1 тур - задачи x
advertisement
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Центр математического образования школьников, УдГУ IV Ижевский командный турнир математиков 1 тур, 3 февраля 2012 г., 6 класс, высшая лига 1. Ведущий загадал число от 1 до 12. Ему можно написать на бумажке сразу несколько вопросов про это число, на которые предполагается ответ может ответить «да» или «нет». После этого ведущий отвечает честно отвечает на вопросы, но в произвольном порядке, причем зрители не знают, в каком именно. Какое наименьшее число вопросов нужно задать, чтобы гарантированно узнать задуманное число? 2. Некоторые цифры заменили буквами, причем разные цифры заменили на разные буквы, а одинаковые – на одинаковые. Докажите, что произведение ИЖЕВСК·(И·Ж·Е·В·С·К)·(ИЖ·ЕВ·СК)·(ИЖЕ·ВСК) (первое число – шестизнач ное, потом шесть однозначные, потом три двузначных и в конце два трехзначных) делится на 9. 3. Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на два треугольника с одинаковым периметром? 4. Каждое целое число от 1 до 12 написали на двух карточках. Можно ли разложить все 24 получившиеся карточки в две стопки так, чтобы произведение всех чисел из одной стопки было в 3 раза больше произведения всех чисел из второй стопки? 5. Шахматная фигура «слонёнок» может бить только соседнюю по диагонали клетку. Какое наибольшее количество «слонят» можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы они не били друг друга? 6. В строчку без пробелов выписаны последовательные натуральные числа (123456789101112131415…). Найдите в этой строчке первый кусок длины 2012, в котором встречается не более трех различных цифр. 7. Купец продаёт двух коней с сёдлами, причем цена одного седла 120 рублей, а другого — 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешёвым, а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешёвым. Каков а цена каждого коня? 8. Аня, Саша и Витя и Настя решали контрольную, на которой задали 9 задач. Могло ли быть так, что Аня списала семь задач у Саши, Саша списал семь задач у Вити, Витя списал семь задач у Насти, а Настя списала семь задач у Ани? 9. Турист проехал от А до Б за 3 дня. В первый день он проехал 1/5 всего пути и еще 60 км, во второй день — 1/4 всего пути и еще 20 км, а в третий день — 23/80 всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами А и Б. 10. Существуют ли такие различные натуральные числа n и m, большие 30, что n! и m! дают одинаковые остатки при делении и на 29, и на 41? Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Центр математического образования школьников, УдГУ IV Ижевский командный турнир математиков 1 тур, 3 февраля 2012 г., 6 класс, первая лига 1. Ведущий загадал число от 1 до 12. Ему можно написать на бумажке сразу несколько вопросов про это число, на которые предполагается ответ может ответить «да» или «нет». После этого ведущий отвечает честно отвечает на вопросы, но в произвольном порядке, причем зрители не знают, в каком именно. Придумайте, как задать 11 вопросов и угадать задуманное число? 2. Некоторые цифры заменили буквами, причем разные цифры заменили на разные буквы, а одинаковые – на одинаковые. Докажите, что произведение ИЖЕВСК·И·Ж·Е·В·С·К (первое число – шестизначное, остальные – однозначные) делится на 3. 3. Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на два треугольника с одинаковым периметром? 4. Каждое целое число от 1 до 12 написали на одной карточках. Можно ли разложить все 12 получившихся карточек в две стопки так, чтобы произведение всех чисел из одной стопки было в 3 раза больше произведения всех чисел из второй стопки? 5. Сёла A, B, C, D и E расположены друг за другом по шоссе на расстоянии 5 км друг от друга. Автобус курсирует по шоссе от села A до села E и обратно. Автобус расходует 20 литров топлива на каждые 100 километров. В каком селе кончится топливо у автобуса, если изначально в его баке было 125 литров? 6. В строчку без пробелов выписаны последовательные натуральные числа (123456789101112131415…). Найдите в этой строчке первый кусок длины 14, в котором встречается не более трех различных цифр. 7. Аня, Саша и Витя и Настя решали контрольную, на которой задали 9 задач. Могло ли быть так, что Аня списала семь задач у Саши, Саша списал семь задач у Вити, Витя списал семь задач у Насти, а Настя списала семь задач у Ани? 8. Разрежьте все поле на одинаковые участки таким образом, чтобы на каждом участке оказалось ровно по одному дачнику. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Центр математического образования школьников, УдГУ IV Ижевский командный турнир математиков 1 тур, 3 февраля 2012 г., 7 класс, высшая лига 1. Все стороны шестиугольника покрашены в красный цвет. Сколькими способами можно покрасить в красный и синий цвета все его диагонали так, чтобы у каждого треугольника с вершинами в вершинах шестиугольника была хотя бы одна красная сторона (не обязательно использовать оба цвета)? 