МПМ-«ПРОГРЕССИИx

Внутрипредметный модуль по алгебре в 9-х классах
«Эти известно-неизвестные прогрессии"
Пояснительная записка
Основной целью данного курса является демонстрация посредством последовательностей и
их свойств возможностей математики при применении ее методов в физике, биологии, химии,
экономике и других науках, а значит, и показать необходимость изучения математики для
овладения любой профессией. В процессе обучения учащиеся овладевают рядом интеллектуальных
умений и навыков, развивают творческие способности.
В реальной жизни мы часто встречаемся с различного вида последовательностями. Многие
из них используются в самых различных науках. Например, числа Фибоначчи используются в
хронологии и периодизации древнейшей истории, в архитектуре, искусстве, музыке, биологии,
астрономии, при прогнозировании цен, определяют форму греческих ваз и спиральных галактик,
строение подсолнуха и домика улитки, лежат в основе Фэн-шуй. В «Справочнике по
целочисленным последовательностям» Н. Слоуна собрано и упорядочено 2300 целочисленных
последовательности, а значит и область их применения очень широка. Какую бы профессию не
выбрал ученик в будущем, он обязательно встретится с каким-нибудь числовым рядом.
Основной целью данного курса является демонстрация посредством последовательностей
и их свойств возможностей математики при применении ее методов в физике, биологии, химии,
экономике и других науках, а значит, и показать необходимость изучения математики для
овладения любой профессией.
Основные задачи курса:


повторить основные понятия и формулы по теме «Прогрессии»;
добиться эффективности применения знаний по теме «Прогрессии» в решении задач
повышенного уровня сложности, задач олимпиадного характера и геометрических задач;
 овладеть элементами исследовательской работы
В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны знать:
 понятие арифметической и геометрической прогрессии;
 формулы n-ого члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий;
 методы решения задач на прогрессии;
уметь:
 применять полученные знания и умения при решении заданий олимпиадного характера, задач
геометрической и практической направленности;
 моделировать явления и процессы, самостоятельно составлять задания по аналогии с
решенными.
 работать с литературой.

опознавать и различать виды последовательностей;

задавать произвольную последовательность различными способами;

конструировать новые последовательности;

представлять результаты исследования последовательности;

обсуждать результаты работы, участвовать в дискуссии.
По завершении курса ученики должны будут выполнить небольшую творческую работу по
построению новой последовательности и определению ее свойств и области применения.
Результаты работы необходимо представить в виде творческого отчета.
Занятия могут быть организованы в виде семинаров и уроков-практикумов по решению
задач. Ведущими являются групповые, индивидуальные формы работы. При направляющей роли
учителя школьники могут самостоятельно выдвинуть гипотезу решения задания, провести анализ
данных и определить пути решения. Всё должно располагать к самостоятельной деятельности и
повышать интерес к изучению предмета. Тематика модуля позволяет осуществлять личностноориентированное обучение, дифференцировать и индивидуализировать процесс обучения с учетом
способностей и возможностей каждого ребенка.
ПЛАН ЗАНЯТИЙ
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
№ урока
Наименование тем
76
77
80
81
83
Числовые последовательности. Определение числовой последовательности.
Аналитическое задание числовых последовательностей
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
85
87
Геометрическая прогрессия. Основные понятия.
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Количество
часов
1
1
1
1
1
1
1
8
9
10
89
Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии
91
92
Решение тестовых заданий по теме числовые функции
Зашита проекта

