Pchel

«Пчелиные паркеты»
Пчелы – удивительные творения природы. Геометрические способности
пчел проявляются при построении сот. Если разрезать пчелиные соты
плоскостью, перпендикулярной их ребрам, то станет видна сеть равных друг
другу правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета. Возникает
вопрос: «Почему пчелы строят соты именно так, почему они предпочли сеть
правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или
квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?».
Для того, чтобы выяснить, почему пчела строит соты, перпендикулярное
сечение которых есть правильный шестиугольник, а не правильный
треугольник или квадрат, рассмотрим следующую задачу: «Даны три
равновеликие друг другу фигуры – правильный треугольник, квадрат и
правильный шестиугольник. Какая из данных фигур имеет наименьший
периметр?»
Пусть S – площадь каждой из названных фигур, а3, а4, а6 – сторона
соответствующего правильного n-угольника. Тогда S = а32√3/4 – площадь
правильного треугольника, S = а42 – площадь квадрата, S = 3 а62√3/2 –
площадь правильного шестиугольника.
Вычислим периметр Pn каждой фигуры, зная ее площадь:
а3 = 2 S / 3, P3 = 6 S / 3, а4 = S , P4 = 4 S ,
а6 = 2S / 3 3 , P6 = 6 2S / 3 3 .
Для сравнения периметров фигур найдем их отношение
P3 : P4 : P6 = 2 S / 3 : 4 S : 6 2S / 3 3 = 1:
24
1
3:
6  1: 0,877 : 0,816.
3
3
Таким образом, из трех правильных многоугольников с одинаковой
площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Стало
быть, мудрые пчелы экономят воск и время для построения сот.
На этом математические секреты пчел не заканчиваются. Исследуем
дальше строение пчелиных сот. Соты в улье свешиваются сверху вниз
наподобие занавесок: пчелы прикрепляют их к потолку
смесью воска и пчелиного клея (прополиса). Ячейки
уложены в пласты и соприкасаются общими
донышками. Но донышки ячеек не плоские, а
представляют собой части трехгранных углов, гранями
которых являются равные ромбы.
Рассмотрим, как получается ячейка. Сначала
построим изображение правильной
шестиугольной
призмы
ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
Рис. 7
Проведем диагонали F1B1, B1D1, F1D1 верхнего основания
призмы и на оси призмы ОО1 возьмем некоторую точку S(рис.
7). Через прямые F1B1, B1D1, F1D1 и точку S проведем три
плоскости, которые отсекают от призмы три равные треугольные пирамиды
MB1F1A1,
B1LD1C1,
D1KF1E1.
получившийся
многогранник
SABCDEFF1MB1LD1K и является пчелиной ячейкой. На рис. 8 показано, как
соприкасаются ячейки в улье; их общая часть является ромбом.
Рис. 8
Когда говорят о пчелах, то чаще всего демонстрируют рис. 9,
показывающий соты в разрезе плоскостью, перпендикулярной боковому
ребру и пересекающей все соты по правильным шестиугольникам. Если
продолжить одну из боковых граней ячейки
так, чтобы она пересекла остальные соты, то
сечение будет таким, как показано на рис.
10.
Мы видим, что в обоих случаях
получились паркеты. Сами пчелиные соты
представляют собой пространственный
паркет, поскольку заполняют пространство
так, что не остается просветов.
Рис. 9
Рис.10