2. Каждый этаж 14-этажного дома в городе Телепорт разделен на одинаковые квадратные комнаты, образующие квадрат 7×7. Все комнаты на каждом этаже объединены в квартиры, которые в плане представляют собой прямоугольники ширины 1. Докажите, что найдутся две одинаковые квартиры, находящиеся на разных этажах (не обязательно соседних) точно одна над другой. 3. На доске n×n поставлено несколько фишек, причем для каждой фишки все клетки, расположенные правее или ниже неё, заняты фишками. Пусть в i-той сверху строке содержится ai фишек, в j-том слева столбце – bj фишек. Докажите, что наборы чисел a1–1, a2–2, a3–3, …, an–n и b1–1, b2–2, b3–3, …, bn–n совпадают. 4. Назовем красивым разбиение треугольника на подобные ему треугольники, никакие два из которых не равны по размерам. Докажите, что для любого прямоугольного треугольника существует красивое разбиение. 5. Докажите, что из любых 2012 чисел можно выбрать несколько (возможно, одно) так, что сумма выбранных чисел отличается от ближайшего к ней целого числа менее, чем на 1 2011 . 6. Существуют ли два числа a и b таких, что a2011 не делится на b и b2011 не делится на a, но a2012 делится на b и b2012 делится на a? 7. В Грифсвальде есть три школы A, B и C, в каждой из которых учится, по крайней мере один ученик. Среди любых трех школьников из трех разных школ есть два знакомых друг с другом и два незнакомых друг с другом. Докажите что по крайней мере одно из следующих утверждений верно: «какойто ученик из A знает всех учеников из B»; «какой-то ученик из B знает всех учеников из C»; «какой-то ученик из C знает всех учеников из A». 8. Каждая клетка доски 8×8 покрашена в чёрный или белый цвет. За один ход перекрашиваются в противоположный цвет все клетки, имеющие чётное количество чёрных соседних (по стороне) клеток, и остаются окрашенными в прежний цвет все клетки, имеющие нечётное количество чёрных соседних (по стороне) клеток. Существует ли раскраска доски, которая остаётся неизменной? 9. В течении полугода учитель по математике ставила школьникам «1», «2», «3», «4», иногда «5». В итоге среднее арифметическое всех Вовочкиных оценок оказалось равным 3,5. Тогда он попросил учительницу заменить каждую его четверку на две оценки – одну «3» и одну «5». Учительница с удовольствием это сделала. Понизилась или повысилась после этой операции средняя оценка Вовочки? Найдите её наибольшее возможное значение после такой операции. 10. Биссектрисы углов треугольника ABC пересекаются в точке I. Известно, что CA+AI = BC. Найдите отношение углов BAC и CBA. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Центр математического образования школьников, УдГУ IV Ижевский командный турнир математиков 1 тур, 3 февраля 2012 г., 7 класс, первая лига 1. Все стороны пятиугольника покрашены в красный цвет. Сколькими способами можно покрасить в красный и синий цвета все его диагонали так, чтобы у каждого треугольника с вершинами в вершинах пятиугольника была хотя бы одна красная сторона (не обязательно использовать оба цвета)? 2. Каждый этаж 14-этажного дома в городе Телепорт разделен на одинаковые квадратные комнаты, образующие квадрат 7×7. Все комнаты на каждом этаже объединены в квартиры, которые в плане представляют собой прямоугольники ширины 1. Докажите, что найдутся две одинаковые квартиры, находящиеся на разных этажах (не обязательно соседних) точно одна над другой. 3. Докажите, что нельзя отметить на плоскости 10 красных, 10 синих и 10 зеленых точек, все расстояния между которыми различны, так, чтобы для каждой красной точки ближайшая к ней цветная была синей, для каждой синей — зелёной, а для каждой зелёной — красной. 4. Существуют ли два числа a и b таких, что a не делится на b и b не делится на a, но a2 делится на b и b2 делится на a? 5. Каждая клетка доски 8×8 покрашена в чёрный или белый цвет. За один ход перекрашиваются в противоположный цвет все клетки, имеющие чётное количество чёрных соседних (по стороне) клеток, и остаются окрашенными в прежний цвет все клетки, имеющие нечётное количество чёрных соседних (по стороне) клеток. Существует ли раскраска доски, которая остаётся неизменной? 6. В кругу стоит 2012 коротышек, и у каждого из них красный, синий или зелёный капюшон. Незнайка утверждает, что среди любых семи подряд идущих коротышек, не меньше двух имеют красный капюшон, не меньше двух – синий, не меньше двух – зелёный. Может ли такое быть? 7. Может ли произведение трех натуральных чисел в 7 раз больше их суммы, если одно из трех слагаемых в полтора раза больше суммы двух других? 8. В треугольнике АВС А = 120°, В = 20°, биссектриса угла А равна 2 см. На сколько сантиметров отрезок ВС больше отрезка АВ?
