108/3
5. Структура и содержание дисциплины
5.1. Структура дисциплины для очной формы обучения
№
п/п
Раздел дисциплины
1.
РАЗДЕЛ. 1.
ЛИНЕЙНОЕ
ПРОГРАММИРОВА
НИЕ
Тема 1.1. Постановка
задачи.
Существование
решения
Тема 1.2. Симплексметод
Тема 1.3.
Двойственные задачи.
Транспортная задача
РАЗДЕЛ. 2.
МЕТОДЫ
НЕЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВА
НИ
Тема 2.1.
Оптимизация без
ограничений.
Градиентный спуск.
Тема 2.2.
Оптимизация при
наличии
ограничений. Общие
принципы
оптимизации
Тема 2.3.
Многокритериальная
оптимизация.
Расплывчатые цели.
РАЗДЕЛ. 3.
ОПТИМИЗАЦИОН
НЫЕ ЗАДАЧИ
2.
3.
Неделя
семестра
1-3
Виды учебной работы,
включая самостоятельную и
трудоемкость
(в часах)
Л
С/ПЗ
ЛР
СРС
6
4
-
12
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Форма
промежуточной
аттестации
(по семестрам)
Тестирование
Блиц-опрос
Контрольная
работа
1
2
3
4-6
6
4
6
2
-
12
Тестирование
Блиц-опрос
Контрольная
работа
4
5
6
7-9
-
Тестирование
Блиц-опрос
Контрольная
работа
4.
5.
6.
7.
ДИСКРЕТНОГО
ТИПА
Тема 3.1.
Целочисленное
программирование
Тема 3.2.
Оптимизация на
графах. Задача
коммивояжера
Тема 3.3. Задача о
кратчайшем пути
РАЗДЕЛ. 4.
ТЕОРИЯ ИГР
Тема 4.1. Матричные
игры, сведение к
задаче линейного
программирования
РАЗДЕЛ. 5.
СИСТЕМЫ
МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
Тема 5.1. Простейшие
потоки. Уравнения
Эрланга. Системы с
отказами
Тема 5.2. Системы с
очередями.
Стационарные
режимы
Тема 5.3.
Моделирование СМО
с нестационарными
потоками.
РАЗДЕЛ. 6.
ИМИТАЦИОННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИ
Е
Тема 6.1.
Динамические
системы и
конкурентные модели
Тема 6.2. Модели
экономических
процессов
РАЗДЕЛ. 7.
СТАТИСТИЧЕСКИ
Е МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ
7
8
9
9
4
2
-
8
Тестирование
Блиц-опрос
Контрольная
работа
9
10-11
4
2
4
2
-
Тестирование
Блиц-опрос
Контрольная
работа
-
3
Тестирование
Блиц-опрос
Контрольная
работа
11
Тестирование
Блиц-опрос
Контрольная
работа
10
11
11
12-13
13
14
14-17
4
2
-
8.
ЗАВИСИМОСТЕЙ
Тема 7.1. Парные и
множественные
корреляции.
Нелинейные
регрессии
Тема 7.2. Факторный
анализ
Тема 7.3
Планирование
эксперимента
Тема 7.4. Принципы
распознавания
образов
Тема 7.5.
Прогнозирование
временных рядов
РАЗДЕЛ. 8.
СЛУЧАЙНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
Тема 8.1. Типы
случайных процессов.
Автокорреляции.
Спектральное
разложение
Промежуточная
аттестация
ИТОГО
14
14
15
16
17
18
2
-
-
8
Тестирование
Блиц-опрос
18
зачет
36
18
-
54
5.2. Структура дисциплины для заочной формы обучения
№
п/п
1.
2.
Раздел дисциплины
РАЗДЕЛ. 1. ЛИНЕЙНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Тема 1.1. Постановка задачи. Существование
решения
Тема 1.2. Симплекс-метод
Тема 1.3. Двойственные задачи. Транспортная
задача
РАЗДЕЛ. 2.
МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИ
Тема 2.1. Оптимизация без ограничений.
Градиентный спуск.
Виды учебной работы, включая
самостоятельную и
трудоемкость
(в часах)
Л
С/ПЗ
ЛР
СРС
2
2
12
2
2
12
Тема 2.2. Оптимизация при наличии ограничений.
