Примерное оформление решения заданий из части

ПРИМЕРНОЕ ОФОРМЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ИЗ ЧАСТИ «С».
С1. Найдите координаты точек пересечения графиков функций
у  х 2  3х  х 2  3х  16 и у  2 х 2  6 х  4 .
Решение. В точке пересечения графиков значения функций равны, следовательно, для
нахождения абсциссы этой точки нужно решить уравнение:
х 2  3х  х 2  3х  16  2х 2  6 х  4 .
Обозначим х 2  3 х  t , тогда уравнение принимает вид: t  t  16  2t  4 .
Возведём обе части уравнения в квадрат и получим t  2 t  t  16  t  16  2t  4 .
2 t  t  16  12 , t  t  16  6 .
Обе части полученного уравнения возведём в квадрат и получим t  t  16  36 , или
t 2  16t  36  0 . Отсюда t  18 или t  2 .
Сделаем проверку корней.
При t  18 получаем: 18  18  16  2  18  4 , 4 2  4 2 . Значит, 18 – корень уравнения.
Выполним преобразования
При t  2 значение  2 не существует, следовательно, - 3  посторонний корень.
Найдём координаты точек пересечения: так как х 2  3 х  t , то х 2  3 х  18 , значит
х  6 или х  3 .
Тогда у  2  32  6  3  4  18  18  4  32  4 2 .
Замена переменной является в данном случае тождественным преобразованием и не
приводит ни к потере корней, ни к приобретению новых. Следовательно, координаты точек
пересечения равны 3;4 2 и  6;4 2 .

 

Ответ: 3;4 2 и  6;4
С2. Решите уравнение
 
2 .

4  2 х  1  5  4 х2  2 х4  6 .
Решение. Приведём степени к одному основанию. Получим уравнение, равносильное
данному: 4  2 х  1  5  2 2 х  4  2 х  4  6 . Пусть 2 х  у . Тогда уравнение принимает вид:
4  у  1  80 у 2  16 у  6, или 40 у 2  8 у  3  2  у  1  0 . Это уравнение, используя
определение модуля, заменим равносильной ему совокупностью систем:
 у  1,
0  y  1,
или


2
2
40 у  8 у  3  2 у  1  0;
40 y  8 y  3  2( y  1)  0.
Уравнение первой системы приведем к виду 40 у 2  6 у  1  0 . По формуле корней
1
1
квадратного уравнения получаем у  или у   . Это посторонние решения, так как не
10
4
выполняется условие у  1 . Следовательно, система решений не имеет.
Уравнение второй системы приведем к виду 8 у 2  2 у  1  0 . По формуле корней
1
1
квадратного уравнения получаем у   или у  . Неравенству 0  y  1, удовлетворяет
2
4
1
корень у  , который и является решением совокупности систем.
4
1
Итак, 2 х  , следовательно х  2 .
4
Ответ: -2.
1
С4. Найдите все значения а, при которых область определения функции
 ax 
у  log 17 а  ln
 содержит отрезок длиной 5, состоящий из положительных чисел.
 3x  a 
Решение. Так как 17 + а является основанием логарифма, то по определению логарифма
17  a  0, 17  a  1 . Для таких значений параметра а, найдем область определения:
ax
ax
a  x  3x  a
4x
x  D y   ln
 0, 
 1, 
 0, 
 0, 
3x  a
3x  a
3x  a
3x  a
совокупности систем:
 x  0,
 x  0,
a / 3  x  0,
или 
 

3x  a  0;
0  x  a / 3.
3x  a  0;
Рассмотрим последнюю совокупность неравенств в зависимости от значений параметра а.
1) при а = 0, эта совокупность не имеет решений;
a
a
2) при a  0 число  отрицательно и поэтому у неравенства   x  0 нет
3
3
положительных решений. Значит, такие значения параметра а, не удовлетворяют
условию задачи;
a
a
3) при a  0 число  положительно и поэтому у неравенства   x  0 нет решений.
3
3
a


