Дополнительные усложнялки

Серия 2. Послеповторение
Серия 1. Повторение
1. Пусть О — центр правильного многоугольника A1A2A3...An, X – произ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3 + 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3 + ⋯ + 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑛 = ⃗0; б) 𝑋𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 +
вольная точка. Докажите, что а) 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
𝑋𝐴3 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐴3 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐴𝑛 = 𝑛𝑋𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗ +
2. Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что 𝑆𝐵𝑂𝐶 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝐵𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐴𝑂𝐶 𝑂𝐵
𝑂𝐶 = ⃗0
3. Найдите три последние цифры периодов дробей 1/107, 1/131, не считая
весь период.
4. Найдите такие цифры a и b, что √𝟎, 𝒂𝒂𝒂 … = 𝟎, 𝒃𝒃𝒃 …
5. Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n<5.
6. Найти наименьшее значение выражения а)
б)
x  12  y 2 
в)
x  22  9 
x  32  9  x  22  1 ;
x 2   y  1 ;
2
x 2  y 2  16   y  1 .
2
7. Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников,
имеют общую точку.
8. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD прямоугольника
ABCD, Q – произвольная точка прямой AC, QM и BC пересекаются в точке
P. Докажите, что MN – ось симметрии прямых NQ и NP.
9. Для произвольной точки M описанной окружности треугольника ABC
построены симметричные ей точки относительно прямых, содержащих
стороны этого треугольника. Доказать, что эти образы будут лежать на
одной прямой, проходящей через ортоцентр треугольника.
10.
Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120o . Докажите, что прямые, симметричные прямым AT , BT и CT относительно
прямых BC , CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.
11.Из медиан AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC составлен треугольник KMN, а из
медиан KK1, MM1 и NN1 треугольника KMN — треугольник PQR. Докажите, что
третий треугольник подобен первому и найдите коэффициент подобия.
12.Точка O - центр правильного 105-угольника A1A2…A105. Найти сумму всех векторов OAi, где i - все числа, взаимно простые с числом 105.
13.Имеется 40 газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны . Разрешается соединять любые баллоны друг с
другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения.
При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40
баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?
14.Иррациональный взрыв с эпицентром в точке P удаляет из плоскости все точки, находящиеся на иррациональном расстоянии от точки P. Какое наименьшее количество иррациональных взрывов достаточно для того, чтобы удалить
из плоскости все точки?
15.Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для
любых двух различных элементов a, b из M число a 2  b 2 рационально. Докажите, что для любого a из M число a 2 рационально.
16.Внутри квадрата ABCD расположен квадрат KMLN. Доказать, что середины отрезков AK, BM, CL и DN также являются вершинами квадрата.
17.ABCD − выпуклый четырехугольник, в котором  DBC+ ADC = 90, а
 ACB+2ACD = 180. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACD лежит на прямой BD.
18.Даны k мальчиков и 2k-1 конфета. Докажите, что можно дать каждому мальчику по конфете так, чтобы мальчику, которому не нравится его конфета, не нравились и конфеты остальных мальчиков (чтобы не создавать предпосылок для
драки).
19.В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше десяти платных дорог. Докажите, что все
платные дороги можно раздать десяти компаниям так, чтобы на любом пути
из южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.
Дополнительные усложнялки
Дополнительные усложнялки
20.В лагерь приехали m мальчиков и d девочек. Каждая девочка знакома не более, чем с 10 мальчиками, а каждый мальчик – c какой-то девочкой. Оказалось, что у каждого мальчика больше знакомых девочек, чем у любой знакомой с ним девочки – знакомых мальчиков. Докажите, что d ≥ 1,1m.
30.В лагерь приехали m мальчиков и d девочек. Каждая девочка знакома не более, чем с 10 мальчиками, а каждый мальчик – c какой-то девочкой. Оказалось, что у каждого мальчика больше знакомых девочек, чем у любой знакомой с ним девочки – знакомых мальчиков. Докажите, что d ≥ 1,1m.
21.Прямоугольник m×n (m≤n) называется латинским прямоугольником, если он
заполнен натуральными числами от 1 до n так, что в каждой строчке и в каждом столбце стоят разные числа. Докажите, что латинский прямоугольник
можно дополнить до латинского квадрата n×n.
20.Прямоугольник m×n (m≤n) называется латинским прямоугольником, если он
заполнен натуральными числами от 1 до n так, что в каждой строчке и в каждом столбце стоят разные числа. Докажите, что латинский прямоугольник
можно дополнить до латинского квадрата n×n.
22.Докажите, что прямая, симметричная медиане AM относительно биссектрисы
угла A треугольника ABC, проходит через точку пересечения касательных к
описанной окружности треугольника ABC, проведенных в точках B и C.
21.Докажите, что прямая, симметричная медиане AM относительно биссектрисы
угла A треугольника ABC, проходит через точку пересечения касательных к
описанной окружности треугольника ABC, проведенных в точках B и C.
23.В бесконечной последовательности цифр между каждыми двумя последовательными цифрами можно вставить от 1 до k любых цифр. При каком
наименьшем k можно такими операциями превратить любую последовательность в периодическую?
24.Можно ли в клетки бесконечного клетчатого листа выписать натуральные числа (каждое ровно по оному разу) так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике 1×2004 делилась на 20042+1?
25.Дано n различных натуральных чисел. На доску выписали все их попарные
наибольшие общие делители и наименьшие общие кратные. Докажите, что
среди выписанных чисел есть не менее n различных.
26.В n-элементном множестве выбрано 2n-1 различных подмножеств, любые три
из которых имеют непустое пересечение. Докажите, что все эти подмножества
имеют непустое пересечение.
27.Множество X состоит из n элементов. Какое наибольшее количество трехэлементных подмножеств можно выбрать в нем так, чтобы любые два из них
имели ровно один общий элемент?
28.В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются
"непохожими", если они различаются не менее, чем по 51 признаку. Докажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
22.В бесконечной последовательности цифр между каждыми двумя последовательными цифрами можно вставить от 1 до k любых цифр. При каком
наименьшем k можно такими операциями превратить любую последовательность в периодическую?
23.Можно ли в клетки бесконечного клетчатого листа выписать натуральные числа (каждое ровно по оному разу) так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике 1×2004 делилась на 20042+1?
24.Дано n различных натуральных чисел. На доску выписали все их попарные
наибольшие общие делители и наименьшие общие кратные. Докажите, что
среди выписанных чисел есть не менее n различных.
25.В n-элементном множестве выбрано 2n-1 различных подмножеств, любые три
из которых имеют непустое пересечение. Докажите, что все эти подмножества
имеют непустое пересечение.
26.Множество X состоит из n элементов. Какое наибольшее количество трехэлементных подмножеств можно выбрать в нем так, чтобы любые два из них
имели ровно один общий элемент?
27.В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются
"непохожими", если они различаются не менее, чем по 51 признаку. Докажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
1
29.Докажите, что для любого натурального n верно {𝑛√2} > 2𝑛 2.
√
1
28.Докажите, что для любого натурального n верно {𝑛√2} > 2𝑛 2.
√