Общие принципы оптимизации
Тема 2.3. Многокритериальная оптимизация.
Расплывчатые цели.
3.
РАЗДЕЛ. 3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
ДИСКРЕТНОГО ТИПА
Тема 3.1. Целочисленное программирование
2
12
Тема 3.2. Оптимизация на графах. Задача
коммивояжера
Тема 3.3. Задача о кратчайшем пути
4.
5.
6.
7.
РАЗДЕЛ. 4. ТЕОРИЯ ИГР
Тема 4.1. Матричные игры, сведение к задаче
линейного программирования
РАЗДЕЛ. 5. СИСТЕМЫ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
Тема 5.1. Простейшие потоки. Уравнения Эрланга.
Системы с отказами
Тема 5.2. Системы с очередями. Стационарные
режимы
Тема 5.3. Моделирование СМО с
нестационарными потоками.
РАЗДЕЛ. 6. ИМИТАЦИОННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Тема 6.1. Динамические системы и конкурентные
модели
Тема 6.2. Модели экономических процессов
РАЗДЕЛ. 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ
Тема 7.1. Парные и множественные корреляции.
Нелинейные регрессии
Тема 7.2. Факторный анализ
Тема 7.3 Планирование эксперимента
Тема 7.4. Принципы распознавания образов
Тема 7.5. Прогнозирование временных рядов
12
12
12
14
8.
РАЗДЕЛ. 8.
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Тема 8.1. Типы случайных процессов.
Автокорреляции. Спектральное разложение
Промежуточная аттестация
ИТОГО
12
4
6
зачет
98
5.3. Содержание разделов дисциплины «Прикладная математика», образовательные технологии
Лекционный курс
№
п/п
Наименование темы
дисциплины
1.
Линейное
программирование
Трудоемкость
(часы/зач. ед.)
ОФО
ЗФО
4/0,11
Содержание
Лекция 1.1. Постановка задачи.
Существование решения. Геометрическая
интерпретация решения. Классическая
форма записи задачи линейного
программирования (ЛП). Базис опорного
плана. Базисные переменные.
Формируе
мые
компетенц
ии
ПК-2
ПК-4
ПК-6
ПК-10
Лекция 1.2. Симплекс-метод. Идея
симплекс-метода. Формулы и условия
перехода. Признаки прекращения счета.
Табличный
симплекс-метод.
Формирование
опорного
базисного
решения. Симплекс-таблица. Пересчет
элементов таблицы. Отыскание решения.
2.
Методы нелинейного
программирования
4/0,11
Лекция 1.3. Двойственные задачи.
Транспортная задача. Структура и
свойства двойственной задачи.
Транспортная задача ЛП. Опорные планы
транспортной задачи. Методы
нахождения опорных планов. Решение
транспортной задачи. Метод потенциалов.
Лекция 2.1. Оптимизация без
ограничений.
Градиентный
спуск./
Постановка
задачи
нелинейного
программирования.
Оптимизация
без
ограничений (классические методы поиска
экстремума функции одной и нескольких
переменных; градиентные методы поиска
ПК-2
ПК-4
ПК-6
ПК-10
Результаты освоения
(знать, уметь, владеть)
знать:
основные
методы
математического моделирования;
уметь: проводить математический
анализ прикладных (инженерных)
задач;
владеть: навыками использования
математических методов и основ
математического моделирования в
практической
деятельности
с
использованием
современных
вычислительных машин.
знать:
основные
методы
математического моделирования;
уметь: проводить математический
анализ прикладных (инженерных)
задач;
владеть: навыками использования
математических методов и основ
математического моделирования в
практической
деятельности
с
использованием
современных
вычислительных машин.
экстремума).
Лекция 2.2. Оптимизация при
наличии ограничений. Общие принципы
оптимизации. Оптимизация при наличии
ограничений (общая теория оптимизации
при ограничениях типа равенств и типа
неравенств).
Лекция 2.3. Многокритериальная
оптимизация. Расплывчатые цели.
Динамические модели. Метод
динамического программирования.
Принцип оптимальности. Функциональные
уравнения Беллмана и метод их решения.
3
Лекция
3.1.
программирование.
Оптимизационные
задачи дискретного
типа
Целочисленное
Лекция 3.2. Оптимизация
графах. Задача коммивояжера.
