3 тур - задачиx
advertisement
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Центр математического образования школьников, УдГУ IV Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 5 февраля 2012 г., 6 класс, высшая лига 1. На поляне пасутся 100 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось ровно в три раза. Докажите, что до полудня на поляне можно было найти несколько участков, на которых в сумме паслось ровно 25 коз. 2. B мешке лежaт белые и крaсные шaры. Baся вынул один шaр, зaтем зaглянул в мешок и скaзaл: «5/7 остaвшиxся шaров — белые», после чего положил шaр обрaтно в мешок. Зaтем один шaр вынулa Мaшa, зaглянулa в мешок и скaзaлa: «12/17 остaвшиxся шaров —белые». Cколько шaров было в мешке первонaчaльно? 3. В лесу собрали 36 грибов - рыжиков, груздей и подберёзовиков. Известно, что среди любых 25 из этих грибов не меньше 5 груздей, среди любых 27 – не меньше 2 рыжиков, а среди любых 31 гриба не меньше 4 подберёзовиков. Найти число грибов каждого вида. 4. Из пунктов А и Б, расстояние между которыми 60 километров, в направлении пункта В одновременно выехали два поезда и через некоторое время одновременно прибыли в В. Если бы один из них ехал быстрее на 25 км в час, а другой – на 20 км в час, то их прибытие в В тоже было бы одновременным, но на 2 часа раньше. Найти первоначальные скорости поездов. 5. В каждой из 8 кучек различное число камней. Известно, что каждую из кучек можно полностью разложить по остальным так, что число камней во всех них станет равным. Каким может быть минимальное число камней в самой большой кучке? 6. Найдите наименьшее такое натуральное n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) будет делиться на 106. число n, что 7. В начале игры есть 100 одинаковых квадратов. Каждым ходом игрок выбирает из имеющегося набора некоторые два прямоугольника, которые можно склеить по стороне в один прямоугольник, и склеивает их. Двое ходят по очереди. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто из игроков может победить при любой игре противника? 8. Имеется 200 гирек массами 1, 2, 3,…, 200 граммов. Они разложены по 100 штук на две чаши весов. На каждой гирьке написано, сколько гирек на противоположной чаше легче неё. Докажите, что сумма чисел, написанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, написанных на гирьках правой чаши, тогда и только тогда, когда весы в равновесии. 9. Имеется система дорог, образующих правильный шестиугольник. В одной из вершин перекрестков стоит автомобиль. Каждую минуту какие-то две дороги из шести открываются для движения и за это время автомобиль, если может, успевает переехать на соседний перекресток, где еще не был. Известно, что никакая пара дорог не открывается более одного раза. В итоге автомобиль добрался до первоначальной вершины. Какое максимальное время он мог находиться в пути? 10. Какой максимальный остаток может давать трѐхзначное число при делении на свою сумму цифр? Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Центр математического образования школьников, УдГУ IV Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 5 февраля 2012 г., 6 класс, первая лига 1. В записи 10-значного числа были использованы все 10 цифр. Начав слева, вместо каждой цифры написали количество цифр, которые расположены справа от неё и меньше её. Получили число 4333222110. Каким было первоначальное число? 2. У Пети по русскому языку в журнале стоят только двойки и тройки. Добрая фея просматривает оценки слева направо и, как только наход ит тройку и двойку (или двойку и тройку), идущие подряд, превращает их в пятерку. Докажите, что, если бы фея просматривала оценки справа налево, то пятерок у Пети получилось бы столько же. 3. B мешке лежaт белые и крaсные шaры. Baся вынул один шaр, зaтем зaглянул в мешок и скaзaл: «5/7 остaвшиxся шaров — белые», после чего положил шaр обрaтно в мешок. Зaтем один шaр вынулa Мaшa, зaглянулa в мешок и скaзaлa: «12/17 остaвшиxся шaров —белые». Cколько шaров было в мешке первонaчaльно? 4. Произведение трех натуральных чисел оканчивается на 2012, а их сумма четна. Докажите, что среди них есть число, кратное 4. 5. У Карабаса-Барабаса есть три шкатулки: медная, серебряная и золотая, и четыре монеты: золотая, серебряная и две медных. Карабас одну монету оставил себе, а остальные три положил в шкатулки (в каждую по одной). На золотой шкатулке написано: «В серебряной и медной лежат разные монеты», на серебряной: «В золотой и медной лежат одинаковые монеты», на медной: «Во всех трех шкатулках нет золотой монеты». Известно, что надпись на шкатулке верна тогда и только тогда, когда в ней лежит монета из того же материала, что и шкатулка. В противном случае надпись ложна. Какая монета лежит в серебряной шкатулке? 6. В лесу собрали 36 грибов - рыжиков, груздей и подберёзовиков. Известно, что среди любых 25 из этих грибов не меньше 5 груздей, среди любых 27 – не меньше 2 рыжиков, а среди любых 31 гриба не меньше 4 подберёзовиков. Найти число грибов каждого вида. 7. Петя нарисовал 3 красных и 3 синих прямых и отметил те точки пересечения, через которые проходят прямые разных цветов. Могло ли оказаться, что отмечена ровно половина всех точек пересечения? 