Б3.В.23 Теория алгоритмов

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по дисциплине (модулю).
Общие сведения
1.
Кафедра
2.
Направление подготовки
3.
4.
Дисциплина
Тип заданий
Количество этапов формирования
компетенций (ДЕ, разделов, тем и т.д.)
5.
Математики и математических методов в
экономике
050100 «Педагогическое образование»,
профиль «Математика, Информатика»
Б3.В.23 Теория алгоритмов
Задача
8
Перечень компетенций
ОК-1: владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения
ОК-6: способностью логически верно выстраивать устную и письменную речь
ОК-7: готовностью к взаимодействию с коллегами, к работе в коллективе
ОК-8: готовностью использовать основные методы, способы и средства получения,
хранения, переработки информации, готовностью работать с компьютером как средством
управления информацией
ПК-1: способностью разрабатывать и реализовывать учебные программы базовых и
элективных курсов в различных образовательных учреждениях
ПК-3: готовностью применять современные методики и технологии, методы
диагностирования достижений обучающихся для обеспечения качества учебновоспитательного процесса
Критерии и показатели оценивания компетенций
Знания: основные теоретические сведения об алгоритмах (алгоритм, исполнитель алгоритма,
алгоритмически трудные и неразрешимые задачи, различные виды и типы алгоритмов), теория
формального описания алгоритмов с помощью машины Тьюринга, нормальных алгоритмов
Маркова, вычислимых и рекурсивных функций.
Умения: строить программы машины Тьюринга, машины Поста, алгоритмы Маркова, доказывать
рекурсивность числовых функций; определять класс задач, разрешимых за время, ограниченное
полиномом от длины входа; решать задачи построения, вычисления, преобразования,
доказательства вычислимых функций; оценивать и вычислять полноту и сложность алгоритма.
Навыки: решения типовых задач теории алгоритмов
Опыт деятельности: в результате освоения дисциплины студент должен приобрести опыт,
позволяющий, опираясь на современные подходы, получать положительные результаты,
отвечающие определенным требованиям.
Этапы формирования компетенций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Алгоритмы в математике. Числовые функции и алгоритмы их вычисления
Классические алгоритмы. Алгоритмы криптографии
Перечислимые и разрешимые множества. Вычислимость, разрешимость и перечислимость
Машины Тьюринга. Конструирование машин Тьюринга
Марковские алгоритмы
Рекурсивные функции
Рекурсивные предикаты и нумерация примитивно рекурсивных функций
8. Алгоритмически неразрешимые проблемы
Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл)
«2» – 60% и менее
«3» – 61-80%
«4» – 81-90%
«5» – 91-100%
Типовые задачи
Машины Тьюринга
1. Имеется машина Тьюринга с внешним алфавитом
А=
,q1
q11
, алфавитом внутренних состояний Q=
a0 ,1
и программой, заданной командами: q0a0
q0
q01,
q11П. Определите, в какое слово
перерабатывает машина каждое из следующих
слов, если она находится в начальном состоянии
q0 и обозревает указанную ячейку:
а) 1a011a0 a011 (обозревается ячейка 4, считая слева);
б) 11a0111a01 (обозревается ячейка 2);
в) 1a0 a0111 (обозревается ячейка 3);
г) 1111a011 (обозревается ячейка 4);
д) 1a0 1111
е) 1a0 11 a0111
2. Докажите, что следующие функции вычислимы по
Тьюрингу, построив машины Тьюринга,
вычисляющие их:
а) f(x, y)= x+y;
б) f(x, y)= xy;
в) f(x, y)=НОД (x, y).
Рекурсивные функции и нормальные алгоритмы Маркова
1.Найдите функцию h(m,k) в рекуррентной формуле f
(n
(n)
1)
2
n, f (n)
h
4 ...
(2n
для одноместной функции f (n) :f
2)
2n .
2. Найдите функции g и h в рекурсивной формуле
для двухместной функции f (x, y) , если рекурсия
проводится: 1) по переменной x; 2) по переменной
y:f (x, y)
y
2x .
3. Найдите функции g и h в рекурсивной формуле
для трехместной функции
(x,y,z), если рекурсия
проводится по переменной y:f (x, y)
y
2x .
4. Найдите рекурсивные формулы для двухместной
функции (x,y), если рекурсия проводится по x:
f (x, y)
(x
y)2 .
5. Найдите рекурсивные формулы для трехместной
функции (x,y,z) , если рекурсия проводится по x:
f (x, y, z)
(x
z)
y .
6. Докажите, что двухместная функция
(x,y)
принадлежит классу п.р.ф., если рекурсия
проводится по y:
f (x, y)
2x
y
2 .
7. Пусть для слов в алфавите А={а,b , с, d } заданы
следующие марковские подстановки:
а) a b
d c ;
б) b e а.
Примените каждую из них к слову a b e d d a c b a
Вопросы к экзамену
1. Понятие алгоритма (неформальное определение).
2. Основные черты алгоритмов.
3. Необходимость уточнения понятия алгоритма.
4. Конструктивные объекты и счетные множества.
5. Алгоритмы и функции. Вычислимые функции.
6. Простейшие функции и их вычислимость.
7. Оператор суперпозиции S.
8. Оператор примитивной рекурсии R.
9. Определение примитивно рекурсивной функции. Примеры.
10. Операция введения фиктивных переменных.
11. Оператор минимизации M.
12. Определение частично рекурсивной функции.
13. Вычислимость частично рекурсивной функции.
14. Тезис Черча.
15. Описание и работа машины Тьюринга.
16. Вычисление значений функций на машине Тьюринга.
17. Тезис Тьюринга.
18. Применение машины Тьюринга к словам.
19. Вербальные алгоритмы.
20. Алфавит и схема нормального алгоритма.
21. Работа нормального алгоритма.
22. Примеры нормальных алгоритмов.
23. Принцип нормализации.
24. Примеры разрешимых множеств.
25. Разрешимые предикаты.