на
ПК-2
ПК-4
ПК-6
ПК-10
Лекция 3.3. Задача о кратчайшем
4/0,11
пути.
4
Теория игр
4/0,11
Лекция 4.1. Матричные игры,
сведение к задаче линейного
программирования. Предмет и задачи
теории игр. Стратегические конечные
матричные игры двух лиц с нулевой
суммой. Преобразование матричных игр.
Игры с седловой точкой. Понятие чистых
стратегий. Игры без седловой точки.
Понятие смешанных стратегий. Метод
решения конечных матричных игр с
ПК-2
ПК-4
ПК-6
ПК-10
знать:
основные
методы
математического моделирования;
уметь: проводить математический
анализ прикладных (инженерных)
задач;
владеть: навыками использования
математических методов и основ
математического моделирования в
практической
деятельности
с
использованием
современных
вычислительных машин.
знать: принципы логического и
алгоритмического мышления;
уметь: самостоятельно расширять
математические знания;
владеть: основными методами
исследования
и
решения
математических задач.
помощью линейного программирования.
5
Системы массового
обслуживания
4/0,11
2/0,05
Лекция 5.1. Простейшие потоки.
Уравнения Эрланга. Системы с отказами,
Марковские случайные процессы. Цепи
Маркова. Уравнения Маркова для
вероятностей
состояний
цепи.
Однородные цепи Маркова. Матрица
перехода. Граф состояний. Уравнение
Маркова
для
однородных
цепей.
Эргодичность.
СМО
с
отказами.
Уравнения Колмогорова и основные
характеристики установившегося режима.
ПК-2
ПК-4
ПК-6
ПК-10
знать: принципы логического и
алгоритмического мышления;
уметь: самостоятельно расширять
математические знания;
владеть: основными методами
исследования
и
решения
математических задач.
ПК-2
ПК-4
ПК-6
ПК-10
знать: принципы логического и
алгоритмического мышления;
уметь: самостоятельно расширять
математические знания;
владеть: основными методами
исследования
и
решения
математических задач;
ПК-2
ПК-4
знать: принципы логического и
алгоритмического
мышления,
Лекция 5.2. Системы с очередями.
Стационарные
режимы.
СМО
с
неограниченной очередью. Уравнения
Колмогорова и основные характеристики
установившегося
режима.
СМО
с
ограниченной
очередью.
Уравнения
Колмогорова и основные характеристики
установившегося режима.
Лекция 5.3. Моделирование СМО с
нестационарными потоками.
6
7
Имитационное
моделирование
Статистические
методы исследования
Лекция 6.1 Динамические системы и
конкурентные модели. Модель популяции
по Мальтусу. Модель популяции по
Ферхюльсту-Пирлу. Модель межвидового
соперничества популяций. Модель хищник
– жертва Лотка-Вольтерра.
4/0,11
8/0,22
2/0,05
Лекция 6.2. Модели экономических
процессов. Модель экономического роста.
Лекция 7.1 Парные и
множественные корреляции. Нелинейные
регрессии. Временные ряды. Стационарные
ряды. Белый шум.
зависимостей
ПК-6
ПК-10
основные методы статистического
исследования;
уметь: самостоятельно расширять
математические знания и проводить
математический анализ прикладных
(инженерных) задач;
владеть: основами статистического
исследования
в
практической
деятельности с использованием
современных
вычислительных
машин.
ПК-2
ПК-4
ПК-6
ПК-10
знать: принципы логического и
алгоритмического
мышления,
основные методы статистического
исследования;
уметь: самостоятельно расширять
математические знания и проводить
математический анализ прикладных
(инженерных) задач;
владеть: основами статистического
исследования
в
практической
деятельности с использованием
современных
вычислительных
машин.
Лекция 7.2. Факторный анализ.
Однофакторный дисперсионный анализ.,
[3,6].
Лекция 7.3 Планирование
эксперимента.
Лекция 7.4 Принципы
распознавания образов.
Лекция 7.5 Прогнозирование
временных рядов Детерминированные
временные ряды. Виды трендов Качество
регрессионной модели. Сопоставление
моделей через остаточную дисперсию.
Критерий Фишера. Модели авторегрессии
Критерии случайности. Критерий Кэндела
Метод поворотных точек Прогнозирование
с учетом тренда и авторегрессии.