8. Произведение 2012 и некоторого натурального числа является пятизначным. Верно ли, что у этого пятизначного числа цифры в разряде тысяч и в разряде единиц совпадают? Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Центр математического образования школьников, УдГУ IV Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 5 февраля 2012 г., 7 класс, высшая лига 1. На поляне пасутся 100 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось ровно в три раза. Докажите, что до полудня на поляне можно было найти несколько участков, на которых в сумме паслось ровно 25 коз. 2. Плоскость разбита прямыми на квадраты площадью 100 см2. Как с помощью бесконечной линейки без делений получить квадрат площадью 81 см2? 3. В клетках квадратной доски 8×8 расставлены крестики так, что каждый квадрат 2×2 клетки содержит ровно 2 крестика. Доказать, что в четырѐх угловых клетках доски тоже записаны ровно 2 крестика. 4. Из пунктов А и Б, расстояние между которыми 60 километров, в направлении пункта В одновременно выехали два поезда и через некоторое время одновременно прибыли в В. Если бы один из них ехал быстрее на 25 км в час, а другой – на 20 км в час, то их прибытие в В тоже было бы одновременным, но на 2 часа раньше. Найти первоначальные скорости поездов. 5. 100 точек, делящие окружность на 100 равных дуг, попарно соединены 50 хордами. Докажите, что среди этих хорд обязательно найдутся две одинаковой длины. 6. В начале игры есть 100 одинаковых квадратов. Каждым ходом игрок выбирает из имеющегося набора некоторые два прямоугольника, которые можно склеить по стороне в один прямоугольник, и склеивает их. Двое ходят по очереди. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто из игроков может победить при любой игре противника? 7. Имеется 200 гирек массами 1, 2, 3,…, 200 граммов. Они разложены по 100 штук на две чаши весов. На каждой гирьке написано, сколько гирек на противоположной чаше легче неё. Докажите, что сумма чисел, написанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, написанных на гирьках правой чаши тогда и только тогда, когда весы в равновесии. 8. На доске выписаны все целые числа от 1 до n. Сеня посчитал, сколько всего цифр выписано. Оказалось, что это трёхзначное число, которое записывается теми же цифрами, что и n, но в обратном порядке. Найдите n. 9. Точка E – середина медианы AD треугольника ABC. Известно, что BE = CD, F – точка пересечения пря- мой CE и отрезка AB. Докажите, что FA = FE. 10. Имеется система дорог, образующих правильный шестиугольник. В одной из вершин перекрестков стоит автомобиль. Каждую минуту какие-то две дороги из шести открываются для движения и за это время автомобиль, если может, успевает переехать на соседний перекресток, где еще не был. Известно, что никакая пара дорог не открывается более одного раза. В итоге автомобиль добрался до первоначальной вершины. Какое максимальное время он мог находиться в пути? Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Центр математического образования школьников, УдГУ IV Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 5 февраля 2012 г., 7 класс, первая лига 1. Юля, Семен, Василиса, Илларион и Татьяна Петровна ели конфеты (причем, не деля их на части). Когда все конфеты кончились, их спросили: «Кто сколько съел конфет?» На что они ответили: Юля: «Я и Василиса съели 97 конфеты»; Семен: «Я и Илларион съели 234 конфеты»; Василиса: «Я, Семен и Татьяна Петровна съели 153 конфет»; Илларион: «Я, Татьяна Петровна и Юля съели 277 конфет». После этого Татьяна Петровна сказала, что так быть не могло. Почему она пришла к такому выводу? 2. 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены 5 хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды равной длины? 3. Найдите наименьшее такое натуральное число n, что n(n+1)(n+2)(n+3) будет делиться на 2000. 4. У Пети по русскому языку в журнале стоят только двойки и тройки. Добрая фея просматривает оценки слева направо и, как только находит тройку и двойку (или двойку и тройку), идущие подряд, превращает их в пятерку. Докажите, что, если бы фея просматривала оценки справа налево, то пятерок у Пети получилось бы столько же. 5. Плоскость расчерчена на равносторонние треугольники, как показано на рисунке. Найдите величину угла АВС. 6. В каждую клетку квадрата 3×3 записано целое число. При этом сумма чисел в каждой строке кроме первой на 1 больше, чем в предыдущей, и сумма чисел в каждом столбце кроме первого в 4 раза больше, чем в предыдущем. Докажите, что сумма чисел во второй строке делится на 7. 7. Петя нарисовал 3 красных и 3 синих прямых и отметил те точки пересечения, через которые проходят прямые разных цветов. Могло ли оказаться, что отмечена ровно половина всех точек пересечения? 8. Даны два треугольника. Сумма двух углов первого равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого также равна некоторому углу второго. Докажите, что первый треугольник – равнобедренный.
