графики функций и графики производных функций

1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на
интервале (– 7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.(в текстовое поле
запишите целое число или десятичную дробь).
Правильный ответ: -3
Комментарии:
Решение показано на рисунке.
-6+(-2)+(-1)+0+1+2+3
2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на
интервале (– 9; 2). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.(в текстовое поле
запишите целое число или десятичную дробь).
Правильный ответ: -17
Комментарии:
Решение показано на рисунке.
-8+(-4)+(-3)+(-2)
3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на
интервале (–11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе
укажите длину наибольшего из них.(в текстовое поле запишите целое число или
десятичную дробь).
Правильный ответ: 6
Чертеж в помощь: Решение показано на рисунке.
4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на
интервале (– 2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе
укажите длину наибольшего из них.(в текстовое поле запишите целое число или
десятичную дробь).
Правильный ответ: 6
Комментарии:
Решение показано на рисунке.
5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на
интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику
функции f(x) параллельна прямой y = – 3x – 11 или совпадает с ней. в текстовое
поле запишите целое число или десятичную дробь).
Правильный ответ: 4
Комментарии:
Решение показано на рисунке.
Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = – 3x – 11 или
совпадает с ней, значит, k = –3.
Геометрический смысл производной f/(x0) = k.
Тогда f/(x0) = –3. Таких точек 4.
6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на
интервале (–9; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику
функции f(x) параллельна прямой y = x – 7 или совпадает с ней.(в текстовое
поле запишите целое число или десятичную дробь).
Правильный ответ: 4
Комментарии:
Решение показано на рисунке.
Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = x – 7 или совпадает с
ней, значит, k = 1.
Геометрический смысл производной f/(x0) = k.
Тогда f/(x0) = 1. Таких точек 4.
7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на
интервале (– 4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x)на отрезке [– 2; 6].(в
текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).
Правильный ответ: 4
Комментарии:
Решение показано на рисунке.
8. На рисунке изображён график функции y = f(x)и касательная к нему в точке с
абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. (в
текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).
Правильный ответ: 1
Комментарии: Решение показано на рисунке.
Геометрический смысл производной f/(x0) = k = tga.
Тангенс угла можно найти из треугольника 6:6 (отношение противолежащего
катета к прилежащему).
9. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. (в
текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).
Правильный ответ: 2
Помощь: Решение показано на рисунке.
Геометрический смысл производной f/(x0) = k = tga.
Тангенс угла можно найти из треугольника 2:1 (отношение противолежащего
катета к прилежащему).
10. На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x)в точке x0. (в
текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).
Правильный ответ: -1
Комментарий:
Можно решить подобные задания и другим способом.
Уравнение прямой у = kx + b.
На чертеже есть две точки (1; 0) и (4; -3).
Подставь в уравнение. Получишь систему уравнений. Найди k.
11. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. (в
текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).
Правильный ответ: 0,25
Комментарий:
1 способ.
Значение производной в точке х0 равно k. Найдем k - это тангенс угла наклона,
который составляет касательная с положительным направлением оси Ох.
Найдем треугольник с целочисленными катетами. На моем рисунке он желтого
цвета. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника - это отношение
противолежащего катета к прилежащему катету. 3 : 12 = 1 : 4 = 0,25
2 способ.
Используем уравнение прямой у = kx + b.
На чертеже есть две удобные точки с целыми координатами (7; -1) и (-5; -4).
Подставим координаты в уравнение. Получим систему уравнений.
1 уравнение -1 = 7k +b; / * (-1)
2 уравнение -4 =-5k +b;
1 уравнение 1 = -7k - b;
2 уравнение -4 = -5k +b;
Теперь сложим два уравнения.
-3 = -12k;
k = -3 : (-12);
k = 0,25.
Источник задач http://mathege.ru:8080/or/ege/Main