8
Случайные процессы
4/0,11
Лекция 8.1 Типы случайных
процессов. Автокорреляции. Спектральное
разложение Автокорреляции и
автоковариация Эргодические временные
ряды. Определение автокорреляции по
одной реализации.
Итого
36/1
4/0,11
В процессе преподавания дисциплины «Прикладная математика» используются как классические формы и методы обучения
(лекции, практические занятия), так и активные методы обучения (компьютерные интерактивные задания в процессе выполнения
самостоятельных работ, индивидуальные задания на обработку реальной статистики и др.). Применение любой формы обучения
предполагает также использование новейших IT-обучающих технологий.
При проведении лекционных занятий по дисциплине «Прикладная математика» преподаватель использует аудиовизуальные,
компьютерные и мультимедийные средства обучения Университета, а также демонстрационные и наглядно-иллюстрационные (в том
числе раздаточные) материалы.
Контрольные работы по данной дисциплине проводятся с использованием компьютерного оборудования Университета; контрольные
домашние задания предполагают использование индивидуальных компьютеров, при необходимости — с привлечением Интернетресурсов.
5.4. Практические и семинарские занятия, их наименование, содержание и объем в часах
№
п/п
№ раздела
дисциплины
1.
Раздел
11
2.
Раздел 1
3.
Раздел 2
4.
Раздел 3
5.
Раздел 3
6.
Раздел 4
7.
Раздел 5
8.
Раздел 6
9.
Раздел 7
Наименование практических и семинарских
занятий
Геометрическое решение задачи линейного
программирования. Симплекс-метод
Двойственные задачи. Транспортная задача
Объем в
часах/трудоемкость в
з.е.
ОФО
ЗФО
2/0,05
2/0,06
2/0,05
Градиентный спуск. Поиск экстремума.
Условный экстремум
Целочисленное программирование.
2/0,05
Задача коммивояжера. Задача о кратчайшем
пути.
Матричные игры
2/0,05
Системы массового обслуживания с отказами.
Стационарные режимы
Динамические системы и конкурентные модели.
Модели экономических процессов
Парные и множественные корреляции.
Нелинейные регрессии. Планирование
эксперимента.
2/0,05
ИТОГО
5.5. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах
Лабораторные работы учебным планом не предусмотрены
5.6. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
Курсовой проект (работа) учебным планом не предусмотрены
2/0,05
2/0,05
2/0,06
2/0,05
2/0,05
2/0,06
18/0,5
6/0,17
5.7. Самостоятельная работа студентов
студентов по дисциплине «Прикладная математика» способствует более глубокому усвоению
изучаемого курса, формирует навыки исследовательской работы по проблемам
естественнонаучных и инженерных дисциплин, ориентирует студента на умение применять
полученные теоретические знания на практике и проводится в следующих видах:
 Проработка лекционного материала
 Подготовка к практическим работам
 Выполнение индивидуальных контрольных домашних заданий
 Подготовка к экзамену
Содержание и объем самостоятельной работы студентов
Разделы и темы рабочей программы
самостоятельного изучения
Раздел 1. Решение транспортной задачи. Метод
потенциалов.
Раздел 1.
Перечень
Объем в
домашних
Сроки
часах/трудоемкость
заданий и
выполнен
в з.е.
других
ия
ЗФО
ОФО
вопросов для
самостоятельно
Составление
го изучения
плана-конспекта
3 неделя
6/0,17
6/0,17
Расчетнографическая
работа
Раздел 2. Принцип оптимальности.
Составление
Функциональные уравнения Беллмана и метод их плана-конспекта
решения.
Раздел 2. Методы нелинейного программировани
Расчетнографическая
работа
3 неделя
6\0,17
6/0,17
6 неделя
6/0,17
6/0,17
6 неделя
6/0,17
6/0,17
Раздел. 3. Оптимизационные задачи дискретного
типа
Раздел 4. Метод решения конечных матричных
игр с помощью линейного программирования.
