Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Ангарский техникум строительных технологий» Производная функций методические указания к самостоятельной работе по учебной дисциплине «Математика» для обучающихся по специальностям СПО Ангарск, 2013г. Рассмотрено и одобрено на заседании ПЦК естественнонаучного цикла Протокол № ____ от «___»______20___г. Председатель ПЦК _____________ Л.Д. Шурмелёва Утверждаю: Директор АТСТ ___________ В.Н. Леснов Рассмотрено и одобрено на заседании методического совета Протокол № ____ от «___»______20___г. Председатель совета, зам.директора по УМР _______________ О.Н. Ермакова Автор: Кезля С.В., преподаватель математики первой квалификационной категории ОГАОУ СПО «Ангарский техникум строительных технологий» Рецензент:Клопцова Л.И., зам. директора по учебной работе, преподаватель математики высшей квалификационной категории ГБОУ СПО «Ангарский автотранспортный техникум» СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка……………………………………………………………………… Основные понятия………………………………………………………………….. Формулы производных функций………………………………………………… Примеры заданий с решениями……………………………………… Задачи для самостоятельного решения……………………………… Литература……………………………………………………… ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины « Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО. Изложение материала строится на основе понятия функции. Сначала читатель знакомится с понятием производной, потом с основными формулами производных функций. Нахождение производной сложной функции вызывает трудности у студентов, так как в повседневной жизни с понятием производной встречаться не приходится. Методические указания написаны для обучающихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания по теме « Производная». Цель методических указаний тем, кто окончил школу, но продолжает изучать математику. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы « Производная функции». Закреплению понятия производной служит рассмотрение примеров вычисления производной по определению. Следует иметь в виду, что основная цель их решения состоит в отработке понятия производной, а не в выработке навыков ее нахождения с использованием определения. Формулы дифференцирования полезно внести в таблицу, которой обучающиеся могут пользоваться в ходе решения задач. Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования. Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы, контрольную работу, списки используемой литературы. Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках экзамена. Производная функции Вводные замечания Пусть это будут расстояния ∆s ∆t В s = s1 и s = s2. Приращение пути ∆s = s2 − s1 мы делим на приращение времени ∆t = t 2 − t1. Частное математике существует понятие дифференциальное исчисление. Источником дифференциального исчисления были два вопроса: 1) о разыскании касательной к произвольной линии, 2) о разыскании скорости при произвольном законе движения. Оба они привели к одной и той же вычислительной задаче, которая и легла в основу дифференциального исчисления. Эта задача состоит в том, чтобы по данной функции f(x) отыскать другую функцию f′′(x) , получившей позднее название производной и представляющую скорость изменения функции f(x) относительно изменения аргумента. В таком общем виде задача была поставлена Ньютоном и в исходной форме Лейбницем в 70-х и 80-х годах 17-го в. Но еще в предыдущие полвека Ферма, Паскаль и другие ученые фактически дали правила для разыскания производных для многих функций. Ньютон и Лейбниц завершили это развитие; они ввели общие понятия производной, а также обозначения, очень облегчавшие вычисления. Скорость Чтобы определить скорость поезда, мы отмечаем, на каком километре пути он находился в момент времени t = t1 , а затем в момент t = t 2. дает среднюю скорость поезда за промежуток (𝑡1, 𝑡2 ). При неравномерном движении средняя скорость нед но характеризует быстроту движения в момент 𝑡 = 𝑡1 . Но чем меньше ∆𝑡, тем точнее характеризуется эта быстрота. Поэтому скоростью в момент времени 𝑡 = 𝑡1 называют предел, к которому стремится отношение ∆𝑠 при∆𝑡 ∆𝑡 → 0. ∆𝑠 . ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑣 = lim п. 1 Общие понятия Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑥) − непрерывная функция в своей области определения 𝐷(𝑓)и на промежутке (𝑎, 𝑏), и пусть 𝑥 − кака − либо точка этого промежутка. Дадим аргументу 𝑥 приращение ∆𝑥. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) получит приращение ∆𝑦. При бесконечно малом ∆𝑥 приращение ∆𝑦 тоже бесконечно мало. ∆𝑦 Рассмотрим отношение . Оно дает среднюю скорость изменения функции 𝑦 относительно аргумента 𝑥 ∆𝑥 к которому стремится отношение ∆𝑦 при ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑦 сам является функцией от аргумента 𝑥. Этот предел носит название производной ∆𝑥→0 ∆𝑥 → 0 т. е. lim и обозначается 𝑦 , . Определение. Производной функции называется предел, к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Основные правила дифференцирования Непосредственное вычисление производной функции с помощью предела представляет собой громоздкие вычисления. Значительно проще вычислять производные, применяя правила дифференцирования. Правило 1. Дифференцирование постоянной. Если y=C=const, то 𝑦 ′ = 0. Правило 2. Дифференцирование алгебраической суммы. ′ (𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥)) = 𝑢′ (𝑥) + 𝑣 ′ (𝑥) Правило 3. Дифференцирование произведения (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′ = 