Значит D  y    0;  .
3

Этот интервал состоит из положительных чисел. Он содержит отрезок длиной 5, только если
a
его длина больше 5, т.е. правый его конец больше 5. Значит, 5   , 15  a, a  15 .
3
Учитывая условия a  17, a  16 , получаем ответ: a   17;16   16;15 .
Ответ:  17;16   16;15 .
С1. Найдите все значения х, для которых точки графика функции
соответствующих точек графика функции y 
y
log 22 (82  5 x)
лежат выше
2 x  17
48
.
17  2 x
Решение.
Составим неравенство по условию данной задачи:
log 22 (82  5 x)
48
, преобразуем его и получим

17  2 x
2 x  17
log 22 (82  5 x)  48
 0 , заметим, что числитель дроби положителен при всех допустимых значениях
2 x  17
82  5 х  0,
переменной х, следовательно, последнее неравенство равносильно системе 
откуда
2 x  17  0
8,5  x  16,4 .
Ответ. 8,5  x  16,4
С2. Решите уравнение
5
х

2
8 
7  5  5
х
х

 25  8  5 х .
Решение.
Введем новую переменную, пусть
Тогда уравнение примет вид:
Найдем ОДЗ:
5 х  t, t  0 .
t 8 
7  t t  25  0,
, т.е.

t  0
7  t t  25  8  t .
7  t  0,
, откуда 0  t  7 .

t  0
2
Раскроем знак модуля, учитывая ОДЗ, данное уравнение имеет решения при
t 8
t  8:
7  t t  25  8  t; 7  t t  25  0; 7  t t  25  0 так как второй множитель
положителен при всех значениях переменной t из ОДЗ, то последнее уравнение равносильно уравнению
7  t  0, t  7 .
Возвращаясь к переменной х, имеем: 5  7  x  log 5 7 .
x
Ответ.
x  log 5 7 .
С3. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых наименьшее из двух чисел
b  5a 3  a 6  6 и c  a 5 (a 1  5a 2 )  4 больше -8.
Решение.
По условию a>0.
1). Пусть b наименьшее число, т.е.
b  8  5a 3  a 6  6  8  a 6  5a 3  14  0  (a 3  7)  (a 3  2)  0  a 3  3 7
( так как a  2  0 ).
2) Пусть с наименьшее число, т.е.
3
c  8  a 6  5a 3  4  8  a 6  5a 3  4  0  (a 3  4)  (a 3  1)  0 
1

a 1  3 4
 a 3  4
a3

  3
  1

4

a  1
a  1
a  1.
(так как a>0).
3). Наименьшее из чисел b и c больше -8 тогда и только тогда, когда, каждое из них больше -8, т.е. когда
1  a  3 7
b  8
 

1 .
0a 3
c  8

4
С2. Решите уравнение
1.
Ответ:
cos 0,2x  32 
1
4
)  (1; 3 7 ).
cos 2 0,2 x  4 cos 0,2 x  4  5  3 .
Решение.
Заметим, что выражение, стоящее под знаком корня второго слагаемого образует полный квадрат,
тогда исходное уравнение примет вид:
2.
(0; 3
3  cos 0,2 x  2  cos 0,2 x  5  3 .
Выражения, стоящие под знаком модуля положительны при всех значениях х  R, раскрывая знак
модуля, имеем: 5  2сos 0,2 x  5 
Ответ. 
3; cos 0,2 x 
5
 10k , k  Z .
6
С1. Найдите сумму всех корней уравнения

3
5
;x  
 10k , k  Z
2
6

5  4 х  log 5 17  x 2  0 .
Решение.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй имеет смысл.
5  4 х  0
5

17

x

;
решая
систему,
получаем
.

2
4
17

х

0

5

5  4 х  0
x

2. 
;
4 . Корень х = 4  ОДЗ, следовательно, исходное уравнение имеет два корня, и
2
log 5 17  x   0  x  4

1. ОДЗ:
их сумма равна -4 + 1,25 = -2,75.
Ответ. -2,75.
3