12/0,34
Составление
плана-конспекта
9 неделя
8/0,22
12/0,34
Раздел. 5. Системы массового обслуживания
12/0,34
Раздел. 6. Имитационное моделирование
Раздел 7. . Критерий Фишера. Модели
авторегрессии Критерии случайности. Критерий
Кэндела Метод поворотных точек
Расчетнографическая
работа
16 неделя
3
12/0,34
Составление
плана-конспекта 16 неделя
11
14/0,34
Раздел 8. Автокорреляции и автоковариация
Эргодические временные ряды. Определение
автокорреляции по одной реализации.
Составление
плана-конспекта 17 недели
Итого
8/0,22
12/034
54/1,5
98/2,72
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения
6.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля
Линейное программирование (вопросы)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Постановка задачи линейного программирования (ЛП). Геометрическая интерпретация
решения. Классическая форма записи задачи линейного программирования (ЛП). Базис
опорного плана. Базисные переменные.
Симплекс-метод. Идея симплекс-метода. Формулы и условия перехода. Признаки
прекращения счета. Табличный симплекс-метод. Формирование опорного базисного
решения. Симплекс-таблица. Пересчет элементов таблицы. Отыскание решения.
Двойственная задача ЛП. Структура и свойства двойственной задачи. Транспортная
задача ЛП.
Опорные планы транспортной задачи. Методы нахождения опорных планов. Решение
транспортной задачи. Метод потенциалов.
Постановка задачи нелинейного программирования. Оптимизация без ограничений
(классические методы поиска экстремума функции одной и нескольких переменных;
градиентные методы поиска экстремума).
Оптимизация при наличии ограничений (общая теория оптимизации при ограничениях
типа равенств и типа неравенств).
Задача коммивояжера.
Задача о кратчайшем пути.
Образцы заданий
1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования (ЗЛП)
Решить ЗЛП графически или убедиться в их неразрешимости.
f  x1  x2  max,
x1 , x2  0,
 x1  x2  1

 x1  x2  1
Используя метод исключения неизвестных и графический способ, найти решения ЗЛП
f  8 x1  2 x2  3x3  max,
x1 , x2 , x3  0,
 x1  3x2  x3  4

 7 x1  2 x3  16
 2x  x  x  2
 1 2 3
2. Алгоритм симплекс-метода.
Решить ЗЛП, рассматривая в качестве начального базисного решения приведенное в условии
f  x1  2 x2  x3  max,
x1 , x2 , x3  0,
X 0  (1,1,0)
 x1  4 x2  x3  5

 x1  2 x2  x3  1
3. Решить следующие ЗЛП, предварительно преобразовав их к канонической
форме.
f  x1  2 x2  4 x3  max,
x1 , x2 , x3 , x4  0,
 x1  x2  x3  x4  1

2 x1  x2  x3  3
 x  3x  2 x  x  2
2
3
4
 1
4. Матричная транспортная задача
В области имеются два цементных завода и три потребителя их продукции -домостроительных
комбината. В таблице указаны суточные объемы производства цемента, суточные потребности в
нем комбинатов и стоимость перевозки 1 т цемента от каждого завода к каждому комбинату.
Заводы
1
2
Производство
цемента (т/сут)
40
60
Потребности в
цементе (т/сут)
Стоимость перевозки 1 т цемента (ед.)
Комбинат 1
Комбинат 2
Комбинат 3
10
15
25
20
30
30
50
20
30
Требуется составить план суточных перевозок цемента с целью минимизации транспортных
расходов.
Нелинейное программирование
Образец задания
1. Экстремум без ограничений.
Задание 1. Найти экстремум функции.
2
2
Задание 2. Локализовать экстремум функции f ( x y)  ax  by  ecx dy и, при помощи
градиентного спуска найти его.
Пример варианта заданий
1.
1.0 u  x3 y 2 (7  x  3 y ) .
2.
2.0 a  1 , b  14 , c  0  01, d  011 .
2. Экстремум при ограничениях.
Вариант № n
Найти минимум и максимум
при условии (x-0.n)^2+y^2=(1.n)^2 для нечетного n
(1-0.n)(x-0.n)^2+y^2=1 для четного n
Целочисленное программирование
Образец задания.
По заданной матрице попарных расстояний между точками
 Решить задачу коммивояжера.
 Найти кратчайший путь между двумя заданными точками.
Системы массового обслуживания (вопросы)
1. Марковские случайные процессы. Цепи Маркова. Уравнения Маркова для
вероятностей состояний цепи. Однородные цепи Маркова. Матрица перехода. Граф
состояний. Уравнение Маркова для однородных цепей. Эргодичность.