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥) Правило 4. Дифференцирование частного 𝑢(𝑥)′ 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥) ( )= 𝑣(𝑥) 𝑣 2 (𝑥) Производная сложной функции 𝑦 ′ (𝑓(𝑢)) = 𝑓 ′ (𝑢)𝑢′ Производная степенной функции (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1 −𝑝 (𝑥 −𝑝 )′ = −𝑝𝑥 −𝑝−1 = 𝑝+1 𝑥 Производная иррациональной функции. Если В частности, если , то , то Производные тригонометрических функций (sin х)′ = cos х (sin(𝑘𝑥 + 𝑏))′ = 𝑘 cos(𝑘𝑥 + 𝑏) (cos х)′ = − sin х (cos(𝑘𝑥 + 𝑏))′ = −𝑘 sin(𝑘𝑥 + 𝑏) 1 (𝑡𝑔𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 Производная логарифмической функции ((log 𝑎 𝑥)′ = 1 𝑥 ln 𝑎 1 (ln 𝑥)′ = 𝑥 (ln(𝑘𝑥 + 𝑏))′ = 𝑘 𝑘𝑥 + 𝑏 Производная показательной функции ′ (𝑎 𝑥) = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 ′ (𝑒 𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑒𝑘𝑥+𝑏) )′ = 𝑘𝑒 𝑘𝑥+𝑏 Пример 1 Вычислить производную функции . Решение. Применим правило суммы, Вынесем постоянные множители за знак производной Найдем производные степенных функций Окончательно получаем Пример 2 Вычислить производную функции Решение. Производная постоянной величины равна нулю. Пример 3 . Найти производную функции . Решение. По правилу суммы Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, пол Пример 4 Вычислить производную функции . Решение. Перепишем функцию в виде: Используем формулу производной суммы нескольких функций: Вынесем постоянные множители и вычислим производные степенных функций: Здесь мы использовали выражение Пример 5 . После упрощения получаем Найти производную функции . Решение. Перейдем к записи в степенной форме: Производная разности функций равна разности производных этих функций: Вычисляя производные степенных функций, получаем Пример 6 Найти производную функции . Решение. Дифференцируя данную показательную функцию как сложную, находим Пример 7 Вычислить производную функции . Решение. По правилу дифференцирования сложной функции находим Упрощаем: Применив формулу двойного угла , получаем окончательный ответ Пример 1 Найти производную функции В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен функцией (вложением), а является внутренней – внешней функцией. Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней. многочлен и будет внутренней функцией : синус – будет внешней функцией: После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции . Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих: Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае: Обратите внимание, что внутренняя функция трогаем. не изменилась, её мы не Ну и совершенно очевидно, что Результат применения формулы так: в чистовом оформлении выглядит Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая: Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения: Готово Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения. Пример 3 Найти производную функции Как всегда записываем: Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя, значит, многочлен – и есть внутренняя функция: степенная функция – это внешняя функция: Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий: Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции внутренняя функция у нас не меняется: , Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат: Готово. Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так? Пример 6 Пример 6 Найти производную функции корень, его нужно представить в виде степени Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференциро . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид: Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции : Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции : Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы: Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять). Пример 8 Найти производную функции Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель: 5. Самостоятельная работа(5мин). Вариант 1 1.Найдите производную функции x3 f ( x) 0,5 x 2 3x 2 , 6 2.Найдите f (x) , если f ( x) x x . а) 3 2 x ; б) 2 2 x ; в) ; г) 1,5 x . 3 3 x 3.f(x)=4x+x². Решите уравнение f ( x) 0 . а) -2; б) 2 ; в) - 2 ; г) 2. Вариант 2 1.Найдите производную функции x3 1,5 x 2 5 x 3 , 6 2.Найдите f (x) , если f ( x) x x . f ( x) 3 2 x ; в) 1,5 x ; г) . 3 2 x 3 x 3.g(x)=6x+3x². Решите уравнение g ( x) 0 . а) 2 ; б) а) 1; б) 3; в) 0; г) -1. Ответы: Вариант1. 1. х²/2-х-3 2. г 3. а Вариант2. 1. -х²/2+3х+5 2. в 3. г А1. Найдите производную функции: а) у 2 е х ; б ) у 9е х 5х; в ) у 3х е х ; г ) у 10е х . А2. Найдите производную функции: а) у 2х cos x; б ) у x e x ; в) у 4 х 7е х . А1. Найдите производную функции: а) у 5е х ; б ) у 12е х 45; в) у А2. Найдите производную функции: а) у 3х 2sin x; б) у 2 x ex ; А1. Найдите производную функции: . А2. Найдите значение производной функции х 2 е3 х ; 2 х г ) у 3е х . в) у 5 х 3е х . В1. Найдите производную функции: ЛИТЕРАТУРА 1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл./Ш.А. Алимов – М.: Просвешение, 5012. 2. Повторяем и систематизируем курс алгебры и начала анализа: / В.С. Крамор – М.: Просвещение, 2009. 3. Гусев В.А. Математика : учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / С.Г.Григорьев,С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева.-М.: Академия,2011 4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ :Астрель, 2006. 3. Кутасов А.Д. Пособие по математике для поступающих в вузы/ А.Д. Кутасов; под редакцией Г.Н. 5. Яковлева. – М. : «НАУКА», 2005 – 93с. 6. Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу / О.Н. Доброва. – М.: « Просвещение», 2008 .