1
1
1
Тематика проектов.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.
1. Старинные задачи.
1) Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же
больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый
больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных.
Сколько нужно дать каждому?
2) В огороде тридцать грядок, каждая длиной 16м и шириной 2,5м. Поливая грядки, огородник
приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14м от края огорода, и обходит грядки по
меже, причем воды приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой
путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.
3) Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на
каждую курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в
действительности число кур каждую неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на
двойной срок. Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан?
4) Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму
покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока; третьему – половину оставшихся и еще поляблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока, после
этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?
5) Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и
возвратил продавцу, говоря:
Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же
получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего
0,25 коп., за второй – 0,5 коп., за третий – 1 коп. и т.д.
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия
продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель
проторговался?
6) Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за
третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб.
35 коп. Спрашивается число его ран.
7) 10 братьев, одна целая две третьих мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько
поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько он выше? (мина
равна 60 шекелям)
8) Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым
человеком и его соседом равна одна восьмая меры.
9) Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету,
чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую
клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна и т.д.
Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты.
10) Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня,
третий - за 3 дня, четвертый - за 4 дня. За сколько времени заполнят бассейн четыре источника
вместе?
2. Разные задачи.
1) Имеется несколько стопок книг. Мы берем с каждой стопки по одной книге и ставим их
стопкой рядом с начальными стопками. Повторим эту операцию. К чему мы придём? И придём ли к
чему-нибудь? Как на результат наших действий повлияет начальная расстановка - количество
стопок и количество книг в них?
2) Выберите число и найдите сумму квадратов его цифр, потом проделайте это с полученной
суммой ещё и ещё раз. Придём ли мы к чему-нибудь?
3)
Найти следующие три числа последовательности и объясните закономерность:
4)
2, 4, 6, 8, 10, 12…
5, 10, 15, 20, 25…
1, 4, 9, 16, 25…
1, 2, 6, 24, 120, 720…
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7…
Сколько различных фигурок можно составить из спичек (без учета расположения головок)?
5)
На сколько кусков можно разрезать блин проводя n-разрезов ножом?
6) Сколькими способами можно разделить выпуклый многоугольник на треугольники с помощью
непересекающихся диагоналей?
7)
Определите, какие из следующих высказываний неверны, а какие верны:
а) каждая последовательность есть множество упорядоченных пар,
б) каждая последовательность есть однозначное отображение,
в) каждая последовательность есть функция,
г) каждая функция есть последовательность,
д) каждая функция есть однозначное отображение.
8)
Запишите числовую последовательность -3, +6, - 12, +24, - 48…
упорядоченных пар
9)
в виде множества
Задайте последовательность из предыдущей задачи всеми известными вам способами.
10)Задайте рекуррентным соотношением последовательность
7, 4, 1, -2, -5, -8…
11) Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток
и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для седьмого ряда?
12)В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты
одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут.
13)Всегда ли 2 числа составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию?
14)Могут ли 3 числа составлять одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию?
15)Даны положительные числа А и С. Найти число В1 такое, чтобы числа А, В1 и С составляли
арифметическую прогрессию. Найти число В2 такое, чтобы числа А, В2 и С составляли
геометрическую прогрессию. Доказать, что В2 < В1.
16)Последовательность коэффициентов квадратного уравнения представляет собой геометрическую
прогрессию. Доказать, что уравнение не имеет корней.
17)Мудрец – изобретатель шахмат в качестве награды за 1-ю клетку шахматной доски попросил 1
зёрнышко пшеницы, за 2-ю клетку – 2 зёрнышка, за 3-ю – 4 зёрнышка, за 4-ю – 8 и т. д. Сколько он
всего попросил зёрен пшеницы? Оценить вес этой пшеницы, если принять массу одного зерна за 0,1
г.
18)Годовая зарплата работника в начале его деятельности составляла 6553,6$. Каждый год ему
увеличивали зарплату на 25% от зарплаты за прошедший год. Определите общий размер заработка
работника за 8 лет.
19) Сумма первых 11-ти членов арифметической прогрессии равна 418. Найдите 6-й член этой
прогрессии.
20) Сумма третьего и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 14, а разность между
пятым и вторым членами равна 6. Найти сумму первых восьми членов этой прогрессии.
21)Сумма первого и третьего членов возрастающей геометрической прогрессии равна 20, а сумма
первых трёх её членов равна 26. Найдите 5-й и 6-й члены этой прогрессии.
22) В геометрической прогрессии b1b3b11 = 8. Найти b2b8.
23) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна S. После того, как из
этой прогрессии вычеркнули каждый пятый член, начиная с третьего(3-й, 8-й, 13-й,…), сумма
возросла и стала равна 7S/11. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
http://festival.1september.ru/articles/589241/