2. Структура СМО. Простейший поток и его свойства. Характеристики СМО.
3. СМО с отказами. Уравнения Колмогорова и основные характеристики установившегося
режима
4. СМО с неограниченной очередью. Уравнения Колмогорова и основные характеристики
установившегося режима
5. СМО с ограниченной очередью. Уравнения Колмогорова и основные характеристики
установившегося режима
6. Динамические
модели.
Метод
динамического
программирования.
Принцип
оптимальности. Функциональные уравнения Беллмана и метод их решения.
7. Предмет и задачи теории игр. Стратегические конечные матричные игры двух лиц с
нулевой суммой. Преобразование матричных игр. Игры с седловой точкой. Понятие
чистых стратегий.
8. Игры без седловой точки. Понятие смешанных стратегий. Метод решения конечных
матричных игр с помощью линейного программирования
9. Модель популяции по Мальтусу
10. Модель популяции по Ферхюльсту-Пирлу
11. Модель межвидового соперничества популяций
12. Модель хищник – жертва Лотка-Вольтерра
13. Модель экономического роста
Образец задания
Задача 1
Автозаправочная станция представляет собой СМО с одним каналом обслуживания и одной
колонкой. Площадка при АЗС допускает пребывание в очереди на заправку не более трех
автомобилей одновременно. Если в очереди уже находится три автомобиля, очередной
автомобиль, прибывший к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток
автомобилей, прибывающих для заправки, имеет интенсивность 𝜆 = 0,7 автомобиля в минуту.
Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Все потоки простейшие. Определите
вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.
Привести график численного решения уравнений Эрланга в случае, если
 (t )  0.7(1.1  cos(t )) .
Задача 2
На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью 𝜆 = 2 состава
в час. Среднее время, в течение которого горка обслуживает состав, равно 0,4 час. Составы,
прибывающие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия,
где имеется три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав,
прибывший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия заняты, становится в
очередь на внешний путь. Все потоки событий простейшие. При установившемся режиме
найдите:
среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке прибытия, так и вне его);
среднее время ожидания в парке прибытия и на внешних путях;
среднее время ожидания состава в системе обслуживания;
вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях.
Имитационное моделирование.
Образец задания
Используя первое приближение динамической системы
d
 dt x  (1  qx) x  (1  q ) xy

d y
p ( x  1) y
 dt
описывающей конкурентную рыночную среду, исследовать на устойчивость все точки покоя и
нарисовать фазовый портрет с использованием программы Maple. (Коэффициенты p,q выдаются
индивидуально каждому студенту).
6.2. Контрольные вопросы и задания для проведения промежуточной аттестации
Примерный перечень вопросов к зачету по дисциплине «Прикладная математика»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Постановка задачи линейного программирования (ЛП). Геометрическая интерпретация
решения. Классическая форма записи задачи линейного программирования (ЛП). Базис
опорного плана. Базисные переменные.
Симплекс-метод. Идея симплекс-метода. Формулы и условия перехода. Признаки
прекращения счета. Табличный симплекс-метод. Формирование опорного базисного
решения. Симплекс-таблица. Пересчет элементов таблицы. Отыскание решения.
Двойственная задача ЛП. Структура и свойства двойственной задачи. Транспортная
задача ЛП.
Опорные планы транспортной задачи. Методы нахождения опорных планов. Решение
транспортной задачи. Метод потенциалов.
Постановка задачи нелинейного программирования. Оптимизация без ограничений
(классические методы поиска экстремума функции одной и нескольких переменных;
градиентные методы поиска экстремума).
Оптимизация при наличии ограничений (общая теория оптимизации при ограничениях
типа равенств и типа неравенств).
Задача о кратчайшем пути.
Задача коммивояжера
Марковские случайные процессы. Цепи Маркова. Уравнения Маркова для
вероятностей состояний цепи. Однородные цепи Маркова. Матрица перехода. Граф
состояний. Уравнение Маркова для однородных цепей. Эргодичность.
Структура СМО. Простейший поток и его свойства. Характеристики СМО.
СМО с отказами. Уравнения Колмогорова и основные характеристики установившегося
режима
СМО с неограниченной очередью. Уравнения Колмогорова и основные характеристики
установившегося режима
СМО с ограниченной очередью. Уравнения Колмогорова и основные характеристики
установившегося режима
Динамические
модели.
Метод
динамического
программирования.
Принцип
оптимальности. Функциональные уравнения Беллмана и метод их решения.
Предмет и задачи теории игр. Стратегические конечные матричные игры двух лиц с
нулевой суммой. Преобразование матричных игр. Игры с седловой точкой. Понятие
чистых стратегий.
Игры без седловой точки. Понятие смешанных стратегий. Метод решения конечных
матричных игр с помощью линейного программирования
Модель популяции по Мальтусу
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
Модель популяции по Ферхюльсту-Пирлу
Модель межвидового соперничества популяций
Модель «хищник – жертва» Лотка-Вольтерра
Модель экономического роста
Временные ряды. Стационарные ряды. Белый шум. Автокорреляции и автоковариация
Детерминированные временные ряды. Виды трендов.
Разделение трендов и шума методами регрессионного анализа
Качество регрессионной модели. Сопоставление моделей через остаточную дисперсию.
Критерий Фишера
Однофакторный дисперсионный анализ
Принципы распознавания образа
Модель авторегрессии, Марковский процесс
Модель авторегрессии, процесс Юла
Критерии случайности. Метод поворотных точек
Критерии случайности. Критерий Кэндела
Прогнозирование с учетом тренда и авторегрессии
Эргодические временные ряды. Определение автокорреляции по одной реализации.
6.3. Тематика контрольных работ для студентов ЗФО
Контрольные работы учебным планом не предусмотрены
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Сидняев Н И. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник/ Н.И. Сидняев. Москва : Юрайт, 2011. - 219 с.
2. ЭБС «Znanium. сom.» Гусева, Е. Н. Теория вероятностей и математическая статистика:
учеб. пособие / Е. Н. Гусева. - М. : Флинта, 2011. - 220 с. – Режим доступа:
http://znanium.com/
б) дополнительная литература:
3. ЭБС «Znanium. сom.» Методы и средства исследований в процессах оказания услуг.
Практикум: учеб. пособие / В.И. Стельмашенк и др. - М.: ФОРУМ: Инфра-М, 2012 - 384 с.
– Режим доступа: http://znanium.com/
4. Куижева С.К. Основы теории вероятностей и математической статистики : учеб. пособие /
С.К. Куижева, Л.Ж. Паланджянц, О.П. Шевякова.- Майкоп : Магарин О.Г., 2010. - 138 с.
5. Мамадалиева Л.Н. Ряды динамики: учеб.- методич. пособие. – Майкоп: Магарин О.Г.,
2011. – 42 с.
6. Петрушкова С.А., Мамадалиева Л.Н. Случайные величины: учеб. пособие. – Майкоп:
Магарин О.Г., 2009. – 56 с.
7. Петрушкова С.А., Мамадалиева Л.Н. Элементы математической статистики: учеб.методич. пособие. – Майкоп: Магарин О.Г., 2010. – 40 с.
8. Математические методы и модели в экономике и управлении (типовые расчеты) : учеб.
пособие / сост.: М.К. Беданоков, Г.В. Шамбалева. - Майкоп: Качество, 2007. - 196 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. http://znanium.com/ - ЭБС
2. http://ibooks.ru/ - ЭБС
3. http://www.exponenta.ru – Образовательный математический сайт Exponenta.ru.
4. http://www. math.ru – Образовательный математический сайт Math.ru.
5. Компьютерные программы: Maple, MathCad и др.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины включает:
1) библиотечный фонд ФГБОУ ВПО «МГТУ»;
2) мультимедийное оборудование для чтения лекций-презентаций.
9. Дополнения и изменения в рабочей программе
за ________/________ учебный год
В рабочую программу ____________________________________________________
(наименование дисциплины)
для направления (специальности) ___________________________________________________
(номер направления (специальности)
вносятся следующие дополнения и изменения:
Дополнения и изменения внес _______________________________________________
(должность, Ф.И.О., подпись)
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
_____________________________________________________________________________
(наименование кафедры)
«____»___________________2011г.
Заведующий кафедрой
__________________
(подпись)
_____________
(Ф.И.О.)